1.3 Dopasowanie odbiornika do źródła

Do źródła napięcia sinusoidalnie zmiennego o wartości
skutecznej E oraz impedancji wewnętrznej Z

w

= R

w

+ jX

w

przyłączono odbiornik o impedancji Z = R + jX (Błąd! Nie można
odnaleźć źródła odwołania.).

Jakie powinny być parametry odbiornika, aby moc czynna

pobierana ze danego źródła napięcia była największa?

Rozwiązanie
Moc czynna odbiornika o impedancji Z jest opisana równaniem:

P = R I

2

gdzie R jest rezystancją odbiornika.

Prąd płynący w obwodzie wynosi:

I =

E

Z + Z

w

=

E

(R+R

w

) + j(X+X

w

)

czyli

I

2

=

E

2

(R+R

w

)

2

+ (X+X

w

)

2

Równanie

opisujące moc czynną odbiornika przyjmuje postać:

P =

R E

2

(R+R

w

)

2

+ (X+X

w

)

2

(*)

W celu wyznaczenia maksimum mocy czynnej odbiornika w
zależności od rezystancji obciążenia R oraz reaktancji obciążenia
X, należy:
-

zróżniczkować wyrażenie na moc czynną P raz względem X, a

drugi raz względem R.
-

przyrównać do zera otrzymane równania na pochodną mocy.

Pochodna mocy względem reaktancji obciążenia wynosi:

dP
dX

=

d

dX

R E

2

(R+R

w

)

2

+ (X+X

w

)

2

=

d

dX

-2 (X+X

w

) R E

2

[(R+R

w

)

2

+ (X+X

w

)

2

]

2

y

=

1

x

m

y’ = -

m

x

m+1

y =

u

v

y’ =

1

v

2

(u’ v - u v’)

Powyższe równie jest równe zeru tylko, gdy licznik tego
równania jest równy zeru, czyli gdy

X =

−

X

w

Z

w

E

I

Z

U

A

B

Rys. 9. Źródło sem i odbiornik

Pochodna wyrażenia na moc (*) względem rezystancji
odbiornika R, gdy reaktancja odbiornika spełnia warunek X = - X

w

jest opisana równaniem:

dP
dR

=

d

dR

R E

2

(R+R

w

)

2

=

E

2

(R

2

+ R

w

)

2

- RE

2

2(R+R

w

)

(R+R

w

)

4

=

=

E

2

(R

2

+ 2RR

w

+ R

w

2

- 2R

2

- 2RR

w

)

(R+R

w

)

4

=

E

2

(R

w

2

- R

2

)

(R+R

w

)

2

= 0

Przyrównując do zera powyższe równanie otrzymujemy:

(

R

w

−

R

)(

R

w

+ R

)

= 0

Jeżeli R

w

>

0 oraz R

>

0, to warunek jest spełniony tylko wtedy,

gdy zachodzi poniższa równość:

R = R

w

Wniosek:
Odbiornik jest dopasowany do źródła o napięciu źródłowym
sinusoidalnie zmiennym, gdy rezystancja odbiornika jest
równa rezystancji wewnętrznej źródła, a reaktancja
odbiornika jest równa reaktancji wewnętrznej źródła ze
znakiem przeciwnym.

Z = Z

w

*

Sprawność obwodu elektrycznego złożonego ze źródła
napięcia i odbiornika jest opisana równaniem:

η

=

P

odb

P

odb

+

Δ

P

w

gdzie:

Δ

P

w

− straty mocy w źródle,

P

odb

− moc wydzielająca się w odbiorniku.

Sprawność rozpatrywanego układu możemy wyznaczyć znając
rezystancję wewnętrzną źródła oraz rezystancję obciążenia:

η

=

R

R + R

w

Jeżeli uwzględnimy, że w stanie
dopasowania odbiornika do źródła zachodzi
równość:

R = R

w

to sprawność układu wynosi:

η

= 0,5

Wniosek:
Przy dopasowaniu odbiornika do
źródła sprawność układu wynosi 50

%