POLITECHNIKA ŚLĄSKA

Wydział elektryczny

Podstawy mechaniki.

Studia niestacjonarne zaoczne

Kierunek: EL

Rok akademicki: 2007/2008

Semestr: 3

Temat :

Obliczenia wytrzymałościowe belki.

Opracował:

Dresler Adam

Data: 07.12.2007

Grupa: 1

Sekcja: I

Prowadzący: prof. dr inż. Bronisław Drak

1. Dane do projektu:

L

1

= 500 [mm]

L

2

= 1000 [mm]

L

3

= 1200 [mm]

L = 4000 [mm]

P = 2000 [N]

P

1

= 30000 [N]

P

2

= 7000 [N]

q = 10 [N/mm]

2. Obliczenie wartości reakcji

Rys. 1. Rysunek projektowanej belki.

2.1. Warunki równowagi sił i momentów

∑

P

ix

= 0

(2.1)

∑

P

iy

= 0 = −P R

A

−P

1

P

2

−q⋅L

4

 R

B

(2.2)

∑

M

iA

= 0 = −P⋅L

1

 P

1

⋅L

2

 − P

2

⋅L

2

L

3

 

[

q⋅L

4

⋅L

2

L

3



L

4

2



]

−R

B

⋅ L−L

1

 (2.3)

gdzie:

L

4

= L−L

1

−L

2

−L

3

= 1300[mm]

Z równania 2.3 obliczam wartość reakcji R

B

:

R

B

=

− P⋅L

1

 P

1

⋅L

2

 −P

2

⋅ L

2

L

3

 

[

q⋅L

4

⋅L

2

L

3



L

4

2



]

L−L

1



(2.4)

Po podstawieniu danych otrzymuję:

R

B

= −

1

⋅10

6

 30⋅10

6

 −15,4⋅10

6

 37,05⋅10

6



3500

= 14471[N]

Z równania 2.2 obliczam wartość reakcji R

A

:

R

A

= P  P

1

−P

2

q⋅L

4

 −R

B

(2.5)

Po podstawieniu danych otrzymuję:

R

A

= 2000  30000 − 7000  10⋅13000 − 14471 = 23529[N]

3. Rozkład momentów gnących na długości belki.

Belkę podzielono na cztery przedziały dla których obliczenia wykonano według poniższych

zależności:

a) przedział x

1

0

x

1

L

1

M

g1

= −P⋅x

1

b) przedział x

2

L

1

x

2

L

1

L

2



M

g2

= −P⋅x

2

R

A

⋅ x

2

−L

1



P

y

x

x

1

Mg1

P

R

A

y

x

Mg2

x

2

c) przedział x

3

L

1

L

2

x

3

L

1

L

2

L

3



M

g3

= −P⋅x

3

R

A

⋅ x

3

−L

1

−P

1

⋅x

3

−L

1

L

2



d) przedział x

4

L

1

L

2

L

3

x

4

L

M

g4

= −P⋅x

4

R

A

⋅x

4

−L

1

−P

1

⋅x

4

−L

1

L

2

P

2

⋅ x

4

−L

1

L

2

L

3

−

q

⋅ x

4

−L

1

L

2

L

3



2

2

Wyniki obliczeń przedstawiono w tablicy 1 i 2.

Tablica 1. Wyniki obliczeń momentów gnących na granicach przedziałów.

0

x

1

L

1

L

1

x

2

L

1

L

2



L

1

L

2

x

3

L

1

L

2

L

3



L

1

L

2

L

3

x

4

L

M

g1

(0)

M

g1

(L

1

)

M

g2

(L

1

)

M

g2

(L

1

+L

2

)

M

g3

(L

1

+L

2

) M

g3

(L

1

+L

2 +

L

3

) M

g4

(L

1

+L

2 +

L

3

)

M

g4

(L

4

)

[Nm]

[Nm]

[Nm]

[Nm]

[Nm]

[Nm]

[Nm]

[Nm]

0

-1000

-1000

20529

20529

10363

10363

0

P

R

A

P

1

P

2

q

x

y

Mg4

x

4

P

R

A

P

1

y

x

Mg3

x

3

4. Średnice teoretyczne na długości belki dla obciążeń stałych R

e

= 300 [MPa]

Do obliczenia średnicy projektowanej belki korzystam z wzoru na dopuszczalne

naprężenie:



max

=

M

g

W

g

k

g

stąd można obliczyć

W

g



M

g

k

g

gdzie :

W

g

– wskaźnik wytrzymałości przekroju na zginanie

M

g

– moment gnący występujący w danym przekroju belki wywołujący naprężenia

zginające

k

g

– naprężenia dopuszczalne dla materiału belki

Dla kołowego przekroju projektowanej belki wskaźnik zginania W

g

wynosi:

W

g

= 

d

3

32

zatem średnicę projektowanej belki obliczam z zależności

d



3



32

⋅M

g

⋅k

g

Przyjmuję, że belka będzie wykonana ze stali dla której granica wytrzymałości przy

obciążeniach wynosi

z

go

= 0,47 R

m

= 141 [MPa]

Naprężenia dopuszczalne przy zginaniu k

g

będą równe

k

g

= 0,28 z

go

= 40 [MPa]

Obliczam średnicę projektowanej belki dla maksymalnego momentu gnącego.

d



3



32

⋅M

g

⋅k

g

=

3



32

⋅20,53[MNmm]

3,14

⋅39,48[MPa ]

=

3



0,005299466 [

MNm

]

[MN /m

2

]

= 0,174[ m] = 174[mm]

Przyjmuję średnice belki d = 20 [cm]

W tablicy 2 przedstawiono wyniki obliczeń średnicy belki na jej długości.

Tablica 2. Wyniki obliczeń momentów gnących i średnicy na długości belki.

Przedział

Długość

przedziału

Mg [Nm]

d [mm]

1

0

0

0,00

0,1

200

37,24

0,2

400

46,91

0,3

600

53,70

0,4

800

59,11

0,5

-1000

63,67

2

0,5

-1000

63,67

0,7

3306

94,85

0,9

7611

125,25

1,1

11917

145,44

1,3

16223

161,18

1,5

20529

174,34

3

1,5

20529

174,34

1,7

18834

169,41

1,9

17140

164,17

2,1

15446

158,57

2,3

13751

152,54

2,5

12057

146,00

2,7

10363

138,82

4

2,7

10363

138,82

2,9

9471

134,72

3,1

8377

129,31

3,5

4989

108,79

3,7

2694

88,60

4

0

0

Na rysunku 2 przestawiono wykres momentów gnących na długości belki.

Na rysunku 3 przedstawiono wykres promienia na długości belki.