Analiza matematyczna

MB

Granice, asymptoty funkcji

Twierdzenie 1 (de l’Hospitala)

Jeżeli:

Funkcje i są określone na pewnym sąsiedztwie

,

Uwaga:

1) twierdzenie de l’Hospitala jest również prawdziwe dla granic jednostronnych i granic przy

2) twierdzenie de l’Hospitala stosujemy bezpośrednio tylko w przypadku symboli

nieoznaczonych typu:

0

0

,

.

3) Inne symbole nieoznaczone przekształcamy wg następujących reguł:

a. Symbol typu

sprowadzamy do symbolu

0

0

stosując przekształcenie:

x

g

x

f

x

f

x

g

x

g

x

f

1

1

1

b. Symbol typu 0 sprowadzamy do symbolu

0

0

lub

stosując przekształcenie:

x

f

x

g

x

g

x

f

x

g

x

f

1

1

c. Symbole typu

sprowadzamy do symbolu

stosując przekształcenie:

x

f

x

g

x

g

e

x

f

ln

Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej

MB

2

Definicja 1

Jeżeli funkcja jest określona w pewnym sąsiedztwie

, to prostą

nazywamy

asymptotą pionową wykresu funkcji wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jedna z granic:

jest niewłaściwa.

Uwaga:

1) Jeżeli obie wymienione granice są niewłaściwe, to prostą

nazywamy asymptotą

pionową obustronną.

2) Jeżeli tylko jedna z wymienionych granic jest niewłaściwa, to prostą

nazywamy

odpowiednio do kolejności wymienionych w definicji granic asymptotą pionową

lewostronną lub prawostronną.

Definicja 2

Jeżeli funkcja jest określona w przedziale niewłaściwym, to prostą

nazywamy

asymptotą ukośną (poziomą, gdy

) wykresu funkcji wtedy i tylko wtedy, gdy:

Uwaga:

1) Jeżeli dla tej samej prostej

obie granice spełniają definicję to prosta jest

asymptotą obustronną.

2) Jeżeli dla prostej

tylko jedna z wymienionych w definicji granic jest równa 0, to

prosta ta jest odpowiedni asymptotą lewostronną lub prawostronną).

3) Możliwy jest przypadek posiadania przez funkcję dwóch różnych asymptot ukośnych (innej

lewostronnej i innej prawostronnej).

Twierdzenie 2

Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, by prosta

była asymptotą ukośną

wykresu funkcji jest istnienie dwóch (właściwych) granic:

Uwaga:

Jeżeli chociaż jedna z granic w każdej z dwóch wymienionych par nie istnieje lub jest niewłaściwa, to

nie istnieje odpowiednia asymptota ukośna.