C ent r u m Nau c z a ni a
Ma t e m at y k i i Fi z yki

Politechnika Łódzka

C e nt e r o f Ma t he ma t i c s a nd P hys i c s
T e c hn i c a l U ni v e r s i t y o f Łó d ź

Al. Politechniki 11
90-924 Łódź
Poland

tel./fax:

[phone], 631-36-19

e-mail:

[e-mail]

NIP PL 7270021895

Laboratorium Fizyki Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki Politechniki Łódzkiej

E3 Stała dielektryczna różnych materiałów

Sylwester Kania, Janusz Kuliński

Zakres materiału, który powinien zrozumieć i zastosować student: pierwsze i trzecie równanie
Maxwella, , pojemność kondensatora płaskiego próżniowego i z dielektrykiem, ładunek
rzeczywisty, ładunek swobodny, polaryzacja dielektryczna, stała dielektryczna bezwzględna i
względna

Cel ćwiczenia
Wyznaczenie stałej dielektrycznej powietrza (próżni) i materiałów takich jak PCV, szkło
organiczne (pleksi) i szkło mineralne (zwykłe szkło).

Wprowadzenie teoretyczne
1. Stacjonarne pole elektryczne

Wielkości opisujące pole elektryczne:



E - wektor natężenia pola elektrycznego;



D - wektor indukcji elektrostatycznej,



P - wektor polaryzacji.

Polem elektrycznym nazywamy obszar, w którym na ładunki elektryczne działają siły.
Elektrostatyka zajmuje się warunkami równowagi ciał naładowanych – jej przedmiotem są
więc tylko oddziaływania stacjonarne lub wolno zmienne.
Natężenie pola elektrostatycznego ( E) definiujemy następująco:



 



m

V

C

q

F

E





N

,

(P.1.)

( F - siła pola elektrostatycznego działająca na ładunek próbny q).

Prawo Coulomba, stosuje się dla ładunków punktowych. i dla małych obszarów naładowanych
będących źródłem pola, można zapisać w następujący sposób:









 

r

r

r

Qq

F

2

0

4





,

gdzie: Q – ładunek wytwarzający pole działające siłą F na ładunek q ; zaś r - jest wektorem

łączącym środki obu ładunków, o zwrocie od ładunku Q do ładunku q. Dla innych przypadków
prawo Coulomba nie może być stosowane.
Na kształt pola elektrycznego wpływa wielkość ładunku elektrycznego i jego rozłożenie, czyli
gęstość ładunku (objętościowa, powierzchniowa, liniowa).

2. Wektor indukcji elektrostatycznej



D , definiujemy następująco:

- w próżni

0





E

D

= stała dielektryczna próżni





m

F

c

12

2

0

10

854

.

8

1











,

CMF 2006-03-02

1 /16

Laboratorium Fizyki Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki Politechniki Łódzkiej
E3 Stała Dielektryczna Różnych Materiałów
Sylwester Kania, Janusz Kuliński

- dla dowolnego ośrodka

0





E

D

=



b

= bezwzględna przenikalność dielektryczna

ośrodka.
Względną przenikalność dielektryczną ośrodka ε, definiujemy następująco:

0







b



Zwrot wektora



D jest zgodny ze zwrotem wektora



E

. Linie wektora indukcji



D nazywamy

liniami sił pola elektrycznego.
Przyjmujemy, że liczba linii sił pola elektrycznego przechodząca przez jednostkę powierzchni
(S) ustawionej prostopadle do linii sił jest równa D.
Kolejną wielkością opisującą pole elektryczne jest strumień pola elektrycznego:











cos

dS

D

,

(P.2.)

gdzie kąt

 = kąt

)

n

,

D

(





kąt zawarty pomiędzy liniami sił a normalną do elementu powierzchni

dS.

3. Wektor polaryzacji P

Do wnętrza przewodnika nie wnika pole elektrostatyczne. zaś do wnętrza dielektryka może
wnikać pole elektryczne. Dipolem elektrycznym, nazywamy układ dwu różnoimiennych
jednakowych ładunków: +q i -q rozsuniętych na odległość l.

Moment elektryczny (dipolowy) p

e

takiego układu obliczamy ze wzoru:

l

q

p

e





.

W naszym przypadku, to jest umieszczenia dielektryka w zewnętrznym polu elektrycznym,
zarówno q jak i l są funkcjami pola elektrycznego E .

Ogólnie dielektryki dzielimy na: polarne , to jest takie w których cząstki lub atomy dielektryka
posiadają trwałe momenty dipolowe bez pola elektrycznego, a zewnętrzne pole modyfikuje
tylko wielkość momentu dipolowego jako wielkości wektorowej i niepolarne, których atomy i
cząstki bez zewnętrznego pola elektrycznego nie posiadają trwałego momentu dipolowego i
dopiero umieszczenie w zewnętrznym polu elektrycznym powoduje rozsunięcie ładunków w
wyniku polaryzacji deformacji.

Dla kondensatora płaskiego spełnione jest, że:

0

0

U

U

E

E



 

gdzie: E

0

, E -- pole jednorodne wewnątrz płaskiego kondensatora próżniowego i kondensatora

wypełnionego dielektrykiem, U

o

, U – różnica potencjałów między okładkami kondensatora bez

dielektryka i z dielektrykiem.
Wektor polaryzacji ( P), jest równy liczbowo gęstości ładunku zaindukowanego q’ powstałego

w wyniku procesów polaryzacji w dielektryku umieszczonym w zewnętrznym polu
elektrycznym.

CMF 2006

2 /16

l



+q

-q

Laboratorium Fizyki Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki Politechniki Łódzkiej
E3 Stała Dielektryczna Różnych Materiałów
Sylwester Kania, Janusz Kuliński

S

q

D



S

q

P

'



oraz zachodzi:

)

'

(

1

(

0

q

q

S

d

E















(P.5.)

gdyż:

)

/(

)

'

(

0



S

q

q

E





(E - natężenie pola w obecności dielektryka).

Można podać, że wzajemne relacje między wektorami pola elektrycznego są następujące::















P

E

D

0

,

(P.6.)

skąd













E

D

P

o

oraz



















E

E

E

P

)

1

(

0

0

0











(P.7.)

Badając kondensator płaski można więc wyznaczyć wielkość



0

i



0

 

r

z zależności między

pojemnością kondensatora - C, wielkością ładunku na okładkach kondensatora - Q oraz
znanej różnicy potencjałów między okładkami kondensatora bez dielektryka - U

0

i z dielektrykiem - U (ogólnie mówiąc z wielkości - U

c

).

Szersze informacje na temat wykorzystania równań Maxwella do obliczania stałej
dielektrycznej podano w Załączniku 1.

Opis układu pomiarowego

Schemat połączeń układu pomiarowego pokazany jest na rys. 1, a zestaw doświadczalny na rys.
2.. Płyta kondensatora, która jest dobrze izolowana od otoczenia, jest podłączona do górnego
wtyku zasilacza wysokonapięciowego przez opornik zabezpieczający 10 M

. Środkowe

gniazdo wtykowe zasilacza wysokiego napięcia oraz przeciwna okładka kondensatora
pomiarowego są uziemione przez kondensator pomocniczy o pojemności 220 nF (oznaczenie nr.
9 na rys. 2). Dokładny pomiar napięcia początkowego jest zapewniony przez odpowiednią
nastawę przełącznika na zasilaczu (oznaczenie 1 na rys. nr. 2). Ładunek elektrostatyczny na
kondensatorze płaskim jest mierzony pośrednio za pomocą pomiaru napięcia na kondensatorze

CMF 2006

3 /16

10 MΩ

C=220 nF

Zwieranie okładek
kondensatora pomiarowego

Wzmacniacz

0 … 4 kV

Rys. 1: Schemat połączeń elektrycznych. (Ładunek Q kondensatora
pomiarowego jest taki sam jak ładunek na kondensatorze pomocniczym 220 nF,
ponieważ oba kondensatory są połączone ze sobą szeregowo).

V

U

U

C

C

p

Kondensatory, pomiarowy C

P

, i

pomocniczy C=220 nF, są połączone ze

sobą szeregowo, tak więc ładunki Q
zgromadzone na ich okładkach są sobie

równe.

Laboratorium Fizyki Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki Politechniki Łódzkiej
E3 Stała Dielektryczna Różnych Materiałów
Sylwester Kania, Janusz Kuliński

pomocniczym 220 nF (nr. 9 rys. 2), zgodnie z równaniem (4). Wzmacniacz pomiarowy (nr. 5
rys. 2)jest nastawiony na wysoką rezystancję wejściową więcej niż 10

13

 oraz na

współczynnik wzmocnienia 10

0

i na stałą czasową 0.

Metoda pomiaru.

Cel ćwiczenia - zadania do wykonania

1. Ładunek, Q, płaskiego kondensatora mierzymy jako funkcję odwrotności odległości, d,

pomiędzy

okładkami

kondensatora,

przy

stałym

napięciu

(U

c

= U

0

).

2. Zależność pomiędzy ładunkiem Q a napięciem U

0

= U

c

mierzymy z użyciem pomiarowego

kondensatora płaskiego (wypełnionego powietrzem, które jest tu prawie „:próżnią” –
vacuum) przy ustalonej odległości między płytkami - d .

3. Stałą dielektryczną



0

obliczamy z wykorzystaniem zależności pomierzonej w punkcie 2.

4. Bezwzględne stałe dielektryczne stałe dielektryczne



r

odpowiadające badanym materiałom

wyznaczamy z zależności między ładunkiem - Q kondensatora płaskiego a napięciem U =
U

c

między którego okładkami wstawiono badane materiały (PCW, szkło organiczne (pleksi),

CMF 2006

4 /16

1,5

kV

Voltomierz

Amplifier (Wzmacniacz)

220

nF

1

2

3

4

5

6

8

9

Rys. 2: Układ pomiarowy, do pomiaru stałej dielektrycznej
różnych materiałów.
1 – zasilacz wysokiego napięcia 0-10 kV; 2 – kabel z opornikiem
zabezpieczającym 10 MΩ; 3 – okładki kondensatora pomiarowego;
4 – śruba mikrometryczna; 5 – uniwersalny wzmacniacz
pomiarowy; 6 – przycisk rozładowania kondensatora pomiarowego;
7 – woltomierz; 8 – badana płytka dielektryka; 9 - kondensator 220
nF

7

Laboratorium Fizyki Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki Politechniki Łódzkiej
E3 Stała Dielektryczna Różnych Materiałów
Sylwester Kania, Janusz Kuliński

oraz szkło mineralne). Odpowiadające badanym materiałom względne stałe dielektryczne
wyznaczamy wykorzystując wyznaczoną zgodnie z punktem 3 wartością



0

(.

0







r



).

Uzyskane punkty pomiarowe przedstawiamy na wykresach o osiach wyskalowanych w taki
sposób aby wartości pomierzone układały się na liniach prostych.
Do określania liniowości uzyskanych zależności wykorzystujemy współczynnik korelacji dla
regresji liniowej (patrz w matematyce metoda najmniejszych kwadratów, lub metoda
simpleksów).

W pierwszej części ćwiczenia, wykonujemy pomiar bezwzględnej stałej dielektrycznej dla
„próżni”



0

:

a). W pierwszej serii pomiarów zmienia się odległość d pomiędzy okładkami (próżnego)
kondensatora płaskiego, przy ustalonym stałym napięciu U

C

(przy napięciu 1,5 kV). Pomiar

ładunku Q na okładkach kondensatora pomiarowego, dla każdej pomierzonej wartości d,
dokonujemy w sposób pośredni wykorzystując zależność:

Q = U ·C ,

gdzie: U napięcie na kondensatorze pomocniczym - C = 220 nF.
Zalecany zakres zmienności d – od 3,5 mm do 1 mm z krokiem 0,5 mm. Pomiar należy
rozpocząć od największej wartości d .
Mając takie wyniki pomiarów, można z nachylenia prostej na wykresie Q=f(1/d), uzyskać
wartość stałej dielektrycznej dla próżni, ε

0

. Równanie otrzymanej prostej jest następujące:





 

d

SU

U

d

S

CU

Q

C

C

1

)

(

0

0















.

Ponieważ kondensator pomiarowy i kondensator pomocniczy połączone są w szereg wobec tego
ładunki na ich okładkach muszą być sobie równe, a co za tym idzie Q jest takie samo na
kondensatorze pomiarowym i na kondensatorze pomocniczym.
b). W drugiej serii pomiarów, dla ustalonej wartości odstępu między okładkami kondensatora,
d=0,2 cm badana jest zależność pomiędzy ładunkiem Q a napięciem U

C

odłożonym między

okładkami kondensatora pomiarowego. Z nachylenia prostej Q=f(U

C

) można uzyskać wartość

stałej dielektrycznej ε

0

.

W następnych częściach ćwiczenia, wykonujemy pomiar bezwzględnej stałej
dielektrycznej dla różnych dielektryków



r

:

a). Badamy zależność indukowanego ładunku elektrostatycznego, Q, w funkcji napięcia U

C

,

dla płytki z tworzywa sztucznego –PCV oraz dla szkła organicznego (pleksi), obecnej w
przestrzeni między okładkami, przy zachowaniu stałego, nie zmienianego w trakcie pomiaru,
odstępu

d,

pomiędzy okładkami

kondensatora





U

C

U

d

S

Q

C













0





(UWAGA!: po włożeniu płytki unikać szczeliny powietrznej wewnątrz kondensatora! ) .

b). Stała dielektryczna płytki ze szkła mineralnego (zwykłego) jest określana w ten sam sposób
jak dla PCV lub pleksi, z tym, że pomiar prowadzimy tylko dla jednego punktu, U

C

= 0,3 V.

Uzyskane wartości bezwzględnej stałej dielektrycznej pozwolają na wyznaczenie względnej
stałej dielektrycznej

, gdyż bezwzględna stała dielektryczna jest określona wzorem:

0











r

.

Instrukcja postępowania dla studenta

1) Na początek, określamy powierzchnię, S, okładek kondensatora i w tym celu mierzymy
promień okładek (

2

r

S



 

).

CMF 2006

5 /16

Laboratorium Fizyki Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki Politechniki Łódzkiej
E3 Stała Dielektryczna Różnych Materiałów
Sylwester Kania, Janusz Kuliński

2) Ćwiczenie przeprowadzamy w czterech częściach(chyba, że prowadzący ćwiczenie
zdecyduje inaczej) :
I. Pomiary bezwzględnej stałej dielektrycznej dla próżni



0

(pomiar prowadzimy w

powietrzu ponieważ jego własności dielektryczne podobne są do własności dielektrycznych
próżni) :

Włączamy wzmacniacz i ustawiamy go na rezystancję wejściową ≥ 10

13

Ω, na współczynnik

wzmocnienia 10

0

i na stałą czasową 0.

Przed rozpoczęciem pomiaru ustalamy odległość między okładkami kondensatora na 3,5 mm
oraz uziemiamy płyty kondensatora przyciskiem (nr 6 rys. 2) rozładowania kondensatora
pomiarowego we wzmacniaczu.

UWAGA: Proszę starać się nie zbliżać się do kondensatora podczas pomiarów, bowiem może to
zniekształcić pole elektrostatyczne kondensatora.

Po wyzerowaniu płyt, włączamy zasilacz i podajemy napięcie 1,5 kV, jako ustalone napięcie U

C

na kondensator pomiarowy.

Pomiar rozpoczynamy od d=0,35 cm, idąc krokiem co -0,05 cm do wartości 0,10 cm, i
mierzymy kolejne ustalone wartości U. Wyniki zapisujemy w tabeli 1:

Tabela 1:
S = m

2

U

C

= 1,5 kV

C = 220 nF

U, [V]
d, [cm]

0,35

0,10

1/d, [cm

-1

]

Q =CU, [nAs]

Wyniki opracowujemy zgodnie z objaśnieniami na rys. a.
Po zakończeniu pierwszej serii pomiarów wyłączamy zasilacz. Ustalamy odległość między
okładkami kondensatora na 0,20 cm (= 2,0 mm) i ponownie uziemiamy płyty kondensatora
przyciskiem (nr 6 rys. 1) rozładowania kondensatora pomiarowego we wzmacniaczu.

Włączamy zasilacz, poczynając od wartości 0,5 kV idąc krokiem 0,5 kV aż do wartości 4,0 kV
mierzymy kolejne ustalone wartości U. Wyniki zapisujemy w tabeli 2

Tabela 2
S = m

2

d = 0,2 cm

C = 220 nF

U

C

, [kV]

0,5

4,0

U, [V]
Q =CU,
[nAs]

Wyniki opracowujemy zgodnie z rys b.

II Pomiary bezwzględnej stałej dielektrycznej dla tworzywa sztucznego - PCV --



r p

:

Po zakończeniu pierwszej części ćwiczenia zasilacz ustawiamy na 0 kV i wyłączamy. Ponownie
uziemiamy płyty kondensatora przyciskiem (nr 6 rys. 2) rozładowania kondensatora
pomiarowego we wzmacniaczu. Pomiędzy okładki kondensatora wstawiamy płytę z tworzywa

CMF 2006

6 /16

Laboratorium Fizyki Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki Politechniki Łódzkiej
E3 Stała Dielektryczna Różnych Materiałów
Sylwester Kania, Janusz Kuliński

sztucznego - PCV i lekko dociskamy śrubą mikrometryczną, tak aby utrzymywała się ona
pomiędzy okładkami kondensatora. Ponownie wyzerowujemy kondensator pomiarowy.

Włączamy zasilacz i poczynając od wartości 0,5 kV idąc krokiem 0,5 kV, aż do wartości
4,0 kV, mierzymy kolejne ustalone wartości U. Wyniki zapisujemy w tabeli 3

Tworzywo sztuczne (PCV):

Tabela 3

S = 0,0531 m

2

d = cm

C = 220 nF

U

C

, [kV]

0,5

4,0

U, [V]
Q =CU,
[nAs]

III. Pomiary bezwzględnej stałej dielektrycznej dla szkła organicznego - pleksi --



r g

:

Po zakończeniu drugiej części ćwiczenia zasilacz ustawiamy na 0 kV i wyłączamy. Ponownie
uziemiamy płyty kondensatora przyciskiem (nr 6 rys. 2) rozładowania kondensatora
pomiarowego we wzmacniaczu. Pomiędzy okładki kondensatora wstawiamy płytę ze szkła
organicznego - pleksi i lekko dociskamy śrubą mikrometryczną aby utrzymywała się pomiędzy
okładkami kondensatora. Ponownie wyzerowujemy kondensator pomiarowy.

Włączamy zasilacz i poczynając od wartości 0,5 kV idąc krokiem 0,5 kV, aż do wartości
4,0 kV, mierzymy kolejne ustalone wartości U. Wyniki zapisujemy w tabeli 4.
Tabela 4.
izolator szkło organiczne - pleksi:
S = 0,0531 m

2

d = cm

C = 220 nF

U

C

, [kV]

0,5

4,0

U, [V]
Q =CU,
[nAs]

IV. Pomiar bezwzględnej stałej dielektrycznej dla szkła mineralnego - szkła zwykłego--



r

g

:

Pomiar wykonujemy dla jednej wartości napięcia Uc = 0,3 kV i dla niej obliczamy wartość



r

i

jej błąd.
Opracowanie wyników i sposób ich prezentacji

W pierwszej części, pomiar bezwzględnej stałej dielektrycznej dla „próżni”



0

:

a). W pierwszej serii pomiarów pierwszej części ćwiczenia zmieniamy odległość d pomiędzy
okładkami (pustego) kondensatora płaskiego, przy ustalonym stałym napięciu U

C

, pozwala to

na pomiar ładunku Q na okładkach kondensatora z zależności:

Q = U ·C ,

gdzie: U napięcie na kondensatorze pomocniczym: C = 220 nF.
Wyniki przedstawiamy tak jak na rys. a.

CMF 2006

7 /16

Laboratorium Fizyki Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki Politechniki Łódzkiej
E3 Stała Dielektryczna Różnych Materiałów
Sylwester Kania, Janusz Kuliński

rys. b). W serii drugiej pomiarów pierwszej części ćwiczenia wykonujemy sprawdzenie
zależności pomiędzy ładunkiem, Q, a różnicą potencjałów, U

C

, jaka się pojawia między

okładkami kondensatora. Wyniki przedstawiamy tak jak na rys. b.

Zakładamy, że prosta aproksymująca przechodzi przez środek układu.
Ze współczynnika nachylenia prostej liczymy średnią wartość bezwzględnej stałej
dielektrycznej

0



Obliczamy błąd wyznaczenia współczynnika nachylenia prostej (stosując metodę najmniejszych
kwadratów) i posługując się nim obliczamy błąd bezwzględny



0

uzyskanej stałej

dielektrycznej (przykład obliczeń podano w Załączniku 1).
Obliczenie bezwzględnej stałej dielektrycznej (z izolatorem - PCV, w trzeciej części
ćwiczenia).

Wyniki przedstawiamy, tak jak na rys b), w układzie osi: U

C

i Q; z nachylenia prostej

obliczamy średnią wartość bezwzględnej stałej dielektrycznej

r

 .

Należy założyć, że prosta aproksymująca przechodzi przez środek układu.
Obliczamy błąd wyznaczenia współczynnika nachylenia prostej (stosując metodę najmniejszych
kwadratów dla regresji liniowej) i posługując się nim obliczamy błąd bezwzględny



r

uzyskanej stałej dielektrycznej. (Przykład obliczeń podany jest w Załączniku 1)

CMF 2006

8 /16

Q w nAs

U

C

w kV

0

1

2

800

0

200

400

600

3

Rys. b: Ładunek elektrostatyczny Q kondensatora płaskiego
w funkcji przyłożonego napięcia U

C

(d ustalone, d = 0,2. cm).
Ze współczynnika nachylenia prostej liczymy bezwzględną
stałą dielektryczną, należy również obliczyć błąd wyznaczenia
współczynnika

nachylenia

prostej

(stosując

metodę

najmniejszych kwadratów dla regresji liniowej)
Zakłada się, że prosta przechodzi przez środek układu.

4

Q w nAs

1/d w cm

-1

0

2

4

0

200

400

600

6

Rys. a: Ładunek elektrostatyczny Q kondensatora
płaskiego w funkcji odwrotności odległości
pomiędzy płytkami kondensatora d

-1

(U

C

ustalone, U

C

= 1,5 kV).

Ze współczynnika nachylenia prostej liczymy
bezwzględną stałą dielektryczną. Zakłada się, że
prosta przechodzi przez środek układu.

8

10

Laboratorium Fizyki Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki Politechniki Łódzkiej
E3 Stała Dielektryczna Różnych Materiałów
Sylwester Kania, Janusz Kuliński

Obliczenie bezwzględnej stałej dielektrycznej (dla szkła organicznego (pleksi).

Wyniki przedstawiamy, tak jak na rys b), w układzie osi: U

C

i Q; z nachylenia prostej

obliczamy bezwzględną stałą dielektryczną.

Obliczenie bezwzględnej stałej dielektrycznej dla szkła mineralnego (zwykłego).

Pomiar wykonujemy dla jednej wartości napięcia Uc = 0,3 kV i dla niej obliczamy wartość



r

i

jej błąd.

Obliczenie względnej stałej dielektrycznej

 dla badanych dielektryków:

Względną stałą dielektryczną dla badanych materiałów obliczamy ze wzoru:

0

/







r



,

gdzie



0

jest bezwzględną stałą dielektryczną dla próżni obliczoną z rys. b w pierwszej części

ćwiczenia, zaś

 jest bezwzględną stałą dielektryczną obliczoną z nachylenia prostej na rys. b w

drugiej części doświadczenia (dla badanego materiału).
Otrzymane wartości stałych dielektrycznych przedstawiamy w postaci:

0

0

0













, ;

r

r

r













;

gdzie:

 jest błędem bezwzględnym uzyskanej wartości.

Literatura:

1. Sawieliew I.W.: „Wykłady z fizyki”. Tom II, PWN, 1994r.

2. Massalski J.: „Fizyka dla inżynierów”. Tom I, WN-T, 1975;.

3. Kania S.: “Skrypt do wykładu z fizyki’ cz. 1. CMF PŁ, Łódź 2005r

CMF 2006

9 /16

Laboratorium Fizyki Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki Politechniki Łódzkiej
E3 Stała Dielektryczna Różnych Materiałów
Sylwester Kania, Janusz Kuliński

ZAŁĄCZNIK 1

Wykorzystanie równań Maxwella do opracowania wyników

doświadczalnych.

I prawo Maxwella - prawo Gaussa dla pola elektrycznego.

 

0











Q

S

d

E

oznacza, że

strumień pola elektrycznego (











S

d

E

E

) przez

dowolną zamkniętą powierzchnię S, jest równy sumarycznemu ładunkowi elektrycznemu Q
zawartemu wewnątrz tej powierzchni podzielonemu przez bezwzględną przenikalność
dielektryczną ośrodka



Bezwzględna

=



0



Względna

. (Symbol



- oznacza całkę powierzchniową

liczoną po powierzchni zamkniętej, E - oznacza wektor pola elektrycznego).

Z prawa Gaussa wynika, że linie sił pola elektrycznego mają co najmniej swój początek lub
koniec, tzn. wychodzą z ładunków dodatnich, lub kończą się na ładunkach ujemnych.

III prawo Maxwella ma następującą postać:















)

(

)

(

L

S

S

L

B

S

d

B

dt

d

dt

d

l

d

E

(1)

gdzie: L(S) – zamknięta krzywa całkowania będąca brzegiem powierzchni S(L) przez którą
przepływa strumień

B

 wektora B.

CMF 2006

10 /16

Rys. 3: Pole elektryczne kondensatora płaskiego w przypadku małej odległości
pomiędzy okładkami kondensatora, w porównaniu do średnicy okładek. Linie
przerywane wskazują objętość po której wykonywane jest całkowanie.

L –krzywa
całkowania

r

Laboratorium Fizyki Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki Politechniki Łódzkiej
E3 Stała Dielektryczna Różnych Materiałów
Sylwester Kania, Janusz Kuliński

W naszym przypadku pole wektora Bjest zerowe (tzn.

0



B

), a więc

0







t

B

co prowadzi do

III prawa Maxwella w postaci:

0





L

l

d

E

,

(2)

Jeżeli napięcie U

C

zostanie przyłożone pomiędzy dwoma okładkami kondensatora, to

pole elektryczne E będzie zawarte głównie pomiędzy okładkami kondensatora, a napięcie da

się wyrazić jako:





2

1

r

d

E

U

C

,

(porównaj z rysunkiem 3). Ładunki elektrostatyczne o przeciwnym znaku zależnie od pola
elektrycznego są przesuwane w kierunku powierzchni okładek kondensatora. Ponieważ źródła
napięciowe nie wytwarzają ładunków, a jedynie dokonują ich rozdziału., to wartości
bezwzględne przeciwnych sobie indukcji elektrostatycznych muszą być równe.

Zakładając, że linie pola istniejące dla pola elektrycznego zawsze powinny być

prostopadłe do obu powierzchni kondensatora o powierzchni S każda, ze względu na symetrię,
co może być eksperymentalnie potwierdzone dla małych odległości d pomiędzy płytkami
kondensatora, można uzyskać posługując się równaniem (1):

 

d

S

U

S

E

Q

C

1

0













.

(3)

Objętość pokazana na Rys. 3, która obejmuje tylko jedną okładkę kondensatora, została wzięta
jako objętość całkowania. Ponieważ powierzchnia zaznaczona wewnątrz kondensatora może
być przesunięta bez zmiany strumienia wektora, to oznacza, że pole kondensatora jest
jednorodne. Oba tak strumień jak i natężenie pola elektrycznego E poza kondensatorem są
równe zero, a jest tak ze względu na fakt, że dowolnie wybrane objętości które zawierają w
sobie obie okładki kondensatora, zawierają jednocześnie wypadkowy ładunek równy zero.

Ładunek Q kondensatora jest zatem proporcjonalny do napięcia; stała proporcjonalności

C jest nazywana pojemnością kondensatora.





C

C

U

d

S

CU

Q







0



.

(4)

CMF 2006

11 /16

Q w nAs

U

C

w kV

0

1

2

1000

800

0

200

400

600

3

Rys. 4: Ładunek elektrostatyczny Q kondensatora płaskiego w funkcji przyłożonego
napięcia U

C

(d = 0,2 cm).

Laboratorium Fizyki Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki Politechniki Łódzkiej
E3 Stała Dielektryczna Różnych Materiałów
Sylwester Kania, Janusz Kuliński

Zależność liniowa pomiędzy ładunkiem Q a napięciem U zastosowana do niezmienionego
kondensatora jest pokazana na rys. 4. Równanie (4) dodatkowo pokazuje, że pojemność C
kondensatora jest odwrotnie proporcjonalna do odległości d pomiędzy okładkami:

 

d

S

C

1

0



 

.

(5)

Przy stałym napięciu, odwrotność odległości pomiędzy okładkami, a więc i pojemność,

są miarą ilości ładunku który może zgromadzić kondensator (porównaj z rys. 5. ). Jeżeli
odwrotnie U ,Q , d i S zostaną zmierzone, to z kolei wyniki tych pomiarów umożliwią
obliczenie stałej dielektrycznej

0

 :



 



c

U

Q

S

d





0



.

(6)

W tym przykładzie obliczeniowym, uzyskuje się

)

/(

10

8

,

8

12

0

Vm

As









, co jest

porównywalne z wartością dokładną:

)

/(

10

8542

,

8

12

0

Vm

As









.

Równania (4), (5) i (6) są słuszne tylko w przybliżeniu, ze względu na założenie o

równoległości linii pola. Wraz ze wzrostem odległości pomiędzy okładkami kondensatora,
pojemność maleje, co z kolei systematycznie prowadzi do obliczania zbyt dużej stałej
dielektrycznej z równania (6). To jest właśnie przyczyną, dlaczego stała dielektryczna powinna
być obliczana dla małej i jednocześnie ustalonej odległości pomiędzy okładkami kondensatora
(porównaj z rys. 4.).

Sprawa się znacząco zmienia, gdy wstawimy, już materiał izolujący (dielektryk)

pomiędzy płytki. Dielektryki nie mają ruchomych poruszających się swobodnie nośników
ładunku, takich jakie mają metale, ale są zbudowane z dodatniego jądra i ujemnych elektronów.
Te składniki mogą ustawiać się wzdłuż linii pola elektrycznego, tworząc struktury liniowo
sprzężonych ze sobą indukowanych dipoli. Uprzednio niepolarne (nie posiadające
wyróżnionego kierunku polaryzacji) teraz zachowują się jak lokalne stacjonarne dipole. Jak
można zauważyć na rys. 6., oddziaływanie pojedynczych dipoli, w wyniku wzajemnego
oddziaływania, zanika w skali makroskopowej, wewnątrz dielektryka.

Jednakoż, brakuje partnerów oddziaływania o przeciwnych znakach na powierzchniach, które

CMF 2006

12 /16

Q w nAs

1/d w cm

-1

0

2

4

800

0

200

400

600

6

Rys. 5: Ładunek elektrostatyczny Q kondensatora płaskiego w funkcji odwrotności
odległości pomiędzy płytkami kondensatora d

-1

(U

C

= 1,5 kV).

8

Laboratorium Fizyki Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki Politechniki Łódzkiej
E3 Stała Dielektryczna Różnych Materiałów
Sylwester Kania, Janusz Kuliński

zatem mają (niezobojętniony) ładunek stacjonarny zwany powierzchniowym ładunkiem
związanym.

Powierzchniowe ładunki związane z drugiej strony osłabiają pole elektryczne E

wewnątrz dielektryka pochodzące od rzeczywistych ładunków Q zgromadzonych na
metalowych okładkach kondensatora (ładunek związany indukowany na powierzchni
dielektryka zobojętnia część z tych rzeczywistych ładunków, zmniejszając przez to ich wpływ
na wytworzenie pola wewnątrz dielektryka).

Osłabienie pola elektrycznego E wewnątrz dielektryka jest wyrażone z pomocą

właściwej dla danego materiału, bezwymiarowej, tzw. względnej stałej dielektrycznej
(

 = 1 w próżni):



0

E

E



,

(7)

gdzie

0

E jest polem elektrycznym wytwarzanym jedynie przez ładunki rzeczywiste Q . A

zatem, przeciwstawne pole wytwarzane przez ładunki związane musi być:





0

0

)

1

(

E

E

E

E

f















.

(8)

Pomijając ładunki wewnątrz objętości dielektryka rozpatrywanego makroskopowo, jedynie
indukowane związane ładunki powierzchniowe (

Q

f

) generują efektywnie przeciwstawne pole

(jednorodnie w całej objętości):















V

p

V

d

Q

Q

E

f

f

f

0

0

0

1

)

(

1















,

(9)

Gdzie p jest całkowitym momentem dipolowym ładunków powierzchniowych. W ogólnym
przypadku dielektryka niejednorodnego, równanie (9) przechodzi w :



 

 



P

dV

p

d

E

f









0

0

1

1





(10)

gdzie P - całkowity moment dipolowy liczony na jednostką objętości – nazywamy go

wektorem polaryzacji dielektrycznej, zaś E

f

jest tu funkcją położenia .

Jeżeli dodatkowo pole wektora D (wektora przesunięcia dielektrycznego - indukcji

elektrostatycznej) zostanie zdefiniowane następująco:

E

D







0





,

(11)

linie tego pola zaczynają się jedynie lub kończą się jedynie na rzeczywistych (dających się
zmierzyć bezpośrednio) ładunkach, to wówczas trzy wielkości charakteryzujące pole
elektryczne: natężenie pola E, przesunięcie dielektryczne D, i polaryzacja dielektryczna P

są związane wzajemnie ze sobą za pomocą poniższego równania:

E

P

E

D













0

0







.

CMF 2006

13 /16

E



Rys. 6: Wytwarzanie powierzchniowych ładunków związanych w dielektryku w
wyniku polaryzacji cząsteczek w polu elektrycznym kondensatora płaskiego.

Laboratorium Fizyki Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki Politechniki Łódzkiej
E3 Stała Dielektryczna Różnych Materiałów
Sylwester Kania, Janusz Kuliński

Jeżeli ładunek rzeczywisty Q pozostaje na kondensatorze, w chwili gdy dielektryk jest
wstawiany pomiędzy okładkami, to zgodnie z definicją (3), napięcie U

C

pomiędzy płytkami

zmniejszy się w porównaniu do wartości napięcia U

vac

w próżni (vacuum) (albo też z dobrym

przybliżeniem – w powietrzu) z krotnością równą stałej dielektrycznej:



vac

C

U

U



.

(12)

Podobnie, z definicji pojemności (4) otrzymuje się:

vac

C

C



 

.

(13)

Ogólna postać równania (4) jest zatem następująca:

C

U

d

S

Q









)

/

(

0





.

(14)

Na rys. 7., wartość ładunku Q na kondensatorze jest wykreślona względem zastosowanego
napięcia między okładkami kondensatora U

C

, dla porównania przedstawiono sytuację z i bez

płytki z tworzywa sztucznego pomiędzy okładkami kondensatora, wszystkie inne warunki
pozostają niezmienione: widoczne jest, że przy tym samym napięciu, ilość ładunku
kondensatora znacząco wzrasta dzięki dielektrykowi, w tym przypadku o współczynnik równy
2,9. Jeżeli podzielimy przez siebie ładunek uzyskany z i bez tworzywa sztucznego (równanie
[4] i [14]):





vacuum

plastic

Q

Q

,

(15)

to uzyskana wartość liczbowa jest względną stałą dielektryczną tworzywa sztucznego (plastiku).

Dla szklanych płytek w podobny sposób uzyskuje się wartość

 = 9,1.

CMF 2006

14 /16

Q w nAs

U

C

w kV

0

1,0

2,0

1000

800

0

200

400

600

3,0

Rys. 7. Ładunek elektrostatyczny kondensatora płaskiego jako funkcja przyłożonego
napięcia U

C

, z i bez dielektryka (tworzywo sztuczne) pomiędzy okładkami (d = 0,98 cm).

4,0

powietrze

Tworzywo
sztuczne (plastik)

Laboratorium Fizyki Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki Politechniki Łódzkiej
E3 Stała Dielektryczna Różnych Materiałów
Sylwester Kania, Janusz Kuliński

W celu uwzględnienia w rozważaniach powyżej opisywanego wpływu ładunków

swobodnych, równanie Maxwella (1) powinno być w ogólności uzupełnione o względną stałą
dielektryczną

 dielektryka, który wypełnia rozważaną objętość:

Q

S

d

D

S

d

E

S

S













0





.

(16)

Zatem równanie (14) zastępuje teraz równanie (4).

Przykładowe wyniki pomiarów.

Pomiary stałej dielektrycznej (w powietrzu):

S = 0,0531 m

2

U

C

= 1,5 kV

C = 220 nF

U [V]

0,93

1,1

1,3

1,65

2,15

3,3

d [cm]

0,35

0,30

0,25

0,20

0,15

0,10

1/d [cm

-1

]

1,86

3,33

4,00

5,00

6,67

10,0

Q [nAs]

2,05

242

286

363

473

726

Zależność uzyskana metodą najmniejszych kwadratów jest:
Q [nAs]= 72,115

(1/d), gdzie d w cm , błąd współczynnika nachylenia prostej a = 0,3196

współczynnik korelacji R

2

= 0,9999 (rys.D1)

obliczona z nachylenia prostej wartość



0

= (72,115/(53,1

1,5)10

-12

= 9,05 10

-12

F/m.

błąd względny

1

,

0

)

5

,

1

1

,

0

531

10

115

,

72

3196

,

0

(

)

(

0



























C

C

U

U

S

S

a

a



,

błąd bezwzględny



0

=



0



0

= 0,1

9,0510

-12

= 0,9

10

-12

Wynik podajemy w postaci



0

= (9,1

0,9)10

-12

F/m.

S = 0,0531 m

2

d = 0,2 cm

C = 220 nF

U

C

[kV]

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

U [V]

0,6

1,2

1,7

2,3

2,9

3,6

4,2

5

Q [nAs]

132

264

374

506

638

3,6792

924

1100

Uzyskana zależność Q = 264,9 U

C

.;

a = 3,1 (Rys..D2) ; 

0

= 9,98

10

-12

F/m

19

,

0

)

20

,

0

01

,

0

531

10

9

,

264

1

,

3

(

)

(

0



























d

d

S

S

a

a



błąd bezwzględny



0

=



0



0

= 0,19

9,9810

-12

= 1,9

10

-12

F/m

Wynik podajemy w postaci:



0

= (10,0

1,9)10

-12

F/m.

Pomiary względnej stałej dielektrycznej (z izolatorem - PCV)

Tworzywo sztuczne (plastik - PCV):
S = 0,0531 m

2

d = 0,98 cm

C = 220 nF

U

C

[kV]

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

U [V]

0,48

0,92

1,40

1,80

2,30

2,90

3,40

3,90

Q [nAs]

106

202

308

396

506

638

748

858

Uzyskana zależność Q = 210,6U

C

.;

a = 2,2 (Rys. D3) ;  = 39,910

-12

F/m

04

,

0

)

98

,

0

01

,

0

531

10

6

,

210

2

,

2

(

)

(



























d

d

S

S

a

a



błąd bezwzględny

 =  = 0,0439,910

-12

= 1,6

10

-12

F/m

Wynik dla bezwzględnej stałej dielektrycznej podajemy w postaci:

CMF 2006

15 /16

Laboratorium Fizyki Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki Politechniki Łódzkiej
E3 Stała Dielektryczna Różnych Materiałów
Sylwester Kania, Janusz Kuliński



r

= (39,9

1,6)10

-12

F/m..

 = 

r

/



0

=39,9 / 8.85 = 4,51

05

,

0

)

85

,

8

01

,

0

9

,

39

6

,

1

(

)

(

0

0































r

r

,

 =  = 0,054,51 = 2,26

Wynik dla względnej stałej dielektrycznej podajemy w postaci:


r

= (4,5

2,3)

Pomiary względnej stałej dielektrycznej (z izolatorem – szkło organiczne – pleksi)

Tworzywo sztuczne (szkło organiczne - pleksi):
S = 0,0531 m

2

d = 0,79 cm

C = 220 nF

U

C

[kV]

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

U [V]

0,65

1,2

1,8

2,5

3,1

3,8

4,3

4,9

Q [nAs]

143

264

396

550

682

836

946

1079

Uzyskana zależność Q = 272,0U

C

.;

a = 1,5 (Rys. D4) ;  = 40,510

-12

F/m

038

,

0

)

79

,

0

01

,

0

531

10

272

5

,

1

(

)

(



























d

d

S

S

a

a



błąd bezwzględny

 =  = 0,03840,510

-12

= 1,6

10

-12

F/m

Wynik dla bezwzględnej stałej dielektrycznej podajemy w postaci:



r

= (40,5

1,6)10

-12

F/m..

 = 

r

/



0

=40,5 / 8.85 = 4,56

05

,

0

)

85

,

8

01

,

0

5

,

40

6

,

1

(

)

(

0

0































r

r

,

 =  = 0,054,56 = 0,23

Wynik dla względnej stałej dielektrycznej podajemy w postaci:


r

= (4,6

0,3)

Szkło (glass): d = 0,41 cm U

C

=0,3 kV; U = 5,8 V ; C=220 nF

Q = C

U = 1276 nAs





m

F

S

U

Q

d

C

B

12

10

3

,

63













29

,

0

)

79

,

0

01

,

0

531

10

3

,

0

05

,

0

220

1

8

,

5

5

,

0

(

)

(







































d

d

S

S

U

U

C

C

U

U

C

C



błąd bezwzględny

 =  = 0,2963,310

-12

= 18,4

10

-12

F/m

 = 

r

/



0

=63,3 / 8.85 = 7,15

3

,

0

)

85

,

8

01

,

0

3

,

63

4

,

18

(

)

(

0

0































r

r

,

 =  = 0,37,15= 2,15

Wynik dla względnej stałej dielektrycznej podajemy w postaci:


r

= (7,2

2,2)

CMF 2006

16 /16