Funkcje zdaniowe i zbiory

Zbiór (inaczej zwany mnogością) to podstawowe pojęcie w matematyce. Przy jego pomocy można
zdefiniować na gruncie teorii mnogości (zwanej też teorią zbiorów) wszystkie inne pojęcia matematyczne.
Przyjmuje się, że jest to pojęcie pierwotne, tzn. nie wymagające definicji. Z drugiej strony matematycy w
praktyce nadają temu pojęciu pewien określony intuicyjny sens. Intuicyjnie można powiedzieć, że zbiór
jest to objęcie przez umysł pewnej liczby przedmiotów (materialnych lub duchowych), zwanych
elementami tego zbioru. Tę nieformalną definicję podajemy dla wygody czytelnika, zastrzegając się
jednak, że nie oddaje ona w pełni treści pojęcia zbioru. Jest tylko pewnym przybliżeniem.

Zazwyczaj zbiory oznaczamy dużymi literami, zaś ich elementy małymi literami. Gdy jest elementem
zbioru

, mówimy też, że należy do

i zapisujemy to zdanie symbolicznie w postaci:

nazywamy symbolem należenia do zbioru.

oznacza zdanie

. Koniunkcję zdań postaci

zapisujemy krócej w formie

Przykłady zbiorów to zbiór uczniów w klasie, zbiór jabłek na drzewie, zbiór liczb rzeczywistych
dodatnich. Przyjmujemy, że dwa zbiory, które mają te same elementy, są równe. Innymi słowy, dla
dowolnych zbiorów

mamy

Zasadniczo zbiory możemy określać na dwa sposoby.

Sposób 1. Określenie zbioru przez wypisanie jego elementów. Na przykład, zapis

oznacza, że wszystkimi elementami zbioru

są Piotr, Jan, Ewa, Ala,

. W szczególności prawdą jest,

że Piotr

. Podobnie zapis

oznacza zbiór, którego wszystkie elementy to liczby

.

oznacza zbiór, którego jedynym

elementem jest liczba . Należy tu podkreślić, że i

to różne obiekty. Podobnie jabłko i zbiór

jednoelementowy złożony z jabłka to dwa różne przedmioty. Najprościej wyjaśnić to mówiąc, że jabłko
wisi na drzewie, a zbiór złożony z tego jabłka istnieje w umyśle.

W przypadku zbioru skończonego

dla wszystkich prawdziwa jest równoważność

Dlatego zapisy

i

oznaczają ten sam zbiór złożony z .

Zanim przystąpimy do podania drugiego sposobu określania zbiorów, wprowadzimy pojęcie funkcji
zdaniowej.

Wypełniając różne formularze często wpisujemy różne słowa w odpowiednie wolne miejsca. Rozważmy
na przykład wyrażenie:

Gdy w miejsce kropek wpiszemy określenie jakiejś osoby (np. słowo Janek), wyrażenie to stanie się
zdaniem. Podobnie, jeśli w wyrażeniu algebraicznym

w miejsce niewiadomej wpiszemy konkretną liczbę, stanie sie ono zdaniem. Obydwa rozważane
powyżej wyrażenia są przykładami funkcji zdaniowych.

Definicja 3..1 Wyrażenie

, które staje się zdaniem, gdy za podstawimy obiekt określonego typu

(np. element jakiegoś zbioru) nazywamy funkcją zdaniową (predykatem). Jeśli określony jest zbiór

, z

którego bierzemy obiekty do podstawiania za zmienną , to mówimy, że zmienna w funkcji zdaniowej

ma zakres zmienności (lub krótko: zakres)

. Piszemy wówczas

. Można również

rozważać funkcje zdaniowe bez określania zakresu zmiennej.

W funkcji zdaniowej

zakresem zmiennej jest zbiór ludzi. W

zakresem zmiennej jest zbiór liczb

rzeczywistych. Podobnie definiuje się funkcje zdaniowe

większej (skończonej)

liczby zmiennych.

Przykładem funkcji zdaniowej dwóch zmiennych jest wyrażenie

. Równania i nierówności (na

przykład takie, jak rozważane w rozdziale 2) to również funkcje zdaniowe.

Przy pomocy spójników logicznych

i nawiasów możemy z danych funkcji zdaniowych

tworzyć nowe (złożone) funkcje zdaniowe. Na przykład, jeśli

i

to dane funkcje zdaniowe,

to również

są funkcjami zdaniowymi, przy czym wymagamy tu zgodności zakresów wspólnych zmiennych w tych
funkcjach (o ile są określone); w naszym przypadku zmienna powinna mieć ten sam zakres w funkcjach

i

. Bardziej konkretny przykład to funkcja zdaniowa

(tu

oznacza zbiór liczb rzeczywistych). Ogólnie, gdy

jest formułą zdaniową, zaś

są

funkcjami zdaniowymi o odpowiednio zgodnych zakresach zmiennych, to podstawiając w

funkcje

za zmienne zdaniowe

odpowiednio, dostajemy złożoną funkcję zdaniową.

Teraz możemy przedstawić drugi sposób określania zbioru.

Sposób 2. Określenie zbioru przez podanie własności, którą mają wszystkie jego elementy. Załóżmy, że

jest funkcją zdaniową. Zapis

oznacza zbiór tych wszystkich , dla których zdanie

jest prawdziwe

3.1

. Zauważmy, że wówczas

dla wszystkich mamy

Jeśli zakresem zmiennej w

jest dany zbiór

, to zbiór

istnieje, zapisujemy go

wówczas również w formie

. Zapis ten odczytujemy następująco:

``zbiór takich należących do

, które spełniają warunek

''.

W matematyce zbiory określone w ten sposób to m.in.

jest liczbą naturalną (zbiór wszystkich liczb naturalnych),

jest liczbą rzeczywistą (zbiór wszystkich liczb rzeczywistych),

zbiory liczb całkowitych , liczb wymiernych

czy liczb niewymiernych

.

Szczególnym zbiorem jest tak zwany zbiór pusty, tzn. zbiór bez elementów. Przyjęliśmy, że zbiory o tych
samych elementach są równe. Dlatego dowolne dwa zbiory puste są sobie równe. Istnieje więc tylko jeden
zbiór pusty. Oznaczamy go symbolem .

Rozważmy funkcję zdaniową

. Wówczas

oznacza zbiór takich liczb rzeczywistych , które spełniają warunek

. Rozwiązując

odpowiednie równanie znajdujemy, że dla wszystkich liczb rzeczywistych mamy

a zatem jedynymi elementami tego zbioru są liczby

. Mamy więc

Lewa strona tej równości określa nasz zbiór przez podanie warunku spełnianego przez jego elementy,
prawa strona określa ten sam zbiór przez wypisanie jego elementów.

Przykład. Antynomia (paradoks) Russella. Niech

oznacza funkcję zdaniową

. Wówczas nie

istnieje zbiór

.

Dowód. Przypuśćmy nie wprost, że zbiór

istnieje. Wówczas dla wszystkich mamy

W szczególności zdanie

jest słuszne, gdy oznacza zbiór

. Wówczas dostajemy, że

wtedy i

tylko wtedy, gdy

, sprzeczność.