$

"

Logika

Tematyka kolokwium nr 3

dr Tomasz Kowalski

Tomasz Kowalski – Logika. Tematyka kolokwium nr 3

Slajd nr 2 / 22

$

"

Zadanie 1

Dziedzina: osoby
K(x) – x jest kobietą,

T(x) – x jest matką,

M(x) – x

jest mężczyzną,
O(x) – x jest ojcem,

S(x)– x nosi spódnice, R(x) – x

nosi krawat.
M(x,y) - x jest mądrzejszy niż y.

Zdanie:

~ x [ M(x)  O(x) ]

Nie każdy mężczyzna jest ojcem.

Dokonać symbolizacji następujących zdań w oparciu
o legendę:

Nieprawda, że dla każdego x, jeżeli x jest mężczyzną, to
x jest ojcem.

Tomasz Kowalski – Logika. Tematyka kolokwium nr 3

Slajd nr 3 / 22

$

"

Zadanie 1

Dziedzina: osoby
K(x) – x jest kobietą,

T(x) – x jest matką,

M(x) – x

jest mężczyzną,
O(x) – x jest ojcem,

S(x)– x nosi spódnice, R(x) – x

nosi krawat.
M(x,y) - x jest mądrzejszy niż y.

Zdanie:

 x [ K(x)  ( S(x)  R(x) )]

Pewna kobieta nosi spódnice i krawat.

Dokonać symbolizacji następujących zdań w oparciu
o legendę:

Istnieje x takie, że x jest kobietą i x nosi spódnice i x
nosi krawat.

Tomasz Kowalski – Logika. Tematyka kolokwium nr 3

Slajd nr 4 / 22

$

"

Zadanie 1

Dziedzina: osoby
K(x) – x jest kobietą,

T(x) – x jest matką,

M(x) – x

jest mężczyzną,
O(x) – x jest ojcem,

S(x)– x nosi spódnice, R(x) – x

nosi krawat.
M(x,y) - x jest mądrzejszy niż y.

Zdanie:

 x [ O(x)  y ( T(y)  M(x,y) ) ]

Pewien ojciec jest mądrzejszy od

wszystkich matek.

Dokonać symbolizacji następujących zdań w oparciu
o legendę:

Istnieje x takie, że x jest ojcem takim, że dla każdego y
jeżeli y jest matką, to x jest mądrzejszy od y.

Tomasz Kowalski – Logika. Tematyka kolokwium nr 3

Slajd nr 5 / 22

$

"

Zadanie 2

Zapisać schemat zdania: Nie każdy znany muzyk jest

artystą.

Dziedzina:
ludzie

Z(x) – x jest

z

nany M(x) – x jest

m

uzykiem A(x) -

x jest

a

rtystą

~ x [ ( Z(x)  M(x) )  A(x) ]

Tomasz Kowalski – Logika. Tematyka kolokwium nr 3

Slajd nr 6 / 22

$

"

Zadanie 2

Zapisać schemat zdania: Każdy kogoś kocha.

Dziedzina:
ludzie

K(x,y) – x kocha y.

x  y K(x,y)

Tomasz Kowalski – Logika. Tematyka kolokwium nr 3

Slajd nr 7 / 22

$

"

Zadanie 2

Zapisać schemat zdania: Każdy student lubi jakiegoś

wykładowcę.

Dziedzina:
ludzie

S(x) – x jest studentem W(y) – y jest wykładowcą
L(x,y) – x lubi y.

x [S(x)   y ( W(y) 

L(x,y) ) ]

Tomasz Kowalski – Logika. Tematyka kolokwium nr 3

Slajd nr 8 / 22

$

"

Zadanie 3a

Wykazać, że formuła:

x [ P(x)  y R(x,y) ]

nie jest tautologią ani kontrtatologią.

Aby wykazać, że formuła nie jest tautologią należy
zbudować kontrmodel dla tej formuły wskazując
zbiór U, pewną własność w tym zbiorze oraz
relację tak, aby

fałszywe

było zdanie:

Dla każdego obiektu posiadającego własność P,
można wskazać obiekt y, z którym jest on w pewnej
relacji R .

Przyjmijmy: U – zbiór ludzi, P(x) – x jest studentem,
R(x,y) – x jest

mężem y.

Zdanie: Każdy student jest żonaty jest fałszywe.

Tomasz Kowalski – Logika. Tematyka kolokwium nr 3

Slajd nr 9 / 22

$

"

Zadanie 3a

Wykazać, że formuła:

x [ P(x)  y R(x,y) ]

nie jest tautologią ani kontrtatologią.

Aby wykazać, że formuła nie jest kontrtautologią
należy zbudować model dla tej formuły wskazując
zbiór U, pewną własność w tym zbiorze oraz relację
tak, aby

prawdziwe

było zdanie:

Dla każdego obiektu posiadającego własność P,
można wskazać obiekt y, z którym jest on w pewnej
relacji R .

Przyjmijmy: U – zbiór ludzi, P(x) – x jest studentem,
R(x,y) – x jest

dzieckiem y.

Zdanie: Każdy student jest czyimś dzieckiem jest
prawdziwe.

Tomasz Kowalski – Logika. Tematyka kolokwium nr 3

Slajd nr 10 / 22

$

"

Zadanie 3a

Wykazać, że formuła:

x [ P(x)  y R(x,y) ]

nie jest tautologią ani kontrtatologią.

Ponieważ znaleźliśmy interpretację, przy której
formuła jest zdaniem prawdziwym i interpretację,
przy której formuła jest fałszywa, to tym samym
wykazaliśmy, że badana formuła nie jest ani
tautologią ani kontrtautologią.

Tomasz Kowalski – Logika. Tematyka kolokwium nr 3

Slajd nr 11 / 22

$

"

Zadanie 3b

Wykazać, że zawodna jest reguła:

x P(x), x Q(x)

———————

x (P(x)  Q(x))

Istnieje obiekt posiadający własność P - to ma być
prawda. Istnieje obiekt posiadający własność Q - to
ma być prawda.

Istnieje obiekt posiadający obie własności naraz - to
ma być fałsz.

Przyjmijmy: U – zbiór liczb, P(x) – x jest parzysta,
Q(x) – x jest nieparzysta .

Istnieje liczba parzysta - to jest

prawda

.

Istnieje liczba nieparzysta - to jest

prawda.

Istnieje liczba jednocześnie parzysta i nieparzysta -
to jest

fałsz

.

Tomasz Kowalski – Logika. Tematyka kolokwium nr 3

Slajd nr 12 / 22

$

"

Zadanie 3b

Wykazać, że zawodna jest reguła:

x P(x), x Q(x)

———————

x (P(x)  Q(x))

Ponieważ znaleźliśmy strukturę, dla której w
powyższym schemacie przesłanki jest
prawdziwe, a wniosek fałszywy, to badany
schemat wnioskowania jest zawodny.

Tomasz Kowalski – Logika. Tematyka kolokwium nr 3

Slajd nr 13 / 22

$

"

Zadanie 4a

Sprawdzić, jakie zachodzą stosunki między
następującymi zbiorami:
A – zbiór studentów prawa,
B – zbiór studentów,
C – zbiór studentów dziennych,
D – zbiór studentów matematyki.

A 

B,

A #
C,

A )( D lub A #
D,

C  B, D  B,

C # D.

Tomasz Kowalski – Logika. Tematyka kolokwium nr 3

Slajd nr 14 / 22

$

"

Zadanie 4b

Określić zależności pomiędzy następującymi
zbiorami:
A – zbiór studentów, którzy zdali logikę na
5,
B – zbiór studentów, którzy zdali logikę na
3,
C – zbiór studentów leniwych,
D – zbiór, którego elementami są zbiory
studentów, którzy zdali logikę na taką samą
ocenę.

A )( B
A # C,

A )( D i A  D,
B # C,

B )( D i B  D,

C )( D.

Tomasz Kowalski – Logika. Tematyka kolokwium nr 3

Slajd nr 15 / 22

$

"

Zadanie 5

x  [(A  B) – C]  x  [(A – B )  (B – C)]

[(x  A  x  B)  ~ (x  C)]  [(x  A  ~ (x  B ))  (x  B  ~ (x

 C))]

[x  (A  B)  ~ (x  C)]  [x  (A – B )  x  (B – C)]

Sprawdzić, czy prawem rachunku zbiorów jest

wyrażenie: [(A  B) – C]  [(A – B )  (B – C)]

Po podstawieniu zmiennej p za x  A, q za x  B

oraz r za x  C otrzymamy:

[(p  q)  ~ r]  [(p  ~ q)  (q  ~ r)]

Tomasz Kowalski – Logika. Tematyka kolokwium nr 3

Slajd nr 16 / 22

$

"

Zadanie 5

Zbadamy przy pomocy metody skróconej, czy
formuła:

[(p  q)  ~ r]  [(p  ~ q)  (q  ~ r)]

jest tautologią.

[(p  q)  ~ r]  [(p  ~ q)  (q  ~

r)]

0

1

0

1

1

1

1

0

Sprawdzimy, czy formuła może stać się
schematem zdania fałszywego, stawiając pod
głównym spójnikiem 0.

Ponieważ istnieje przypadek, w którym formuła jest
schematem zdania fałszywego, to nie jest ona
tautologią. Tym samym badane wyrażenie

nie jest

prawem rachunku zbiorów.

1

1

1

0

0

0

1

1

Tomasz Kowalski – Logika. Tematyka kolokwium nr 3

Slajd nr 17 / 22

$

"

Zadanie 6

P(R) – zbiór wszystkich mężczyzn posiadających
rodzeństwo lub ludzi posiadających brata.

Określić dziedzinę lewostronną i prawostronną oraz
pole relacji. Ustalić stosunek, jaki zachodzi między
dziedzinami jednostronnymi relacji:

xRy – x jest bratem
y

D

L

(R) – zbiór wszystkich mężczyzn posiadających

rodzeństwo.

D

P

(R) – zbiór wszystkich ludzi

posiadających brata.

D

L

(R) #

D

P

(R)

Tomasz Kowalski – Logika. Tematyka kolokwium nr 3

Slajd nr 18 / 22

$

"

Zadanie 7

Zbadać własności formalne określonej w zbiorze
wszystkich ludzi relacji bycia bratem:

xRy  x jest bratem y.

R jest zwrotna  x (xRx).

R jest przeciwzwrotna  x ~

(xRx).

Nikt nie jest swoim własnym bratem, więc jest to relacja
przeciwzrotna.

Tomasz Kowalski – Logika. Tematyka kolokwium nr 3

Slajd nr 19 / 22

$

"

Zadanie 7

Zbadać własności formalne określonej w zbiorze
wszystkich ludzi relacji bycia bratem:

xRy  x jest bratem y.

Ponieważ może być tak, że jedna osoba jest bratem
drugiej, a druga bratem pierwszej, ale może być też
tak, że jedna jest bratem drugiej, a druga nie jest
bratem pierwszej (bo jest siostrą), oznacza to, że
nasza relacja nie jest ani symetryczna, ani
asymetryczna, ani słabo asymetryczna.

R jest symetryczna  xy (xRy 

yRx).

R jest asymetryczna  xy (xRy  ~

yRx).

R jest słabo asymetryczna  xy [(x



y 

xRy)  ~ yRx].

Tomasz Kowalski – Logika. Tematyka kolokwium nr 3

Slajd nr 20 / 22

$

"

Zadanie 7

Zbadać własności formalne określonej w zbiorze
wszystkich ludzi relacji bycia bratem:

xRy  x jest bratem y.

Nasza relacja nie jest przechodnia.

R jest przechodnia  xyz [(xRy  yRz)

 xRz].

Tomasz Kowalski – Logika. Tematyka kolokwium nr 3

Slajd nr 21 / 22

$

"

Zadanie 7

Zbadać własności formalne określonej w zbiorze
wszystkich ludzi relacji bycia bratem:

xRy  x jest bratem y.

Nie jest to relacja spójna.

R jest spójna  xy [x



 y  (xRy

 yRx)].

Tomasz Kowalski – Logika. Tematyka kolokwium nr 3

Slajd nr 22 / 22

$

"