Fizyka Ogólna

Nr Wyk³adu

1

Dyfrakcja Fresnela

Modyfikacja konstrukcji obrazu dyfrakcyjnego przez
Kirchoffa

Z zasady Huygensa wynika, ¿e fale kuliste rozchodz¹c¹ siê
izotropowo a wiêc równiez wstecznie. A tego nie obserwuje siê
w doœwiadczeniach.
Kirchoff wprowadzi³ czynnik kierunkowy:

Ca³ki Fresnela i spirala Cornu

Wprowadzenie poprawki Kirchoffa oraz koniecznoϾ
uwzglêdnienia krzywizny powierzchni falowej w dyfrakcji
Fresnela istotnie zmienia cechy obrazu dyfrakcyjnego.
Powoduje to przede wszystkim, ¿e
dodawanie faz nie zamyka siê w
okr¹g tak jak gdy spe³nione s¹
za³o¿enia dyfrakcji Fraunhofera:

W ten sposób amplitudy pochodz¹ce z poszczególnych stref nie
znosz¹ siê ca³kowicie.

Fizyka Ogólna

Nr Wyk³adu

2

Wypadkow¹ amplitudê w danym punkcie oblicza siê jak
nastepuje:
Rozpatrzmy falê kulist¹ wychodz¹c¹ z punktu S i natrafiaj¹c¹
na pó³nieskoñczony ekran (krawêdŸ) B.

W punkcie P0 ekranu falê

œwietln¹ mozna zapisaæ
jako:

Przyczynek w punkcie P pochodz¹cy od strefy o szerokoœci dW

gdzie przesuniêcie fazy jest zwi¹zane z drog¹ optyczn¹ '

Sumaryczne zaburzenie w punkcie P ekranu pochodz¹ce od
wszystkich elementów dW:

Natê¿enie fali w tym punkcie:

Korzystaj¹c z to¿samoœci trygonometrycznej:

sin("+$) = sin"cos$ + cos"sin$

z " = Tt i $ = *(')

otrzymuje siê

Fizyka Ogólna

Nr Wyk³adu

3

gdy podstawiæ zmienn¹

tj.

otrzymuje siê ca³ki Fresnela, ktore nie zale¿¹ od a,b i 8

Sta³a przed ca³k¹ zale¿y od odleg³oœci a Ÿród³a od przeszkody
oraz od odleg³osci przeszkody od ekrany ekranu boraz od
d³ugoœci fali 8.

Ca³ki Fresnela odk³ada siê na osiach uk³adu kartezjañskiego
wprowadzaj¹c wspó³rzêdne:

gdzie
!

v

jest d³ugoœcia krzywej - spirali Cornu - mierzon¹ od
pocz¹tku uk³adu wspó³rzêdnych (0,0).

!

Bv jest krzywizn¹ spirali Cornu w ka¿dym punkcie

!

Bv2 jest k¹tem nachylenia spirali

Fizyka Ogólna

Nr Wyk³adu

4

Punkt K’ w (x,y) = (-0.5,-0.5) reprezentuje punkt le¿¹cy na
ekranie g³êboko w cieniu (punkt w “-4”).
Punkt K w (x,y) = (0.5,0.5) reprezentuje punkt na ekranie daleko
w obszarze oœwietlonym (punkt w “4”).
Natê¿enie I wyznacza siê jako d³ugoœæ wektora ³¹cz¹cego punkt
K’ z analizowanym punktem na ekranie o zadanych
wspó³rzêdnych
(x,y).

Fizyka Ogólna

Nr Wyk³adu

5

Przesuwaj¹c koniec wektora od K’ do K otrzymuje siê rozk³ad
natê¿enia dla krawêdzi:

Efekt ten jest dobrze widoczny - mo¿na go sfotografowaæ:

Strefy Fresnela

W celu obliczenia natê¿enia fali œwietlnej
#

pochodz¹cej od czo³a fali p³askiej w punkcie P odleglym
od tego czo³a o d

podzielimy czo³o fali na okregi

o specjalnie dobranych promieniach rk takich, ¿e odleg³oœæ
okrêgu od punktu wniesie

Fizyka Ogólna

Nr Wyk³adu

6

pole powierzchni strefy

Jak widaæ podzieliliœmy czo³o fali p³askiej na strefy

takie,¿e w punkcie P odleg³ym o d od czo³a
fale pochodz¹ce od s¹siednich stref
s¹ przesuniête w fazie o B.

Amplituda wypadkowa w punkcie P jest suma amplitud z
poszczególnych stref:

Fizyka Ogólna

Nr Wyk³adu

7

Od czego zale¿y wartoœæ Ak ?

‚

od wielkoœci powierzchni ka¿dej strefy:

s¹ prawie równe ale powoli wzrastaj¹ z k bo

‚

od odleg³oœci strefy od punktu P: powoli wzrasta z k

‚

Ka¿da strefa najsilniej promieniuje prostopadle do swej
powierzchni (poprawka Kirchoffa). St¹d Ak maleje z k

Okazuje siê, ¿e drugi czynniki równowa¿y wp³yw pierwszego.
Ostatecznie

Jednak¿e od strefy do strefy zmiany amplitud s¹ niewielkie
wiêc

Ostatecznie wynikowa amplituda w punkcie P odleglym o d od czo³a
fali

pochodz¹ca od calego czo³a fali

wynosi

tj. po³owê amplitudy 1-szej strefy Fresnela

(1/4 natê¿enia fali pochodz¹cego od tej strefy)

Fizyka Ogólna

Nr Wyk³adu

8

P³ytka strefowa Fresnela

Istnienie stref Fresnela mozna wykorzystaæ praktycznie:
Gdy zas³onimy wszystkie z nastêpnie bêdziemy po kolei jed ods³aniaæ
zaczynaj¹c od pierwszej to natê¿enie w punkcie d bêdzie siê zmieniaæ:

Lini¹ przerywan¹ zaznaczono natê¿enie jakie otrzyma siê gdy
wszystkie strefy zostan¹ ods³oniête.
W p³ytce strefowej Fresnela zas³ania siê co
drug¹ strefê - dziêki czemu do punktu d
docieraj¹ tylko fale w fazie.

W efekcie p³ytka strefowa z 20 strefami daje
400 wzrost natê¿enia w punkcie d.
P³ytka strefowa ma wiêc w³asnoœci soczewki skupiaj¹cej z d pe³ni¹c¹
rolê ogniskowej soczewki. Takie soczewki s¹ u¿ywane powszechnie
w rzutnikach pisma - szczególnie tych przenoœnych.
Jednak¿e w dyfrakcji maksima wystêpuj¹ zarówno po jednej stronie
szczeliny jak i po drugiej - soczewka Fresnela jest wiêc jednoczeœnie
skupiaj¹ca jak i rozpraszaj¹ca.

Jeszcze silniejszy efekt:
- zamiast zas³aniaæ co drug¹ strefê
Fresnela -
w co drugiej strefie zmienimy fazê fali
tak aby w punkcie d fale ze wszystkich
stref by³y w fazie.

Fizyka Ogólna

Nr Wyk³adu

9

Zastosowania dyfrakcji - siatki dyfrakcyjne

Gdy fala p³aska pada na ekran, w którym s¹
szczeliny w odleg³oœci d od siebie to na
ekranie powstanie obraz dyfrakcyjny.
Maksima widoczne na ekranie bêd¹
odchylone od biegu promieni o k¹t 2, który
spe³nia równanie

gdzie m = 0, ±1, ±2, ±3, ....
Obrazy dyfrakcyjny powstanie zawsze wtedy gdy docieraj¹ce do
danego punktu cz¹stkowe fale kuliste maj¹ odpowiednie przesuniêcie
fazy (jest to w istocie obraz inteferencyjny).
Dlatego istniej¹ ró¿ne realizacje siatek dyfrakcyjnych:

siatka schodkowa

siatka odbiciowa

W krysztale atomy tworz¹ siatkê dyfrakcyjn¹ dla fal rentgenowskich
(maj¹ one d³ugoœæ porównywaln¹ z
odleg³oœciami miêdzy atomami)

Wtedy ' = AB + BC = 2BC = 2 d sin 2.
Z drugiej strony:
maksimum natê¿enia fali zaobserwuje siê
dla ' = m8

Fizyka Ogólna

Nr Wyk³adu

10

St¹d wynika tzw. warunek Bragga

Wyra¿enie to pozwala znajdowaæ odleg³oœci miêdzyatomowe oraz
strukturê z dyfrakcyjnych obrazów kryszta³ów.

Oczywiœcie p³aszczyzn atomowych w krysztale jest bardzo wiele:

co powoduje, ¿e obrazy dyfrakcyjne
kryszta³ów s¹ skomplikowane.

Dyfrakcja zajdzie niezale¿nie od rodzaju fali:

obraz widoczny powy¿ej zosta³ uzyskany za pomoc¹ mikroskopu
elektronowego:

falami ulegaj¹cymi dyfrakcji s¹ tu funkcje falowe
elektronów a nie fale roentgenowskie.