Material Wektory 2010

Materiał do wykładu 2

2010/2011, zima

Wydzia

EAIiE

Kierunek: Elektrotechnika

Przedmiot: Fizyka

RACHUNEK WEKTOROWY W

FIZYCE

Materiał do wykładu 2

2010/2011, zima

Wydzia

EAIiE

Kierunek: Elektrotechnika

Przedmiot: Fizyka

•

Poj

cie wektora

•

Dzia

ania na wektorach

•

Wektor w kartezja

skim uk

adzie

wsp

dnych

•

Przyk

ady wykorzystania wektor

w i dzia

na nich w fizyce

Plan

Materiał do wykładu 2

2010/2011, zima

Wydzia

EAIiE

Kierunek: Elektrotechnika

Przedmiot: Fizyka

Poj

cie wektora

−

Wektor ma trzy cechy:

1. Kierunek

2. Zwrot

3. Warto

ść

ugo

ść

)

−

Materiał do wykładu 2

2010/2011, zima

UGO

ŚĆ

WEKTORA

liczbowa

aˆ

Wersor

jest to

wektor jednostkowy

aˆ

ugo

ść

wektora

lnie:

Wydzia

EAIiE

Kierunek: Elektrotechnika

Przedmiot: Fizyka

Materiał do wykładu 2

2010/2011, zima

Wydzia

EAIiE

Kierunek: Elektrotechnika

Przedmiot: Fizyka

A punkt przy

enia?

Ruch

post

powy

Ruch

obrotowy

Materiał do wykładu 2

2010/2011, zima

Wydzia

EAIiE

Kierunek: Elektrotechnika

Przedmiot: Fizyka

Dzia

ania na wektorach

•

Dodawanie

•

Odejmowanie

•

Mno

enie:

•

Iloczyn wektora przez liczb

•

Iloczyn skalarny dw

ch wektor

•

Iloczyn wektorowy dw

ch wektor

Materiał do wykładu 2

2010/2011, zima

Wydzia

EAIiE

Kierunek: Elektrotechnika

Przedmiot: Fizyka

Dodawanie wektor

Materiał do wykładu 2

2010/2011, zima

Odejmowanie wektor

−

)

( b

−

Wektor przeciwny

Wydzia

EAIiE

Kierunek: Elektrotechnika

Przedmiot: Fizyka

Materiał do wykładu 2

2010/2011, zima

Wydzia

EAIiE

Kierunek: Elektrotechnika

Przedmiot: Fizyka

Regu

a r

wnoleg

oboku

a r

−

Materiał do wykładu 2

2010/2011, zima

Wydzia

EAIiE

Kierunek: Elektrotechnika

Przedmiot: Fizyka

WEKTOR WYPADKOWY

. wypadkowe

przemieszczenie,

wypadkowa si

Materiał do wykładu 2

2010/2011, zima

Wydzia

EAIiE

Kierunek: Elektrotechnika

Przedmiot: Fizyka

Rozk

ad wektora

Materiał do wykładu 2

2010/2011, zima

Wydzia

EAIiE

Kierunek: Elektrotechnika

Przedmiot: Fizyka

ILOCZYN WEKTORA PRZEZ LICZB

Wynik dzia

ania jest wektorem

a r

−

Materiał do wykładu 2

2010/2011, zima

Wydzia

EAIiE

Kierunek: Elektrotechnika

Przedmiot: Fizyka

Gdy k>0, zwroty zgodne
Gdy k<0, zwroty przeciwne

⇒

Wartość (długość) wektora:

Wektory i s

wnoleg

(maj

ten sam kierunek)

Materiał do wykładu 2

2010/2011, zima

Wydzia

EAIiE

Kierunek: Elektrotechnika

Przedmiot: Fizyka

ILOCZYN SKALARNY

DEFINICJA

cos

Wynik dzia

ania jest liczb

dodatni

, ujemn

(kiedy?) lub

nawet zero

Dzia

anie jest przemienne

Materiał do wykładu 2

2010/2011, zima

Wydzia

EAIiE

Kierunek: Elektrotechnika

Przedmiot: Fizyka

ILOCZYN SKALARNY

KONSEKWENCJE

φ=90

cos

eli wektory s

prostopad

to ich iloczyn skalarny jest

wny 0

y do sprawdzania

prostopad

ci wektor

Materiał do wykładu 2

2010/2011, zima

Wydzia

EAIiE

Kierunek: Elektrotechnika

Przedmiot: Fizyka

ILOCZYN SKALARNY

KONSEKWENCJE

φ=0

a r

y do okre

lenia d

ugo

ci wektora

a r

Materiał do wykładu 2

2010/2011, zima

Wydzia

EAIiE

Kierunek: Elektrotechnika

Przedmiot: Fizyka

ILOCZYN WEKTOROWY

DEFINICJA

Wynik dzia

ania jest

wektorem. Nale

y zatem

poda

trzy jego cechy, nie

tylko warto

ść

ale przede

wszystkim

kierunek

(!!!!) i

zwrot

Materiał do wykładu 2

2010/2011, zima

Wydzia

EAIiE

Kierunek: Elektrotechnika

Przedmiot: Fizyka

Iloczyn wektorowy

definicja

1. Kierunek wektora jest

prostopad

y do p

aszczyzny utworzonej

przez wektory i czyli

⊥

Materiał do wykładu 2

2010/2011, zima

Wydzia

EAIiE

Kierunek: Elektrotechnika

Przedmiot: Fizyka

Iloczyn wektorowy

definicja

2. Zwrot wektora

okre

lamy regu

łą

prawej r

lub

ruby prawoskr

tnej

−

Dzia

anie to nie jest przemienne

Materiał do wykładu 2

2010/2011, zima

Wydzia

EAIiE

Kierunek: Elektrotechnika

Przedmiot: Fizyka

Iloczyn wektorowy

definicja

3. D

ugo

ść

wektora

to liczba:

sin

Uwaga: Je

eli przynajmniej jeden z wektor

jest zerowy lub wektory maj

ten sam kierunek

(pokrywaj

lub s

wnoleg

e) to

W szczeg

lno

a r

Materiał do wykładu 2

2010/2011, zima

Wydzia

EAIiE

Kierunek: Elektrotechnika

Przedmiot: Fizyka

DLACZEGO?

Bo je

eli jest tylko jeden wektor to nie mo

utworzy

aszczyzny, do kt

rej wektor b

wynikiem iloczynu wektorowego by

prostopad

Jak wida

, jest to problem kierunku a nie

warto

ci wektora.

a r

Materiał do wykładu 2

2010/2011, zima

Wydzia

EAIiE

Kierunek: Elektrotechnika

Przedmiot: Fizyka

Iloczyn wektorowy

konsekwencje

1. Je

eli

⇒

2. S

y do sprawdzania r

wnoleg

ci wektor

Materiał do wykładu 2

2010/2011, zima

Wydzia

EAIiE

Kierunek: Elektrotechnika

Przedmiot: Fizyka

Algebra wektor

Rozdzielno

ść

mno

enia skalarnego i wektorowego

wzgl

dem dodawania (odejmowania)

)

(

)

(

Dzielić przez wektor nie wolno !!!

Materiał do wykładu 2

2010/2011, zima

Algebra wektor

Przyk

ad 1.

Dane jest r

wnanie wektorowe:

( )

[

]

−

Znale

źć

wektor

Rozwi

zanie:

Wydzia

EAIiE

Kierunek: Elektrotechnika

Przedmiot: Fizyka

Materiał do wykładu 2

2010/2011, zima

Algebra wektor

( )

[

]

−

Rozwi

zanie:

(

)

−

1. Z rozdzielno

ci mno

enia

wzgl

dem dodawania:

3. Dodaj

c i odejmuj

c stronami

jak w

„

zwyk

”

wnaniu:

(

)

−

4. Mamy prawo podzieli

przez

wyra

enie w nawiasie po

upewnieniu si

e jest liczb

2. Ale:

−

Materiał do wykładu 2

2010/2011, zima

Dowodzenie twierdze

Przyk

ad 2.

Udowodni

e dwa wektory musz

mie

wne

ugo

ci je

eli ich suma jest prostopad

a do ich

nicy.

Rachunek wektorowy u

atwia dowodzenie twierdze

geometrycznych.

Wydzia

EAIiE

Kierunek: Elektrotechnika

Przedmiot: Fizyka

Materiał do wykładu 2

2010/2011, zima

Dow

2. To (z definicji iloczynu skalarnego):

( ) ( )

−

⊥

1. Je

eli:

( ) ( )

−

3. Korzystaj

c z rozdzielno

ci mno

enie wzgl

dem

dodawania:

−

Wydzia

EAIiE

Kierunek: Elektrotechnika

Przedmiot: Fizyka

Materiał do wykładu 2

2010/2011, zima

Dow

4. Iloczyn skalarny jest

przemienny, a zatem:

−

5. I:

redukuje si

do:

−

6. Zatem:

c.n.d

Wydzia

EAIiE

Kierunek: Elektrotechnika

Przedmiot: Fizyka

Materiał do wykładu 2

2010/2011, zima

Stosuj

c rachunek wektorowy udowodni

twierdzenie

kosinus

Wydzia

EAIiE

Kierunek: Elektrotechnika

Przedmiot: Fizyka

Zadanie 2

Materiał do wykładu 2

2010/2011, zima

Wydzia

EAIiE

Kierunek: Elektrotechnika

Przedmiot: Fizyka

Wektor w kartezja

skim uk

adzie

wsp

dnych

–

przypadek dwuwymiarowy

iˆ

jˆ

. Pitagorasa

Trygonometria

Materiał do wykładu 2

2010/2011, zima

Wydzia

EAIiE

Kierunek: Elektrotechnika

Przedmiot: Fizyka

Wektor w

kartezja

kim

adzie

wsp

dnych

–

iˆ

jˆ

kˆ

i o

Materiał do wykładu 2

2010/2011, zima

Stosuj

c definicje iloczyn

w skalarnego i

wektorowego oblicz:

Wydzia

EAIiE

Kierunek: Elektrotechnika

Przedmiot: Fizyka

oraz

Zadanie 2

Materiał do wykładu 2

2010/2011, zima

Wydzia

EAIiE

Kierunek: Elektrotechnika

Przedmiot: Fizyka

Dzia

ania na wektorach

w uk

adzie kartezja

skim

Materiał do wykładu 2

2010/2011, zima

Wydzia

EAIiE

Kierunek: Elektrotechnika

Przedmiot: Fizyka

1. Dodawanie wektor

)

(

ˆ)

(

ˆ)

(

Wynik jest wektorem

a r

Materiał do wykładu 2

2010/2011, zima

Wydzia

EAIiE

Kierunek: Elektrotechnika

Przedmiot: Fizyka

2. R

wno

ść

wektor

≡

lub

Wynik

Materiał do wykładu 2

2010/2011, zima

Wydzia

EAIiE

Kierunek: Elektrotechnika

Przedmiot: Fizyka

3. Iloczyn skalarny

Wynik

OBOWIĄZUJE TYLKO W UKŁADZIE

KARTEZJAŃSKIM – DLACZEGO?

Materiał do wykładu 2

2010/2011, zima

Wydzia

EAIiE

Kierunek: Elektrotechnika

Przedmiot: Fizyka

4. Iloczyn wektorowy

Wynik

Materiał do wykładu 2

2010/2011, zima

Wydzia

EAIiE

Kierunek: Elektrotechnika

Przedmiot: Fizyka

ZASTOSOWANIE RACHUNKU

WEKTOROWEGO

W FIZYCE

Materiał do wykładu 2

2010/2011, zima

Wydzia

EAIiE

Kierunek: Elektrotechnika

Przedmiot: Fizyka

Wielko

ci fizyczne

Długość, czas, siła, masa, prędkość, przyspieszenie,

temperatura, ciśnienie, natężenie pola elektrycznego,

natężenie prądu elektrycznego, strumień pola

magnetycznego

długość

cza

siła

SKALARY

WEKTORY

masa

tem

per

atu

ciśnienie

natężenie

prądu

elektrycz

nego

strum

ień p

ola

mag

prę

ość

pr z

ysp

iesz

enie

natęże

nie po

elektr

yczne

Materiał do wykładu 2

2010/2011, zima

Wydzia

EAIiE

Kierunek: Elektrotechnika

Przedmiot: Fizyka

Mno

enie wektora przez liczb

d: definicja

wektor prędkości

m v

Pytanie: Jaki jest kierunek wektora p

du?

Odpowiedź:

p r

masa

Materiał do wykładu 2

2010/2011, zima

Wydzia

EAIiE

Kierunek: Elektrotechnika

Przedmiot: Fizyka

Iloczyn skalarny

Praca

F r

Wektor przesunięcia

Wektor si

W = F s cos

Materiał do wykładu 2

2010/2011, zima

Wydzia

EAIiE

Kierunek: Elektrotechnika

Przedmiot: Fizyka

Iloczyn wektorowy

Iloczyn wektorowy:

1. Moment si

y (ang.

torque

)

2. Moment p

du (ang.

angular

momentum

)

Materiał do wykładu 2

2010/2011, zima

Wydzia

EAIiE

Kierunek: Elektrotechnika

Przedmiot: Fizyka

Iloczyn wektorowy:

3. Siła Lorentza (ang. magnetic force) – siła

działająca na ładunek q poruszający się w polu

magnetycznym o wektorze indukcji B

To jest definicja wektora

indukcji pola

magnetycznego

Materiał do wykładu 2

2010/2011, zima

Wydzia

EAIiE

Kierunek: Elektrotechnika

Przedmiot: Fizyka

Okre

lanie zwrotu iloczynu wektorowego :

Materiał do wykładu 2

2010/2011, zima

Wydzia

EAIiE

Kierunek: Elektrotechnika

Przedmiot: Fizyka

Pole magnetyczne zakrzywia tor ruchu

adunku

elektrycznego.

skok

ruby

promie

ruby

⊥

Materiał do wykładu 2

2010/2011, zima

Wydzia

EAIiE

Kierunek: Elektrotechnika

Przedmiot: Fizyka

Zadanie 2

Rozwa

szczeg

lne przypadki ruchu cz

stki

adowanej w polu magnetycznym, gdy:

wektor pr

dko

ci jest r

wnoleg

y do wektora

indukcji magnetycznej

wektor pr

dko

ci jest prostopad

y do

wektora indukcji magnetycznej

Odpowiedzie

na pytania: jaka si

a dzia

a na

stk

i jaka krzywa opisuje tor ruchu

stki.

Materiał do wykładu 2

2010/2011, zima

Zastanowi

nad innymi zastosowaniami

rachunku wektorowego zar

wno w matematyce

jak i fizyce. Poszuka

informacji na temat iloczynu

mieszanego

oraz

podw

mieszanego

oraz

podw

jnego

iloczynu

jnego

iloczynu

wektorowego czyli:

Wydzia

EAIiE

Kierunek: Elektrotechnika

Przedmiot: Fizyka

)

( c

)

( c

Zadanie 2

Materiał do wykładu 2

2010/2011, zima

Pole magnetyczne nie zmienia energii kinetycznej

cząstki naładowanej poruszającej się w tym polu

ale

czyli

)

(

=const

Materiał do wykładu 2

2010/2011, zima

TEST 2P

1. Wektor o długości 20 dodano do wektora o długości 25.

Długość wektora będącego sumą wektorów może być

równa:

A) zero B) 3 C) 12 D) 47 E) 50

2. Wektory i leżą na płaszczyźnie xy. Możemy

wnosić, że jeżeli:

B) E)

Materiał do wykładu 2

2010/2011, zima

3. Jeżeli to ma wartość:

A) 10 m B) 20 m C) 30 m D) 40 m E) 50 m

4. Kąt pomiędzy wektorem a dodatnim

kierunkiem osi OX wynosi:

A) 29

B) 61

C) 119

D) 151

E) 209

5. Dwa wektory, których początki się pokrywają, tworzą

pewien kąt. Jeżeli kąt pomiędzy tymi wektorami zwiększy

się o 20

to iloczyn skalarny tych dwóch wektorów

zmienia znak na przeciwny. Kąt, który początkowo

tworzyły te dwa wektory wynosi:

A) 0 B) 60

C) 70

D) 80

E) 90

)

(

)

(

−

)

(

)

(

−

Materiał do wykładu 2

2010/2011, zima

6. Dwa wektory

wyznaczają jednoznacznie płaszczyznę. Który z

wektorów jest prostopadły do tej płaszczyzny:

A) D)

B) E)

7. Wartość

wynosi:

A) zero B) +1 C) -1 D) 3 E) √3

)

(

)

(

−

)

(

)

(

)

(

−

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

−

)

(

)

(

)

(

−

)

(

)

(

)

(

−

)

(

)

(

)

(

Materiał do wykładu 2

2010/2011, zima

TEST 2A

1. A vector of magnitude 3 CANNOT be added to a vector

of magnitude 4 so that the magnitude of the resultant is:

A) zero B) 1 C) 3 D) 5 E) 7
2. A vector has a magnitude of 12. When its tail is at the

origin it lies between the positive x axis and negative y

axis and makes an angle of 30

with the x axis. Its y

component is:

A) 6√3 B)-6 √3 C) 6 D) -6 E) 12

3. A vector has a component of 10 in the +x direction, a

component of 10 m in the +y direction, and a component

of 5 m in the +z direction. The magnitude of this vector

is:

A) zero B) 15 m C) 20 m D) 25 m E) 225 m

Materiał do wykładu 2

2010/2011, zima

4. Two vectors have magnitudes of 10 and 15. The angle

between them when they are drawn with their tails at

the same point is 65

. The component of the longer

vector along the line of the shorter is:

A) 0

B) 4.2 C) 6.3 D) 9.1 E) 14

5. If the magnitude of the sum of two vectors is less than

the magnitude of either vector, then:

A) the scalar product of the vectors must be negative

B) the scalar product of the vectors must be positive

C) the vectors must be parallel and in opposite directions

D) the vectors must be parallel and in the same direction

E) none of the above

Materiał do wykładu 2

2010/2011, zima

Wydzia

EAIiE

Kierunek: Elektrotechnika

Przedmiot: Fizyka

reguła

równoległoboku

Metoda

postępowania

równia pochyła,

rzut ukośny, itp

wektory

składowe

rozkład wektora

algebra wektorów,

dowodzenie

twierdzeń

wektor

odejmowanie

wypadkowe

przemieszczenie,

wypadkowa siła

wektor

dodawanie

Zastosowanie

Wynik

Działanie

a r

−

Podsumowanie

Materiał do wykładu 2

2010/2011, zima

Wydzia

EAIiE

Kierunek: Elektrotechnika

Przedmiot: Fizyka

równo-

ległość

wektorów

równo-

ległość

wektorów

prosto-

padłość

wektorów

matema-

tyce

pęd, II

zasada

dynamiki

1. kierunek

2. zwrot
3.wartość

wektor

mnożenie

wektora

przez

liczbę

moment

pędu,

moment

siły, siła

Lorentza

1. kierunek

2. zwrot

3.wartość

wektor

iloczyn

wektorowy

praca,

energia

np.kinetycz-

skalar

iloczyn

skalarny

W fizyce

Wzór w

układzie

kartezj.

Definicja

Wynik

Działanie

cos

a r

sin

⇒

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Materiałoznawstwo & 10 2010
TENS - materiay z zaj 2010, terapia bólu-fizjoterapia
Materiały PEM 2010 - Protokół do ćw. 3, LABORATORIUM METROLOGII OGÓLNEJ
Materiały (rocznik 2010-11), Sopocka Szkoła Wyższa, Zarządzanie finansami, Metody wyceny projektów g
Materiałoznawstwo 11 2010
Materiałoznawstwo 0 11 2010
Brzechczyn, Krzysztof O ścieżkach upadku imperium sowieckiego Próba typologii w świetle nie Marksow
Rozkład materiału g domIII 2010 2011
Rozkład materiału g d II 2010 2011
Materiały budowlane wykład3 2010 (2)
inzynieria produkcji budowlanej, NAUKA, budownictwo materiały 16.12.2010, projekty, budownictwo - te
test 1 - 2010, Elektrotechnika-materiały do szkoły, Zakłócenia w układach elektroenergetycznych
Materiały budowlane wykład1 2010 (2)
arkusz kalkulacny technilogia V sem, do uczenia, materialy do nauczania, rok2009 2010, 03.01.10

więcej podobnych podstron