Wykład 7. Rz ˛

ad macierzy, macierz odwrotna -

ci ˛

ag dalszy.

Przypomnijmy sobie z poprzedniego wykładu de-
finicj ˛e rz ˛edu macierzy (def. 6.2.1.). Przypomnijmy
sobie równie ˙z rodzaje macierzy (def. 5.1.2., a
szczególnie def. 5.1.7.).

7.1. Rz ˛

ad macierzy

Własno´s ´

c 7.1.1. Własno´sci rz ˛edu macierzy

A

=

h

a

ij

i

m

×n

:

1. Rz ˛

ad macierzy nie ulega zmianie je ˙zeli: prze-

stawimy kolumny (wiersze) w macierzy, po-
mno˙zymy kolumny (wiersze) przez liczb ˛e ró˙zn ˛

a

od zera, do kolumny (wiersza) dodamy li-
niow ˛

a kombinacj ˛e kolumn (wierszy) pozo-

stałych.

2. 0 ≤ rzA ≤ min (m, n) .

3. je ˙zeli A jest nieosobliwa (def. 5.1.7.) (co

oznacza, ˙ze jest wymiaru n × n) to
rankA = n.

4. rank



A

T



=

rankA.

5. je ˙zeli A = D (tzn. jest macierz ˛

a diagonaln ˛

a

- def. 5.1.2. - pkt. 5) to rz ˛

ad macierzy diago-

nalnej b ˛edzie równy liczbie jej niezerowych
elementów.

6. Maj ˛

ac dan ˛

a macierz blokow ˛

a C =

h

c

ij

i

m

×n

(def. 5.1.2. - pkt. 8) składaj ˛

ac ˛

a si ˛e z ma-

cierzy A = [a

kl

]

m

1

×n

1

, B

= [b

kl

]

m

2

×n

2

w

układzie

C

=

"

A

0

m

1

×n

2

0

m

2

×n

1

B

#

(przy czym m = m

1

+ m

2

i n = n

1

+ n

2

)

mo˙zemy obliczy ´

c jej rz ˛

ad według wzoru

rankC = rankA + rankB

Przykłady

Obliczy ´

c rz ˛edy macierzy:

"

−1 −1 −2

1

1

2

#

,






2 −1 3 −2 4
4 −2 5

1

7

2 −1 1

8

2






7.2. Macierz odwrotna

Wa˙zna dla nas b ˛edzie równie ˙z def. 5.1.6. (do-
pełnienie algebraiczne) oraz definicja macie-
rzy odwrotnej (def. 6.2.2.).

Definicja 7.2.1. Maj ˛

ac dan ˛

a macierz kwadra-

tow ˛

a A =

h

a

ij

i

n

×n

,

która jest nieosobliwa i ob-

liczaj ˛

ac wszystkie jej dopełnienia algebraiczne

według wzoru (def. 5.1.6.)

d

ij

= (−1)

i

+j

det M

ij

,

gdzie M

ij

jest macierz ˛

a minorów (def. 5.1.2. -

pkt. 10), otrzymujemy macierz dopełnie ´n alge-
braicznych w formie

A

D

=

h

d

ij

i

n

×n

Dygresja: Powy˙zsza definicja jest uzupełnieniem
rodzajów macierzy - def. 5.1.2.

Czynnik (−1)

i

+j

w definicji dopełnienia alge-

braicznego tworzy tzn. macierz (siatk ˛e) znaków,
tzn.











+ − + − . . .

− + − + . . .

+ − + − . . .

− + − + . . .

...

...

...

... ...











Twierdzenie 7.2.1. Je´sli macierz kwadratowa
A

=

h

a

ij

i

n

×n

jest nieosobliwa to macierz od-

wrotn ˛

a obliczamy według wzoru

A

−1

=

1

det A



A

D



T

.

Dygresja: Powy˙zsza formuła jest uzupełnieniem
definicji 5.1.2. - pkt. 11.

Własno´s ´

c 7.2.1. (własno´sci macierzy odwrot-

nych) Je ˙zeli macierze A =

h

a

ij

i

n

×n

, B

=

h

b

ij

i

n

×n

s ˛

a

odwracalne i α ∈

K

\ {0} , n ∈

N

to zachodz ˛

a

nast ˛epuj ˛

ace to˙zsamo´sci:

1. det



A

−1



=

1

det A

2.



A

T



−1

=



A

−1



T

3. (αA)

−1

=

1

α



A

−1



4.



A

−1



−1

= A

5. (AB)

−1

= B

−1

A

−1

6. (A

n

)

−1

=



A

−1



n

Przykłady:

Maj ˛

ac dan ˛

a macierz

A

=

"

a

11

a

12

a

21

a

22

#

i zakładaj ˛

ac, ˙ze det A 6= 0,tzn.

a

11

a

22

− a

12

a

21

6= 0 otrzymujemy macierz od-

wrotn ˛

a

A

−1

=





a

22

a

11

a

22

−a

12

a

21

−a

12

a

11

a

22

−a

12

a

21

−a

21

a

11

a

22

−a

12

a

21

a

11

a

11

a

22

−a

12

a

21





.

Dokonujemy sprawdzenia (samodzielnie)

A

−1

A

= AA

−1

= I.

Znale´z ´

c macierze odwrotne do podanych:

"

2

1 − i

1 + i

1

#

,






0 0

1

1 2 −3
0 2

1






Rozwi ˛

a˙z równanie macierzowe:

"

4 1
3 1

#

X

=

"

2

1

−2 3

#

Literatura

•

Białynicki-Birula A., Algebra liniowa z geometri ˛

a, PWN,

Warszawa 1976.

•

Biernat G., Matematyka 3, Wydawnictwo PCz, Cz ˛e-
stochowa 2001.

•

Jurlewicz T., Skoczylas Z., Algebra liniowa cz. 1. Defi-
nicje, twierdzenia i wzory., Oficyna wydawnicza GiS,
Wrocław 2000.

•

Kiełbasi ´nski A., Schetlick H., Numeryczna algebra li-
niowa, PWN, Warszawa 1992.

•

Mostowski A., Stark M., Algebra liniowa, PWN, War-
szawa 1968.

•

Mostowski A., Stark M., Elementy algebry wy ˙zszej, PWN,
Warszawa 1975.

•

Trajdos T., Matematyka cz. III, WNT 1993.