dr Agnieszka Bobrowska

1

Ekonomia matematyczna II

Wykład 7

Modele optimum ekonomii (gospodarki)

7.1. Ekonomia i jej stany

1

Na rynku wyst

ę

puj

ą

dwie podstawowe grupy podmiotów gospodarczych. Pierwsz

ą

z tych grup

stanowi

ą

producenci, których działanie polega na wyborze i wykonaniu planu produkcji, tj. okre

ś

leniu

wielko

ś

ci wej

ś

ciowych i wyj

ś

ciowych dla ka

ż

dego asortymentu towaru. Zakłada si

ę

,

ż

e działanie

producenta podlega ograniczeniom i

ż

e przy danym poziomie cen zdecyduje si

ę

on na taki plan

produkcji, który pozwoli zmaksymalizowa

ć

jego zysk. Przez zysk producenta rozumie si

ę

ró

ż

nic

ę

mi

ę

dzy sum

ą

wszystkich jego przychodów i sum

ą

poniesionych przez niego wydatków.

Podsumowuj

ą

c pod poj

ę

ciem producenta rozumie si

ę

podmiot gospodarczy, którego działalno

ść

polega na wykonaniu planu produkcji w celu maksymalizacji zysku.

Drug

ą

grup

ę

podmiotów gospodarczych stanowi

ą

konsumenci. Konsumenci dokonuj

ą

wyborów

towarów, a wybrane przez nich towary maj

ą

słu

ż

y

ć

wył

ą

cznie celom konsumpcyjnym. W przypadku

konsumentów mówimy,

ż

e dokonuj

ą

wyboru planu konsumpcji. Nale

ż

y podkre

ś

li

ć

,

ż

e wybory

konsumenta s

ą

ograniczone przez jego własno

ś

ci psychofizyczne oraz przez jego bud

ż

et, nie mo

ż

e

on bowiem przeznaczy

ć

na zakup towarów wi

ę

cej ni

ż

wynosz

ą

jago zasoby pieni

ęż

ne. Konsument

dokonuje wyboru takiego planu konsumpcyjnego, na który przy danych ograniczeniach mo

ż

e sobie

pozwoli

ć

i który w jego przekonaniu jest optymalny ze wzgl

ę

du na skal

ę

jego preferencji.

Przyjmuje si

ę

,

ż

e w gospodarce działa

n

producentów i

m

konsumentów. Plan produkcyjny j-tego

producenta (

n

j

,...,

2

,

1

=

) jest reprezentowany przez wektor

j

y

przestrzeni towarów

l

R

(

l

j

R

y

∈

),

który składa si

ę

zarówno z wektora wej

ść

(warto

ś

ci ujemne) jak i wektora wyj

ść

(warto

ś

ci dodatnie).

Zbiór wszystkich planów produkcji mo

ż

liwych do osi

ą

gni

ę

cia ze wzgl

ę

du na dost

ę

pn

ą

dla j-tego

producenta technologi

ę

nazywa si

ę

jego zbiorem produkcji i oznacza przez

j

Y

. Punkty tego zbioru

j

j

Y

y

∈

nazywa si

ę

poda

żą

j-tego producenta.

Plan konsumpcji i-tego konsumenta (

m

i

,...,

2

,

1

=

) opisuje z kolei wektor

i

x

z przestrzeni towarów

l

R

(

l

i

R

x

∈

), przy czym odwrotnie ni

ż

w przypadku producenta jego warto

ś

ci dodatnie interpretuje

si

ę

jako wej

ś

cia, a warto

ś

ci ujemne jako wyj

ś

cia. Zbiór mo

ż

liwych do osi

ą

gni

ę

cia przez i –tego

konsumenta planów konsumpcyjnych nazywa si

ę

jego zbiorem konsumpcji i oznacza przez

i

X

.

Elementy tego zbioru

i

i

X

x

∈

nazywa si

ę

popytem i-tego konsumenta. Preferencje i-tego

konsumenta okre

ś

la si

ę

przy u

ż

yciu relacji preferencji

i

~

p

.

Zanim wprowadzimy poj

ę

cie ekonomii i omówimy stany ekonomii, wyja

ś

nimy czym s

ą

zasoby

całkowite ekonomii.

1

Wykład opracowano na podstawie A. Malawski: Wprowadzenie do ekonomii matematycznej, Wydawnictwo

Akademii Ekonomicznej w Krakowie, Kraków 1999, rozdział 5

dr Agnieszka Bobrowska

2

Ekonomia matematyczna II

Zasoby całkowite ekonomii

to ilo

ś

ci towarów dane a priori, dost

ę

pne dla podmiotów

gospodarczych lub te

ż

przez nie udost

ę

pniane w wyniku prowadzonej przez te podmioty

działalno

ś

ci.

Aby odró

ż

ni

ć

rodzaje towarów wyst

ę

puj

ą

cych na rynku, do wyra

ż

enia ilo

ś

ci towarów danych do

dyspozycji podmiotów (wej

ś

cia) u

ż

ywa si

ę

dodatnich liczb rzeczywistych, z kolei ilo

ś

ci towarów

udost

ę

pnianych przez te podmioty (wyj

ś

cia) wyra

ż

a si

ę

w liczbach ujemnych. Zasoby całkowite

obejmuj

ą

dost

ę

pny w danej chwili cały kapitał ekonomii, tj. nieruchomo

ś

ci, zło

ż

a surowcowe,

urz

ą

dzenia, zapasy itp.

Zasoby całkowite opisuje wektor

ω

nale

żą

cy do przestrzeni towarów

l

R

.

Zatem przyjmuj

ą

c,

ż

e działania konsumentów da si

ę

opisa

ć

za pomoc

ą

niepustych zbiorów

konsumpcji

l

i

R

X

⊂

i relacji preferencji

i

~

p

dla ka

ż

dego

{

}

m

i

,...,

2

,

1

∈

, działania producentów za

pomoc

ą

zbiorów produkcji

l

j

R

Y

⊂

(

{

}

n

j

,...

2

,

1

∈

), a zasoby całkowite s

ą

dane przez punkt

l

R

∈

ω

,

mo

ż

emy zdefiniowa

ć

poj

ę

cie ekonomii:

Układ:

( )

( )

(

)

ϖ

,

,

,

~

j

i

i

Y

X

E

f

=

nazywamy

ekonomi

ą

.

Stan ekonomii okre

ś

la si

ę

przez podanie planu działania ka

ż

dego konsumenta oraz planu produkcji

ka

ż

dego producenta. Zatem stan ekonomii

E

mo

ż

na opisa

ć

za pomoc

ą

(

)

n

m

+

- elementowego

ci

ą

gu

( )

( )

(

)

j

i

y

x

,

punktów w przestrzeni towarów

l

R

.

Dla okre

ś

lonego stanu

( )

( )

(

)

j

i

y

x

,

ekonomii

E

ró

ż

nic

ę

:

∑

∑

=

=

−

=

−

n

j

j

m

i

i

y

x

y

x

1

1

nazywamy

popytem netto

.

Uwaga:

Wektor

y

x

−

zawiera zarówno współrz

ę

dne dodatnie oznaczaj

ą

ce wej

ś

cia, jak i warto

ś

ci ujemne

oznaczaj

ą

ce wyj

ś

cia i przedstawia wynik netto działalno

ś

ci wszystkich podmiotów gospodarczych.

Dla okre

ś

lonego stanu

( )

( )

(

)

j

i

y

x

,

ekonomii

E

punkt:

ω

−

−

=

y

x

z

;

l

R

z

∈

dr Agnieszka Bobrowska

3

Ekonomia matematyczna II

nazywamy

popytem nadwy

ż

kowym

.

Popyt nadwy

ż

kowy opisuje nadwy

ż

k

ę

popytu netto

y

x

−

nad zasobami całkowitymi

ω

.

Stan

( )

( )

(

)

j

i

y

x

,

ekonomii

E

, dla którego popyt nadwy

ż

kowy wynosi zero, czyli gdy popyt netto

wszystkich podmiotów gospodarczych równa si

ę

zasobom całkowitym ekonomii:

ω

=

−

y

x

nazywamy

równowag

ą

rynkow

ą

.

Uwaga:

1. Dla danej ekonomii

E

mo

ż

e istnie

ć

wi

ę

cej ni

ż

jeden stan równowagi rynkowej.

2. Symbolicznie zbiór wszystkich równowag dla ekonomii

E

zapisujemy w postaci zbioru:

( )

( )

(

)













=

−

∈

=

∑

∑

=

=

+

ω

n

j

j

m

i

i

n

m

l

j

i

y

x

R

y

x

M

1

1

)

(

:

,

.

7.2. Ekonomia z własno

ś

ci

ą

prywatn

ą

2

W celu wyprowadzenie poj

ę

cia ekonomii z własno

ś

ci

ą

prywatn

ą

konieczne jest wprowadzenie

dodatkowych zało

ż

e

ń

oraz omówienie podstawowych cech tej kategorii.

W ekonomii z własno

ś

ci

ą

prywatn

ą

jedynymi wła

ś

cicielami zasobów całkowitych s

ą

konsumenci,

dzi

ę

ki czemu posiadaj

ą

całkowit

ą

kontrol

ę

nad producentami. Inaczej oznacza to,

ż

e i-ty konsument

znajduje si

ę

w posiadaniu

l

i

R

∈

ω

zasobów całkowitych

ω

oraz

ż

e ma swoje udziały w zyskach

producentów, przy czym

∑

=

=

m

i

i

1

ω

ω

.

Wielko

ść

i

ω

dana jest a priori i okre

ś

la ilo

ś

ci towarów, które s

ą

do dyspozycji i-tego konsumenta,

b

ą

d

ź

które i-ty konsument udost

ę

pnia producentom przez swoj

ą

działalno

ść

.

Przez

ij

θ

oznacza si

ę

udział i-tego konsumenta w zyskach j-tego producenta, przy czym

R

ij

∈

θ

,

0

≥

ij

θ

oraz

∑

=

=

m

i

ij

1

1

θ

dla ka

ż

dego

n

j

,...,

2

,

1

=

. Pozostałe zało

ż

enia o producentach

i konsumenta s

ą

takie jak w poprzednim podrozdziale.

Ekonomi

ą

z własno

ś

ci

ą

prywatn

ą

E

~

nazywamy układ:

2

Wykład opracowano na podstawie A. Malawski: Wprowadzenie do ekonomii matematycznej, Wydawnictwo

Akademii Ekonomicznej w Krakowie, Kraków 1999, rozdział 5

dr Agnieszka Bobrowska

4

Ekonomia matematyczna II

( )

( )

(

)

ij

i

j

i

i

Y

X

E

θ

ω

,

,

,

,

~

~

f

=

,

o ile:

1. Układ

( )

( )

(

)

ϖ

,

,

,

~

j

i

i

Y

X f

, gdzie

∑

=

=

m

i

i

1

ω

ω

jest ekonomi

ą

E

,

2.

m

i

,...,

2

,

1

=

∀

,

n

j

,...,

2

,

1

=

∀

(

)

0

≥

ij

θ

oraz

n

j

,...,

2

,

1

=

∀













=

∑

=

m

i

ij

1

1

θ

.

Kiedy wiemy ju

ż

czym jest ekonomia z własno

ś

ci

ą

prywatn

ą

, mo

ż

emy przyst

ą

pi

ć

do omówienia

sposobu jej działania.

Zakładamy,

ż

e dany jest wska

ź

nik poziomu cen

l

R

p

∈

oraz

ż

e producenci maksymalizuj

ą

swoje

zyski na zbiorze produkcji

{ }

j

j

Y

Y

U

=

, przy dost

ę

pnych dla siebie technologiach produkcji.

Przyjmijmy,

ż

e plan produkcyjny maksymalizuj

ą

cy zyski j-tego producenta, to plan

j

j

Y

y

∈

, a jego

wielko

ść

mierzy si

ę

funkcj

ą

zysku:

j

j

y

p

p

,

)

(

=

π

.

Cały zysk j-tego producenta wielko

ś

ci

)

( p

j

π

, zgodnie z zało

ż

eniami ekonomii z własno

ś

ci

ą

prywatn

ą

,

zostaje podzielony mi

ę

dzy konsumentów. Zatem warto

ść

maj

ą

tku i-tego konsumenta wyra

ż

a si

ę

nast

ę

puj

ą

co:

)

(

1

p

p

w

n

j

j

ij

i

i

∑

=

+

=

π

θ

ω

.

Celem i-tego konsumenta jest maksymalizacja swoich preferencji przy danym ograniczeniu

bud

ż

etowym

i

w

. Przyjmijmy,

ż

e optymalny plan konsumpcji i-tego konsumenta na zbiorze

i

X

, to

plan

i

x

. Ekonomia z własno

ś

ci

ą

prywatn

ą

E

~

znajduje si

ę

w stanie ogólnej równowagi

konkurencyjnej, je

ż

eli wszystkie optymalne działania podmiotów gospodarczych

j

i

y

x

,

spełniaj

ą

warunek równowagi rynkowej. Oznacza to,

ż

e przy ustalonym poziomie cen

p

i działaniach innych

uczestników rynku,

ż

aden podmiot gospodarczy nie ma motywacji do zmiany swojego

dotychczasowego planu działania, a tak

ż

e,

ż

e stan ekonomii

( )

( )

(

)

j

i

y

x

,

to stan równowagi rynkowej.

Ci

ą

g punktów

( ) ( )

(

)

*

*

*

,

,

p

y

x

j

i

w przestrzeni towarów

l

R

tworzy

stan ogólnej równowagi

konkurencyjnej Walrasa

, je

ż

eli spełnione s

ą

nast

ę

puj

ą

ce warunki:

dr Agnieszka Bobrowska

5

Ekonomia matematyczna II

(I)

{

}

m

i

,...,

2

,

1

∈

∀

*

i

x

jest elementem maksymalnym ze wzgl

ę

du na relacj

ę

preferencji

i

~

f

w zbiorze













+

≤

∈

∑

=

n

j

j

ij

i

i

i

i

y

p

p

x

p

X

x

1

*

*

*

*

:

θ

ω

,

(II)

{

}

n

j

,...,

2

,

1

∈

∀

*

j

y

maksymalizuje, ze wzgl

ę

du na cen

ę

*

p

, zysk na zbiorze

j

Y

,

(III)

∑

∑

∑

=

=

=

=

−

n

j

n

i

i

j

m

i

i

y

x

1

1

*

1

*

ω

.

Uwagi:

1. Dla i-tego konsumenta plan konsumpcji

*

i

x

jest konsumpcj

ą

w stanie równowagi ze wzgl

ę

du na

wska

ź

nik poziomu cen

*

p

oraz ograniczenie bud

ż

etowe

∑

=

+

=

n

j

j

ij

i

i

y

p

p

w

1

*

*

*

*

θ

ω

.

2. Dla j-tego producenta plan produkcji

*

j

y

jest jego produkcj

ą

w równowadze ze wzgl

ę

du na

wska

ź

nik

*

p

.

3. Stan równowagi

( ) ( )

(

)

*

*

,

j

i

y

x

jest równowag

ą

rynkow

ą

.

7.3. Optimum ekonomii

3

Problem optimum ekonomii to problem optimum społecznego w grupie podmiotów tworz

ą

cych t

ą

ekonomi

ę

. Sprowadza si

ę

on do udzielenia odpowiedzi na pytanie, który z mo

ż

liwych stanów

gospodarki jest optymalny społecznie. O ile w przypadku pojedynczych jednostek, mo

ż

na przypisa

ć

indywidualne preferencje i wskaza

ć

optymalny wybór ze wzgl

ę

du na te preferencje, to dla grup

społecznych, wewn

ą

trz których istnieje konflikt interesów, niemo

ż

liwe jest porównywanie ich wyborów,

w szczególno

ś

ci nieporównywalne s

ą

„korzy

ś

ci społeczne”.

Jednym ze znanych w ekonomii warunków optimum społecznego jest warunek zaproponowany

przez V. Pareto. Gospodarka znajduje si

ę

w stanie optymalnym w sensie Pareto, je

ż

eli nie mo

ż

liwa

jest poprawa sytuacji któregokolwiek podmiotu bez pogorszenia stanu chocia

ż

jednego z pozostałych

podmiotów.

W niniejszym wykładzie wyka

ż

emy,

ż

e przy istniej

ą

cych cenach równowagi i danych zasobach,

w ekonomii z własno

ś

ci

ą

prywatn

ą

plany produkcji maksymalizuj

ą

ce zyski producentów oraz plany

konsumpcji maksymalizuj

ą

ce preferencje konsumentów tworz

ą

optimum Pareto i na odwrót.

3

Wykład opracowano na podstawie A. Malawski: Wprowadzenie do ekonomii matematycznej, Wydawnictwo

Akademii Ekonomicznej w Krakowie, Kraków 1999, rozdział 6

dr Agnieszka Bobrowska

6

Ekonomia matematyczna II

Niech dana jest ekonomia

( )

( )

(

)

ω

,

,

,

~

j

i

i

Y

X

E

p

=

oraz dwa jej stany

( )

( )

(

)

j

i

y

x

,

,

( ) ( )

(

)

'

'

,

j

i

y

x

, oba

osi

ą

galne. Zbiór stanów osi

ą

galnych oznaczamy przez

A

.

Mówimy,

ż

e stan

( )

( )

(

)

j

i

y

x

,

jest co najwy

ż

ej w takim stopniu

społecznie preferowany

jak

stan

( ) ( )

(

)

'

'

,

j

i

y

x

, je

ż

eli:

'

~

i

i

i

x

x p

dla ka

ż

dego konsumenta

m

i

,...,

2

,

1

=

, co zapisujemy:

( )

( )

(

)

( )

( )

(

)

'

,

'

,

~

j

i

j

i

y

x

y

x

p

.

Zdefiniowana powy

ż

ej relacja preferencji społecznej

2

~

A

⊂

p

ma nast

ę

puj

ą

ce cechy:

1. Jest zwrotna, tzn. dla ka

ż

dego stanu osi

ą

galnego

( )

( )

(

)

j

i

y

x

,

ekonomii

E

zachodzi:

( )

( )

(

)

( )

( )

(

)

j

i

j

i

y

x

y

x

,

,

~

p

,

2. Jest przechodnia, tzn. dla ka

ż

dej trójki stanów osi

ą

galnych

( )

( )

(

)

j

i

y

x

,

,

( )

( )

(

)

'

,

'

j

i

y

x

,

( )

( )

(

)

'

'

,

''

j

i

y

x

ekonomii

E

zachodzi:

( )

( )

(

)

( )

( )

(

)

( )

( )

(

)

( )

( )

(

)

( )

( )

(

)

( )

( )

(

)

''

,

''

,

''

,

''

'

,

'

'

,

'

,

~

~

~

j

i

j

i

j

i

j

i

j

i

j

i

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

p

p

p

⇒

∧

.

3. Nie jest zupełna, co oznacza,

ż

e nie ka

ż

de dwa stany osi

ą

galne musz

ą

by

ć

porównywalne

wzgl

ę

dem tej preferencji.

Podobnie jak w przypadku słabej preferencji

~

p

znanej z teorii preferencji konsumenta, dla preferencji

społecznej mo

ż

na zdefiniowa

ć

, w zbiorze stanów osi

ą

galnych

A

, relacj

ę

silnej preferencji

p

oraz

relacj

ę

oboj

ę

tno

ś

ci ~.

Relacj

ę

( )

( )

(

)

( )

( )

(

)

'

,

'

,

j

i

j

i

y

x

y

x

p

nazywamy

relacj

ą

silnej preferencji społecznej

, je

ż

eli:

(

)

'

,...,

2

,

1

~

i

i

i

x

x

m

i

p

=

∀

oraz

(

)

'

,...,

2

,

1

i

i

x

x

m

i

p

=

∃

.

Zapis

( )

( )

(

)

( )

( )

(

)

'

,

'

,

j

i

j

i

y

x

y

x

p

czytamy: stan osi

ą

galny

( )

( )

(

)

'

,

'

j

i

y

x

jest bardziej preferowany

społecznie ni

ż

stan

( )

( )

(

)

j

i

y

x

,

.

dr Agnieszka Bobrowska

7

Ekonomia matematyczna II

Relacj

ę

( )

( )

(

)

( )

( )

(

)

'

,

'

~

,

j

i

j

i

y

x

y

x

nazywamy

relacj

ą

oboj

ę

tno

ś

ci

, a stany osi

ą

galne

( )

( )

(

)

( )

( )

(

)

'

,

'

,

,

j

i

j

i

y

x

y

x

oboj

ę

tne, je

ż

eli:

(

)

'

~

,...,

2

,

1

i

i

x

x

m

i

=

∀

Po zdefiniowaniu relacji preferencji społecznej, mo

ż

emy zdefiniowa

ć

optimum ekonomii

E

rozumiane jako taki stan osi

ą

galny, w porównaniu z którym

ż

aden stan osi

ą

galny nie jest preferowany.

Je

ż

eli stan osi

ą

galny

( )

( )

(

)

j

i

y

x

,

ekonomii

E

jest maksymalnym stanem w zbiorze

A

ze wzgl

ę

du

na relacj

ę

preferencji

~

p

, to nazywamy go

optimum ekonomii

E

.

Optimum ekonomii oznacza,

ż

e lepsze zaspokojenie potrzeb chocia

ż

jednego konsumenta jest

mo

ż

liwe jedynie kosztem pogorszenia sytuacji innego.

W tym momencie pojawia si

ę

pytanie czy dana ekonomia

E

ma optimum, a je

ż

eli ma to kiedy?

Problem istnienia optimum ekonomii rozstrzyga twierdzenie 7.1.

Twierdzenie 7.1.

Je

ż

eli spełnione s

ą

nast

ę

puj

ą

ce warunki:

(I)

{

}

i

X

m

i

,...,

2

,

1

∈

∀

jest zbiorem domkni

ę

tym, spójnym i ograniczonym z dołu przez

relacj

ę

≤

,

(II) Relacja preferencji

i

~

p

jest domkni

ę

ta w

i

X

,

(III)

Y

jest zbiorem domkni

ę

tym, wypukłym i spełnia zało

ż

enie

{ }

0

=

∩

+

l

R

Y

,

(IV)

Y

X

−

∈

ω

,

wówczas ekonomia

( )

( )

(

)

ω

,

,

,

~

j

i

i

Y

X

E

p

=

ma optimum.

(Dowód twierdzenia 7.1 w ksi

ąż

ce: A. Malawski, „Wprowadzenie do ekonomii matematycznej”, AE

w Krakowie, 1999,str. 103)

7.4. Optimum społeczne a równowaga w warunkach konkurencji

4

Poj

ę

cie optimum społecznego ró

ż

ni si

ę

od omówionego wcze

ś

niej poj

ę

cia ogólnej równowagi

konkurencyjnej przede wszystkim tym,

ż

e w pierwszym z nich nie wyst

ę

puj

ą

ceny jako składnik

poj

ę

cia równowagi. Aby pokaza

ć

jakie zale

ż

no

ś

ci wyst

ę

puj

ą

pomi

ę

dzy tymi kategoriami wprowadzimy

poj

ę

cie równowagi ze wzgl

ę

du na poziom cen.

4

Wykład opracowano na podstawie A. Malawski: Wprowadzenie do ekonomii matematycznej, Wydawnictwo

Akademii Ekonomicznej w Krakowie, Kraków 1999, rozdział 6

dr Agnieszka Bobrowska

8

Ekonomia matematyczna II

Niech dany b

ę

dzie wska

ź

nik poziomu cen

l

R

p

∈

i ekonomia

( )

( )

(

)

ω

,

,

,

~

i

i

i

Y

X

E

p

=

.

Stan

( ) ( )

(

)

*

*

,

j

i

y

x

ekonomii

( )

( )

(

)

ω

,

,

,

~

i

i

i

Y

X

E

p

=

nazywamy

stanem równowagi ze wzgl

ę

du na

wska

ź

nik poziomu cen

l

R

p

∈

, je

ż

eli :

(I)

{

}

m

i

,...,

2

,

1

∈

∀

*

i

x

jest elementem maksymalnym w zbiorze ogranicze

ń

bud

ż

etowych

{

}

*

:

i

i

i

i

px

px

X

x

≤

∈

ze wzgl

ę

du na relacj

ę

preferencji

i

~

p

,

(II)

{

}

n

j

,...,

2

,

1

∈

∀

*

j

y

maksymalizuje zysk

j

py

na zbiorze produkcji

j

Y

,

(III)

∑

∑

=

=

=

−

n

j

j

m

i

i

y

x

1

*

1

*

ω

.

Uwaga:

1. Warunek (I) oznacza, i

ż

plan konsumpcji

*

i

x

dla i-tego konsumenta jest konsumpcj

ą

w stanie

równowagi ze wzgl

ę

du na wska

ź

nik poziomu cen

p

.

2. Warunek (II) mówi natomiast,

ż

e dla j-tego producenta

*

j

y

jest planem produkcji w równowadze

ze wzgl

ę

du na wska

ź

nik poziomu cen

p

.

3. Ostatni warunek definicji stanu równowagi ze wzgl

ę

du na wska

ź

nik poziomu cen oznacza,

ż

e

stan

( ) ( )

(

)

*

*

,

j

i

y

x

jest równowag

ą

rynkow

ą

.

Łatwo mo

ż

na wykaza

ć

,

ż

e poj

ę

cie stanu równowagi ze wzgl

ę

du na dany wska

ź

nik poziomu cen dla

ekonomii

E

i poj

ę

cie stanu równowagi ekonomii z własno

ś

ci

ą

prywatn

ą

s

ą

równowa

ż

ne.

Załó

ż

my,

ż

e stan równowagi

( ) ( )

(

)

*

*

*

,

,

p

y

x

j

i

jest stanem równowagi ekonomii z własno

ś

ci

ą

prywatn

ą

. Wówczas stan

( ) ( )

(

)

*

*

,

j

i

y

x

jest stanem równowagi odpowiedniej ekonomii

E

ze wzgl

ę

du na

wska

ź

nik poziomu cen

*

p

bez wyszczególnienia zasobów

i

ω

oraz udziałów

ij

θ

danych w ekonomii

z własno

ś

ci

ą

prywatn

ą

.

Zało

ż

ymy teraz z kolei,

ż

e stan

( ) ( )

(

)

*

*

,

j

i

y

x

jest stanem równowagi ze wzgl

ę

du na wska

ź

nik

poziomu cen

*

p

dla ekonomii

E

. Je

ż

eli przypiszemy i-temu konsumentowi

∑

=

−

=

n

j

j

i

i

y

m

x

1

*

*

1

ω

zasobów oraz równe udziały w zyskach producentów

m

ij

1

=

θ

, wówczas mo

ż

na sprawdzi

ć

,

ż

e stan

dr Agnieszka Bobrowska

9

Ekonomia matematyczna II

( ) ( )

(

)

*

*

*

,

,

p

y

x

j

i

jest stanem równowagi ekonomii z własno

ś

ci

ą

prywatn

ą

otrzyman

ą

z ekonomii

E

poprzez wyszczególnienie zasobów

i

ω

i udziałów

ij

θ

.

Wniosek:

Stan

( ) ( )

(

)

*

*

,

j

i

y

x

jest dla ekonomii

E

stanem równowagi przy poziomie cen

*

p

wtedy i tylko

wtedy, gdy

( ) ( )

(

)

*

*

*

,

,

p

y

x

j

i

jest stanem równowagi ekonomii z własno

ś

ci

ą

prywatn

ą

wyprowadzon

ą

z ekonomii

E

poprzez wyszczególnienie dla i-tego konsumenta zasobów

i

ω

i udziałów

ij

θ

.

Poj

ę

cie stanu równowagi ze wzgl

ę

du na wska

ź

nik poziomu cen jest o tyle wygodne,

ż

e nie

wymaga w ekonomii wyszczególnienia poj

ęć

zasobów i udziałów konsumentów.

W nast

ę

pnej kolejno

ś

ci podamy warunki, przy których poj

ę

cia optimum społecznego i równowagi

ze wzgl

ę

du na wska

ź

nik poziomu cen s

ą

równowa

ż

ne.

W tym celu rozwa

ż

ymy ekonomi

ę

E

, a w niej wyszczególnimy zbiór tych planów konsumpcji, które

i-ty konsument preferuje co najmniej tak jak plan

i

i

X

x

∈

*

; zbiór ten zapisujemy w nast

ę

puj

ą

cy

sposób:

{

}

*

~

:

*

i

i

i

i

i

x

i

x

x

X

x

X

i

f

∈

=

.

Twierdzenie 7.2.

Niech

( )

( )

(

)

ω

,

,

,

~

i

i

i

Y

X

E

p

=

b

ę

dzie ekonomia tak

ą

,

ż

e:

(I)

{

}

m

i

,...,

2

,

1

∈

∀

i

X

jest zbiorem wypukłym,

(II)

{

}

m

i

,...,

2

,

1

∈

∀

relacja preferencji

i

~

p

jest wypukła.

Wówczas stan równowagi

( ) ( )

(

)

*

*

,

j

i

y

x

przy poziomie cen

p

jest optimum, o ile plan konsumpcji

*

i

x

nie jest konsumpcj

ą

nasycon

ą

(konsumenci znajduj

ą

si

ę

w sytuacji niedosytu).

W tym miejscu zaleca si

ę

studentowi takich poj

ęć

jak zbiór wypukły i wypukła relacja preferencji.

Twierdzenie 7.2. podaje warunki, przy których stan równowagi

( ) ( )

(

)

*

*

,

j

i

y

x

ze wzgl

ę

du na wska

ź

nik

poziomu cen

p

dla ekonomii

E

jest optimum społecznym.

Podamy teraz kolejne twierdzenie, które dyktuje jakie warunki musi spełnia

ć

ekonomia

E

, aby dla

danego optimum społecznego

( ) ( )

(

)

*

*

,

j

i

y

x

istniał taki poziom cen

0

≠

p

, dla którego stan

( ) ( )

(

)

*

*

,

j

i

y

x

jest stanem równowagi ze wzgl

ę

du na dany wska

ź

nik poziomu cen.

dr Agnieszka Bobrowska

10

Ekonomia matematyczna II

Twierdzenie 7.3.

Niech

( )

( )

(

)

ω

,

,

,

~

i

i

i

Y

X

E

p

=

b

ę

dzie taka ekonomi

ą

,

ż

e:

(I)

{

}

m

i

,...,

2

,

1

∈

∀

i

X

jest zbiorem wypukłym,

(II)

{

}

m

i

,...,

2

,

1

∈

∀

relacja preferencji

i

~

p

jest domkni

ę

ta i wypukła,

(III)

Y

jest zbiorem wypukłym.

Wówczas dla optimum

( ) ( )

(

)

*

*

,

j

i

y

x

, gdzie pewne

*

i

x

nie jest konsumpcj

ą

nasycon

ą

, istnieje poziom

cen

0

≠

p

taki,

ż

e:

*

i

x

minimalizuje

i

px

na zbiorze

{

}

*

~

:

*

i

i

i

i

i

x

i

x

x

X

x

X

i

f

∈

=

dla ka

ż

dego

m

i

,...,

2

,

1

=

oraz

*

i

y

maksymalizuje

j

py

na zbiorze

j

Y

dla ka

ż

dego

n

j

,...,

2

,

1

=

.

(Dowód twierdzenia 7.2. i twierdzenia 7.3. w ksi

ąż

ce: A. Malawski, „Wprowadzenie do ekonomii

matematycznej”, AE w Krakowie, 1999,str. 105-107).

Podsumowanie:

1. Modele systemu ekonomicznego, jego równowagi oraz stanu optymalnego stanowi

ą

swego

rodzaju podsumowanie modeli teoriomnogo

ś

ciowych i liniowych zaproponowane przez

G. Debreu.

2. W modelach tych zakłada si

ę

liniowo

ść

funkcji produkcji i funkcji popytu oraz doskonałe

działanie mechanizmu rynkowego.

3. Przedstawione modele po pierwsze pozwalaj

ą

wyznaczy

ć

stan równowagi konkurencyjnej (typu

Walrasa) w uj

ę

ciu makroekonomicznym.

4. Na postawie modelu ekonomii z własno

ś

ci

ą

prywatna mo

ż

liwe jest okre

ś

lenie udziału

konsumentów-wła

ś

cicieli czynników wytwórczych w zyskach w zyskach producentów.

5. Model optimum ekonomii stanowi sformalizowane i uogólnione uj

ę

cie optimum Pareto

z zało

ż

eniem,

ż

e mo

ż

liwe jest ustalenie optimum społecznej u

ż

yteczno

ś

ci.

Pytania kontrolne:

1. Scharakteryzuj model opisuj

ą

cy stany ekonomii (gospodarki).

2. Jak definiujemy stan równowagi ekonomii?

3. Z jakich elementów składa si

ę

model ekonomii z własno

ś

ci

ą

prywatn

ą

?

4. Opisz warunki istnienia stanu równowagi ekonomii z własno

ś

ci

ą

prywatn

ą

?

5. Zdefiniuj i zinterpretuj popyt netto i popyt nadwy

ż

kowy w modelu ekonomii z własno

ś

ci

ą

prywatn

ą

.

6. Kiedy gospodarka znajduje si

ę

w sytuacji optimum Pareto?