Caªka oznaczona funkcji jednej zmiennej,
czyli caªka Riemanna.

Denicja caªki oznaczonej

W tym rozdziale wprowadzimy poj¦cie caªki oznaczonej funkcji jednej zmiennej.
Omówimy caªkowalno±¢ w sensie Riemanna i podamy podstawowe wªasno±ci caªki
oznaczonej. Poznamy dwie metody caªkowania - caªkowanie przez cz¦±ci i caªkowanie
przez podstawienie - oraz przedstawimy interpretacj¦ zyczn¡ i zastosowania caªek
oznaczonych w geometrii.

Podziaªem odcinka [ a, b ] na n cz¦±ci, gdzie n ∈ N, b¦dziemy nazywa¢ zbiór P =
{x

0

, x

1

, . . . , x

n

}

, gdzie a = x

0

< x

1

< · · · < x

n

= b

. Ponadto przyjmijmy, »e ∆x

k

oznacza dªugo±¢ k-tego odcinka (∆x

k

= x

k

− x

k−1

), δ(P ) = max

1≤k≤n

∆x

k

oznacza

±rednic¦ podziaªu P , natomiast x

∗
k

jest pewnym punktem po±rednim k-tego odcinka

(tzn. x

∗
k

∈ [k

k−1

, x

k

]

).

Denicja. Niech f b¦dzie ograniczona na [ a, b ]. Sum¡ caªkow¡ funkcji f odpowia-
daj¡c¡ podziaªowi P odcinka [ a, b ] na n cz¦±ci oraz punktom po±rednim x

∗
1

, x

∗
2

, . . . , x

∗
n

tego podziaªu nazywamy liczb¦

S(f, P ) = S(f, P, x

∗
1

, x

∗
2

, . . . , x

∗
n

) =

n

X

k=1

f (x

∗
k

)∆x

k

.

Interpretacja graczna

RYSUNEK

Suma caªkowa na powy»szym rysunku jest przybli»eniem pola obszaru ograniczonego
wykresem funkcji (dodatniej) y = f(x), osi¡ Ox oraz prostymi x = a i x = b przez
sum¦ prostok¡tów o podstawach ∆x

k

i wysoko±ciach (x

∗
k

)

.

Denicja. Niech f b¦dzie ograniczona na [ a, b ]. Caªk¦ oznaczon¡ (caªk¦ Riemanna)
z funkcji f na przedziale [ a, b ] deniujemy wzorem

Z

b

a

f (x) dx = lim

δ(P )→0

n

X

k=1

f (x

∗
k

)∆x

k

1

o ile granica po prawej stronie równo±ci jest wªa±ciwa i nie zale»y od sposobu po-
dziaªu odcinka [ a, b ], ani od sposobu wybierania punktów po±rednich x

∗
1

, x

∗
2

, . . . , x

∗
n

.

Ponadto przyjmujemy, »e

a

Z

a

f (x) dx = 0 oraz

a

Z

b

f (x) dx = −

b

Z

a

f (x) dx (dla a < b).

Denicja. Funkcj¦, dla której istnieje caªka oznaczona (caªka Riemanna) na [ a, b ]
nazywamy funkcj¡ caªkowaln¡ w sensie Riemanna na przedziale [a, b] (w skrócie
funkcj¡ caªkowaln¡ na [ a, b ]).
Równowa»ne zapisy:

b

Z

a

f (x) dx,

Z

[a,b]

f (x) dx,

b

Z

a

f,

Z

[a,b]

f.

Uwaga.

1. Bezpo±rednio z denicji wynika, »e dla funkcji nieujemnej f caªk¦

b

R

a

f (x) dx

mo»na traktowa¢

2. Ka»da funkcja caªkowalna jest ograniczona, ale nie ka»da funkcja ograniczona

jest caªkowalna.

Przykªad. Przykªadem funkcji, która jest ograniczona na caªej prostej rzeczywistej,
a nie jest caªkowalna na »adnym przedziale [ a, b ] ⊂ R jest funkcja Dirichleta

f (x) =

(

1,

gdy x jest liczb¡ wymiern¡,

0,

gdy x jest liczb¡ niewymiern¡.

Podstawowe twierdzenia

Twierdzenie (warunek wystarczaj¡cy caªkowalno±ci). Je±li f jest ograniczona na
przedziale [ a, b ] i ma na tym przedziale co najwy»ej sko«czon¡ liczb¦ punktów nie-
ci¡gªo±ci, to jest na nim caªkowalna.

Uwaga.

1. W szczególno±ci z tego wynika, »e funkcje ci¡gªe s¡ caªkowalne.

2. Je±li f jest monotoniczna na [ a, b ], to jest na tym przedziale caªkowalna caª-

kowalna

2

Twierdzenie (wªasno±ci caªki oznaczonej). Niech f, g : [a, b ] → Rb¦d¡ funkcjami
caªkowalnymi na [ a, b ]. Niech C ∈ R, a < d < b. Wtedy

1. (liniowo±¢) funkcje C · f, f ± g, f · g,

f

g

(o ile g(x) 6= 0 dla x ∈ [a, b ]) s¡

caªkowalne i zachodzi

b

Z

a

C · f (x) dx = C ·

b

Z

a

f (x) dx

oraz

b

Z

a

(f (x) ± g(x)) dx =

b

Z

a

f (x) dx ±

b

Z

a

g(x) dx.

2. funkcja |f| jest caªkowalna i zachodzi








b

Z

a

f (x) dx








≤

b

Z

a

|f (x)| dx,

3. zachodzi

d

R

a

f (x) dx +

b

R

d

f (x) dx =

b

R

a

f (x) dx

,

4. (monotoniczno±¢) je±li f(x) ≤ g(x), to

b

R

a

f (x) dx ≤

b

R

a

g(x) dx

,

Twierdzenie (tw. Newtona-Leibniza). Je±li f jest ci¡gªa na przedziale [ a, b ], to

b

Z

a

f (x) dx = F (b) − F (a)



= F (x)





b

a



,

gdzie F jest dowoln¡ funkcj¡ pierwotn¡ (czyli caªk¡ nieoznaczon¡) funkcji f na tym
przedziale.

Przykªad.

Twierdzenie (obliczanie caªek za pomoc¡ sumy caªkowej podziaªu równomiernego).
Je±li f jest caªkowalna na [ a, b ], to

b

Z

a

f (x) dx = lim

n→∞

b − a

n

n

X

k=1

f



a + k ·

b − a

n



.

3

Metody obliczania caªek oznaczonych

Twierdzenie (caªkowanie przez cz¦±ci).
Je±li f i g maj¡ ci¡gªe pochodne na [ a, b ], to

b

Z

a

f (x)g

0

(x) dx = f (x)g(x)





b

a

−

b

Z

a

f

0

(x)g(x) dx.

Twierdzenie (caªkowanie przez podstawienie).
Je±li f : [ a, b ] → R jest funkcj¡ ci¡gª¡ (zatem caªkowaln¡), funkcja ϕ : [α, β] → [a, b]
ma ci¡gª¡ pochodn¡ na [α, β] oraz ϕ(α) = a, ϕ(β) = b, to

b

Z

a

f (x) dx =

β

Z

α

f (ϕ(t))ϕ

0

(t) dt.

Przykªad.

Denicja. Niech f b¦dzie caªkowalna na [ a, b ]. Warto±ci¡ ±redni¡ funkcji f na [ a, b ]
nazywamy liczb¦

f

±r

=

1

b − a

b

Z

a

f (x) dx.

RYSUNEK

Warto±¢ ±rednia funkcji f na [ a, b ] jest wysoko±ci¡ prostok¡ta o podstawie dªugo±ci
b−a

, którego pole jest równe polu trapezu krzywoliniowego ograniczonego wykresem

funkcji f, osi¡ Ox oraz prostymi x = a i x = b.

Twierdzenie (wªasno±ci caªki oznaczonej c.d.).
Niech f b¦dzie lokalnie caªkowalna na R, tzn. caªkowalna na ka»dym domkni¦tym
przedziale [ a, b ] ⊂ R.

1. Je±li f jest funkcj¡ nieparzyst¡

tzn. f(−x) = −f(x) dla x ∈ R
, to dla

ka»dego a > 0 zachodzi

a

Z

−a

f (x) dx = 0,

4

2. Je±li f jest funkcj¡ parzyst¡ tzn. f(−x) = f(x) dla x ∈ R
, to dla ka»dego

a > 0

zachodzi

a

Z

−a

f (x) dx = 2

a

Z

0

f (x) dx,

3. Je±li f jest funkcj¡ okresow¡ o okresie T tzn. f(x + kT ) = f(x) dla k ∈ Z
,

to dla ka»dego a ∈ R zachodzi

a+T

Z

a

f (x) dx =

T

Z

0

f (x) dx

RYSUNEK

Interpretacja geometryczna caªki oznaczonej

Pole trapezu krzywoliniowego

RYSUNEK
Niech f b¦dzie nieujemn¡ funkcj¡ ograniczon¡ na [ a, b ]. Niech D oznacza trapez
krzywoliniowy ograniczony wykresem funkcji f, osi¡ Ox oraz prostymi x = a i x = b.
Pole |D| tego trapezu jest granic¡ sumy pól prostok¡tów ∆D

k

aproksymuj¡cych ten

trapez, gdy δ(P ) → 0

|D| = lim

δ(P )→0

n

X

k=1

|∆D

k

| = lim

δ(P )→0

n

X

k=1

f (x

∗
k

)∆x

k

=

b

Z

a

f (x) dx.

Uwaga. Gdy wykres funkcji f le»y pod osi¡ Ox, tzn. f przyjmuje warto±ci ujemne
dla x ∈ [ a, b ], wtedy przyjmujemy, »e pole trapezu krzywoliniowego jest ujemne.

Obj¦to±¢ bryªy obrotowej

WKRÓTCE UZUPEŠNI†

5

Interpretacja zyczna caªki oznaczonej

Droga przebyta w ruchu zmiennym

Niech S oznacza drog¦ przebyt¡ w przedziale czasowym [α, β] przez punkt materialny
poruszaj¡cy si¦ ze zmienn¡ pr¦dko±ci¡ v(t), gdzie t ∈ [α, β]. Wówczas droga S jest
granic¡ sumy dróg elementarnych ∆S

k

przebytych przez ten punkt w czasie ∆t

k

ze

staª¡ pr¦dko±ci¡ v(t

∗
k

)

, gdy δ(P ) → 0

S = lim

δ(P )→0

n

X

k=1

|∆S

k

| = lim

δ(P )→0

n

X

k=1

v(t

∗
k

)∆t

k

=

β

Z

α

v(t) dt.

Zatem droga S jest polem trapezu krzywoliniowego ograniczonego wykresem funkcji
v

, osi¡ Ot oraz prostymi t = α i t = β.

Caªka z funkcji wektorowej

Niech ~F (t) = (x(t), y(t)) b¦dzie funkcj¡ wektorow¡ okre±lon¡ na [ a, b ], przy czym
funkcje x i y s¡ caªkowane na [ a, b ]. Caªk¦ oznaczon¡ z funkcji wektorowej ~F de-
niujemy jako

b

Z

a

~

F (t) dt =





b

Z

a

x(t) dt,

b

Z

a

y(t) dt





.

Uwaga. Podobnie okre±la si¦ caªk¦ z funkcji wektorowej ~F (t) = (x(t), y(t), z(t)).

Zastosowanie caªek oznaczonych w geometrii

Twierdzenie (pole trapezu krzywoliniowego).

1. Niech funkcje d, g : [ a, b ] → R b¦d¡ ci¡gªe i niech d(x) ≤ g(x) dla ka»dego

x ∈ [ a, b ]

. Wtedy pole trapezu krzywoliniowego D ograniczonego wykresami

funkcji d i g oraz prostymi x = a i x = b wyra»a si¦ wzorem

|D| =

b

Z

a

(g(x) − d(x)) dx.

6

2. Niech funkcje d, g : [ p, q ] → R b¦d¡ ci¡gªe i niech d(y) ≤ g(y) dla ka»dego

y ∈ [ p, q ]

. Wtedy pole trapezu krzywoliniowego D ograniczonego wykresami

funkcji d i g oraz prostymi y = p i y = q wyra»a si¦ wzorem

|D| =

q

Z

p

(g(y) − d(y)) dy.

RYSUNEK

Przykªad.

Twierdzenie (dªugo±¢ krzywej).
Niech f ma ci¡gª¡ pochodn¡ na [ a, b ] (czyli f jest klasy C

1

na [ a, b ] ). Wtedy

dªugo±¢ krzywej Γ = {(x, f(x)) : x ∈ [ a, b ]} wyra»a si¦ wzorem

|Γ| =

b

Z

a

q

1 + (f

0

(x))

2

dx.

RYSUNEK

Przykªad.

Twierdzenie (obj¦to±¢ bryªy).
Niech S(x), x ∈ [ a, b ], oznacza pole przekroju poprzecznego bryªy V pªaszczyzn¡
prostopadª¡ do osi Ox w punkcie x oraz niech S b¦dzie ci¡gªa na [ a, b ]. Wtedy
obj¦to±¢ bryªy V wyra»a si¦ wzorem

|V | =

b

Z

a

S(x) dx.

Twierdzenie (obj¦to±¢ bryªy obrotowej).
Niech T b¦dzie trapezem krzywoliniowym ograniczonym wykresem funkcji nieujem-
nej i ci¡gªej na [ a, b ], osi¡ Ox oraz prostymi x = a i x = b.

1. Obj¦to±¢ bryªy obrotowej V powstaªej z obrotu T wokóª osi Ox wyra»a si¦

wzorem

|V | = π

b

Z

a

f

2

(x) dx.

7

2. Obj¦to±¢ bryªy obrotowej V powstaªej z obrotu T wokóª osi Oy, przy dodat-

kowym zaªo»eniu, »e a > 0, wyra»a si¦ wzorem

|V | = 2π

b

Z

a

xf (x) dx.

RYSUNEK

Twierdzenie (pole powierzchni obrotowej).
Niech f b¦dzie funkcj¡ nieujemn¡, która ma ci¡gª¡ pochodn¡ na [ a, b ].

1. Pole powierzchni Σ powstaªej z obrotu wykresu funkcji f (konkretnie krzywej

Γ = {(x, f (x)) : x ∈ [ a, b ]}

) wokóª osi Ox wyra»a si¦ wzorem

|Σ| = 2π

b

Z

a

f (x)

q

1 + (f

0

(x))

2

dx.

2. Zaªó»my dodatkowo, »e a ≥ 0. Pole powierzchni Σ powstaªej z obrotu wykresu

funkcji f (konkretnie krzywej Γ = {(x, f(x)) : x ∈ [ a, b ]}) wokóª osi Oy
wyra»a si¦ wzorem

|Σ| = 2π

b

Z

a

x

q

1 + (f

0

(x))

2

dx.

RYSUNEK

Caªka niewªa±ciwa pierwszego rodzaju.

W tym rozdziale przyjmiemy, »e wszystkie funkcje s¡ lokalnie caªkowalne, tzn. »e s¡
caªkowalne na ka»dym domkni¦tym przedziale zawartym w ich dziedzinie.

Denicja. Niech f : [ a, ∞) → R. Caªk¦ niewªa±ciw¡ pierwszego rodzaju funkcji f
na [ a, ∞) deniujemy wzorem

∞

Z

a

f (x) dx = lim

T →∞

T

Z

a

f (x) dx.

8

RYSUNEK

1. Je±li granica lim

T →∞

T

R

a

f (x) dx

jest wªa±ciwa, to mówimy, »e caªka

∞

R

a

f (x) dx

jest

zbie»na.

2. Je±li granica lim

T →∞

T

R

a

f (x) dx

jest równa ±∞, to mówimy, »e caªka

∞

R

a

f (x) dx

jest rozbie»na do ±∞.

3. Je±li granica lim

T →∞

T

R

a

f (x) dx

nie istnieje, to mówimy, »e caªka

∞

R

a

f (x) dx

jest

rozbie»na.

Uwaga. Analogicznie deniujemy caªk¦ niewªa±ciw¡ pierwszego rodzaju na (−∞, b ]
wzorem

b

Z

−∞

f (x) dx = lim

T →−∞

b

Z

T

f (x) dx.

Denicja. Niech f : (−∞, ∞) → R. Caªk¦ niewªa±ciw¡ pierwszego rodzaju funkcji
f

na (−∞, ∞) deniujemy wzorem

∞

Z

−∞

f (x) dx =

a

Z

−∞

f (x) dx +

∞

Z

a

f (x) dx,

gdzie a jest dowoln¡ liczb¡ rzeczywist¡.

Uwaga.

1. Je±li obie caªki

a

R

−∞

f (x) dx

i

∞

R

a

f (x) dx

s¡ zbie»ne, to caªka

∞

R

−∞

f (x) dx

jest

zbie»na.

2. Je±li caªka

a

R

−∞

f (x) dx

jest rozbie»na do ∞, a caªka

∞

R

a

f (x) dx

jest zbie»na lub

rozbie»na do ∞, to caªka

∞

R

−∞

f (x) dx

jest rozbie»na do ∞.

3. Je±li caªka

a

R

−∞

f (x) dx

jest rozbie»na do ∞, a caªka

∞

R

a

f (x) dx

jest rozbie»na do

−∞

lub jest rozbie»na, to caªka

∞

R

−∞

f (x) dx

jest rozbie»na.

9

4. Je±li caªka

a

R

−∞

f (x) dx

jest rozbie»na to, niezale»nie od tego, jaka jest caªka

∞

R

a

f (x) dx

, caªka

∞

R

−∞

f (x) dx

jest rozbie»na.

Uwaga. Je±li caªka

∞

R

−∞

f (x) dx

jest zbie»na dla pewnego a ∈ R, to jest zbie»na dla

dowolnego a ∈ R, a jej warto±¢ nie zale»y od a.

Przykªad.

Fakt. Niech a > 0. Caªka niewªa±ciwa

∞

Z

a

1

x

p

dx

jest zbie»na dla p > 1 i rozbie»na dla p ≤ 1.

Uwaga. Analogiczny fakt jest prawdziwy tak»e dla caªek

b

R

−∞

1

x

p

dx

, gdzie b < 0, o

ile funkcja podcaªkowa jest dobrze okre±lona. (Uwaga na pierwiastki stopnia parzy-
stego!)

Przykªad.

Kryteria zbie»no±ci caªek niewªa±ciwych pierwszego rodzaju.

Twierdzenie (Kryterium porównawcze zbie»no±ci caªek niewªa±ciwych pierwszego
rodzaju).

WKRÓTCE UZUPEŠNI†

Twierdzenie (Kryterium ilorazowe zbie»no±ci caªek niewªa±ciwych pierwszego ro-
dzaju).

WKRÓTCE UZUPEŠNI†

10

Zbie»no±¢ bezwzgl¦dna caªek pierwszego rodzaju.

Funkcje dwóch i trzech zmiennych.

Zbiory na pªaszczy¹nie i w przestrzeni.

Denicja. Przestrzeni¡ dwuwymiarow¡ (pªaszczyzn¡) nazywamy zbiór uporz¡dko-
wanych par ( x, y), gdzie x, y ∈ R. Oznaczamy j¡ symbolem R

2

.

R

2

= {(x, y) : x, y ∈ R}.

Przestrzeni¡ trójwymiarow¡ (przestrzeni¡) nazywamy zbiór uporz¡dkowanych trójek
( x, y, z)

, gdzie x, y, z ∈ R. Oznaczamy j¡ symbolem R

3

.

R

3

= {(x, y, z) : x, y, z ∈ R}.

Liczby x, y, z nazywamy wspóªrz¦dnymi kartezja«skimi.

RYSUNEK

Denicja. Odlegªo±¢ w R

2

punktów P

1

= (x

1

, y

1

)

i P

2

= (x

2

, y

2

)

deniujemy jako

|P

1

P

2

| =

p

(x

1

− x

2

)

2

+ (y

1

− y

2

)

2

.

Analogicznie, odlegªo±¢ w R

3

punktów P

1

= (x

1

, y

1

, z

1

)

i P

2

= (x

2

, y

2

, z

2

)

deniujemy

jako

|P

1

P

2

| =

p

(x

1

− x

2

)

2

+ (y

1

− y

2

)

2

+ (z

1

− z

2

)

2

.

Denicja. Otoczeniem (otwartym) o promieniu r > 0 punktu P

0

(w R

2

lub R

3

)

nazywamy zbiór

O(P

0

, r) = {P : |P P

0

| < r}.

Inn¡ nazw¡ tego zbioru jest kula otwarta o ±rodku w P

0

i promieniu r.

RYSUNEK

Denicja. Mówimy, »e zbiór A jest ograniczony, gdy mo»na go zawrze¢ w pewnej
kuli, tzn. istnieje punkt P

0

i r > 0 takie, »e A ⊂ O(P

0

, r)

.

W przeciwnym wypadku mówimy, »e zbiór A jest nieograniczony.

11

Denicja. Zbiór A jest otwarty, gdy ka»dy jego punkt jest w nim zawarty wraz z
pewn¡ kul¡, tzn. dla ka»dego P ∈ A istnieje r > 0 takie, »e O(P, r) ⊂ A.
Zbiór A jest spójny, gdy dowolne jego dwa punkty mo»na poª¡czy¢ ªaman¡ caªkowicie
zawart¡ w A.
Niepusty zbiór otwarty i spójny nazywamy obszarem.

Denicja. Punkt P jest punktem brzegowym zbioru A, gdy ka»da kula o ±rodku w
P

zawiera punkty nale»¡ce do A i jednocze±nie zawiera punkty, które do A nie nale»¡

(czyli nale»¡ do dopeªnienia zbioru A, oznaczanego przez A

c

), tzn. dla ka»dego r > 0

O(P, r) ∩ A 6= ∅ ∧ O(P, r) ∩ A

c

6= ∅.

Uwaga. Zauwa»my, »e P nie musi nale»e¢ do A.

Denicja. Brzegiem zbioru A nazywamy zbiór jego punktów brzegowych. Brzeg
zbioru A oznaczamy przez ∂A.
Zbiór nazywamy domkni¦tym, je±li zawiera swój brzeg.

Funkcje dwóch zmiennych.

Denicja. Funkcj¡ f dwóch zmiennych okre±lon¡ na zbiorze A ⊂ R

2

o warto±ciach

w R nazywamy przyporz¡dkowanie ka»demu punktowi z A dokªadnie jednej liczby
rzeczywistej.
Funkcj¦ tak¡ oznaczamy f : A → R lub z = f(x, y), gdzie (x, y) ∈ A.
Analogicznie, jak w przypadku funkcji jednej zmiennej, f(x, y) oznacza warto±¢ funk-
cji f w punkcie (x, y).

RYSUNEK

Denicja. Zbiór, na którym okre±lona jest funkcja f oznaczamy przez D

f

i nazy-

wamy dziedzin¡ funkcji f.
Zbiór wszystkich punktów, dla których wzór okre±laj¡cy funkcj¦ ma sens, nazywamy
dziedzin¡ naturaln¡ funkcji f.

Przykªad. Dla funkcji f(x, y) = p4 − x

2

− y

2

wyznaczymy dziedzin¦ naturaln¡.

Oczywi±cie, aby pierwiastek byª dobrze okre±lony, musi zachodzi¢ 4 − x

2

− y

2

≥ 0

.

Zatem D

f

= {(x, y) ∈ R

2

: x

2

+ y

2

≤ 4}

, czyli na pªaszczy¹nie jest to koªo o ±rodku

w punkcie (0, 0) i promieniu 2.

12

Denicja. Wykresem funkcji f dwóch zmiennych nazywamy zbiór

{(x, y, z) ∈ R

3

: (x, y) ∈ D

f

, z = f (x, y)}.

Poziomic¡ wykresu funkcji f odpowiadaj¡c¡ poziomowi h nazywamy zbiór

{(x, y) ∈ D

f

: f (x, y) = h}.

RYSUNEK

Uwaga. Wykresy najwa»niejszych funkcji:

1. Wykresem funkcji z = Ax + By + C jest pªaszczyzna o wektorze normalnym

~

n = (−A, −B, 1)

przechodz¡ca przez punkt P = (0, 0, C).

2. Wykresem funkcji z = a(x

2

+ y

2

)

jest paraboloida obrotowa, czyli powierzchnia

obrotowa powstaªa z obrotu paraboli z = ax

2

wokóª osi Oz.

3. Wykresem funkcji z = apx

2

+ y

2

jest sto»ek, czyli powierzchnia obrotowa

powstaªa z obrotu wykresu funkcji z = a |x| wokóª osi Oz.

4. Ogólniej, wykresem funkcji z = g(px

2

+ y

2

)

jest powierzchnia obrotowa po-

wstaªa z obrotu wykresu funkcji z = g(|x|) wokóª osi Oz.

5. Wykresem funkcji z = pR − (x

2

+ y

2

)

jest górna póªsfera o ±rodku w punkcie

(0, 0, 0)

i promieniu R. (Analogicznie, wykresem funkcji z = −pR − (x

2

+ y

2

)

jest dolna póªsfera o tych samych parametrach.)

6. Wykresem funkcji z = g(x) (tzn. f(x, y) = g(x), gdzie y ∈ R), jest powierzch-

nia walcowa powstaªa w wyniku przesuni¦cia wykresu funkcji z = g(x) dla
y = 0

równolegle do osi Oy.

RYSUNKI

Fakt.

1. Wykres funkcji z = f(x−a, y −b)+c powstaje w wyniku przesuni¦cia wykresu

funkcji z = f(x, y) o wektor ~v = (a, b, c).

2. Wykres funkcji z = −f(x, y) powstaje w wyniku odbicia wykresu funkcji z =

f (x, y)

wzgl¦dem pªaszczyzny xOy (czyli pªaszczyzny z = 0).

13