9. Niech 

 f

n



będzie ciągiem funkcji ciągłych 

f

n

:ℝ ℝ ℂ

. Wykazać, że zbiór

{

x∈ℝ : ciąg  f

n

 x jest zbieżny

}

jest zbiorem borelowskim.

MIARA

1. Wykazać, że jeżeli 



jest miarą (lub jedynie skończenie addytywną funkcją zbioru) na



­algebrze  A, to  A∪B A∩B= AB , 

A , B ∈

A .

2. Niech 



będzie miarą na 



­algebrze  A oraz niech 

A−

.

B= A ∖B∪ B ∖ A

.

Wykazać, że jeżeli 

 A−

.

B=0

, to

A= B .

3. Niech (X, 

A) będzie przestrzenią mierzalną i niech

a ∈X

.   Wykazać, że funkcja

:

A

 [0, ∞]

, określona wzorem  A=

{

1 

 gdy  a∈ A

0

 gdy  a∈ A

c

  jest miarą. 

4. Niech (X, 

A) będzie przestrzenią mierzalną.   Wykazać, że funkcja

:

A

 [0, ∞]

, określona wzorem

 A=

{

A

=

 gdy  A  jest zbiorem skończonym 

∞

 gdy  A  jest zbiorem nieskończonym 

  jest miarą. 

5. Wykazać, że funkcja  : 2

ℕ

 [0, ∞] określona wzorem

 A=

∑

n ∈A

1 

2

n

jest miarą oraz 

2

ℕ

=[0,1]

. Czy z równości 

 A= B

wynika równość 

A=B

?

6. Wykazać, że funkcja  : 2

ℕ

 [0, ∞] określona wzorem  A=

∑

n ∈ A

1 
3

n

jest miarą. 

Wyznaczyć 

2

ℕ



. Czy z równości 

 A= B

wynika równość 

A=B

?

7. Niech (X, 

A, 



) będzie przestrzenią z miarą. Wykazać, że jeżeli 

A∈

A,

 B=0

, to

 

 A∪B = A∖ B= A

.

8. Niech  

B  będzie



­algebrą na Y oraz niech

T : X Y

będzie dowolnym

 odwzorowaniem.   

A =

{

T

−1

 B: B∈

B

}

jest



­algebrą na X.   Wykazać, że funkcja

'

określona na 



­algebrze 

B i dana wzorem

'  B=



T

−1

 B



,

B∈

B jest

 miarą.