ANALIZA MATEMATYCZNA

20 godzin wykładów

Zaliczenie ćwiczeń

Literatura:

• J. Piszczała - „Matematyka i jej zastosowania w naukach ekonomicznych”

• Borsuk, Dawidowicz - „Wykłady z analizy matematycznej”

• Zbiór zadań z analizy matematycznej

- dla każdego

Relacja porządkowa

A jest ograniczony z góry jeżeli istnieje liczba ograniczająca

Kres górny i dolny zbioru

Kres góry zbioru A - sup A najmniejsza liczba ograniczająca zbiór z góry

Kres dolny zbioru A - inf A największa liczba ograniczająca zbiór z dołu

Każdy zbiór ograniczony z dołu ma kres dolny

- nie istnieje

- nie istnieje

Zbiory zespolone - ciała liczbowe

- pary liczb rzeczywistych

*

kula - otoczenie punktu X

funkcja - przyporządkowanie elementów ze zbioru A elementowi ze zbioru B tak,
że każdemu elementów ze zbiory A przyporządkowany jest element ze zbioru B

Ciągi - funkcje określone na zbiorze liczb naturalnych

Ciąg A_n jest ograniczony, gdy jest ograniczony zbiór jego elementów

Prawie wszystkie wyrazy ciągu - wszystkie elementy poza zamkniętym zbiorem

Ciąg mający granicę jest zbieżny

Ciąg zbieżny musi być ograniczony

Punkt skupienia ciągu - w każdym otoczeniu ciągu znajduje się nieskończenie wiele punktów A

Ciąg rozbieżny - nie ma granicy

Ciąg z granicą - ciąg zbieżny

Szeregi liczbowe

Szereg jest zbieżny jeśli ciąg wyrazów dąży do zera

jest zbieżny

- szereg harmoniczny o wykładniku

- szereg zbieżny

- szereg rozbieżny

Prawo L'Amberta

Prawo Cauchy'ego

Szeregi przemienne

Kryterium Dirichlet'a

Prawo Leibniz'a

- a_n dąży do zera

- szereg warunkowo zbieżny

1.1

Zdaniem - nazywamy każde i tylko takie wyrażenie, któremu można przyporządkować jedną z dwóch wartości logicznych ( PRAWDA lub FAŁSZ - 0,1 )

Negacja	nie prawda, że p	~p
Koniunkcja		p i q
Alternatywa		p lub q
Równoważność
Implikacja		jeżeli p to q

p	q	~p
1	1	0	1	1	1	1
1	0	0	0	1	0	0
0	1	1	0	1	1	0
0	0	1	0	0	1	1

Zmiennymi zdaniowymi - nazywa się zmienne zamiast których, jeśli podstawimy zdania otrzymamy całość będącą również zdaniem

Formuły rachunku zdań - nazywamy dowolny zapis utworzony ze zmiennych zdaniowych i symboli spójników zdaniowych który przy każdym podstawieniu zdań
w miejsce wszystkich zmiennych zdaniowych staje się zdaniem

Formułę - ( schemat zdania ) nazywamy prawem rachunku zdań albo tautologią, gdy przy każdym wartościowaniu przyjmuje wartość logiczną 1

Ważniejsze tautologie to:

- reguła odrywania

- prawo przechodniości implikacji

1.2

- zbiór A zawiera się w B

Jeżeli rozwijane zbiory są podzbiorami pewnego zbioru X, to zbiór X nazywamy przestrzenią tych zbiorów

Ograniczoność zbiorów

Niech P oznacza ograniczony zbiór R kresem górnym ( supremum ) zbioru P nazywamy najmniejszą liczbę M taką, że

sup P = M

Kresem dolnym ( infinium ) zbioru P nazywamy największą liczbę M tak, że

inf P = M

Mówimy, że zbiór E jest rozszerzonym zbiorem liczb rzeczywistych jeżeli składa się
z liczb rzeczywistych i
oraz

• 
  oraz
  

• 
  

• 
  

Jeżeli E nie jest zbiorem ograniczonym z góry ( z dołu ) to

A - dopełnienie zbioru A'= x - A

- suma zbiorów

- iloczyn zbiorów ( część wspólna )

- różnica zbiorów

Prawa algebry zbiorów:

- prawo przemienności

- prawo łączności

- prawa rozdzielczości

- prawa De Morgana

- prawa tautologii

Zbiory A i B nazywamy rozłącznymi, jeśli ich iloczyn
jest zbiorem pustym

Dodawanie i mnożenie zbiorów

Niech zbiory
będą podzbiorami x i niech
- suma zbiorów

- iloczyn zbiorów

z definicji

i
zbiorów wynika, że
,

Niech I oznacza dowolny zbiór numerów ( wskaźników ), wtedy

,

Jeżeli I=N

,

Mocą zbioru skończonego - nazywamy liczbę jego elementów

Mówimy, że zbiory A i B ( niekoniecznie nieskończone ) są równej mocy, jeżeli istnieje wzajemne, jednoznaczne odwzorowanie zbioru A na zbiór B

Przykład

Zbiór N jest równej mocy ze zbiorem A wszystkich liczb parzystych dodatnich gdyż funkcja
odwzorowuje wzajemnie jednoznacznie zbiór N na A

czyli zbiory A i N są równej mocy

Mówimy, że nieskończony zbiór jest przeliczalny jeżeli jest równej mocy ze zbiorem liczb naturalnych N

Zbiór nazywamy skończonym jeżeli nie jest on równej mocy z żadnym ze swoich podzbiorów różnych od niego samego

1.3

Pary elementów a, b w której wyrażono jeden z elementów jako pierwszy, nazywamy parą uporządkowaną.

Iloczynem kartazjańskim (AxB) dwóch zbiorów A, B nazywamy zbiór wszystkich par uporządkowanych (a,b)

Niech A oznacza zbiór liczb rzeczywistych wtedy

jest zbiorem wszystkich punktów
n-wymiarowej przestrzeni rzeczywistej

1.4

Relacją dwuargumentową ( binarną ) nazywamy zbiór, którego wszystkie elementy są parami uporządkowanymi. Każdy podzbiór produktu kartazjańskiego dwóch niepustych zbiorów jest relacją dwuargumentową

Symbole aSb lub (a,b)S oznaczają, że element
pozostaje w relacji ( związku ) S z elementem

Dziedziną ( przeciwdziedziną ) relacji dwuargumentowej nazywamy zbiór wszystkich poprzedników ( następników ) par spełniających tę relację.

Analogicznie można określić relacje n-argumentową

Mówimy, że relacja S określona w zbiorze A jest:

1. zwrotna
   
   

2. 
   
   symetryczna
   
   

3. 
   przechodnia
   
   

4. 
   
   spójna
   
   

5. 
   antysymetryczna
   
   

6. 
   przeciwzwrotna
   
   

7. słabo antysymetryczna
   

Relację S określoną w zbiorze A nazywamy relacją równoważności
gdy jest ona zwrotne, symetryczna i przechodnia

Przedziałem zbioru A nazywamy rodzinę
niepustych podzbiorów zbioru A spełniających warunki
oraz

Każda relacja równoważności
wyznacza pewnie przedział zbioru a tzw. klasy abstrakcji

Przez
oznaczamy klasy abstrakcji wyznaczone przez relacje S, wtedy

Relację S określoną w zbiorze A zwrotną, przechodnią i słabo antysymetryczną nazywamy relacją porządku w zbiorze A

Jeżeli relacja porządku S jest ponadto spójna to nazywamy ją relacją liniowego porządku

Zbiorem częściowo ( liniowo ) uporządkowanym nazywamy parę <A,S> taką,
że relacja S częściowo ( liniowo ) porządkuje zbiór A

Element
nazywamy największym ( najmniejszym ) w zbiorze <A,S> częściowo
( liniowo ) uporządkowanym jeżeli

Element
nazywamy największym ( najmniejszym ) w zbiorze <A,S> częściowo
( liniowo ) uporządkowanym jeżeli

Niech B będzie niepustym podzbiorem zbioru częściowo uporządkowanego <A,S> każdy taki element
że
nazywamy ograniczeniem górnym zbioru B

Ograniczenie dolne zbioru
definiujemy analogicznie

Ograniczenie górne ( dolne )
zbioru B, nazywamy kresem górnym ( dolnym ) zbioru B gdy dla każdego ograniczenia górnego ( dolnego )
zbioru B zachodzi

Ciągłość zbioru liczb rzeczywistych

Każdy ograniczony z góry ( z dołu ) niepusty zbiór
ma kres górny a ( kres górny b ) który jest liczbą rzeczywistą

Liczba a(b) jest jednocześnie kresem dolnym ( górnym ) zbioru liczb rzeczywistych ograniczających zbiór A z góry ( z dołu )

Własność ta wyróżnia zbiór R spośród innych zbiorów liczb rzeczywistych

Gęstość zbioru liczb rzeczywistych

Dla każdych liczb rzeczywistych x, y (x < y) istnieje zawsze liczba rzeczywista t zawarta pomiędzy nimi tzn. x < t < y. Taką liczbą jest na przykład

Wynika stąd, że pomiędzy różnymi liczbami rzeczywistymi istnieje nieskończenie wiele liczb rzeczywistych.

Ustalić termin egzaminu

Własności funkcji ciągłych

Funkcje
i
są rosnące i ciągłe

Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w punkcie x₀, zaś funkcja h(u) jest ciągła
w punkcie u₀ = f(x) to funkcja złożona h[f(x)] jest ciągła w punkcie x₀

Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w punkcie x₀, przy czym f(x₀) > 0 to istnieje taka liczba

∂ > 0, że f(x) > 0 dla |x-x₀| < ∂

Twierdzenie Weierstrassa

Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w przedziale domkniętym [a,b] to jest w tym przedziale ograniczona, a ponadto przyjmuje w pewnym punkcie c₁ ∈ [a,b] wartość największą
oraz w pewnym punkcie c₂ ∈ [a,b] wartość najmniejszą

Twierdzenie Darboux

Jeżeli funkcja
jest ciągła w przedziale domkniętym [a,b] i
oraz
lub
to istnieje taki punkt
, że

Twierdzenie Cantora

Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w przedziale domkniętym [a,b], to jest w tym przedziale jednostajnie ciągła

Pochodna funkcji

Różniczkowa wartość funkcji

Niech funkcja
będzie określona w pewnym otoczeniu Q punktu x₀, w którym jest różniczkowalna. Dowolny ( różny od zera ) przyrost
zmiennej niezależnej x oznaczamy symbolem dx i nazywamy różniczką zmiennej niezależnej.

Różniczką dy funkcji f(x) w punkcie x₀ i dla przyrostu dx nazywamy iloczyn

Pochodna ( interpretacja geometryczna )

Pochodna - granica ilorazu różnicowego. Tangens konta pomiędzy styczną
do wykresu funkcji w punkcie x₀, f(x₀) z osią OX

Styczna - graniczne położenie siecznej

Twierdzenie o pochodnej superpozycji

- złożona

Pochodna funkcji odwrotnej

y = arc tg x

x = tg y

Materiały na zaliczenie - Piszczała - Wykłady z analizy matematycznej”, analiza matematyczna - skrypt

Twierdzenia:

Twierdzenie Lagrange ( o przyrostach )

- ciągła

styczna równoległa do siecznej

jest rosnąca

Monotoniczność funkcji

Funkcję f nazywamy monotoniczną w zbiorze A, jeżeli jest funkcją niemalejącą lub nierosnącą w zbiorze A

Funkcję f nazywamy ściśle monotoniczną w zbiorze A, jeżeli jest funkcją rosnącą lub malejącą w zbiorze A

Funkcję f nazywamy rosnącą w X, jeżeli

Funkcję f nazywamy niemalejącą w X, jeżeli

Funkcję f nazywamy malejącą w X, jeżeli

Funkcję f nazywamy nierosnącą w X, jeżeli

Ekstrema funkcji ( lokalne )

Mówimy, że funkcja f, określona w otoczeniu x = x₀, ma w tym punkcie maksimum ( lokalne ), jeżeli istnieje otoczenie (x₀ - h, x₀ + h ) tego punktu takie, że dla każdego x ∈ (x₀ - h, x₀ + h ) jest f(x) < f(x₀)

Mówimy, że funkcja f, określona w otoczeniu x = x₀, ma w tym punkcie minimum
( lokalne ), jeżeli istnieje otoczenie (x₀ - h, x₀ + h ) tego punktu takie, że dla każdego x ∈ (x₀ - h, x₀ + h ) jest f(x) > f(x₀)

Mówimy, że funkcja f, określona w otoczeniu x = x₀, ma w punkcie x₀ ekstremum ( lokalne ), jeżeli ma w tym punkcie maksimum lub minimum
( lokalne )

Wypukłość i wklęsłość funkcji

wypukła	wklęsła

Ustalić termin egzaminu ( pisemny dwuczęściowy )

Twierdzenie o całkach ciągłych

Twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie

Całka oznaczona Riemana

podział przedziału

średnia podziału - długość najdłuższego odcinka

wybór dla podziału - wybór po jednym punkcie z każdego podziału

Wzór Leibnica

- jest odwracalny

zbiór ograniczony z góry - ma kres górny

rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych

liczba urojona

szereg bezwzględnie zbieżny

x₀

(

)

pochodna funkcji

f(x)

f(x₀)

x₀

x

f(x) - f(x₀)

x - x₀

Z różniczkowalności funkcji w punkcie wynika jej ciągłość w tym punkcie

f(x) = |x|

∝

Jeżeli funkcja posiada ekstremum i pochodną
w jednym punkcie - pochodna jest równa 0

Funkcja odwrotna względem funkcji ciągłej i rosnącej

( malejącej ) jest ciągła i rosnąca ( malejąca )

f(x₀)

x₀ - ∂

y

x

x₀ + ∂

x₀

sup f(x)

[a,b]

inf f(x)

[a,b]

a

c₂

c₁

b

x

y

f(a)

f(b)

L

a

c

b

x

y

α

dy

Δy

dx

styczna

dy

dx

= tg ∝

f(x₀+dx)

f(x₀)

x₀+dx

x₀

x

y

Jeżeli funkcja jest różniczkowalna w punkcie x₀, ma w tym punkcie ekstremum lokalne, to f'(x)=0

B

A

x₀=A

b=x_n

x₁

x₂

x_n-π

---