POLITECHNIKA ŚLĄSKA
Wydział elektryczny
Podstawy mechaniki.
Studia niestacjonarne zaoczne
Kierunek: EL
Rok akademicki: 2007/2008
Semestr: 3
Temat :
Obliczenia wytrzymałościowe belki.
Opracował:
Dresler Adam
Data: 07.12.2007
Grupa: 1
Sekcja: I
Prowadzący: prof. dr inż. Bronisław Drak
1. Dane do projektu:
L
1
= 500 [mm]
L
2
= 1000 [mm]
L
3
= 1200 [mm]
L = 4000 [mm]
P = 2000 [N]
P
1
= 30000 [N]
P
2
= 7000 [N]
q = 10 [N/mm]
2. Obliczenie wartości reakcji
Rys. 1. Rysunek projektowanej belki.
2.1. Warunki równowagi sił i momentów
∑
P
ix
= 0
(2.1)
∑
P
iy
= 0 = −P R
A
−P
1
P
2
−q⋅L
4
R
B
(2.2)
∑
M
iA
= 0 = −P⋅L
1
P
1
⋅L
2
− P
2
⋅L
2
L
3
[
q⋅L
4
⋅L
2
L
3
L
4
2
]
−R
B
⋅ L−L
1
(2.3)
gdzie:
L
4
= L−L
1
−L
2
−L
3
= 1300[mm]
Z równania 2.3 obliczam wartość reakcji R
B
:
R
B
=
− P⋅L
1
P
1
⋅L
2
−P
2
⋅ L
2
L
3
[
q⋅L
4
⋅L
2
L
3
L
4
2
]
L−L
1
(2.4)
Po podstawieniu danych otrzymuję:
R
B
= −
1
⋅10
6
30⋅10
6
−15,4⋅10
6
37,05⋅10
6
3500
= 14471[N]
Z równania 2.2 obliczam wartość reakcji R
A
:
R
A
= P P
1
−P
2
q⋅L
4
−R
B
(2.5)
Po podstawieniu danych otrzymuję:
R
A
= 2000 30000 − 7000 10⋅13000 − 14471 = 23529[N]
3. Rozkład momentów gnących na długości belki.
Belkę podzielono na cztery przedziały dla których obliczenia wykonano według poniższych
zależności:
a) przedział x
1
0
x
1
L
1
M
g1
= −P⋅x
1
b) przedział x
2
L
1
x
2
L
1
L
2
M
g2
= −P⋅x
2
R
A
⋅ x
2
−L
1
P
y
x
x
1
Mg1
P
R
A
y
x
Mg2
x
2
c) przedział x
3
L
1
L
2
x
3
L
1
L
2
L
3
M
g3
= −P⋅x
3
R
A
⋅ x
3
−L
1
−P
1
⋅x
3
−L
1
L
2
d) przedział x
4
L
1
L
2
L
3
x
4
L
M
g4
= −P⋅x
4
R
A
⋅x
4
−L
1
−P
1
⋅x
4
−L
1
L
2
P
2
⋅ x
4
−L
1
L
2
L
3
−
q
⋅ x
4
−L
1
L
2
L
3
2
2
Wyniki obliczeń przedstawiono w tablicy 1 i 2.
Tablica 1. Wyniki obliczeń momentów gnących na granicach przedziałów.
0
x
1
L
1
L
1
x
2
L
1
L
2
L
1
L
2
x
3
L
1
L
2
L
3
L
1
L
2
L
3
x
4
L
M
g1
(0)
M
g1
(L
1
)
M
g2
(L
1
)
M
g2
(L
1
+L
2
)
M
g3
(L
1
+L
2
) M
g3
(L
1
+L
2 +
L
3
) M
g4
(L
1
+L
2 +
L
3
)
M
g4
(L
4
)
[Nm]
[Nm]
[Nm]
[Nm]
[Nm]
[Nm]
[Nm]
[Nm]
0
-1000
-1000
20529
20529
10363
10363
0
P
R
A
P
1
P
2
q
x
y
Mg4
x
4
P
R
A
P
1
y
x
Mg3
x
3
4. Średnice teoretyczne na długości belki dla obciążeń stałych R
e
= 300 [MPa]
Do obliczenia średnicy projektowanej belki korzystam z wzoru na dopuszczalne
naprężenie:
max
=
M
g
W
g
k
g
stąd można obliczyć
W
g
M
g
k
g
gdzie :
W
g
– wskaźnik wytrzymałości przekroju na zginanie
M
g
– moment gnący występujący w danym przekroju belki wywołujący naprężenia
zginające
k
g
– naprężenia dopuszczalne dla materiału belki
Dla kołowego przekroju projektowanej belki wskaźnik zginania W
g
wynosi:
W
g
=
d
3
32
zatem średnicę projektowanej belki obliczam z zależności
d
3
32
⋅M
g
⋅k
g
Przyjmuję, że belka będzie wykonana ze stali dla której granica wytrzymałości przy
obciążeniach wynosi
z
go
= 0,47 R
m
= 141 [MPa]
Naprężenia dopuszczalne przy zginaniu k
g
będą równe
k
g
= 0,28 z
go
= 40 [MPa]
Obliczam średnicę projektowanej belki dla maksymalnego momentu gnącego.
d
3
32
⋅M
g
⋅k
g
=
3
32
⋅20,53[MNmm]
3,14
⋅39,48[MPa ]
=
3
0,005299466 [
MNm
]
[MN /m
2
]
= 0,174[ m] = 174[mm]
Przyjmuję średnice belki d = 20 [cm]
W tablicy 2 przedstawiono wyniki obliczeń średnicy belki na jej długości.
Tablica 2. Wyniki obliczeń momentów gnących i średnicy na długości belki.
Przedział
Długość
przedziału
Mg [Nm]
d [mm]
1
0
0
0,00
0,1
200
37,24
0,2
400
46,91
0,3
600
53,70
0,4
800
59,11
0,5
-1000
63,67
2
0,5
-1000
63,67
0,7
3306
94,85
0,9
7611
125,25
1,1
11917
145,44
1,3
16223
161,18
1,5
20529
174,34
3
1,5
20529
174,34
1,7
18834
169,41
1,9
17140
164,17
2,1
15446
158,57
2,3
13751
152,54
2,5
12057
146,00
2,7
10363
138,82
4
2,7
10363
138,82
2,9
9471
134,72
3,1
8377
129,31
3,5
4989
108,79
3,7
2694
88,60
4
0
0
Na rysunku 2 przestawiono wykres momentów gnących na długości belki.
Na rysunku 3 przedstawiono wykres promienia na długości belki.