czyli obwody

Obwody nieliniowe

czyli obwody

S L S

Systemy nieliniowe

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

1

1

2

2

1

1

2

2

p t

r t

p t

r t

p t

a p t

a p t

r t

→

→

=

+

→

Układ nazywamy

liniowym

, jeżeli dla każdego a

1

, a

2

i dla każdej pary pobudzeń p

1

(t), p

2

(t) zachodzi

( )

( )

( )

1 1

2 2

r t

a r t

a r t

=

+

Układ nazywamy

nieliniowym

, jeżeli istnieją a

1

, a

2

i p

1

(t), p

2

(t), takie że

( )

( )

( )

1 1

2 2

r t

a r t

a r t

≠

+

Nieliniowe elementy rezystancyjne

( )

u t

( )

i t

Element rezystancyjny

( ) ( )

[

]

,

0

R

F u t i t

=

F

R

jest uwikłaną funkcją algebraiczną

(nie zawiera pochodnych, całek ani
ż

adnych innych operacji na t).

( )

,

0

F u i

=

Rezystor liniowy:

( )

,

0

R

F u i

u

Ri

= −

=

( )

,

0

R

F u i

=

( )

( )

1

,

,

.

R

G

u

f

i

Ri

i

f

u

Gu

G

R

=

=

=

=

=

Pobudzeniem może być zarówno prąd jak i napięcie

( )

,

0

R

F u i

=

Mogą zachodzić następujące przypadki:

1. Istnieje funkcja f

R

, taka, że , natomiast nie istnieje

funkcja odwrotna do f

R

. Element taki nazywa się uzależnionym

prądowo.
Funkcję f

R

nazywa się charakterystyką prądowo-napięciową

( )

R

u

f

i

=

u

u

i

u

i

u

Pobudzeniem elementu uzależnionego prądowo może być tylko
prąd — przy pobudzeniu napięciowym układ nie jest rozwiązalny
(nie ma jednoznacznego rozwiązania)

2. Istnieje funkcja f

G

, taka, że , natomiast nie istnieje

funkcja odwrotna do f

G

. Element taki nazywa się uzależnionym

napięciowo.
Funkcję f

G

nazywa się charakterystyką napięciowo-prądową

( )

G

i

f

u

=

i

i

u

u

Pobudzeniem elementu uzależnionego napięciowo może być tylko
napięcie — przy pobudzeniu prądowym układ nie jest rozwiązalny
(nie ma jednoznacznego rozwiązania)

3. Można wyznaczyć zarówno .
Wówczas istnieją obie charakterystyki — prądowo-napięciowa
i napięciowo-prądowa. Są one funkcjami monotonicznymi.
Taki element nazywa się nieuzależnionym.

( )

( )

jak i

R

G

u

f

i

i

f

u

=

=

i

u

i

u

Pobudzeniem może być zarówno prąd jak i napięcie.

4. Jeżeli z równania nie można w sposób jednoznaczny
wyznaczyć ani prądu ani napięcia, wówczas element taki nazywa się
elementem zdegenerowanym. Można go opisać za pomocą układu
równań parametrycznych.

( )

,

0

R

F u i

=

Analiza stałoprądowa

Rozważać będziemy obwody prądu stałego z jednym rezystorem nieliniowym

0

I

0

U

N

R

Należy wyznaczyć U

0

i I

0

Po zastosowaniu twierdzenia Thévenina lub Nortona zadanie można

z

E

z

R

N

R

0

U

0

I

N

R

0

U

0

I

z

I

z

R

Po zastosowaniu twierdzenia Thévenina lub Nortona zadanie można
sprowadzić do jednego z dwóch modeli:

0

z

0

const

const

const

U

E

I

=



=

⇒ 

=



0

z

0

const

const

const

U

I

I

=



=

⇒ 

=



( )

N

R :

R

u

f

i

=

z

E

z

R

N

R

( )

R

f

i

i

z

R i

( )

z

z

0

R

E

R i

f

i

− +

+

=

N

R

( )

R

f

i

i

z

I

z

R

( )

z

1

R

f

i

R

( )

z

z

1

0

R

I

f

i

i

R

− +

+ =

←→

z

z z

E

R I

=

— równania są identyczne

Jako rozwiązanie równania otrzymujemy , a następnie
obliczamy

0

i

I

=

( )

0

0

R

U

f

I

=

( )

N

R :

G

i

f

u

=

z

E

z

R

N

R

u

( )

G

f

u

( )

z

G

R f

u

( )

z

z

0

G

E

R f

u

u

− +

+ =

N

R

u

( )

G

f

u

z

I

z

R

z

1

u

R

( )

z

z

1

0

G

I

u

f

u

R

− +

+

=

←→

Jako rozwiązanie równania otrzymujemy , a następnie

0

u

U

=

Jako rozwiązanie równania otrzymujemy , a następnie
obliczamy

0

u

U

=

( )

0

0

R

I

f

U

=

Rozwiązanie obwodu sprowadza się do rozwiązania nieliniowego
równania

( )

( )

z

z

z

z

lub

1

R

G

f

i

E

R i

f

u

I

u

R

=

−

= −

Metoda graficzna

( )

z

z

R

f

i

E

R i

=

−

u

( )

R

f

i

z

E

i

z

z

E

R

0

U

0

I

( )

z

z

1

G

f

u

I

u

R

= −

i

( )

G

f

u

0

I

z

I

u

0

U

0

z z

R I

Wyznaczony punkt na charakterystyce rezystora nazywa się
punktem pracy (punktem równowagi)

(

)

0

0

,

U I

Przykład

0

E

z0

I

1

R

2

R

0

I

0

U

D

D

i

u

0

z0

1

2

1, 4 V,

0, 2 A,

5Ω,

E

I

R

R

=

=

=

=

u

10

23

19

e

1 ,

10

A

VAs

1,380622 10

K

1, 602191 10

As

T

u

s

s

T

i

I

I

kT

q

k

q

T

ϕ

ϕ

−

−

−





=

−

=









=

=

⋅

=

⋅

— potencjał termiczny

— stała Boltzmana

— ładunek elementarny

— temperatura złącza

W temperaturze 293 K (20

°

C)

0, 025 V

T

ϕ

≈

, A

i

0

E

z0

I

1

R

2

R

A

B

z

I

z

R

A

B

D

0

1

2

z

z

z0

1

2

1

2,5Ω ,

0, 48 A

E

R R

R

I

I

R

R

R

=

=

=

+

=

+

0, 48 A

I

=

z

z

1

e

1

T

u

s

I

I

u

R

ϕ





− = −









, V

u

z

0, 48 A

I

=

z z

1, 2 V

R I

=

0

0, 26 A

I

≈

0

0,54 V

U

≈

Metoda numeryczna

( )

0

f x

=

( )

( )

,

f x

f

x

′

— funkcje ciągłe

Poszukujemy x

0

, takiego aby — założona dokładność

( )

0

,

f x

ε ε

<

Wybieramy pierwsze przybliżenie x

1

(np. wyznaczone graficznie)

Jeżeli , to szukamy lepszego przybliżenia x

2

( )

1

f x

ε

>

( )

( )

( )(

)

( )(

)

( )(

)

2

3

2

1

1

2

1

1

2

1

1

2

1

1

1

2!

3!

f x

f x

f

x

x

x

f

x

x

x

f

x

x

x

′

′′

′′′

=

+

−

+

−

+

−

+

⋯

( )

( )(

)

( )

( )

1

1

1

2

1

2

1

1

0

f x

f x

f

x

x

x

x

x

f

x

′

+

−

=

⇒

= − ′

Jeżeli

( )

2

f x

ε

>

obliczamy

( )

( )

2

3

2

2

f x

x

x

f

x

= − ′

itd...

Jeżeli punkt początkowy x

1

leży blisko rozwiązania x

0

, to ciąg

1

2

3

0

,

,

,

x x x

x

→

⋯

Przedstawiony algorytm jest znany jako metoda Newtona.

z

z

1

e

1

T

u

s

I

I

u

R

ϕ





− = −









( )

( )

z

z

1

1

e

1

0

e

T

T

u

u

s

s

T

z

I

f u

I

I

u

f

u

R

R

ϕ

ϕ

ϕ





′

=

− − +

=

=

+









( )

(

)

( )

10

40

9

40

10

e

1

0, 48 0, 4

4 10 e

0, 4

u

u

f u

u

f

u

−

−

′

=

− −

+

= ⋅

+

( )

f u

u

( )

1

1

0,5

0, 23148348

u

f u

=

= −

( )

( )

( )

1

2

1

2

1

0,59889664

2,941047

f u

u

u

f u

f

u

= −

=

=

′

( )

( )

( )

2

3

2

3

2

0,57635721

0,77938844

f u

u

u

f u

f

u

= −

=

=

′

( )

( )

( )

3

4

3

4

3

0,55760109

0, 22891372

f u

u

u

f u

f

u

= −

=

=

′

( )

( )

( )

4

0,54606015

0, 04464606

f u

u

u

f u

= −

=

=

′

( )

( )

4

5

4

5

4

0,54606015

0, 04464606

u

u

f u

f

u

= −

=

=

′

( )

( )

( )

5

6

5

6

5

0,54253050

0, 00291332

f u

u

u

f u

f

u

= −

=

=

′

( )

( )

( )

6

7

6

7

6

0,54226652

0, 000014773

f u

u

u

f u

f

u

= −

=

=

′

0

7

0,54226652

U

u

=

=

(

)

0

40

10

0

0

0

10

e

1

0, 26310816

lub

0, 48 0, 4

0, 26309339

U

I

I

U

−

=

− =

=

−

=

z

I

z

R

0

I

0

U

D

z

I

z

R

0

I

0

U

s

R

0

s

0

U

R

I

=

— rezystancja statyczna

0

0

z

z

z

0

0

0

0

0

0

,

e

1

T

U

U

s

I

I

I

U

U

U

I

I

I

I

ϕ

+∆





→ + ∆

⇒

→

+ ∆

→ + ∆ =

−













0

0

0

0

0

0

e

1

e

1

e

e

1

T

T

T

T

U

U

U

U

U

s

s

s

I

I

I

I

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

+∆

∆













∆ =

− −

− =

−

























0

0

0

0

U

U

I

I

∆

≠

∆

0

0

0

s

0

0

0

U

U

U

R

I

I

I

+ ∆

≠

=

+ ∆

i

z

I

z

z

I

I

+∆

z z

R I

(

)

z

z

z

R I

I

+∆

u

0

U

0

0

U

U

+∆

0

U

∆

0

I

0

0

I

I

+∆

0

I

∆

α

α

′

β

0

0

0

0

0

0

0

0

tg

tg

tg

I

U

I

I

U

U

I

U

α

α

β

=

+∆

′

=

+∆

∆ =

∆

i

U

0

I

α

β

( )

G

i

f

u

=

u

0

U

( )

0

s

tg —

G

u U

f

u

G

u

α

=

=

≜

konduktancja statyczna w punkcie (U

0

, I

0

)

( )

0

d

d

tg —

d

G

u U

f

u

G

u

β

=

=

≜

konduktancja dynamiczna w punkcie (U

0

, I

0

)

( )

R

u

f

i

=

i

u

I

0

U

α

β

0

I

( )

0

s

tg —

R

i I

f

i

R

i

α

=

=

≜

rezystancja statyczna w punkcie (I

0

, U

0

)

( )

0

d

d

tg —

d

R

i I

f

i

R

i

β

=

=

≜

rezystancja dynamiczna w punkcie (I

0

, U

0

)

, V

u

, A

i

0

U

0

I

0

0

0,5423 V

0, 2631 A

U

I

=

=

( )

(

)

u





( )

(

)

10

40

e

1

10

e

1

T

u

u

G

s

i

f

u

I

ϕ

−





=

=

− =

−









0

s

0

0, 4852S

I

G

U

=

=

( )

9

40

d

e

4 10 e

d

T

u

u

G

s

T

f

u

I

u

ϕ

ϕ

−

=

= ⋅

( )

0

d

d

10,54S

d

G

u U

f

u

G

u

=

=

=

s

s

d

d

1

2,061Ω

1

0,09488Ω

R

G

R

G

=

=

=

=

z

E

z

R

N

R

i

u

( )

N

R :

G

i

f

u

=

( )

G

i

f

u

=

( )

( )

z

z

z

z

z

1

1

0

G

G

E

R f

u

u

f

u

E

u

R

R

− +

+ =

⇒

=

−

u

z

z

E

R

z

E

( )

G

i

f

u

=

z

I

z

G

N

R

C

i

u

( )

N

R :

G

i

f

u

=

( )

z

z

G

f

u

I

G u

= −

( )

z

z

d

0

d

G

u

I

G u

f

u

C

t

− +

+

+

=

( )

z

z

d

d

G

u

C

G u

f

u

I

t

+

+

=

W stanie ustalonym: u = const

Istnieją trzy rozwiązania:

(

)

(

)

(

)

0I

0I

0II

0II

,

,

U

I

U

I

u

z

I

z

z

I

G

I

II

III

0I

I

0II

I

0III

I

0I

U

0II

U

0III

U

(

)

0III

0III

,

U

I

(

)

0

0

,

U

I

— rozwiązanie (dowolne) równania , czyli

( )

z

z

d

d

G

u

C

G u

f

u

I

t

+

+

=

Załóżmy, że

0

0

,

u

U

u

u

U

=

+

△

△ ≪

(

)

(

)

(

)

0

z

0

0

z

d

d

G

U

u

C

G U

u

f

U

u

I

t

+

+

+

+

+

=

△

△

△

( )

z

0

0

z

G

G U

f

U

I

+

=

(

)

(

)

( )

( )

( )

( )

( )

0

0

0

0

0

0

0

d

d

d

d

1

...

2

G

G

G

G

G

G

U

u

u

C

C

t

t

f

U

u

f

U

f

U

u

f

U

u

f

U

f

U

u

+

=

′

′′

′

+

=

+

+

+

≈

+

△

△

△

△

△

△

( )

( )

0

0

d

d

d

G

G

u U

f

u

f

U

G

u

=

′

=

=

— konduktancja dynamiczna w punkcie (U

0,

I

0

)

( )

z

0

z

0

d

z

d

d

G

u

C

G U

G u

f

U

G

u

I

t

+

+

+

+

=

△

△

△

= 0

(

)

z

d

d

0

d

u

C

G

G

u

t

+

+

=

△

△

z

d

e

G

G

t

C

u

λ

+

−

=

△

z

d

0

gdy

0

t

G

G

→∞



→

+

>





e

C

u

λ

=

△

z

d

gdy

0

t

G

G

→∞







→∞

+

<



Definicja

Punkt pracy (U

0

, I

0

) nazywa się statecznym punktem równowagi,

jeżeli

. Gdy

punkt pracy nazywa się

niestatecznym punktem równowagi.

0

t

u

→∞



→

△

t

u

→∞



→∞

△

( )

G

i

f

u

=

z

I

I

Wniosek:
Punkt pracy (U

0

, I

0

) jest statecznym punktem równowagi gdy w tym

punkcie

z

d

0

G

G

+

>

u

z

z

I

G

I

II

III

I

β

III

β

II

π

β

−

γ

(

)

dI

I

dII

II

II

dIII

III

z

tg

tg

tg π

tg

tg

G

G

G

G

β

β

β

β

γ

=

=

= −

−

=

=

Statecznymi są punkty I i III, natomiast II jest punktem niestatecznym

z

E

z

R

N

R

i

u

( )

N

R :

R

u

f

i

=

( )

z

z

0

R

E

R i

f

i

− +

+

=

( )

z

z

R

f

i

E

R i

=

−

( )

R

u

f

i

=

z

E

I

II

i

z

z

E
R

III

Punkt pracy (U

0

, I

0

) będzie statecznym punktem równowagi jeżeli

,

gdzie R

d

jest rezystancją dynamiczną w punkcie (U

0

, I

0

).

z

d

0

R

R

+

>

Statecznymi punktami równowagi są punkty I i III, natomiast punkt II jest
punktem niestatecznym.

Pasywność elementu nieliniowego

u

i

N

R

( )

( )

i/lub

R

G

u

f

i

i

f

u

=

=

Moc dostarczona do rezystora nieliniowego

( )

u f

u



( )

( )

G

R

u f

u

p

u i

i f

i



=

=





Dwójnik jest pasywny, gdy p > 0 dla dowolnych u i i, czyli wtedy, gdy

0

gdy

0

0

gdy

0

0

gdy

0

0

gdy

0

0

gdy

0

0

gdy

0

G

R

u

i

f

u

f

i

u

i

>

>

>

>









=

=

=

=









<

<

<

<





Element rezystancyjny jest pasywny wtedy i tylko wtedy, gdy jego
charakterystyka napięciowo-prądowa (prądowo-napięciowa) mieści
się w całości w I i III ćwiartce układu współrzędnych

u

i

i

Elementy pasywne

Elementy aktywne

u

i

u

u

i

Łączenie elementów nieliniowych

Połączenie szeregowe

N1

R

N2

R

N

R

1

u

2

u

u

i

( )

( )

N1

1

1

N2

2

2

R

:

R

:

R

R

u

f

i

u

f

i

=

=

( )

( )

( )

N

1

2

1

2

R :

R

R

R

u

u

u

f

i

f

i

f

i

= + =

+

=

u

i

N1

R

N2

R

N

R

Połączenie równoległe

N1

R

N2

R

1

i

2

i

i

u

N

R

( )

( )

N1

1

1

N2

2

2

R

:

R

:

G

G

i

f

u

i

f

u

=

=

( )

( )

( )

N

1

2

1

2

R :

G

G

G

i

i

i

f

u

f

u

f

u

= + =

+

=

u

i

N1

R

N2

R

N

R

Pobudzenia zmienne w czasie

( )

e t

( )

i t

N

R

( )

u t

( )

( )

N

R :

,

0

0

G

G

i

f

u

f

=

=

( ) ( )

u t

e t

=

( )

( )

[ ]

G

i t

f

e t

=

( )

( )

1

0

d

1

,

! d

k

k

G

G

k

k

k

k

u

f

u

f

u

a u

a

k

u

∞

=

=

=

=

∑

Często wystarczająca dokładność uzyskuje się po uwzględnieniu kilku
pierwszych wyrazów szeregu

( )

( )

( )

( )

2

3

1

2

3

i t

a e t

a e t

a e t

=

+

+

+

⋯

Przykład 1.

( )

3

m

0

1

3

sin

,

e t

E

t

i

a u

a u

ω

=

=

+

( )

3

3

1

m

0

3

m

0

sin

sin

i t

a E

t

a E

t

ω

ω

=

+

3

3

1

sin

sin

sin 3

4

4

x

x

x

=

−

( )

(

)

3

3

1

m

3

m

0

3

m

0

3

1

sin

sin 3

5sin

sin 3

4

4

i t

a E

a E

t

a E

t

t

t

ω

ω

=

+

−

=

−

m

1

3

0

2,

1,

0,5,

1

E

a

a

ω

=

=

=

=

(

)

4

4

( )

i t

( )

e t

t

t

Przykład 2.

( )

1

2

3

N

3

3

sin

sin

R :

,

1

e t

t

t

i

a u

a

ω

ω

=

+

=

=

( )

e t

( )

i t

N

R

( ) (

)

3

3

2

2

3

1

2

1

1

2

1

2

2

sin

sin

sin

3sin

sin

3sin

sin

sin

i t

t

t

t

t

t

t

t

t

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

=

+

=

+

+

+

3

2

3

1

4

4

1

1

1

2

4

4

sin

sin

sin 3

sin

sin

sin

sin(2

)

sin(2

)

x

x

x

x

y

y

x

y

x

y

=

−

=

−

+ +

−

( )

(

)

(

)

3

1

3

3

3

sin

sin 3

sin

sin 2

sin 2

i t

t

t

t

t

t

ω

ω

ω

ω ω

ω ω

=

−

+

−

+

+

−

+

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

1

1

2

1

2

1

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

2

2

1

2

2

1

1

2

2

3

1

3

3

3

4

4

2

4

4

3

1

3

3

3

4

4

2

4

4

9

1

9

1

4

4

4

4

3

3

3

3

4

4

4

4

sin

sin 3

sin

sin 2

sin 2

sin

sin 3

sin

sin 2

sin 2

sin

sin 3

sin

sin 3

sin 2

sin 2

sin 2

sin 2

i t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

ω

ω

ω

ω ω

ω ω

ω

ω

ω

ω ω

ω ω

ω

ω

ω

ω

ω ω

ω ω

ω ω

ω

=

−

+

−

+

+

−

+

+

−

+

−

+

+

−

=

=

−

+

−

+

−

+

−

+

+

−

+

−

(

)

1

t

ω

Ogólnie, gdy

( )

1

k

G

k

k

i

f

u

a u

∞

=

=

=

∑

( )

(

)

( )

0

1

1

2

2

1

2

1

1

1

1

sin

sin

sin

k

k

kl

k

k

k

l

k

i t

I

I

k

t

I

k

t

I

k

l

t

ω

ω

ω

ω

∞

∞

∞

∞

=

=

= =− −

= +

+

+

+

∑

∑

∑ ∑

Linearyzacja obwodu — metoda małosygnałowa

( )

e t

z

R

N

R

( )

u t

( )

i t

( )

N

R :

R

u

f

i

=

( )

[ ]

( )

( )

z

R

f

i t

e t

R i t

=

−

( )

( )

( )

,

,

e t

E

e

e

E

i t

I

i

u t

U

u

=

+

⇒

= +

=

+

△

△ ≪

△

△

( )

( )

( )

0

0

0

0

,

,

e t

E

e

e

E

i t

I

i

u t

U

u

=

+

⇒

= +

=

+

△

△ ≪

△

△

(

)

( )

( )

( )

0

0

0

0

d

d

d

R

R

R

R

i I

f

i

f

I

i

f

I

i

f

I

R

i

i

=

+

≈

+

=

+

△

△

△

( )

0

d

0

z 0

z

R

f

I

R

i

E

e

R I

R i

+

=

+ −

−

△

△

△

( )

(

)

0

0

z 0

d

z

d

z

R

f

I

E

R I

R

i

e

R i

R

R

i

e

=

−

= −

⇒

+

=

△ △

△

△ △

— wyznaczenie punktu pracy

— liniowe równanie dla przyrostów

0

E

z

R

N

R

u

i

1. Wyznaczamy punkt pracy (I

0

, U

0

) z równania

(graficznie lub numerycznie)

( )

0

z

R

f

i

E

R i

=

−

2. Obliczamy rezystancję dynamiczną R

d

w wyznaczonym punkcie pracy

3. Tworzymy zlinearyzowany obwód zastępczy

z

R

i

△

3. Tworzymy zlinearyzowany obwód zastępczy

dla przyrostów napięć i prądów

e

△

d

R

u

△

4. Rozwiązujemy zlinearyzowany obwód

z

d

d

z

d

e

i

R

R

R

u

e

R

R

=

+

=

+

△

△

△

△

u

0

E

0

U

0

E

e

+

△

0

U

u

+

△

i

0

z

E

R

0

I

0

z

E

e

R

+

△

0

I

i

+

△

Nieliniowe elementy pojemnościowe

Element pojemnościowy

( ) ( )

( )

( )

( )

d

,

0,

d

:

C

q t

F

u t q t

i t

t

q t





=

=





Ładunek
elektryczny

F

C

jest uwikłaną funkcją algebraiczną (nie zawiera pochodnych,

F

C

jest uwikłaną funkcją algebraiczną (nie zawiera pochodnych,

całek ani żadnych innych operacji na t), czyli

.

( )

,

0

C

F u q

=

Będziemy zakładać, że można wyznaczyć

( )

.

C

q

f

u

=

Kondensator liniowy:

( )

( )

( )

,

const,

d

d

d

d

C

q

f

u

Cu

C

u

i t

Cu

C

t

t

=

=

=

=

=

u

q

0

Q

0

U

α

β

( )

0

0

s

0

tg — pojemność statyczna

C

u U

f

u

Q

C

u

U

α

=

=

=

=

( )

0

d

d

tg — pojemność dynamiczna

d

C

u U

f

u

C

u

β

=

=

=

u

q

1

B

0

B

B

1

1 ,

1

u

q

C

u

α

ϕ

ϕ

α

ϕ

−









= −

−

−

<









−









0

B

C

ϕ
α

— stała o wymiarze pojemności

— napięcie dyfuzyjne (bariera potencjału)

— współczynnik zależny od technologii wykonania złącza

Przykład

Dla diody krzemowej

B

0, 7 V,

1

— złącze skokowe

2

=

1

— złącze liniowe

3

ϕ

α

≈











1

B

B

0

B

1

1 ,

1

q

u

u

C

α

ϕ

ϕ

α

ϕ

−









= −

−

−

<









−









0, 7

0

, V

q

C

, V

u

1
2

α

=

1
3

α

=

( )

( )

d

d

d d

d

d

d

d

d

q

q u

u

i t

C u

t

u

t

t

=

=

=

0

d

B

B

d

,

d

1

C

q

C

u

u

u

α

ϕ

ϕ

=

=

<





−









d

0

C
C

1

i

s

e

1

T

u

i

I

ϕ





=

−









i

u

. V

u

0, 7

1
3

α

=

1
2

α

=

0, 7

u

Nieliniowe elementy indukcyjne

Element indukcyjny

( ) ( )

( )

( )

( )

d

,

0,

d

:

L

t

F

t

i t

u t

t

t

ψ

ψ

ψ





=

=





Strumień
magnetyczny

F

L

jest uwikłaną funkcją algebraiczną (nie zawiera pochodnych,

F

L

jest uwikłaną funkcją algebraiczną (nie zawiera pochodnych,

całek ani żadnych innych operacji na t), czyli

.

( )

,

0

L

F

i

ψ

=

( )

L

f

i

ψ

=

Będziemy zakładać, że można wyznaczyć

Induktor liniowy:

( )

( )

( )

,

const,

d

d

d

d

L

f

i

Li

L

i

u t

Li

L

t

t

ψ

=

=

=

=

=

i

ψ

0

Ψ

0

I

α

β

( )

0

0

s

0

tg — indukcyjność statyczna

L

i I

f

i

L

i

I

Ψ

α

=

=

=

=

( )

0

d

d

tg — indukcyjność dynamiczna

d

L

i I

f

i

L

i

β

=

=

=

i

ψ

Induktor na rdzeniu ferromagnetycznym

0

I

Położenie punktu pracy zależy nie tylko od I

0

, ale również od

historii zmian tego prądu.

Źródła sterowane

( )

e

f u

β

=

u

( )

e

f i

ρ

=

i

ŹNSN

ŹNSP

( )

z

i

f u

γ

=

u

( )

z

i

f i

α

=

i

ŹPSN

ŹPSP

s

u

a

u

a

i

s

u

a

u

a

i

(

)

s

a

,

f u u

(

)

3
2

a

a

a

s

a

s

s

a

s

,

,

0,

0,

0.

u

u

i

f u u

k u

u

u

u

µ

µ





=

=

+

<

>

+

>









a

i

s

u

a

u

s

u

a

i

a

u

ECC81

EB

u

CB

u

E

i

C

i

E (emiter)

C (kolektor)

B (baza)

EB

u

CB

u

E

i

C

i

dE

i

dC

i

n dC

i

α

i dE

i

α

Model Ebersa-Molla

CB

EB

dE

sE

dC

sC

e

1 ,

e

1

T

T

u

u

i

I

i

I

ϕ

ϕ

−

−









=

−

=

−

















dE

sE

dC

sC

e

1 ,

e

1

i

I

i

I

=

−

=

−

















CB

EB

T

T

CB

EB

T

T

E

sE

i sC

C

sC

n sE

e

1

e

1

e

1

e

1

u

u

u

u

i

I

I

i

I

I

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

α

α

−

−

−

−









=

− −

−

























= −

− +

−

















Trzeba zidentyfikować (zmierzyć)
współczynniki

sE

sC

i

n

,

,

,

.

I

I

α α

Przykład

+

–

E

0

C

L

R

k

R

k

C

a

L

M

Analiza stałoprądowa

a

i

a

0

u

E

=

Analiza stałoprądowa

s0

U

k

R

a0

I

a0

U

k a0

R I

0

E

s0

k a0

a0

0

k a0

0

U

R I

U

E

R I

E

= −

=

−

≈

s

u

a0

I

s0

U

Z wykresu odczytujemy I

a0

i U

s0

i obliczamy

s0

k

a0

U

R

I

−

=

C

L

R

a

L

M

s

u

a

i

C

L

R

a

d

d

i

M

t

s

u

d
d

i

L

t

Ri

i

Analiza zmiennoprądowa

Kondensator C

k

ma pojemność na tyle dużą, że stanowi zwarcie dla składowych zmiennych

i

a

s

d

d

0

d

d

i

i

L

u

Ri

M

t

t

+ + −

=

s

d

d

u

i

C

t

=

2

s

s

a

s

2

d

d

d

0

d

d

d

u

u

i

LC

RC

u

M

t

t

t

+

+ −

=

s

U

a

i

a0

I

s0

U

s

s0

s

3

a

a0

s

s

,

0

U

U

u

i

I

au

bu

a b

=

+

=

+

−

>

(

)

2

a

a

s

s

s

s

d

d

d

d

3

d

d

d

d

i

i

u

u

a

bu

t

u

t

t

=

= −

(

)

2

d

d

d

u

u

u

(

)

2

2

s

s

s

s

s

2

d

d

d

3

0

d

d

d

u

u

u

LC

RC

u

M a

bu

t

t

t

+

+ −

−

=

(

)

(

)

2

2

s

s

s

s

2

d

d

3

1

0

d

d

u

u

bM

LC

Ma

RC

u

u

Ma

RC

t

t

−

−

−

+ =

−

(

)

2

2

s

s

s

s

2

d

d

3

1

0

d

d

u

u

bM

LC

Ma

RC

u

u

Ma

RC

t

t









−

−

−

+ =









−













s

s

s

2

2

s

2

2

2

0

3

3

d

d

d

3

d

d

d

3

d

d

1

bM

Ma

RC

u

x

u

x

Ma

RC

bM

u

x

Ma

RC

t

bM

t

u

Ma

RC

x

bM

t

t

LC

ω

−

=

⇒

=

−

−

=

−

=

=

(

)

(

)

2

2

2

d

d

1

0

x

x

Ma

RC

x

x

ω

ω

ω

−

−

−

+

=

(

)

(

)

2

2

0

0

0

2

d

d

1

0

d

d

x

x

Ma

RC

x

x

t

t

ω

ω

ω

−

−

−

+

=

(

)

0

Ma

RC

ω

µ

−

=

(

)

2

2

2

0

0

2

d

d

1

0

d

d

x

x

x

x

t

t

µ

ω

ω

−

−

+

=

Równanie van der Pola

Jeżeli µ = 0 otrzymujemy równanie liniowe,

którego rozwiązaniem jest

gdzie λ

1

i λ

2

są dowolnymi stałymi.

2

2

0

2

d

0

d

x

x

t

ω

+

=

( )

1

0

2

0

sin

cos

,

x t

t

t

λ

ω

λ

ω

=

+

Podstawmy

0

0

2

2

2

0

2

2

d

d d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

x

x

x

t

t

t

x

x

t

τ

ω

τ

ω

τ

τ

ω

τ

=

⇒

=

=

=

(

)

2

2

2

d

d

1

0

d

d

x

x

x

x

µ

τ

τ

−

−

+ =

Podstawmy

Równanie van der Pola z unormowanym czasem

(

)

2

2

2

d

d

1

0

d

d

x

x

x

x

µ

τ

τ

−

−

+ =

Rozwiązanie szczególnym jest x(τ) = 0. Jest to punkt równowagi.

Załóżmy, że układ, z dowolnych przyczyn zewnętrznych, został
wytrącony z punktu równowagi, czyli

0

0,

1

x

x

x

x

=

→

=

≠

△

△ ≪

0

0,

1

x

x

x

x

=

→

=

≠

△

△ ≪

Po pominięciu składnika otrzymujemy przybliżenie liniowe
równania

( )

2

x

△

2

2

d

d

0

d

d

x

x

x

µ τ

τ

−

+

=

△

△

△

2

2

d

d

0

d

d

x

x

x

µ τ

τ

−

+

=

△

△

△

Rozwiązanie ma postać:
a) |µ| > 2

1

2

2

2

1

2

1

2

1,

1

2

2

2

2

e

e

,

x

α τ

α τ

µ

µ

µ

µ

α

α

λ

λ

 

 

= +

−

= −

−

 

 

 

 

=

+

△

2

2

2

2

 

 

b) |µ| < 2

(

)

1

2

2

e

sin

cos

,

,

1

2

2

x

ατ

λ

ωτ λ

ωτ

µ

µ

α

ω

=

+

 

=

=

−

 

 

△

Jeżeli µ > 0 to zaburzenie rośnie (rozwiązanie nie wraca do punktu
równowagi), czyli x(τ) = 0 jest rozwiązaniem niestabilnym.

Interesującą cechą równania van der Pola jest występowanie
w rozwiązaniu cyklu granicznego. Rozwiązanie, w miarę upływu
czasu, dąży do funkcji okresowej o amplitudzie niezależnej od
warunków początkowych.

( )

x

τ

( )

( )

1,

0

0, 2,

0

0, 2

x

x

µ

′

=

=

= −

τ

Amplituda jest równa ok. 2 i praktycznie nie zależy od wartości µ

τ

( )

x

τ

( )

( )

3,

0

0,

0

0,1

x

x

µ

′

=

=

=

τ

( )

x

τ

( )

( )

50,

0

0,

0

0,1

x

x

µ

′

=

=

=

„blocking-generator”

τ

( )

x

τ

( )

( )

0, 5,

0

0,

0

0,1

x

x

µ

′

=

=

=

τ

( )

x

τ

( )

( )

0, 2,

0

0,1,

0

0, 2

x

x

µ

′

=

=

=

( )

( )

0,1,

0

0,

0

0, 015

x

x

µ

′

=

=

=

( )

x

τ

τ

( )

( )

0,1,

0

0,1,

0

0, 2

x

x

µ

′

=

=

= −

( )

x

τ

τ

( )

( )

0,1,

0

4,

0

1

x

x

µ

′

=

=

=

( )

x

τ

τ

+

–

E

0

C

L

R

k

R

k

C

a

L

M

(

)

0

Ma

RC

Ma

RC

LC

µ ω

−

=

−

=

1

µ

≫

generator relaksacyjny
(tzw. blocking-generator)

1

µ

≪

generator przebiegu sinusoidalnego

o pulsacji

(tzw. generator Meissnera)

0

1

LC

ω ω

≈

=