Wykład 7. Rz ˛

ad macierzy, macierz odwrotna -

ci ˛

ag dalszy.

Przypomnijmy sobie z poprzedniego wykładu definicj ę rz ędu macierzy ( def. 6.2.1. ). Przypomnijmy sobie równie ż rodzaje macierzy ( def. 5.1.2. , a szczególnie def. 5.1.7. ).

7.1. Rząd macierzy

Własnoś ć 7.1.1. Własności rz ędu macierzy h

i

A = aij

:

m×n

1. Rząd macierzy nie ulega zmianie je żeli: prze-stawimy kolumny (wiersze) w macierzy, po-mnożymy kolumny (wiersze) przez liczb ę różną od zera, do kolumny (wiersza) dodamy liniową kombinacj ę kolumn (wierszy) pozo-stałych.

2. 0 ≤ rzA ≤ min (m, n) .

3. je żeli A jest nieosobliwa ( def. 5.1.7. ) (co oznacza, że jest wymiaru n × n) to

rankA = n.

4. rank AT = rankA.

5. je żeli A = D (tzn. jest macierzą diagonalną

- def. 5.1.2. - pkt. 5) to rząd macierzy diago-nalnej b ędzie równy liczbie jej niezerowych elementów.

h

i

6. Mając daną macierz blokową C = cij m×n ( def. 5.1.2. - pkt. 8) składającą si ę z macierzy A = [akl]m

, B = [b

w

1×n1

kl]m2×n2

układzie

"

#

A

0

C =

m1×n2

0m

B

2×n1

(przy czym m = m1 + m2 i n = n1 + n2) możemy obliczy ć jej rząd według wzoru rankC = rankA + rankB

Przykłady

Obliczy ć rz ędy macierzy:





"

#

2 −1 3 −2 4

−1 −1 −2

,



4 −2 5

1

7 

1

1

2





2 −1 1

8

2

7.2. Macierz odwrotna

Ważna dla nas b ędzie równie ż def. 5.1.6. ( do-pełnienie algebraiczne) oraz definicja macierzy odwrotnej ( def. 6.2.2. ).

Definicja 7.2.1. Mając daną macierz kwadra-h

i

tową A = aij

, która jest nieosobliwa i ob-

n×n

liczając wszystkie jej dopełnienia algebraiczne według wzoru ( def. 5.1.6. ) dij = (−1)i+j det Mij,

gdzie Mij jest macierzą minorów ( def. 5.1.2. -

pkt. 10), otrzymujemy macierz dopełnie ń alge-braicznych w formie

h

i

AD = dij n×n

Dygresja: Powyższa definicja jest uzupełnieniem rodzajów macierzy - def. 5.1.2.

Czynnik (−1)i+j w definicji dopełnienia alge-braicznego tworzy tzn. macierz (siatk ę) znaków, tzn.





+ − + − . . .



− + − + . . . 











+ − + − . . . 







− + − + . . . 



.



.

..

..

.. ...

Twierdzenie 7.2.1. Jeśli macierz kwadratowa h

i

A =

aij

jest nieosobliwa to macierz od-

n×n

wrotn ˛

a obliczamy według wzoru

1

A−1 =

ADT .

det A

Dygresja: Powyższa formuła jest uzupełnieniem definicji 5.1.2. - pkt. 11.

Własnoś ć 7.2.1. ( własności macierzy odwrot-h

i

h

i

nych) Je żeli macierze A = aij

, B = bij

są

n×n

n×n

odwracalne i α ∈ K\ {0} , n ∈ N to zachodzą nast ępujące tożsamości:

1. det A−1 =

1

det A

2.

AT −1 = A−1T

3. (αA)−1 = 1 A−1

α

4.

A−1−1 = A

5. (AB)−1 = B−1A−1

6. (An)−1 = A−1n

Przykłady:

Mając daną macierz

"

#

a

A =

11

a12

a21 a22

i zakładając, że det A 6= 0,tzn.

a11a22 − a12a21 6= 0 otrzymujemy macierz odwrotną



a22

−a12



A−1 =

a11a22−a12a21

a11a22−a12a21

.



−a21

a11



a11a22−a12a21

a11a22−a12a21

Dokonujemy sprawdzenia ( samodzielnie) A−1A = AA−1 = I.

Znaleź ć macierze odwrotne do podanych:





"

0 0

1

2

1

#

− i

,



1 2 −3 

1 + i

1





0 2

1

Rozwiąż równanie macierzowe:

"

4 1 #

"

2

1 #

X =

3 1

−2 3

Literatura

• Białynicki-Birula A., Algebra liniowa z geometrią, PWN, Warszawa 1976.

• Biernat G., Matematyka 3, Wydawnictwo PCz, Cz ę-

stochowa 2001.

• Jurlewicz T., Skoczylas Z., Algebra liniowa cz. 1. Defi-nicje, twierdzenia i wzory., Oficyna wydawnicza GiS, Wrocław 2000.

• Kiełbasiński A., Schetlick H., Numeryczna algebra liniowa, PWN, Warszawa 1992.

• Mostowski A., Stark M., Algebra liniowa, PWN, Warszawa 1968.

• Mostowski A., Stark M., Elementy algebry wyższej, PWN, Warszawa 1975.

• Trajdos T., Matematyka cz. III, WNT 1993.