Wykład czternasty
Temat XIV
Logiki nieklasyczne
Logika modalna
1. Zwroty modalne i ich interpretacje
Rodzaje zdań
1) Zdania asertoryczne to zdania stwierdzające zachodzenie pewnego stanu rzeczy, opisujące fakty.
2) Zdania apodyktyczne stwierdzają natomiast, że tak a tak musi być, stwierdzają konieczność pewnego zdarzenia czy zachowania.
3) Zdania problematyczne konstatują, że tak a tak może być.
Oznaczamy je odpowiednio:
ad 1) p – jest tak, że p ( symbol asercji)
ad 2) p – musi być p (konieczne jest to, że p)
ad 3) ⟡p – może być p (jest możliwe, że p)
Różne interpretacje zwrotów modalnych
Zwroty modalne - tj. zwroty wyrażające sposób (łac. modus) w jaki stwierdzają odnośne fakty: jest konieczne, jest możliwe - są wieloznaczne i w różnych kontekstach przyjmują odmienne znaczenia.
1) interpretacja logiczna
Konieczne jest, że Paweł Rymarz jest uczniem lub nie jest uczniem. (egzemplifikacja tautologii)
Nie jest możliwe, żeby każdy pasażer miał bilet a niektórzy pasażerowie nie mieli biletu. (egzemplifikacja kontrtautologii)
2) interpretacja matematyczna
Przekątne kwadratu muszą przecinać się pod kątem prostym. (prawo geometrii)
Nie jest możliwe, aby w dowolnym trójkącie jeden z jego boków był dłuższy od sumy dwóch pozostałych. (prawo geometrii)
Jest możliwe, że funkcja liniowa f(x) = ax +b nie ma punktu zerowego, tj. że dla żadnego jej argumentu x, nie zachodzi f(x) = 0. (prawo analizy matematycznej)
3) interpretacja probabilistyczna
Jeżeli rzucimy kostką do gry, to musi wypaść liczba oczek równa 1, 2, 3, 4, 5, lub 6.
Jeżeli zagramy w LOTTO, to możemy trafić liczby, które zostaną wylosowane.
(prawa teorii prawdopodobieństwa)
4) interpretacja fizykalistyczna
Wystrzelony pocisk armatni musi spaść na powierzchnię ziemi. (prawo grawitacji)
Światło przechodząc przez ośrodki o różnych gęstościach nie może nie ulec załamaniu.(prawo optyki)
Jest możliwe, że w zimie temperatura nie spadnie poniżej minus15 stopni Celsjusza. (potwierdzona obserwacja metereologiczna)
5) interpretacja analityczna
Jeżeli Paweł jest starszy od Ani a Ania jest starsza od Bogdana, to nie jest możliwe by Bogdan był starszy od Pawła. (prawo teorii relacji i postulaty znaczeniowe języka polskiego)
Jeżeli Krystyna jest siostrą Jerzego, to jest konieczne, że Jerzy jest bratem Krystyny. (prawo teorii relacji, prawda analityczna języka polskiego)
Możliwe jest, że Danuta nie jest ani panną, ani mężatką. (prawda analityczna języka polskiego)
6) interpretacja aksjologiczna
Studenci mogą, ale nie muszą uczęszczać na wykłady. (regulamin uczelni)
Rodzice muszą opiekować się swoimi dziećmi. (norma prawna i etyczna)
Interpretacja aksjologiczna odwołuje się do norm i ocen, do aprobaty bądź dezaprobaty. W takich zdaniach zwrot musi być p znaczy: powinno być p, byłoby źle gdyby p nie zachodziło. Natomiast zwrot może być p znaczy tutaj tyle co: jest dopuszczalne, że nie p, nie byłoby źle gdyby nie zachodziło p.
7) interpretacja tetyczna
Kierowca pojazdu, który znajduje się na jezdni jednokierunkowej, musi poruszać się w kierunku wskazanym przez znaki drogowe. (kodeks drogowy)
Studenci mogą studiować jednocześnie na dwóch różnych kierunkach studiów. (przepisy dotyczące studiowania)
W tej interpretacji zwrot: konieczne jest, że p należy rozumieć następująco: zrealizowanie p jest komuś nakazane przez jakąś normę, a zwrot: możliwe, że p, znaczy: zrealizowanie p nie jest nakazane (nie jest zakazane) przez żadną normę lub przepis.
8) interpretacja psychologiczna
On nie mógł tego zrobić.
Ja muszę to mieć!
Ona mogła tak pomyśleć.
W zdaniach tego rodzaju zwroty musi (jest konieczne) i może (jest dopuszczalne) wyrażają różne stany psychiczne: czyjeś przekonania, zamiary lub postawy.
1.1 Dwa znaczenia zwrotu: jest możliwe
Możliwość jednostronna
Przy możliwości jednostronnej chodzi tylko o to, że może zajść (być) jakieś A, nie zastanawiamy się przy tym, czy może być nie-A. Np.
(a) Jest możliwe, że w przyszłym roku Paweł dostanie się na studia.
Deklarując (a) nie bierzemy pod uwagę możliwości przeciwnej niż możliwość zajścia przewidywanego zdarzenia.
Dla tak rozumianej możliwości zachodzą następujące zależności:
p p
Z tego, że musi być p wynika, że p zachodzi.
p p
Z tego, że jest p wynika, że może być p (Ab esse ad posse).
Obie powyższe implikacje dają razem:
p p
Z tego, że musi być p wynika, że może być p.
Nie zachodzi natomiast wynikanie w kierunku przeciwnym:
p p
p p
p p
Tautologie p p oraz ∼ (p p) wypowiada łącznię scholastyczna formuła (adagium): Ab esse ad posse valet, a posse ad esse non valet consequentia (od być do móc zachodzi wynikanie, od móc do być nie zachodzi)
Możliwość jednostronną można zdefiniować następująco:
p ∼∼p
Możliwość dwustronna
Przy tak rozumianej możliwości mówiąc, że może być A, mamy na myśli i to, że może być A, i to, że może być nie-A. Np.
(a) Możliwe, że jutro pójdę do teatru.
(b) Możliwe, że jutro nie pójdę do teatru.
Deklaracja (a) nie wyklucza tu deklaracji przeciwnej (b) ale dopuszcza ją jako dopełnienie sensu sytuacji postulowanej przez (a). Można więc przedstawić ją następująco:
Możliwe, że jutro pójdę do teatru, ale możliwe jest też, że nie pójdę.
Interpretacja formalna możliwości dwustronnej:
Przyjmujemy, że zachodzi: ⟡p∧⟡~p
Możliwe jest p, a zarazem możliwe jest nie p.
∆p (⟡p∧⟡~p) – możliwość dwustronna
Możliwość dwustronną można też zdefiniować następująco:
∆p ∼p ∧ ∼∼p
Dla ∆ zachodzi: ∆p ≡ ∆~p; przeciwne możliwości są sobie równoważne.
Zależność między koniecznością a tak rozumianą możliwością jest następująca:
p ~∆p
Jeżeli jest konieczne, że p, to nie jest możliwe (możliwość dwustronna), że p (patrz dalej Tw 11).
1. 2. Związki między kategoriami konieczności i możliwości
1) p ≡ ~⟡~p
To, że p jest konieczne, jest równoważne temu, że nie jest możliwe to, że nie p.
2) ⟡p ≡ ~~p
To, że p jest możliwe, jest równoważne temu, że nie jest konieczne to że nie p.
Ponadto, postulatem formalizującym znaczenie zwrotów modalnych jest wzajemne wykluczanie się zachodzenia konieczności dwóch sprzecznych ze sobą stanów rzeczy:
3) ~(p ∧ ~p)
Jest wykluczone (nie jest możliwe), żeby p było konieczne, a zarazem żeby konieczne było nie p.
2. Aksjomatyczny system logiki modalnej
Oznaczenia:
p - konieczne jest to, że p
⟡p - jest możliwe, że p
~p - konieczne jest, że nie-p
⟡~p - jest możliwe, że nie p
~p – nie jest prawdą, że jest konieczne (= nie jest konieczne) to, że p
~⟡p – nie jest prawdą, że jest możliwe (=nie jest możliwe) p
Definicje:
Df 1) ∆p(⟡p∧⟡~p) – możliwość dwustronna
Df 2) ⊡p(p ∨ ~p) – konieczność ‘dwustronna’
W systemie logiki modalnej przyjmujemy następujące aksjomaty :
A1) p ≡ ~⟡~p
A2) ⟡p ≡ ~~p
A3) ~(p ∧ ~p)
oraz prawa (tautologie) i reguły krz.
2. 1. Twierdzenia
W opisie twierdzenia w nawiasach kwadratowych podane są numery tych kątów kwadratu modalnego, a w nawiasach sześciennych sześciokąta modalnego, do których odnosi się dane twierdzenie, p. dalej rys. 1 i rys. 2, resp.
A) Stosunek sprzeczności
Tw 1
p ≡ ~⟡~p
Między koniecznością p a możliwością nie p zachodzi sprzeczność.
Sprzeczność między p a ⟡~p; [(1), (4)], {(1), (4)}
Dow.
1) A1.
Tw 2
~p ≡ ~⟡p
Między koniecznością nie p a możliwością p zachodzi sprzeczność.
Sprzeczność między ~p a ~⟡p; [(2), (3)], {(2), (3)}
Dow.
1) ~p ≡ ~⟡p; A2, prawa KRZ: negowania stron równoważności, podwójnego przeczenia.
Tw 3
⊡p ≡ ~∆p
Zachodzi sprzeczność między koniecznością (‘dwustronną’) p a możliwością (dwustronną) p.
Sprzeczność między ⊡p a ∆p; {(5), (6)}
Dow.
1) ⊡p ≡ (p ∨ ~p); Df 2
2) ⊡p ≡ (~⟡~p ∨ ~⟡p); 1, A1, A2, negacja równoważności
3) ⊡p ≡ ~(⟡~p ∧ ⟡p); 2, pr. de Morgana dla alternatywy
4) ⊡p ≡ ~∆p; Df 1.
B) Stosunek przeciwieństwa
Tw 4
p ~~p
Jeżeli jest konieczne, że p, to nie jest prawdą, że konieczne jest nie p.
Przeciwieństwo między p a ~p; [(1), (2)], {(1), (2)}
Dow.
1) p; zał.
2) ~(p ∧ ~p); A3
3) ~~p; 1,2, mpt, przy p/p, q/~p.
Tw 5
~p ~p
Jeżeli jest konieczne, że nie p, to nie jest prawdą, że p jest konieczne.
Przeciwieństwo między ~p a p ; [(2), (1)], {(2), (1)}
Dow.
1) ~p; zał.
2) ~(p ∧ ~p); A3
3) ~p; 1,2, wersja mpt, przy p/p, q/~p.
Tw 6
p ~∆p
Jeżeli jest konieczne, że p, to nie jest możliwe (możliwość dwustronna), że p.
Przeciwieństwo między p a ∆p ; {(1), (6)}
Dow.
1) p ≡ ~⟡~p; A1
2) (p ~q) [(p ~(r ∧ q)]; KRZ
3) p ~(⟡p ∧ ⟡~p)]; 1, 2, RO przy p/p, q/⟡~p, r/⟡p
4) p ~∆p; 3, Df 1.
Tw 7
∆p ~p
Jeżeli jest jest możliwe (możliwość dwustronna), że p, to nie jest konieczne, że p.
Przeciwieństwo między ∆p a p ; {(6), (1)}
Dow.
1) ⟡p∧⟡~p; zał., Df 1
2) ⟡~p; KRZ, prawo symplifikacji dla koniunkcji
3) ~p; 2, A1.
Tw 8
~p ~∆p
Jeżeli jest konieczne, że nie p, to nie jest prawdą, że p jest możliwe (możliwość dwustronna).
Przeciwieństwo między ~p a ∆p; {(2), (6)}
Dow.
1) ~p ≡ ~⟡p; Tw 2
2) (p ~q) [(p ~(q ∧ r)]; KRZ
3) ~p ~(⟡p ∧ ⟡~p)]; 1, 2, RO przy p/~p, q/⟡p, r/⟡~p
4) p ~∆p; 3, Df 1.
Tw 9
∆p ~~p
Jeżeli jest możliwe (możliwość dwustronna), że p, to nie jest prawdą, że konieczne jest nie p.
Przeciwieństwo między ∆p a ~p ; {(6), (2)}
Dow.
1) ⟡p∧⟡~p; zał., Df 1
2) ⟡p; KRZ, prawo symplifikacji dla koniunkcji
3) ~~p; A2.
B) Stosunek podprzeciwieństwa
Tw 10
~⟡p ⟡~p
Jeżeli nie jest prawdą, że p jest możliwe (jeżeli nie jest możliwe p), to jest możliwe, że nie p.
Podprzeciwieństwo między ⟡p a ⟡~p ; [(3), (4)], {(3), (4)}
Dow.
1) p ≡ ~⟡~p; A1
2) ~p ≡ ~⟡p; Tw 2
3) ~(p ∧ ~p); A3
4) ~(~⟡~p ∧ ~⟡p); RP 3, 1, 2
5) ~(~q ∧ ~p) (~p q); KRZ
6) ~⟡p ⟡~p; 4, 5, RO przy p/⟡p, q/⟡~p.
Tw 11
~⟡~p ⟡p
Jeżeli nie jest prawdą, że możliwe jest nie p (jeżeli nie jest możliwe nie p), to wtedy jest możliwe, że p.
Podprzeciwieństwo między ⟡~p a ⟡p ; [(4), (3)], {(4), (3)}
Dow.
1) ~⟡~p; zał.
2) p; 1, Tw 1
3) ~(p ∧ ~p); A3
4) [∼(p ∧ q) ∧ p] > ∼q; KRZ mpt
5) ~~p; RO przy p/p, q/~p
6) ⟡p; A2.
Tw 12
~⊡p ⟡p
Jeżeli nie jest prawdą, że p jest konieczne (konieczność ‘dwustronna’), to
p jest możliwe.
Podprzeciwieństwo między ⊡p a ⟡p ; {(5), (3)}
Dow.
1) ~(p ∨ ~p); zał., Df 2
2) ~(p ∧ ~p); A3
3) [~(p q) ∧ ~(p ∧ q)] ~q; KRZ
4) ~~p; RP 3,1, 2; RO 3 przy p/p, q/~p
5) ⟡p; A2.
Tw 13
~⟡p ⊡p
Jeżeli nie jest prawdą, że p jest możliwe (jeżeli nie jest możliwe p), to jest konieczne (konieczność ‘dwustronna’), że p.
Podprzeciwieństwo między ⟡p a ⊡p ; {(3), (5)}
Dow.
1) ~p (q ∨ ~p); KRZ, wersja prawa symplifikacji dla alternatywy
2) ~⟡p (p ∨ ~⟡p);1, RP przy p/⟡p, q/p
3) ~⟡p (p ∨ (~p); 2, Tw 2
4) ~⟡p ⊡p; 3, Df 2.
Tw 14
~⊡p ⟡~p
Jeżeli nie jest prawdą, że p jest konieczne (konieczność ‘dwustronna’), to jest
możliwe, że nie p.
Podprzeciwieństwo między ⊡p a ⟡~p; {(5), (4)}
Dow.
1) ~(p ∨ ~p); zał., Df 2
2) ~(p ∧ ~p); A3
3) [~(p q) ∧ ~(p ∧ q)] ~p; KRZ
4) ~p; RP 3,1, 2; RO 3 przy p/p, q/~p
5) ⟡~p; 4, A1, KRZ: pierwsze prawo negowania równoważności.
Tw 15
~⟡~p ⊡p
Jeżeli nie jest prawdą, że jest możliwe nie p (jeżeli nie jest możliwe nie p), to jest konieczne (konieczność ‘dwustronna’), że p.
Podprzeciwieństwo między ⟡~p a ⊡p ; {(4), (5)}
Dow.
1) p (p ∨ q); KRZ, prawo symplifikacji dla alternatywy
2) p (p ∨ ~p);1, RP przy p/⟡p, q/~p
3) p ≡ ~⟡~p; A1)
4) ~⟡~p ⊡p; 2, 3, RZ, Df 2.
D) Stosunek wynikania
Tw 16
p → ⟡p
Jeżeli p (coś) jest konieczne, to p jest także możliwe.
Wynikanie ⟡p z p; [(1), (3)], {(1), (3)}
Dow.
1) ~(p ∧ ~p); A3
2) ~(p ∧ q) → (p → ~q); prawo KRZ
3) p → ~~p; RO1,2, przy: p /p, q/~p
4) p → ⟡p; 3, A2.
Tw 17
~p → ⟡~p
Jeżeli jest konieczne, że nie p, to nie p jest możliwe (możliwość dwustronna).
Wynikanie ⟡~p z ~p ; [(2), (4)], {(2), (4)}
Dow.
1) ~p; zał.
2) ~(p ∧ ~p); A3
3) [~(p ∧ q) ∧ q] → ~p); prawo KRZ wersja mtp
4) [~(p ∧ ~p) ∧ ~p] → ~p; 2, RP przy: p /p, q/~p
5) ~p; RO 1, 2, 4
6) ⟡~p; A1.
Tw 18
p → ⊡p
Jeżeli jest konieczne, że p, to jest konieczne, że p (konieczność ‘dwustronna’).
Wynikanie ⊡p z p; {(1), (5)}
Dow.
1) p → p; prawo KRZ
2) p → (p ∨ ~p); prawo KRZ ( symplifikacji dla alternatywy)
3) p → ⊡p; 2, Df⊡p.
Tw 19
~p → ⊡p
Jeżeli jest konieczne, że nie p, to jest konieczne, że p (konieczność ‘dwustronna’).
Wynikanie ⊡p z ~p; {(2), (5)}
Dow.
1) ~p → ( ~p ∨ p); prawo KRZ ( symplifikacji dla alternatywy, przy p/~p
2) ) ~p → ⊡p; 1, Df⊡p.
Tw 20
∆p → ⟡p
Jeżeli jest możliwe, że p (możliwość dwustronna), to jest możliwe, że p.
Wynikanie ⟡p z ∆p ; {(6), (3)}
Dow.
1) ⟡p∧⟡ ~p; Df 1
2) ) ⟡p∧⟡ ~p →⟡p; prawo KRZ (symplifikacji dla koniunkcji, przy p/⟡p).
Tw 21
∆p → ⟡ ~p
Jeżeli jest możliwe, że p (możliwość dwustronna), to jest możliwe, że nie p.
Wynikanie ⟡~p z ∆p ; {(6), (4)}
Dow.
1) ⟡p∧⟡~p; Df 1
2) ) ⟡p∧⟡~p →⟡~p; prawo KRZ (symplifikacji dla koniunkcji, przy p/⟡~p).
Zestawienie
Twierdzenia: 1, 2; 4, 5; 10, 11; 16, 17 można zestawić w tzw. kwadrat logiczny zdań modalnych:
(1) p ~p (2) (3) ⟡p ⟡~p (4)
Rys. 1 Kwadrat modalny
Ponadto zależności przedstawione w Tw 1, Tw 2 … Tw 21 tworzą razem tzw. sześciokąt modalny:
⊡p (5)
(1) p ~p (2) (3) ⟡p ⟡~p (4) ∆p (6)
Rys. 2 Sześciokąt modalny
wynikanie sprzeczność
przeciwieństwo podprzeciwieństwo
Inne twierdzenia logiki modalnej:
p → p
Jeśli p jest konieczne, to jest konieczne, że p jest konieczne.
Jeśli coś jest konieczne, to jest konieczne, że jest to konieczne.
⟡⟡p → ⟡p
Jeśli jest możliwe, że p jest możliwe, to p jest to możliwe.
Jeśli jest możliwe, że coś jest możliwe, to jest to możliwe.
⟡p → ⟡p
Jeśli p jest możliwe, to jest konieczne, że p jest możliwe.
Jeśli coś jest możliwe, to jest konieczne, że jest to możliwe.
p → ⟡p
Jeśli zachodzi p, to jest konieczne, że p jest możliwe.
Jeśli coś zachodzi, to konieczne jest, że jest to możliwe.
⟡p → p
Jeśli jest możliwe, że p jest konieczne, to p.
Co może być konieczne, zachodzi rzeczywiście.
3. Implikacja a logika modalna
Różne znaczenia okresu warunkowego jeżeli p, to q:
1) z tego, że p, wynika to, że q - inferencyjne
2) to, że (zachodzi) p, jest przyczyną tego, że q - kauzalne
3) nie jest możliwe, że p i nie q - modalne
4) nieprawda, że p i nie q - aletyczne
W prawach i schematach klasycznego rachunku zdań prawomocne jest tylko znaczenie (4).
Osobliwości implikacji:
| p | q | p → q |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 ! |
| 0 | 0 | 1 ! |
W krz poprawnym znaczeniem implikacji (tzw. implikacją materialną) jest 4-te z w/w: nieprawda, że p i nie q.
p → q ~(p ∧ ~q)
Za pomocą środków logiki modalnej możemy zdefiniować 3-cie z w/w znaczeń: nie jest możliwe, że p i nie q.
p ⇒ q ~⟡(p ∧ ~q)
Jest to tzw. implikacja ścisła. Można zapisać ją równoważnie jako:
p ⇒ q ~(p ∧ ~q), na podstawie Tw. 2, a także:
p ⇒ q (p →q); na podstawie prawa KRZ: ~(p ∧ ~q) ≡ (p → q).
Ostatni zapis oznacza, że implikacja ścisła jest koniecznością zajścia implikacji materialnej.
Addenda
Logiki modalne
Logiki modalne najwcześniej metodą współczesną opracował logik amerykański C.I. Lewis budując (od 1918 r.) systemy tzw. ścisłej implikacji. Inspiracja prowadząca do ich budowy była następująca. Autorzy Principia Mathematica, Russell i Whitehead, implikację p → q
odczytywali: z p wynika q. Nie odróżniano wtedy języka i metajęzyka, nie zdawano sobie sprawę z tego, że wyraz „wynika” jest funktorem zdaniotwórczym od argumentów nazwowych, a zmienne p, q są przecież zmiennymi zdaniowymi. Dla implikacji materialnej ważne są następujące prawa:
∼ p → (p → q), q → (p → q), (p → q) ∨ (q → p)
Dwa pierwsze z nich są zwane paradoksami implikacji materialnej. Utożsamiając prawdziwość implikacji z zachodzeniem stosunku wynikania między jego członami, dochodzi się do takich szokujących twierdzeń, jak: ze zdania fałszywego wynika dowolne zdanie; zdanie prawdziwe wynika z dowolnego zdania; pierwsze z dwóch dowolnych zdań wynika z drugiego lub drugie z nich wynika z pierwszego. Przeciwstawiając się takiemu sposobowi rozumienia stosunku wynikania, postanowił Lewis zbudować system, w którym wystąpi implikacja lepiej odpowiadająca stosunkowi wynikania.
Definicja implikacji ścisłej
Przyjmując jako terminy pierwotne funktory negacji, koniunkcji i funktor możliwości ⟡, definiuje Lewis taką implikację, zwaną przezeń ścisłą, w następujący sposób:
p ⇒ q ~⟡(p ∧ ~ q)
Takie rozumienie implikacji zostało zresztą po raz pierwszy sformułowane już w starożytności, w czasie bardzo żywych wówczas sporów o sposób jej rozumienia. Dla tak określonej ścisłej implikacji nie są ważne odpowiedniki podanych powyżej praw dotyczących implikacji materialnej. Lewis podaje dwa sposoby odczytywania wyrażeń swego systemu: pierwszy jest dokonany w języku przedmiotowym, a drugi jest metasystemowy. Przy tym drugim sposobie wyrażenie p ⇒ q odczytuje się: z p wynika ściśle q (lub też: z p jest wyprowadzalne q), wyrażenie ⟡p odczytuje się p jest niesprzeczne itp. Należy zaznaczyć, że ta interpretacja metalogiczna straciła na aktualności z chwilą odróżnienia języka i metajęzyka oraz sformułowania w metajęzyku definicji wynikania logicznego, przy której jest widoczne, że prawdziwość odpowiedniej implikacji jest wprawdzie warunkiem koniecznym, ale nie jest warunkiem wystarczającym zachodzenia stosunku wynikania logicznego.
Systemy implikacji ścisłej Lewisa (S1 - S5)
Metodą aksjomatyczną zbudował Lewis pięć systemów ścisłej implikacji, oznaczanych w literaturze jako systemy S1, S2, S3, S4, S5. Każdy następny z nich jest rozszerzeniem poprzedniego. Za pomocą funktorów negacji i koniunkcji można w tych systemach zdefiniować funktor implikacji materialnej i w konsekwencji system klasycznego rachunku zdań otrzymuje się jako fragment systemów ścisłej implikacji. Ta okoliczność pozwoliła następnie zbudować systemy Lewisa jako systemy nadbudowane nad klasycznym rachunkiem zdań, powstające zeń przez dołączenie nowych terminów, aksjomatów i reguł.
Szczególnie proste jest ujęcie tego rodzaju podane dla systemów S4 i S5 przez K. Gödla. Do terminów pierwotnych klasycznego rachunku zdań dołącza się funktor konieczności . Wyrażenie p czyta się: jest konieczne, że p.
Dla systemu S4 przyjmuje się dodatkowe aksjomaty modalne:
1) p → p
2) (p → q) → (p → q)
3) p → p
oraz regułę : Jeśli ⊢ φ, to ⊢ ‘φ’.
Dla systemu S5 przyjmuje się dodatkowe aksjomaty modalne:
1) p → p
2) (p → q) → (p → q)
3) ~p → ~p
oraz regułę : Jeśli ⊢ φ, to ⊢ ‘φ’.
Funktor możliwości można wprowadzić za pomocą definicji:
⟡p ~~ p
a ścisłą implikację za pomocą definicji:
p ⇒ q ( p → q)
L. Borkowski Wprowadzenie do logiki i teorii mnogości, ss. 205 - 208
Inne systemy logiki modalnej
Systemy Feysa (T) i von Wrighta (M)
Pomijając w aksjomatyce Gödla dla systemu S4 trzeci aksjomat, otrzymuje się system T pochodzący od Feysa. System ten, nadbudowany nad klasycznym rachunkiem zdań, mający jako pierwotny termin modalny funktor konieczności L, oparty jest na aksjomatach:
1) Lp → p
2) L(p → q) → (Lp → Lq)
3) ~p → ~p
oraz na regule: Jeśli ⊢ φ, to ⊢ ‘Lφ’.
System T wzbogacony o definicję: Mp ~L ~p jest równoważny systemowi M von Wrighta, w którym to systemie terminem pierwotnym jest funktor możliwości M, funktor konieczności L wprowadza się za pomocą definicji: Lp ~M ~ p. Jest on oparty na aksjomatach:
1) p → Mp
2) M(p ∨ q) ≡ Mp ∨ Mq
oraz na regułach:
Jeśli ⊢ φ, to ⊢ ‘Lφ’.
Jeśli ⊢ ‘φ ψ’, to ⊢ ‘Mφ Mψ’.
Jeśli ⊢ φ, to ⊢ ‘Lφ’.
Jeśli ⊢ φ, to ⊢ ‘Lφ’.
System T jest zawarty w S4 i zawiera S2, ale jest różny od systemu S3.
Za pomocą modalnych pojęć systemów Lewisa można formułować zdania o obustronnej możliwości: ⟡p ∧ ⟡~p, o których mówił Łukasiewicz, ale - w odróżnieniu od logiki trójwartościowej Łukasiewicza - dowodzi się w nich nie tylko, że:
~ (p ∧ ~p), ale też
~ ⟡(p ∧ ~p), a także, że:
(p ∨ ~p).
Funktory ⟡, nie są w tych systemach modalnych ekstensjonalne, gdyż tezami tych systemów nie są wyrażenia:
(p ≡ q) → (⟡p ≡ ⟡q), (p ≡ q) → (p ≡ q).
Istnieją obecnie różne systemy, w których precyzuje się różny sens terminów modalnych. Nad modalnymi rachunkami zdań nadbudowuje się modalne rachunki predykatów z identycznością.
System mocnej implikacji Ackermanna
Dążąc do wprowadzenia jeszcze ściślejszej implikacji niż implikacja ścisła, W. Ackermann zbudował system nazwany przezeń systemem mocnej implikacji.
W systemie Ackermanna nie jest tezą żadna implikacja, w której poprzednik i następnik nie mają żadnej wspólnej zmiennej. A więc np. tezami tego systemu nie są wyrażenia:
q → (p → p), p ∼p → q,
których odpowiedniki zapisane za pomocą znaku ścisłej implikacji są tezami systemu ścisłej implikacji.
Warunek wymagający, by istniał związek między poprzednikiem i następnikiem implikacji będącej tezą, co formalnie wyraża się w przyjęciu, że istnieje zmienna, która występuje zarówno w poprzedniku, jak i w następniku takiej implikacji, nazywa się warunkiem relewancji.
System of entailment Andersona i Belnapa
Nawiązując do koncepcji Ackermanna, A. R. Anderson i N. D. Belnap zbudowali system, który oznacza się jako system of entailment (relacja oznaczana nazwą entailment jest odwróceniem relacji wynikania).
Autorzy przyjmują przy budowie swego systemu oprócz warunku relewancji jeszcze następujący warunek:
Implikacja stwierdza związek konieczny, a zdanie stwierdzające taki związek nie może implikować zdania przypadkowego (nie stwierdzającego związku koniecznego).
Z uwagi na ten drugi warunek tezą tego systemu nie jest np. wyrażenie:
p → [ (p → p) → p],
gdyż z niego wynikałoby, że jeśli zdanie p jest przypadkowe, to jest ono implikowane przez zdanie konieczne: p → p.
Tezami tego systemu, podobnie jak systemu Ackermanna, nie są - z uwagi na warunek relewancji - np. wyrażenia:
q → (p → p), p ∼p → q.
Tezami systemu Andersona i Belnapa nie są też np. wyrażenia:
∼⟡p → (p → q), q → (p → q),
których odpowiedniki zapisane za pomocą znaku ścisłej implikacji są tezami systemu ścisłej implikacji i noszą nazwę paradoksów ścisłej implikacji.
Anderson i Belnap zbudowali swój system zarówno metodą aksjomatyczna, jak też opartą na specjalnie dobranych regułach dowodu gwarantujących spełnienie warunku relewancji.