METODY OBLICZENIOWE

Równania różniczkowe zwyczajne

Ścisłe rozwiązywanie równań i układów równań różniczkowych zwyczajnych

dsolve

(równania_ warunki, funkcje)

Przybliżone rozwiązywanie równań i układów równań różniczkowych zwyczajnych

dsolve

(równania_ warunki, funkcje, opcje)

Oznaczenia:

równania

_ warunki – zbiór lub lista równań i warunków początkowych lub brzegowych.

Uwaga: Warunki na pochodne podaje się za pomocą operatora D np. D(y)(0)=1.

funkcje

– zbiór lub lista funkcji, ze względu na które rozwiązujemy równania, np.

{y(x),z(x)}

.

opcje

: series – przybliżone rozwiązanie zagadnienia początkowego w formie szeregu

potęgowego.

numeric – numeryczne rozwiązanie zagadnienia początkowego lub brzegowego.

Uwaga: W przypadku użycia opcji numeric jest możliwość wyboru metody rozwią-

zania poprzez podanie kolejnego parametru: method = nazwa_metody.
Inaczej do rozwiązywania zastaną użyte metody domyślne np. dla zagadnienia
początkowego metoda Rungego-Kutty-Fehlberga 4 rzędu.

W przypadku opcji numeric komenda dsolve zwraca procedurę.

Zadania

1.

a) Rozwiązać równanie różniczkowe

( )

( )

( )

sin( )

a y x

b y x

c y x

x

′′

′

⋅

+ ⋅

+ ⋅

=

, gdzie symbole

a

, b, c, oznaczają pewne stałe. Przyjąć następujące warunki początkowe:

(0)

0,

(0) 1

y

y

′

=

= .

b) Przyjmując wartości stałych

1,

2,

100

a

b

c

=

=

=

wyznaczyć rozwiązanie w punkcie

x

= 1.

c) Wykreślić rozwiązanie równania w przedziale

[0,15]

x

∈

dla stałych przyjętych jak w

punkcie b).

2.

a) Znaleźć ścisłe rozwiązanie równania różniczkowego

( )

( )

( )

0

y x

y x

y x

′′

′

+

+

= z

warunkami brzegowymi (0) 1,

(5)

0

y

y

′

=

= .

b) Sprawdzić czy otrzymane rozwiązanie spełnia warunki brzegowe.

c) Wykreślić otrzymane rozwiązanie w przedziale

[0, 5]

x

∈

.

3.

a) Znaleźć przybliżone rozwiązanie poniższego układu równań różniczkowych w formie

szeregu potęgowego

( )

( )

( )

,

(1)

1, (1)

2

( ) ( )

( )

y x

y x

u x

y

u

u x y x

u x

x

′

= −

+





= −

=



′

= −



b) Wykorzystując rozwiązanie uzyskane w punkcie a) wyznaczyć y(2) i u(2).

c) Rozwiązać ponownie zadanie z punktu a) zwiększając dokładność poprzez zmianę

wartości zmiennej systemowej Order na 15 (Order:=15).

4. Znaleźć numeryczne rozwiązanie zadania z punktu 3a) dla x = 2. Użyć domyślnej metody

stosowanej przez program oraz metody szeregów Taylora (method=taylorseries).

5. Wykreślić rozwiązania otrzymane za pomocą wybranej z metod z zadania 4 w

przedziale

[1, 7]

x

∈

. Wykorzystać komendę odeplot z pakietu plots.