Aut Rob Anal

Wyk lad z analizy matematycznej

Wyk lad dla student´

ow kierunku automatyka i robotyka - Studia Zaoczne

wersja robocza 4 lipiec 2003

Bogus law Bo˙zek

AGH Krak´

ow, Wydzia l Matematyki Stosowanej

Wst

Tekst ten powsta l poprzez przepisanie notatek do wyk ladu z Analizy Matema-

tycznej, kt´

ory prowadz

e na kierunku Automatyka i Robotyka na Wydziale Elektro-

techniki, Automatyki, Elektroniki i Informatyki. Zrobi lem to na pro´sb

e student´

i mam nadziej

e, ˙ze b

edzie pomocny dla kolejnych ,,rocznik´

ow”. Pierwsza cz

e´s´c jest

jeszcze bardzo niekompletna i b

e j

a stopniowo, w miar

e mo˙zliwo´sci, uzupe lnia l.

Rozdzia l 1

Podstawowe poj

ecia

1.1

Podstawowe poj

ecia logiczne - przypomnienie

Wszystkie poj

ecia matematyczne opisujemy j

ezykiem, kt´

ory zbudowany jest ze

zda´

n logicznych. Nie wchodz

ac w szczeg´

o ly, zdaniem logicznym nazywamy zda-

nie (w j

ezyku naturalnym), kt´

oremu mo˙zemy przyporz

adkowa´c ocen

e prawdy, b

ad´z

fa lszu. Zdania najcz

e´sciej oznaczamy ma lymi literami, fa lsz zerem, a prawd

e je-

dynk

a. Zdania mo˙zemy l

aczy´c ze sob

a przy pomocy funktor´

ow w zdania z lo˙zone.

Wszystkich funktor´

ow zdaniotw´

orczych dwucz lonowych f jest tyle ile mo˙zliwych

uk lad´

ow zero-jedynkowych tabelki.

p f q

Jednak wszystkie te funktory mo˙zna wyrazi´c przez funktory alternatywy (

∨),

koniunkcji (

∧) i jednoargumentowy funktor negacji (∼), zdefiniowane poni˙zej

∨ q

∧ q

∼p

W szczeg´

olno´sci funktor implikacji (

⇒) zdefiniowany tabelk

⇒ q

mo˙zna wyrazi´c za pomoc

a funktora alternatywy i negacji nast

epuj

aco:

⇒ q ≡ (∼ p) ∨ q

Tautologie.

W matematyce rol

e szczeg´

oln

a ogrywaj

a tautologie.

Definicja 1

Tautologi

a nazywamy zdanie logiczne zawsze prawdziwe.

Znaczenie tautologii polega na tym, ˙ze na nich oparte s

a dowody twierdze´

matematycznych. Za ich pomoc

a mo˙zna dokonywa´c operacji logicznych niezale˙znie

od tre´sci zda´

n, kt´

ore logicznie przekszta lcamy.

ROZDZIA L 1.

PODSTAWOWE POJ

ECIA

Twierdzenie 1

Nast

epuj

ace zdania s

a tautologiami:

⇔ p

prawo to˙zsamo´sci

∧ p

)

prawo sprzeczno´sci

∨ p

prawo wy l

aczonego ´srodka

⇔ (p

)

prawo podw´

ojnego przeczenia

[(p

⇒ q) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ (p ⇒ r) prawo sylogizmu

⇒ p) ⇒ p

prawo sprowadzania do absurdu

∧ q)

= p

∨ q

prawo de Morgana

∨ q)

= p

∧ q

prawo de Morgana

⇒ q

⇔ p ∧ q

⇔ q)

⇔ [(p ∧ q

)

∨ (q ∧ p

)]

∧ q ⇔ (p

∨ q

)

∨ q ⇔ (p

∧ q

)

⇒ q ⇔ p

∨ q

⇔ q ⇔ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)

∧ q ⇔ q ∧ p

prawo przemienno´sci

∨ q ⇔ q ∨ p

∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r)

∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r)

prawo l

aczno´sci

∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (q ∧ r)

∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

∧ p ⇔ p

prawa tautologii

∨ p ⇔ p

∧ 0 ⇔ 0

prawo poch laniania

∨ 1 ⇔ 1

prawo poch laniania

∧ 1 ⇔ p

prawo neutralno´sci

∨ 0 ⇔ p

prawo neutralno´sci

Dow´

od.

Wystarczy zastosowa´c dow´

od ,,zero - jedynkowy”.

1.2

Kwantyfikatory i kwantyfikatory warunkowe

Kwantyfikatory, du˙zy (

∀) i ma ly (∃) s

a uog´

olnieniem odpowiednio koniunkcji i

alternatywy. Zdanie ∀

czytamy dla ka˙zdego x ..., a zdanie ∃

czytamy istnieje takie

....

1. Dwa kwantyfikatory du˙ze i dwa kwantyfikatory ma le s

a przemienne tj.

∀

≡ ∀

∀

∃

≡ ∃

∃

2. Kwantyfikatory du˙zy i ma ly nie s

a przemienne, a dok ladniej

∃∀ ⇒ ∀∃ oraz ∀∃ 6⇒ ∃∀.

Przyk lad 1

∃ y

∗

∈ Y

∀ x ∈ X :

(x, y)

∈ M

∀ x ∈ X ∃ y ∈ Y :

(x, y)

∈ M

3. Prawa de Morgana dla kwantyfikator´

ow.

4. Zmiana zakresu kwantyfikator´

ow - kwantyfikatory warunkowe

∀

(p(x)

⇒ q(x)) ⇔

∀

(x)

∃

(p(x)

∧ q(x)) ⇔

∃

(x)

1.3.

ZBIORY – RACHUNEK ZBIOR ´

1.3

Zbiory – rachunek zbior´

1. Definicje sumy, iloczynu, r´

o˙znicy zbior´

ow.

2. Kilka r´

owno´sci

∪ B = B ∪ A

∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

∪ A = A

∩ A = A

∪ ∅ = A

∩ ∅ = ∅

\ B = A \ ((A ∩ B)

∩ (B \ C) = A ∩ B \ C = B ∩ (A \ C)

∪ B)

= A

∩ B

∩ B)

= A

∪ B

3. Udowodni´c na wyk ladzie jak

a´s r´

owno´s´c np. A

∩ (B \ C) = A ∩ B \ C.

Sumy i iloczyny uog´

olnione

[

∈T

gdy T = N

∞

[

∞

Pokaza´c ˙ze:

∩

∞

[

∞

[

∩ A

)

∪

∞

∪ A

)

∞

[

∞

[

Pokaza´c przyk ladowo ˙ze:

∈N

0, 1 +

= [0, 1]

[

∈N

1 +

2 +

= (1, 3]

1.4

Produkt (iloczyn) kartezja´

nski

Przyk lady:

- odcinek ,,razy” odcinek
- okr

ag ,,razy” okr

ag, itp.

ROZDZIA L 1.

PODSTAWOWE POJ

ECIA

1.5

Funkcje

Definicje

Definicja 2

Niech X

6= ∅, Y 6= ∅. Zbi´or f ⊂ X × Y nazywamy funkcj

a, wtedy i

tylko wtedy gdy

∀

∈X

∃

∈Y

(x, y)

∈ f,

∀

)∈f

∀

)∈f

= x

⇒ y

= y

Z powy˙zszej definicji wynika, ˙ze je´sli para (x, y) nale˙zy fo funkcji f , to nast

epnik

tej pary, (czyli y) jest wyznaczony jednoznacznie. Oznaczamy go symbolem f (x)
i m´

owimy, ˙ze jest to warto´s´c funkcji f w punkcie x. Sam

a funkcj

e f

⊂ X × Y

zapisujemy te˙z symbolicznie f : X

→ Y , lub pe lniej f : X 3 x → f(x) ∈ Y .

Definicja 3

M´

owimy, ˙ze funkcja f

⊂ X × Y jest iniekcj

a, wtedy i tylko wtedy

gdy

∀

)∈f

∀

)∈f

= y

⇒ x

= x

Definicja 4

M´

owimy, ˙ze funkcja f

⊂ X × Y jest suriekcj

a, wtedy i tylko wtedy

gdy ∀

∈Y

∃

∈X

(x, y)

∈ f.

Definicja 5

M´

owimy, ˙ze funkcja f

⊂ X × Y jest bijekcj

a, wtedy i tylko wtedy

gdy jest iniekcj

a i suriekcj

Suriektywno´s´c, iniektywno´s´c, bijektywno´s´c - przyk lady. Superpozycja funkcji -

definicja i przyk lady, l

aczno´s´c sk ladania, brak przemienno´sci

Twierdzenie 2

1) Z lo˙zenie dw´

och bijekcji jest bijekcj

2) Je´sli f : R

→ R silnie rosn

aca, to f jest iniekcj

Wyk lad zacz

a´c od:

1) Zbiory liczbowe N, Z, Q, R, C.

Rozdzia l 2

Elementy analizy
funkcjonalnej

Za l´

o˙zmy, ˙ze X

6= ∅.

Definicja 6

Funcj

e ρ : X

×X → [0, ∞) nazywamy metryk

a, wtedy i tylko wtedy,

gdy

∀

x,y

∈X

(x, y) = 0

⇐⇒ x = y,

∀

x,y

∈X

(x, y) = ρ(y, x),

∀

x,y,z

∈X

(x, z)

≤ ρ(x, y) + ρ(y, z).

Definicja 7

Je´sli X

6= ∅ i ρ : X × X → R metryka, to par

e (X, ρ) nazywamy

przestrzeni

a metryczn

Przyk lady:

1) R

z metrykami:

(x, y) =

n
i

− y

)

1
2

(x, y) =

n
i

− y

(x, y) = max

1≤i≤n

− y

2) Ka˙zda przestrze´

n izomorficzna z R

np. przestrze´

n wielomian´

ow stopnia

≤

− 1.

3) l

{x = (ξ

, . . . , ξ

, . . .

) :

∞
i

|ξ

∞} z metryk

(x, y) = (

∞
i

|ξ

− η

)

1
p

4) C[0, 1] z metrykami:

(x, y) = max

∈[0,1]

|x(t) − y(t)|,

(x, y) =

|x(t) − y(t)| dt.

5) L

[0, 1] =

: [0, 1]

→ R :

(t)dt <

∞

z metryk

(x, y) =

(x(t)

− y(t))

1
2

ROZDZIA L 2.

ELEMENTY ANALIZY FUNKCJONALNEJ

6) Je´sli (X

, ρ

), (X

, ρ

) s

a przestrzeniami metrycznymi, to (X

× X

, d

) jest

przestrzeni

a metryczn

a, gdzie d jest metryk

a okre´slon

a wzorem

((x

, x

), (x

, x

)) := ρ

, x

) + ρ

, x

)

1
2

7) ,,Amazonka”.

Twierdzenie 3

Je˙zeli (X, ρ) jest przestrzeni

a metryczn

a, to

1+ρ

jest przestrzeni

a metryczn

∀

∈R

(X, αρ) jest przestrzeni

a metryczn

3. Je´sli f : X

→ X jest iniekcj

a, to eρ(x, y) := ρ(f(x), f(y)) jest metryk

a, zatem

(X, eρ) jest przestrzeni

a metryczn

ad np. ρ(x, y) :=

|arctan x − arctan y| jest metryk

a w R.

Definicja 8

Niech (X, ρ) b

edzie przestrzeni

a metryczn

a. Kul

a otwart

a o ´srodku

w punkcie x

i promieniu r

≥ 0 nazywamy zbi´or

, r

) :=

{x ∈ X :

, x

) < r

} ,

a kul

a domkni

a zbi´

, r

) :=

{x ∈ X :

, x

)

≤ r} .

a kuli otwartej i domkni

etej

Niech X b

edzie przestrzeni

a wektorow

a nad cia lem K (K = R, lub K = C).

Definicja 9

Funkcj

k · k : X → [0, ∞) nazywamay norm

a, wtedy i tylko wtedy,

gdy

kxk = 0 ⇐⇒ x = 0,

∀

∈K

∀

∈X

kαxk = |α|kxk,

∀

x,y

∈X

kx + yk ≤ kxk + kyk.

Definicja 10

Par

e (X,

k · k) nazywamy przestrzeni

a unormowan

Uwaga 1

Ka˙zda norma indukuje metryk

e wed lug wzoru

(x, y) :=

kx − yk,

tote˙z ka˙zda przestrze´

n unormowana jest przestrzeni

a metryczn

Definicja 11

Niech (X, ρ) – przestrze´

n metryczna. Ci

(n)

∈N

⊂ X nazy-

wamy ci

agiem Cauchy’ego (ci

agiem fundamentalnym) wtedy i tylko wtedy, gdy

∀

ε>

∃

∈N

∀

m>k

∀

n>k

(m)

, x

(n)

< ε.

Definicja 12

Niech (X, ρ) – przestrze´

n metryczna. M´

owimy, ˙ze ci

(n)

∈N

⊂

jest zbie˙zny do granicy g

∈ X wtedy i tylko wtedy, gdy ci

ag liczbowy ρ x

(n)

, g

ma granic

e r´

own

a 0, tj.

lim

→∞

(n)

= g

⇐⇒ lim

→∞

(n)

, g

= 0

⇐⇒ ∀

ε>

∃

∈N

∀

3n>k

(n)

, g

< ε

Definicja 13

M´

owimy, ˙ze ci

(n)

∈N

⊂ X jest zbie˙zny w przestrzeni me-

trycznej (X, ρ) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje g

∈ X, takie ˙ze lim

→∞

(n)

= g.

Twierdzenie 4

Ka˙zdy ci

ag zbie˙zny w przestrzeni metrycznej (X, ρ) jest ci

agiem

Cauchy’ego.

Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.

Przyk lad 2

∈N

jest zbie˙zny do zera w przestrzeni metrycznej (R, ρ

gdzie ρ

jest metryk

a euklidesow

a. Jest on zatem w my´sl poprzedniego twierdzenia

agiem Cauchy’ego. Niech X := (0, 1) i niech d b

edzie restrykcj

a metryki ρ

× X. Przestrze´n (X, d) jest przestrzeni

a metryczn

a, a rozwa˙zany ci

ag w tej prze-

strzeni nie jest zbie˙zny, gdy˙z 0

6∈ X.

Definicja 14

Niech (X, ρ

), (X, ρ

) b

a przestrzeniami metrycznymi. M´

owimy

˙ze metryki ρ

i ρ

a r´

ownowa˙zne wtedy i tylko wtedy, gdy

∀

{

(n)

}

n∈N

⊂X

∀

∈X

(n)

, g

)

→∞

−→ 0 ⇔ ρ

(n)

, g

)

→∞

−→ 0.

Definicja 15

Niech (X, ρ) przestrze´

n metryczna,

(n)

∈N

⊂ X. Niech N

⊂

edzie dowolnym podzbiorem, kt´

ory nie jest ograniczony od g´

ory tzn.

∀

∈N

∃

∈N

m > n.

W´

owczas

(m)

∈N

nazywamy podci

agiem ci

agu

(n)

∈N

Definicja 16

Niech (X, ρ) przestrze´

n metryczna, A

⊂ X. Zbi´or A nazywamy

ograniczonym wtedy i tylko wtedy, gdy

∃

∈X

∃

⊂ K(s, r).

Twierdzenie 5

Je´sli lim

→∞

(n)

= g

i lim

→∞

(n)

= g

w przestrzeni me-

trycznej (X, ρ), to g

= g

Twierdzenie 6

Niech (X, ρ) przestrze´

n metryczna,

(n)

∈N

⊂ X. Je´sli ci

(n)

∈N

jest zbie˙zny w (X, ρ), to

(n)

∈N

ograniczony w (X, ρ).

Definicja 17

Przestrze´

n metryczn

a (X, ρ) nazywamy zupe ln

a, wtedy i tylko

wtedy, gdy ka˙zdy ci

ag Cauchy’ego

(n)

∈N

⊂ X jest zbie˙zny (do elementu prze-

strzeni X).

Definicja 18

Przestrze´

n unormowan

a zupe ln

a nazywamy przestrzeni

a Bana-

cha.

Twierdzenie 7

(Banacha o odwzorowaniach zw

e˙zaj

acych)

Je´sli

– (X,

k · k) przestrze´n Banacha,

– T : X

→ X q-zw

e˙zaj

ace tzn.

∃

∈[0,1)

∀

x,y

∈X

kT (x) − T (y)k ≤ qkx − yk,

• T ma jedyny punkt sta ly tzn. ∃! x

∈ X :

) = x

• Ponadto, je´sli x

∈ X, x

:= T (x

), to

, x

)

≤

− q

, x

)

dla

∈ N.

ROZDZIA L 2.

ELEMENTY ANALIZY FUNKCJONALNEJ

Definicja 19

Niech (X, ρ) – przestrze´

n metryczna, A

⊂ X. M´owimy, ˙ze zbi´or

jest otwarty w przestzeni (X, ρ) wtedy i tylko wtedy, gdy

∀

∈A

∃

(a, r)

⊂ A,

a domkni

ety, gdy X

\ A – otwarty.

Rozdzia l 3

agi liczbowe

W przypadku ci

ag´

ow liczbowych b

edziemy konsekwentnie u˙zywa´c dolnych in-

deks´

ow.

Twierdzenie 8

Je´sli

}

∈N

}

∈N

a ci

agami zbie˙znymi, przy czym lim

→∞

oraz lim

→∞

= b, to ci

agi

+ b

}

∈N

− b

}

∈N

}

∈N

a zbie˙zne.

Ponadto lim

→∞

+ b

) = a+b, lim

→∞

− b

) = a

−b, lim

→∞

) = ab.

Je´sli dodatkowo b

6= 0 i b 6= 0, to ci

∈N

jest zbie˙zny i lim

→∞

Definicja 20

Niech A

⊂ R. Liczb

e M

∈ R nazywamy kresem g´ornym zbioru A

(supremum A), co zapisujemy M = sup A, wtedy i tylko wtedy, gdy

∀

∈A

≤ M,

2) ∀

ε>

∃

∈A

− ε < a.

Liczb

e m

∈ R nazywamy kresem dolnym zbioru A (infimum A), co zapisujemy

= inf A, wtedy i tylko wtedy, gdy liczba

−m jest kresem g´ornym zbioru −A :=

{−a : a ∈ A}, czyli

∀

∈A

≤ a,

2) ∀

ε>

∃

∈A

a < m

+ ε.

Twierdzenie 9

Zbi´

or A

⊂ R niepusty i ograniczony od g´ory ma kres g´orny, a

ograniczony od do lu ma kres dolny

Definicja 21

M´

owimy, ˙ze ci

}

∈N

⊂ R jest monotonicznie rosn

acy wtedy

i tylko wtedy, gdy ∀

∈N

≥ a

Twierdzenie 10

Ka˙zdy ci

ag liczbowy monotoniczny i ograniczony jest zbie˙zny,

przy czym je´sli ci

}

∈N

jest rosn

acy, co kr´

otko b

edziemy notowa´c

%, to

lim

→∞

= sup

}

∈N

, natomiast je´sli ci

}

∈N

jest malej

acy, co kr´

otko

edziemy notowa´c

&, to lim

→∞

= inf

}

∈N

Twierdzenie 11

(Twierdzenie o zachowaniu nier´

owno´sci w granicy). Je´sni

agi

}

∈N

}

∈N

a zbie˙zne, lim

→∞

= a, lim

→∞

= b oraz ∀

∈N

≤

, to a

≤ b.

ROZDZIA L 3.

AGI LICZBOWE

Twierdzenie 12

(Twierdzenie o trzech ci

agach) Za l´

o˙zmy, ˙ze dane s

a trzy ci

agi

}

∈N

}

∈N

}

∈N

. Je´sli

∀

→∞

≤ b

≤ c

oraz lim

→∞

= lim

→∞

, to ci

}

∈N

jest zbie˙zny i lim

→∞

= g.

Przyk lad

Twierdzenie 13

{

√

}

∈N

jest zbie˙zny, oraz lim

→∞

√

= 1.

Dow´

od.

Zauwa˙zmy, ˙ze

√

= 1 + ε

, gdzie ε

≥ 0. Zatem

= (1 + ε

)

n
k

k
n

≥ 1 +

a st

≤ ε

≤

−1

(

)

↓

c.k.d

Twierdzenie 14

Niech a > 0. W´

owczas lim

→∞

√

= 1.

Dow´

od.

Zauwa˙zmy, ˙ze dla dostatecznie du˙zych n

∈ N:

≤ a ≤ n. Zatem

√

≤

√

≤

√

↓

c.k.d

Twierdzenie 15

Je´sli

|q| < 1, to lim

→∞

= 0.

Dow´

od.

Wystarczy pokaza´c ˙ze lim

→∞

|q|

= 0. Zauwa˙zmy, ˙ze

|q|

|q| |q|

|q|

, zatem ci

|q|

jest malej

acy. Ponadto

|q|

jest ograniczony z do lu

przez 0. Tak wi

ec ci

ag ma granic

e α = inf

{|q|

, n

∈ N}. Nale˙zy wykluczy´c przypa-

dek α > 0. Przyjmijmy dla dowodu nie wprost hipotez

e, ˙ze lim

→∞

|q|

= α > 0.

Tak wi

ec α

≤ |q|

, sk

√

≤ |q|. Poniewa˙z lim

√

= 1, zatem z twierdzenia o

zachowaniu nier´

owno´sci w granicy 1

≤ |q|, co stanowi sprzeczno´s´c z za lo˙zeniem.

c.k.d.

Twierdzenie 16

ag 1 +

jest zbie˙zny. Jego granic

e oznaczamy symbo-

lem e.

Dow´

od.

Poka˙zemy, ˙ze rozwa˙zany ci

ag jest rosn

acy i ograniczony.

= (1 +

)

= 1 +

+ . . . +

n
k

+ . . . +

n
n

= 1 + 1 +

−

)(1

−

)

+ . . . +

−

)(1

−

) . . . (1

−

−1

)

+ . . . +

−

) . . . (1

−

−1

)

≤ 1 + 1 +

+ . . . +

≤ 1 + 1 +

1
2

+ . . . +

= 1 +

−

1
2

Z kolei

= 1 + 1 +

−

)(1

−

)

+ . . . +

−

)(1

−

) . . . (1

−

−1

)

−

)(1

−

) . . . (1

−

)

(n + 1)!

Por´

ownuj

ac odpowiadaj

ace sobie sk ladniki otrzymujemy a

< a

dla n

≥ 1.

Zatem ci

ag jako rosn

acy i ograniczony jest zbie˙zny.

c.k.d.

Mo˙zna te˙z pokaza´c ˙ze e =

∞
n

:= lim

→∞

k
n

Wniosek 1

lim

→∞

−

1
e

Dow´

od.

−

−1

(

n−

)

(

n−

1+1

n−

)

n−

1+1

(

n−

)

n−

(

n−

)

c.k.d.

Mo˙zna udowodni´c bardzej og´

olne

Twierdzenie 17

Je´sli lim

→x

(x) = 0, to

∃ lim

→x

(1 + α(x))

(x)

2) lim

→x

(1 + α(x))

(x)

= e.

ROZDZIA L 3.

AGI LICZBOWE

Rozdzia l 4

ag fundamentalny

Niech (X, ρ) – przestrze´

n metryczna,

(n)

∈N

Definicja 22

(n)

∈N

nazywamy fundamentalnym (lub inaczej ci

agiem

Cauchy’ego, ci

agiem podstawowym, ci

agiem spe lniaj

acym warunek Cauchy’ego) w

(X, ρ) wtedy i tylko wtedy, gdy

∀

ε>

∃

∈N

∀

m,n

∈N;m≥k;n≥k

(m)

, x

(n)

) < ε

Twierdzenie 18

Je´sli

(n)

∈N

⊂ X jest zbie˙zny w (X, ρ), to

(n)

spe lnia

warunek Cauchy’ego.

Dow´

od.

Niech ε > 0 i niech lim

→∞

(n)

= g w (X, ρ). Do liczby

ε
2

mo˙zna dobra´c k

∈ N takie, ˙ze

∀

3n≥k

ρ x

(n)

, g

ε
2

. Niech n, m – dowolne

liczby naturalne takie ˙ze n

≥ k, m ≥ k. W takim razie jednocze´snie ρ x

(n)

, g

ε
2

i ρ x

(m)

, g

ε
2

. Na mocy nier´

owno´sci tr´

ojk

ata ρ x

(n)

, x

(m)

≤ ρ x

(n)

, g

ρ x

(m)

, g

ε
2

= ε.

c.k.d.

Przyk lad: Niech Z := (0, 1),

:= ρ

1|Z×Z

. Para (Z, d) jest przestrzeni

a metryczn

∈N\{0}

jest w (Z, d) ci

agiem fundamentalnym, ale nie jest zbie˙zny w (Z, d),

bo 0

6∈ Z.

Definicja 23

Przestrze´

n metryczn

a (X, ρ) nazywamy zupe ln

wtedy i tylko

wtedy, gdy

(n)

∈N

⊂ X fundamentalny w (X, ρ) ⇒

(n)

∈N

zbie˙zny w (X, ρ)

Przyk lad:

1. (R

, ρ

) - przestrze´

n metryczna zupe lna,

2. (C[a, b], d

) - przestrze´

n metryczna zupe lna.

Definicja 24

Niech (X, ρ) – przestrze´

n metryczna, A

⊂ X. Zbi´or A nazywamy

otwartym

w (X, ρ) wtedy i tylko wtedy, gdy ∀

∈A

∃

(x, r)

⊂ A

Definicja 25

Niech (X, ρ) – przestrze´

n metryczna, A

⊂ X. Zbi´or A nazywamy

domkni

etym

w (X, ρ) wtedy i tylko wtedy, gdy zbi”i´

or X

\ A jest otwarty w (X, ρ).

ROZDZIA L 4.

AG FUNDAMENTALNY

Rozdzia l 5

Szeregi liczbowe

Definicja 26

Szeregiem

∞
n

nazywamy ci

k
n

∈N

. Je´sli

ag ten, zwany ci

agiem sum cz

e´sciowych szeregu

∞
n

, jest zbie˙zny, to jego

granic

e nazywamy sum

a szeregu i oznaczamy j

a tym samym symbolem co sam szereg.

Liczby a

∈ N) nazywamy wyrazami szeregu

∞
n

Przyk lad:

Je´sli

|θ| < 1, to

∞
n

= lim

→∞

k
n

= lim

→∞

1−θ

Przyk lad:
Zbie˙zno´s´c dowolnego ci

agu mo˙zna sprowadzi´c do zbie˙zno´sci pewnego szeregu. Niech

}

∈N

edzie zadanym ci

agiem. Zdefiniujmy ζ

:= s

+(s

−s

)+(s

−s

)+. . .+

− s

−1

) przy czym s

−1

:= 0. Zauwa˙zmy, ˙ze lim

→∞

= lim

→∞

k
n

−

−1

) =

∞
n

− s

−1

Twierdzenie 19

(Warunek konieczny zbie˙zno´sci szeregu liczbowego) Na to, aby

szereg

∞
n

by l zbie˙zny potrzeba aby lim

→∞

= 0. Innymi s lowy je´sli szereg

∞
n

jest zbie˙zny, to lim

→∞

= 0.

Twierdzenie 20

(Warunek konieczny i wystarczaj

acy zbie˙zno´sci szeregu) Sze-

reg

∞
n

jest zbie˙zny wtedy i tylko wtedy, gdy ∀

ε>

∃

∈N

∀

p,q

≥k, q≥p

q
n

< ε.

Twierdzenie 21

Szereg bezwzgl

ednie zbie˙zny jest zbie˙zny tzn. je´sli szereg

∞
n

jest zbie˙zny, to jest zbie˙zny szereg

∞
n

Twierdzenie 22

Je´sli

∀

∈N\{0}

∀

∈N\{0}

− a

0, lim

→∞

= 0,

to szereg

∞
n

jest zbie˙zny wtedy i tylko wtedy, gdy szereg

∞
n

jest

zbie˙zny.

Dow´

od.

Oznaczmy t

:= a

+ 2a

+ 4a

+ . . . + 2

, s

:= a

+ . . . + a

(

⇐) Zauwa˙zmy, ˙ze a

+ (a

+ a

) + (a

+ . . . + a

) + . . . + (a

+ . . . + a

−1

)

≤

≤ a

+ 2a

+ 2

+ . . . + 2

= t

. Ustalmy n i we´zmy dowolne k spe lniaj

ace

nier´

owno´s´c n < 2

. Wtedy na mocy powy˙zszego rachunku, wobec monotoniczno´sci

agu

}

∈N

mamy:

≤ t

≤ lim

→∞

= sup

: k

∈ N} zatem ci

}

∈N\{0}

jest ograniczony. Z drugiej strony ci

}

∈N\{0}

jako ci

ag sum

e´sciowych szeregu o wyrazach dodatnich jest ci

agiem rosn

acym. Z tych dw´

och

fakt´

ow wynika, ˙ze

}

∈N\{0}

jest ci

agiem zbie˙znym.

(

⇒) Niech n > 2

. W´

owczas s

≥ a

+ a

+ (a

+ a

) + (a

+ a

) + . . . +

k−

+ . . . + a

)

≥

1
2

+ a

+ 2a

+ 4a

+ . . . + 2

−1

1
2

. Zatem t

≤ 2s

ROZDZIA L 5.

SZEREGI LICZBOWE

Przeprowadzaj

ac rozumowanie podobne do tego z pierwszej cz

e´sci dowodu otrzy-

mujemy w rezultacie zbie˙zno´s´c ci

agu

}

∈N

c.k.d.

Twierdzenie 23

Szeregi

∞
n

(ln n)

∞
n

ln n(ln ln n)

, . . . s

zbie˙zne wtedy i tylko wtedy, gdy α > 1.

Definicja 27

Niech ci

}

∈N\{0}

edzie ci

agiem liczbowym takim, ˙ze a

≥

≥ a

≥ . . . > 0 oraz lim

→∞

= 0. Wtedy szereg postaci

∞
n

(

−1)

nazywamy zeregiem naprzemiennym.

Twierdzenie 24

(Kryterium Leibnitza) Je´sli ci

}

∈N\{0}

spe lnia warunki:

≥ a

≥ . . . > 0 oraz lim

→∞

= 0, to szereg

∞
n

(

−1)

jest zbie˙zny.

Czyli kr´

otko:

Szereg naprzemienny jest zbie˙zny.

Dow´

od.

Niech s

:= a

− a

+ . . . + (

−1)

. W´

owczas s

2n+2

= s

2n+1

− a

2n+2

)

≥ s

. Tak wi

ec ci

}

∈N\{0}

jest ci

agiem monotonicznie

rosn

acym. Ponadto s

= a

− (a

− a

)

− (a

− a

)

− . . . − (a

2n−2

− a

2n−1

)

−

≤ a

, a zatem

}

∈N\{0}

jest ci

agiem ograniczonym od g´

ory. Tak wi

}

∈N\{0}

jest ci

agiem zbie˙znym. Oznaczmy symbolem g jego granic

e. Za-

uwa˙zmy, ˙ze lim

→∞

2n+1

= lim

→∞

+ a

2n+1

) = lim

→∞

+lim

→∞

2n+1

+ 0 = g, zatem r´

ownie˙z ci

2n+1

}

∈N\{0}

jest ci

agiem zbie˙znym do granicy g.

acznie lim

→∞

= g.

c.k.d.

Twierdzenie 25

(Twierdzenie Abela) Je´sli ci

ag a

& 0, σ

:= b

+. . .+b

jest

agiem ograniczonymoraz ∀

∈N

0, b

0, to szereg

∞
n

jest zbie˙zny.

Dow´

od.

Niech s

:= a

+ a

+ . . .+ a

. We´zmy n, m

∈ N, n > m. Mamy

− s

= a

+ . . . + a

= a

(σ

− σ

) + a

(σ

− σ

) +

. . .

+ a

(σ

− σ

−1

) =

−a

+ (a

− a

)σ

+ (a

− a

)σ

. . .

+ (a

−1

− a

)σ

−1

+ a

, zatem

− s

| ≤ |σ

| a

|σ

| (a

−a

) + . . .+

|σ

−1

| (a

−1

−a

) +

|σ

| a

≤

+ a

− a

+ a

+ . . . + (a

−1

− a

) + a

} = 2Ma

, gdzie M

jest sta l

a ograniczaj

a ci

{σ

}. Do ε > 0 mo˙zna dobra´c k ∈ N takie, ˙ze

2M a

< ε

dla m > k. Tak wi

− s

| < ε, gdy n > m > k. To ozna-

cza, ˙ze ci

}

∈N

spe lnia warunek Cauchy’ego, a zatem jest zbie˙zny.

c.k.d.

Twierdzenie 26

(Kryterium Raabego) Je´sli

}

∈N

jest ci

agiem o wyrazach

dodatnich takim, ˙ze lim

→∞

− 1

1, to szereg

∞
n

jest zbie˙zny.

Twierdzenie 27

(Kryterium por´

ownawcze) Przyjmijmy, ˙ze ∀

∈N

≤ a

≤ b

W´

owczas

1. Je´sli szereg

∞
n

jest zbie˙zny, to szereg

∞
n

jest zbie˙zny.

2. Je´sli szereg

∞
n

jest rozbie˙zny, to szereg

∞
n

jest rozbie˙zny.

Dow´

od.

Niech s

∞
j

, σ

∞
j

. Jak latwo zauwa˙zy´c s

≤ σ

c.k.d.

Przyk lad:

∞
1

Wniosek 2

Je´sli ∀

∈N

| ≤ b

oraz szereg

∞
n

jest zbie˙zny, to szereg

∞
n

jest zbie˙zny.

Twierdzenie 28

(Kryterium Cauchy’ego) Je´sli

}

∈N\{0}

jest ci

agiem o wy-

razach nieujemnych takim, ˙ze lim

→∞

√

=: γ < 1, to szereg

∞
n

jest

zbie˙zny. Je´sli γ > 1, to szereg

∞
n

jest rozbie˙zny.

Twierdzenie 29

(Kryterium d’Alemberta) Je´sli

}

∈N\{0}

jest ci

agiem o wy-

razach dodatnich takim, ˙ze lim

→∞

=: γ < 1, to szereg

∞
n

jest zbie˙zny.

Je´sli γ > 1, to szereg

∞
n

jest rozbie˙zny.

Przyk lady:

Definicja 28

Je´sli

}

∈N

jest permutacj

a ci

agu 1, 2, 3, . . ., to m´

owimy ˙ze

szeregi

r´

o˙zni

a si

e co najwy˙zej porz

adkiem sk ladnik´

ow.

Twierdzenie 30

(O permutacji szereg´

ow bezwzgl

ednie zbie˙znych) Je´sli

}

∈N

jest ci

agiem, kt´

orego wyrazami s

a liczby naturalne 1, 2, 3, . . ., przy czym ka˙zda liczba

wyst

epuje w tym ci

agu dok ladnie jeden raz (czyli ci

}

∈N

jest permutacj

zbioru liczb naturalnych N) oraz szereg

∞
n

jest bezwzglednie zbie˙zny, to szereg

∞
n

jest zbie˙zny i

∞
n

Dow´

od.

Zdefiniujmy s

:= a

+ a

+ . . . + a

, t

:= a

+ a

+ . . . + a

Oczywi´scie t

= s

+ (t

− s

). Zatem wystarczy pokaza´c ˙ze lim

→∞

− s

) = 0.

We´zmy ε > 0. Istnieje l

∈ N takie ˙ze

∞
j

=l+1

| < ε. We´zmy k tak du˙ze ˙ze liczby

, . . . , a

znajduj

a si

e w´sr´

od liczb a

, a

, . . . , a

, co jest r´

ownowa˙zne, ˙ze liczby

1, . . . , l znajduj

a si

e w´sr´

od liczb m

, . . . , m

. Wtedy

− t

| ≤

∞
j

=l+1

| < ε

dla n > k, czyli

− t

| < ε dla n > k.

c.k.d.

Twierdzenie 31

(Twierdzenie Riemanna) Je´sli szereg

∞
n

jest warun-

kowo zbie˙zny, to do ka˙zdej liczby s

∈ [−∞, ∞] istnieje permutacja {m

}

∈N

agu

1, 2, 3, . . ., taka, ˙ze

∞
n

jest szeregiem zbie˙znym do sumy s.

Definicja 29

Iloczynem Cauchy’ego szereg´

∞
n

nazywamy sze-

reg (

∞
n

) (

∞
n

) =

∞
n

, gdzie c

n
k

−k

Twierdzenie 32

(Twierdzenie Mertensa) Je˙zeli szereg

∞
n

jest bezwzgl

ednie

zbie˙zny, szereg

∞
n

zbie˙zny, to iloczyn Cauchy’ego tych szereg´

ow jest szeregiem

zbie˙znym.

Przyk lad:

Niech e

∞
n

. Dla ka˙zdego ustalonego x

∈ R szereg ten jest bezwzgl

ednie

zbie˙zny. Stosuj

ac kryterium d’Alemberta do szeregu

∞
n

|x|

mamy bowiem

lim

→∞

|x|

(n+1)!

|x|

= lim

→∞

|x|

+ 1

= 0,

zatem szereg ten jest zbie˙zny. Na mocy twierdzenia Mertensa dla dowolnych a, b

∈ R

szereg e

· e

jest zbie˙zny. Z drugiej strony

· e

∞

0!n!

−1

1!(n

− 1)!

+ . . . +

!0!

∞

−1

+ . . . +

n
n

∞

(a + b)

= e

zatem

· e

= e

ROZDZIA L 5.

SZEREGI LICZBOWE

Bezpo´srednio z definicji wynika, ˙ze e

1 dla x > 0. Poniewa´z e

· e

−x

= e

−x

= 1 zatem e

−x

. To z kolei daje nier´

owno´s´c e

1 dla x < 0 z jednej strony

i oszacowanie e

0 z drugiej.

Poka˙zemy, ˙ze e

jest silnie rosn

aca.

Warunek x

< x

jest r´

ownowa˙zny nier´

owno´sci x

− x

0. Mamy wi

ec 1 <

−x

, sk

ad wobec nier´

owno´sci e

0 dostajemy e

< e

Funkcja R

3 x → e

∈ R

jako silnie rosn

aca jest iniektywna, a zatem odwracalna

na swojej przeciwdziedzinie. Je´sli oznaczymy f (x) = e

, to

ln x := f

−1

(x).

Z definicji funkcji odwrotnej wynika, ˙ze f (f

−1

(x)) = e

ln x

= x dla x > 0, jak r´

ownie˙z

−1

(f (x)) = ln e

= x dla x

∈ R. Definiujemy

:= e

ln a

log

ln x
ln a

Rozdzia l 6

W lasno´

sci funkcji ci

ag lych

Niech (X, ρ), (Y, d) przestrzenie metryczne, f : X

→ Y funkcja , A ⊂ X.

Definicja 30

M´

owimy, ˙ze f jest funkcj

a ci

ag la w punkcie a

∈ X wtedy i tylko

wtedy, gdy

∀

ε>

∃

δ>

∀

∈X

(ρ(x, a) < δ

⇒ d(f(x), f(a)) < ε) ,

co jest r´

ownowa˙zne warunkowi

∀

ε>

∃

δ>

∀

∈X

∈ K(a, δ) ⊂ X ⇒ f(x) ∈ K(f(a), ε) ⊂ Y.

Definicja 31

M´

owimy, ˙ze funkcja f jest ci

ag la w zbiorze A

⊂ X wtedy i tylko

wtedy, gdy ∀

∈A

funkcja f jest ci

ag la w a.

Przyk lady:

1. Je´sli (X, ρ) jest przestrzeni

a metryczn

a, x

∈ X, to funkcja X 3 x −→ ρ(x, ¯x) ∈

jest ci

ag la w X.

2. Niech rozwa˙zan

a przestrzeni

a metryczn

a b

edzie (R

, ρ

). Niech i

∈ {1, . . . , n}.

Funkcja pr

: R

3 x = (x

, . . . , x

)

−→ pr

(x) = x

∈ R zwana projekcj

a na

–t

a o´s, jest ci

ag la w R

Twierdzenie 33

Niech X = R

, ρ

= ρ

edziemy czas jaki´s rozwa˙za´c tylko

taki przypadek), f, g : X

−→ R ci

ag le w punkcie a (w zbiorze A). W´

owczas

+ g, f

− g, f · g,

6= 0)

ag le w a (w zbiorze A).

Twierdzenie 34

Je´sli A

⊂ R

zbi´

or domkni

ety i ograniczony, f : A

→ R

funkcja ci

ag la w A, to

∃

M >

∀

∈A

|f(x)| ≤ M.

Kr´

otko:

Funkcja ci

ag la na zbiorze domkni

etym i ograniczonym jest ograniczona.

Twierdzenie 35

(Weierstrassa) Je´sli A

⊂ R

zbi´

or domkni

ety i ograniczony,

: A

→ R funkcja ci

ag la w A, to

∃

∈A

: f (x

) = inf

∈A

(x),

∃

∈A

: f (x

) = sup

∈A

(x).

Kr´

otko:

Funkcja ci

ag la na zbiorze domkni

etym i ograniczonym osi

aga swoje kresy.

ROZDZIA L 6.

W LASNO ´

SCI FUNKCJI CI

AG LYCH

Twierdzenie 36

(Darboux) Za l´

o˙zmy, ˙ze f : R

⊃ I → R ci

ag la , I przedzia l,

[α, β]

⊂ I, f(α) 6= f(β), c le˙zy mi

edzy f (α) i f (β). W´

owczas

∃

∈(α,β)

(ξ) = c.

Twierdzenie 37

(Boltzano) Za l´

o˙zmy, ˙ze f : R

⊃ I → R ci

ag la , I przedzia l,

[α, β]

⊂ I, f(α)f(β) < 0. W´owczas

∃

∈(α,β)

(ξ) = 0.

Dow´

od.

Konstrukcja prowadz

aca do metody po lowienia przedzia lu.

c.k.d.

Wniosek 3

Ka˙zdy wielomian zmiennej rzeczywistej stopnia nieparzystego ma

co najmniej jedno miejsce zerowe.

Twierdzenie 38

Je´sli f : R

⊃ A → R jest ci

ag la w x

∈ A oraz f(x

) <

(f (x

) > c), to istnieje takie otoczenie U

punktu x

, ˙ze f (x) < c

(f (x) > c),

gdy x

∈ A ∩ U

Dow´

od.

Za l´

o˙zmy, ˙ze f (x

) < c. Zdefiniujmy ε := c

− f(x

) > 0. Z ci

ag lo´sci f

w x

wynika istnienie otoczenia U

punktu x

takiego, ˙ze

|f(x) − f(x

)

| < ε = c − f(x

) dla x

∈ A ∩ U

W szczeg´

olno´sci f (x)

− f(x

) < c

− f(x

) sk

ad f (x) < c dla x

∈ A ∩ U

c.k.d.

Twierdzenie 39

Funkcje elementarne

3 x → x

∈ R,

∈ N,

3 x → e

∈ R,

3 x → sin x ∈ R,

3 x → cos x ∈ R,

a ci

ag le.

Twierdzenie 40

Je´sli f : R

⊃ I → R, I – przedzia l, f ci

ag la i ´sci´sle monoto-

niczna w I, to f

−1

jest ci

ag la w f (I).

Wniosek 4

Funkcje x

→

√

, x

→ log

a ci

ag le.

Twierdzenie 41

Je˙zeli (X, ρ), (Y, d), (Z, µ) przestrzenie metryczne, f : X

⊃

→ Y , g : Y ⊃ B → Z – funkcje ci

ag le, f (A)

⊂ B, w´owczas g ◦ f : X ⊃ A → Z

jest funkcj

a ci

ag l

Niech (X, ρ), (Y, d) – przestrzenie metryczne i niech f : X

⊃ D → Y –funkcja.

Definicja 32

M´

owimy ˙ze g

∈ Y jest granic

a funkcji f w punkcie x

, co zapisu-

jemy lim

→x

(x) = g wtedy i tylko wtedy, gdy e

: X

⊃ D 3 x →

(x),

dla

6= x

dla

= x

jest ci

ag la w x

Wniosek 5

Niech X = R

, Y = R, f : X

−→ Y , g : X −→ Y , x

∈ X. Je´sli

lim

→x

(x) = κ

, lim

→x

(x) = κ

, to istnieje granica sumy, r´

o˙znicy, iloczynu

funkcji f i g w punkcie x

, a przy dodatkowym za lo˙zeniu κ

6= 0 i g(x) 6= 0 w

asiedztwie x

r´

ownie˙z granica ilorazu tych funkcji. Ponadto

lim

→x

(f (x) + g(x)) = κ

+ κ

lim

→x

(f (x)

− g(x)) = κ

− κ

lim

→x

(f (x)

· g(x)) = κ

· κ

lim

→x

(x)

Twierdzenie 42

Prawdziwe s

a granice:

1. lim

→0

sin x

= 1,

2. lim

→∞







∞ gdy a > 1

gdy

= 1

gdy

≤ a < 1

3. lim

→∞

1 +

1
x

= lim

→−∞

1 +

= e.

Dow´

od.

Dla dowodu pierwszej z granic rozwa˙zmy na wst

epie x

∈ 0,

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poni˙zej.

|4OBC| < |OBC| < |4OBD|

1
2

AC <

x
2

1
2

AC < x < BD
sin x < x < tan x =

sin x

cos x

1 <

sin x

cos x

.
1 >

sin x

cos x

↓

—————————————————
0 < sin x < x

⇒ lim

→0

sin x = 0

OC < OA

+ AC

− AC < OA

− sin x < cos X < 1

lim

→0

cos x = 1

lim

→0

sin x

= 1;

lim

→0

−

sin x

= lim

−x→0

sin(−x)

−x

= lim

−x→0

sin(−x)

−x

= 1

ROZDZIA L 6.

W LASNO ´

SCI FUNKCJI CI

AG LYCH

Rozdzia l 7

Rachunek r´

o˙zniczkowy

funkcji jednej zmiennej

7.1

Podstawowe definicje i twierdzenia

Niech f : R

⊃ A → R b

edzie funkcj

a okre´slon

a na zbiorze A o niepustym

etrzu

A. Niech x

∈

A, x

∈ A, x 6= x

Definicja 33

Je´sli istnieje granica lim

→x

(x)−f (x

)

−x

, to nazywamy j

a pochodn

funkcji f w punkcie x

i oznaczamy symbolem f

• Interpretacja geometryczna pochodnej:

R´

ownanie

= f (x

) +

)

− f(x

)

− x

)

jest r´

ownaniem siecznej przechodz

acej przez punkty A

= (x

, y

), A

, y

), gdzie y

= f (x

), y

= f (x

). Gdy punkt x

a˙zy do x

, to sieczna

zmierza do prostej stycznej do wykresu funkcji w punkcie

= f (x

) + f

)(x

− x

Pochodna f

) jest zatem r´

owna tangensowi k

ata nachylenia prostej stycznej

do wykresu funkcji w punkcie

• Interpretacja fizyczna:

Zmienn

a x b

edziemy teraz interpretowali jako czas, a

(x) jako drog

e przebyt

a przez punkt w czasie x. W tym przypadku

(x)−f (x

)

−x

mo˙zemy interpretowa´c jako pr

edko´s´c ´sredni

a, a f

) pr

edko´s´c chwilow

a w

chwili x

Twierdzenie 43

Niech f : A

→ R, x

∈

A. Je´sli istnieje pochodna f

), to f

jest ci

ag la w x

Dow´

od.

Poniewa˙z f (x) = f (x

) +

(x)−f (x

)

−x

− x

), zatem

lim

→x

(x) = lim

→x

) +

(x)

− f(x

)

− x

)

= f (x

) + f

)

· 0 = f(x

c.k.d

Twierdzenie 44

Niechf : A

→ R, x

∈

A. Nast

epuj

ace warunki s

a r´

ownowa˙zne

28ROZDZIA L 7. RACHUNEK R ´

O ˙

ZNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

1) Funkcja f ma pochodn

a w punkcie x

2) ∃

∈R

∃

→R

)

(x) = f (x

) + c(x

− x

) + ρ(x)(x

− x

)

lim

→x

(x) = 0.

Dow´

od.

(

⇒) Wystarczy przyj

a´c c := f

), ρ(x) :=

(x)−f (x

)

−x

− f

(

⇐) Wobec a):

(x)−f (x

)

−x

= c+ρ(x). Na mocy b) granica prawej strony przy x

→ 0

istnieje i jest r´

owna c. Wobec tego istnieje granica lewej strony, ale je´sli tak to jest

to z definicji pochodna funkcji f w punkcie x

c.k.d.

Twierdzenie 45

Je´sli funkcje f, g s

a okre´slone w otoczeniu U

punktu x

oraz

istniej

a pochodne f

), g

), to:

1) Istniej

a pochodne (f +g)

), (f

−g)

), (f

·g)

). Je´sli ponadto g

(x)

6= 0

w U

oraz g

)

6= 0, to istnieje pochodna

f
g

2) Ponadto:

± g)

)

= f

)

± g

· g)

)

= f

)g(x

) + f (x

)

)g(x

)

− f(x

)

[g(x

)]

Twierdzenie 46

(Twierdzenie o pochodnej funkcji z lo˙zonej) Niech g : A

→ R,

: B

→ R, x

∈

A, g(x

)

∈

B, y

:= g(x

). Je´sli g(A)

⊂ B oraz istniej

a pochodne

), g

), to istnieje pochodna funkcji z lo˙zonej (f

◦ g)

) oraz

◦ g)

) = f

(g(x

))

· g

Dow´

od.

Poniewa˙z z za lo˙zenia funkcja f ma pochodn

a w punkcie y

, zatem

wobec twierdzenia (44) istnieje funkcja ρ, taka ˙ze lim

→y

(y) = 0 oraz

(y) = f (y

) + f

)(y

− y

) + ρ(y)(y

− y

∈ B.

Podstawiaj

ac w tym wzorzy g(x) w miejsce y dostajemy:

(g(x)) = f (g(x

)) + f

(g(x

))(g(x)

− g(x

)) + ρ(g(x))(g(x)

− g(x

))),

(g(x))

− f(g(x

))

− x

= f

(g(x

))

(x)

− g(x

)

− x

+ ρ(g(x))

(x)

− g(x

)

− x

Dalej wystarczy przej´s´c w granicy z x do x

Twierdzenie 47

(Twierdzenie o pochodnej funkcji odwrotnej) Je´sli f jest funkcj

r´

o˙znowarto´sciow

a i ci

ag l

a w [a, b], punkt x

∈ (a, b), istnieje f

) oraz f

)

6= 0,

wtedy funkcja odwrotna f

−1

ma w punkcie f (x

) pochodn

a oraz

−1

)

(f (x

)) =

)

−1

)

) =

−1

))

gdzie

= f (x

7.2.

POCHODNE FUNKCJI ELEMENTARNYCH

7.2

Pochodne funkcji elementarnych

Zauwa˙zmy, ˙ze je´sli f (x) := x, to f

) = lim

→0

+h)−x

= 1. Dla funkcji

(x) := x

mamy z kolei f

) = lim

→0

+h)

−(x

)

= lim

→0

= 2x

Wzory te daj

a si

e uog´

olni´c, i dla f (x) := x

dostajemy f

) = α(x

)

−1

. Ko-

rzystaj

ac ze znanych wzor´

ow trygonometrycznych oraz faktu, ˙ze lim

→0

sinh

= 1

mo˙zemy wyprowadzi´c wzory na pochodn

a funkcji sinus i cosinus. Mamy bowiem

lim

→0

sin(x+h)−sin x

= lim

→0

sin

cos x +

= cos x, zatem (sin x)

= cos x.

Podobnie post

epuj

ac dostajemy wz´

or: (cos x) =

− sin x. Wz´or na pochodn

a funk-

cji tangens i cotangens mo˙zemy otrzyma´c ze wzoru na pochodn

a ilorazu funkcji.

Mamy bowiem (tan x)

sin x

cos x

(sin x)

(cos x)−(sin x)(cos x)

(cos x)

cos

. Podobnie

(cot x)

−

sin

. Wyprowadzenie wzoru na pochodn

a funkcji ekspotencjalnej wy-

maga znajomo´sci warto´sci granicy lim

→0

−1

. Dowodzi si

e, ˙ze granica ta jest

r´

owna 1. St

ad (e

)

= lim

→0

−e

= e

lim

→0

−1

= e

. Aby wyprowadzi´c

wz´

or na pochodn

a funkcji arcsin x, arctan x, log x trzeba skorzysta´c z twierdzenia o

pochodnej funkcji z lo˙zonej. Przyk ladowo je´sli y = e

, to (log y)

)

1
y

Podstawiaj

ac w tym wzorze x w miejsce y dostajemy ostatecznie (log x)

1
x

. Po-

dobnie znajduje si

e wzory na pochodne pozosta lych funkcji elementarnych. Wzory

te prezentuje poni˙zsza tabela: wstawi´c

7.3

Ekstrema lokalne

Definicja 34

M´

owimy, ˙ze funkcja f : A

→ R ma w punkcie x

minimum

(maksimum) lokalne, wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie otoczenie U

punktu

, ˙ze f (x) > f (x

) (f (x) < f (x

)) dla x

∈ U

\ {x

Definicja 35

M´

owimy, ˙ze funkcja f : A

→ R ma w punkcie x

ekstremum lo-

kalne, wtedy i tylko wtedy, gdy ma w tym punkcie minimum, lub maksimum lokalne.

Twierdzenie 48

(Warunek konieczny istnienia ekstremum) Niech f : A

→ R,

∈

A. Je´sli istnieje pochodna f

) oraz funkcja f ma w punkcie x

ekstremum

lokalne, to f

) = 0.

Dow´

od.

trywialny!

Twierdzenie 49

(Twierdzenie Lagrange’a) Je´sli funkcja f jest ci

ag la w prze-

dziale domkni

etym [a, b] i r´

o˙zniczkowalna w przedziale otwartym (a, b), tzn w ka˙zdym

punkcie tego przedzia lu ma pochodn

a, to istnieje punkt x

∈ (a, b), taki, ˙ze

(b)

− f(a)

− a

= f

(ξ).

Wnioski z twierdzenia Lagrange’a:

Wniosek 6

Je´sli funkcja f jest okre´slona i r´

o˙zniczkowalna w przedziale (a, b)

oraz f

(x) = 0 dla x

∈ (a, b), to funkcja f jest sta la na przedziale (a, b).

Wniosek 7

Niech f b

edzie funkcj

a okre´slon

a i r´

o˙zniczkowaln

a w przedziale

(a, b). W´

owczas, je´sli f

(x)

≥ 0 (f

(x) > 0) dla x

∈ (a, b), to funkcja f jest

rosn

aca (´sci´sle rosn

aca) w (a, b). Je´sli z kolei f

(x)

≤ 0 (f

(x) < 0) dla x

∈ (a, b),

to funkcja f jest malej’aca (´sci´sle malej

aca) w (a, b).

30ROZDZIA L 7. RACHUNEK R ´

O ˙

ZNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

Twierdzenie 50

Niech f b

edzie funkcj

a okre´slon

a i r´

o˙zniczkowaln

a w prze-

dziale (a, b). Je´sli w punkcie x

∈ (a, b) pochodna f

(x) zeruje si

e i zmienia znak w

otoczeniu tego punktu, to w x

ma ekstremum lokalne i to maksimum, je´sli zmienia

znak z dodatniego na ujemny, a minimum lokalne w przeciwnym przypadku.

Przyk lady: Dwa rysunki poni˙zej przedstawiaj

a wykresy funkcji f : x

→ x

−

ln x

, f : x

→ x − sin x:

-2

-1

-15

-10

-5

-15

-10

-5

7.4

Pochodne wy˙zszych rz

ed´

Niech f okre´slona w A = (a, b), r´

o˙zniczkowalna w (a, b) tzn. w ka˙zdym punkcie

∈ (a, b) istnieje pochodna f

(x). Niech x

∈ (a, b).

Definicja 36

Pochodn

a rz

edu drugiego funkcji f w punkcie x

nazywamy gra-

nic

lim

→x

(x)

− f

)

− x

o ile ta istnieje. i oznaczamy j

a symbolem f

Pochodne wy˙zszych rz

ed´

ow definiujemy rekurencyjnie. Je´sli za lo˙zymy, ˙ze f

(n−1)

istnieje w zbiorze A

−1

⊂ A, x

∈

−1

, to

(n)

) :=

(n−1)

) := lim

→x

(n−1)

(x)

− f

(n−1)

)

− x

je´sli ta granica istnieje. Przyk lady.:

7.5

Twierdzenie o wzorze Taylora

Twierdzenie 51

(Twierdzenie Taylora) Niech I

⊂ R b

edzie przedzia lem otwar-

tym, a f funkcj

a okre´slon

a na tym przedziale o warto´sciach rzeczywistych. Zak ladamy,

˙ze f ma pochodne f

, . . . , f

(n)

w I. Przy tych za lo˙zeniach

∀

x, x

∀

∈N\{0}

∃

∈(0,1)

(x) =

−1

(k)

)

− x

)

+ R

(7.1)

gdzie R

(n)

+θ(x−x

))

(n−1)!k

−θ)

−k

−x

)

nazywamy reszt

a w postaci Szchlomilcha–

Roche’a. Reszt

e R

nazywamy reszt

a Cauchy’ego, a reszt

e R

reszt

a Lagrange’a.

7.5.

TWIERDZENIE O WZORZE TAYLORA

Wz´

or (7.1) nazywamy wzorem Taylora. Je´sli x

= 0, to wz´

or Taylora przybiera

posta´c

(x) =

−1

(k)

(0)

+ R

(7.2)

i jest nazywany wzorem Maclaurina.

Przyk lady:

1. Niech f (x) = e

, x

= 0.

= 1 +

+ . . . +

−1

− 1)!

θx

2. Niech f (x) = sin x, x

= 0. Latwo sprawdzi´c, ˙ze f

(n)

(x) = sin

(n)

= sin(x +

). Tak wi

sin x = x

−

− . . . (−1)

−1

2k−1

(2k

− 1)!

sin

(2k)

(θx)

(2k)!

Poniewa˙z lim

→∞

2k,2k

= 0 zatem

sin x =

∞

(

−1)

−1

2k−1

(2k

− 1)!

3. Niech f (x) = sin x, x

= 0.

cos x =

∞

(

−1)

(2k)!

4. Niech f (x) = ln(1 + x), x

= 0.

ln(1 + x) =

∞

(

−1)

−1

|x| < 1

i podobnie

ln(1

− x) = −

∞

|x| < 1,

oraz

1 + x
1

− x

= 2

∞

2n+1

2n + 1

|x| < 1.

5. Niech f (x) = (1 + x)

, x

= 0.

(1+x)

= 1+

+. . .+

− 1

α
n

(1 + θx)

−n

− 1)!

−θ)

−1

dla x >

−1.

Definicja 37

M´

owimy, ˙ze funkcja f : R

⊃ A → R jest wypuk la na zbiorze A

wtedy i tylko wtedy, gdy zbi´

{(x, y) :

∈ A, y ≥ f(x)}

jest wypuk ly.

32ROZDZIA L 7. RACHUNEK R ´

O ˙

ZNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

Definicja 38

M´

owimy, ˙ze funkcja f : R

⊃ A → R jest wkl

es la na zbiorze A

wtedy i tylko wtedy, funkcja

−f jest wypuk la na A.

Uwaga 2

Je´sli funkcja f : R

⊃ [a, b] → R jest r´o˙zniczkowalna w przedziale

(a, b), to f jest wypuk la w (a, b) wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka˙zdego x

∈ (a, b)

funkcja ϕ(x) := f (x)

− [f(x

) + f

)(x

− x

)] jest nieujemna tj. ϕ(x)

≥ 0, a

wkl

es la gdy ϕ(x)

≤ 0.

Definicja 39

Je´sli dla x

∈ (a, b) funkcja ϕ jest nieujemna, to m´owimy , ˙ze f

jest wypuk la w punkcie x

, a gdy ϕ jest niedodatnia, to m´

owimy, ˙ze f jest wkl

es la

w punkcie x

Twierdzenie 52

Je´sli f

) > 0 (f

) < 0), to f jest w punkcie x

wypuk la

(wkl

es la).

Algorytm badania funkcji.

Definicja 40

M´

owimy, ˙ze f ma w x

punkt przegi

ecia wtedy i tylko wtedy, gdy

∃δ > 0 :

wkl

es la w (x

− δ, x

) i f wypuk la w (x

, x

+ δ) lub na odwr´

ot.

Twierdzenie 53

(warunek konieczny) Je´sli funkcja f ma w x

punkt przegi

ecia,

to f

) = 0.

Twierdzenie 54

Je˙zeli f

∈ C

, gdzie n = 2k oraz f

(j)

) = 0 dla j =

1, . . . , n

− 1 oraz f

(n)

) < 0 (f

(n)

) < 0), to w x

funkcja f ma maksimum

(minimum) lokalne.

Twierdzenie 55

Je˙zeli f

∈ C

, gdzie n = 2k + 1 oraz f

(j)

) = 0 dla j =

1, . . . , n

− 1 oraz f

(n)

)

6= 0, to w x

funkcja f ma punkt przegi

ecia.

7.6

Symbole nieoznaczone i regu la de L’Hospitala

Definicja 41

M´

owimy, ˙ze

(x)

jest symbolem nieoznaczonym

0
0

(

∞

) w punkcie

je´sli v(x)

6= 0 dla x ∈ A, x 6= x

oraz lim

→x

(x) = lim

→x

(x) = 0.

Podobnie definiujemy inne symbole nieoznaczone:

∞ − ∞, 0 · ∞, 0

∞

Nazwa bierze si

e st

ad, ˙ze dla dowolnego g

∈ R mo˙zna dobra´c takie funkcje u(x) i

(x), kt´

ore tworz

a jeden z wymienionych symboli, tak ˙ze ca le wyra˙zenie ma granic

. Ka˙zdy z tych symboli daje si

e sprowadzi´c do innego:

∞
∞

∞

0
0

∞

− ∞

∞

−

∞

0
0

· ∞ =

∞

0
0

lub 0

· ∞ =

∞

1
0

∞
∞

= e

0 ln 0

= e

0·∞

∞

= e

∞ ln 1

= e

∞·0

∞

= e

0 ln ∞

= e

0·∞

7.6.

SYMBOLE NIEOZNACZONE I REGU LA DE L’HOSPITALA

Twierdzenie 56

(Regu la de L’Hospitala) Je´sli x

jest ko´

ncem przedzia lu I,

funkcje u, v s

a r´

o˙zniczkowalne w I, lim

→x

(x) = lim

→x

(x) = 0 (=

∞),

istnieje lim

→x

(x)

, to

1. istnieje granica lim

→x

(x)

2. lim

→x

(x)

= lim

→x

(x)

Przyk lad: Obliczenie warto´sci granicy

sin x

w zerze.

Definicja 42

M´

owimy, ˙ze prosta x

→ ax + b jest asymptot

a uko´sn

a prawo-

stronn

a (lewostronn

a) funkcji R

3 x → f(x) ∈ R, je´sli lim

→∞

(f (x)

− ax − b) = 0

(lim

→−∞

(f (x)

− ax − b) = 0).

34ROZDZIA L 7. RACHUNEK R ´

O ˙

ZNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

Rozdzia l 8

Rachunek r´

o˙zniczkowy

funkcji wielu zmiennych

Definicja 43

Je´sli c

∈ R

, A = A

∈ R

×n

, to odwzorowanie l : R

3 x →

∈ R nazywamy form

a liniow

a, a : R

× R

3 (x, y) → x

∈ R nazywamy

form

a dwuliniow

a, a odwzorowanie R

3 x → x

= a(x, x)

∈ R form

a kwadra-

tow

Definicja 44

M´

owimy, ˙ze forma kwadratowa R

3 x → a(x, x) = x

∈ R

indukowana przez macierz symetryczn

a A jest dodatnio (ujemnie) okre´slona, wtedy

i tylko wtedy, gdy ∀

6=0

(x, x) > 0 (a(x, x) < 0)

Twierdzenie 57

(Twierdzenie Sylwestera) Forma kwadratowa R

3 x → a(x, x) =

∈ R indukowana przez macierz symetryczn

a A jest dodatnio okre´slona, wtedy

i tylko wtedy, gdy wszystkie minory g l´

owne M

(i = 1, . . . , n) macierzy A s

a dodat-

nie, a ujemnie okre´slona, gdy (

−1)

0 dla i = 1, . . . , n. Minorem g l´

ownym M

nazywany

:= det







. . .





 .

Definicja 45

Pochodn

a cz

astkow

a funkcji f : R

→ R w punkcie x

wzgl

edem

–tej zmiennej nazywamy granic

lim

→0

+ he

)

− f(x

)

gdzie e

jest wersorem i–tej osi, o ile ta granica istnieje. W tym wypadku oznaczamy

a symbolem

∂f

∂x

)

Jak si

e okazuje istnienie wszystkich pochodnych cz

astkowych funkcji f w punkcie

nie gwarantuje ci

ag lo´sci tej funkji w tym punkcie. ´

Swiadczy o tym przyk lad:

: R

3 x = (x

, x

)

→

6= (0, 0),

= (0, 0).

36ROZDZIA L 8. RACHUNEK R ´

O ˙

ZNICZKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH

-2

-1

2 -2

-1

-0.5

-0.25

0.25

0.5

-2

-1

Definicja 46

M´

owimy, ˙ze funkcja f : R

→ R ma w punkcie x

pochodn

kierunkow

a w kierunku wektora v

∈ R

\ {0} je´sli istnieje granica

lim

→0

+ tv)

− f(x

)

W tym wypadku oznaczamy j

a symbolem ∂

)

Istnienie nawet wszystkich pochodnych kierunkowych w punkcie x

nie mo˙ze

zapewni´c jeszcze ci

ag lo´sci funkcji w tym punkcie. ´

Swiadczy o tym przyk lad funkcji:

: R

3 x = (x

, x

)

→

(

2
2

6= (0, 0),

= (0, 0).

-2

-1

2 -2

-1

-0.5

-0.25

0.25

0.5

-2

-1

Definicja 47

Niech Ω

⊂ R

edzie zbiorem otwartym. M´

owimy, ˙ze funkcja

: R

⊃ Ω → R jest r´o˙zniczkowalna w punkcie x

∈ Ω wtedy i tylko wtedy, gdy

istnieje wektor D

∈ R

oraz funkcja ε : R

→ R takie, ˙ze

1. f (x

+ h)

− f(x

) = D

+ ε(h)

khk dla wszystkich h takich, ˙ze x

+ h

∈ Ω,

2. lim

→0

(h) = 0.

Twierdzenie 58

Je´sli funkcja f jest r´

o˙zniczkowalna w punkcie x

, to f ma

w x

wszystkie pochodne kierunkowe i cz

astkowe. Ponadto wektor D z definicji

r´

o˙zniczkowalno´sci funkcji jest r´

owny D = gradf (x

) :=

∂f

∂x

)

=1,...,n

. Wektor

ten nazywamy gradientem funkcji f w punkcie x

Uwaga 3

Je´sli f jest funkcj

a r´

o˙zniczkowaln

a w punkcie x

, v

∈ R

\ {0}, to

∂

) =

kvk

· grad(x

)

n
j

∂f

∂x

Definicja 48

Odwzorowanie d

: R

3 h → d

(h) := (gradf (x

))

∈ R

nazywamy r´

o˙zniczk

a funkcji f w punkcie x

Definicja 49

Odwzorowanie f

: R

3 x → d

∈ L(R

, R

) nazywamy po-

chodn

a funkcji f .

Zauwa˙zmy, ˙ze f

(x)(h) = d

(h) =

n
i

∂f

∂x

(x)h

Pochodne cz

astkowe rz

edu drugiego i wy˙zszych definiujemy rekurencyjnie. Mia-

nowicie:

∂

∂x

) =

∂

∂x

→

∂

∂x

(x)

|x=x

Pochodne mieszane nie musz

a by´c r´

owne. ´

Swiadczy o tym przyk lad funkcji:

: R

3 x = (x

, x

)

→

(

−x

+ x

= 0.

-2

-1

2 -2

-1

-2

-1

-2

-1

-2

-1

Twierdzenie 59

Je´sli Ω

⊂ R

zbi´

or otwarty, f : R

⊃ Ω → R ma wszystkie

pochodne cz

astkowe w pewnym otoczeniu x

∈ Ω i s

a one w tym otoczeniu ci

ag le,

to funkcja f jest r´

o˙zniczkowalna w punkcie x

Twierdzenie 60

Niech Ω

⊂ R

zbi´

or otwarty, f : R

⊃ Ω → R. Je´sli istnieje

otoczenie U

punktu x

, w kt´

orym istniej

a pochodne mieszane funkcji f i w punkcie

pochodne te s

a ci

ag le, w´

owczas

∂

∂x

) =

∂

∂x

)

dla

i, j

∈ {1, . . . , n} , i 6= j.

Niech f : R

⊃ Ω 3 x → f(x) ∈ R ma pochodne cz

astkowe rz

edu drugiego ci

ag le

w otoczeniu x

. Drug

a r´

o˙zniczk

e funkci f w punkcie a okre´slamy nast

epuj

aco:

: R

3 h → h

)h,

gdzie H

) =

∂

∂x

)

i,j

=1,...,n

, czyli d

(h) = h

)h.

Z kolei d

(h) :=

n
i

∂f

∂x

(m)

|x=x

przy za lo˙zeniu, ˙ze f ma w otoczeniu punktu x = x

pochodne cz

astkowe ci

ag le.

38ROZDZIA L 8. RACHUNEK R ´

O ˙

ZNICZKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH

Twierdzenie 61

(Taylora) Niech Ω

⊂ R

otwarty i wypuk ly, x

∈ Ω, h ∈ R

+ h

∈ Ω. Je´sli f : R

⊃ Ω → R klasy C

(k)

(Ω), to istnieje θ

∈ (0, 1) takie, ˙ze

+ h) =

−1

(h) +

+θh

(h)

Twierdzenie 62

Je´sli funkcja f : R

⊃ Ω → R klasy C

(Ω) na zbiorze otwar-

tym Ω ma w x

ekstremum lokalne, to gradf (x

) = 0.

Twierdzenie 63

Je´sli f : R

⊃ Ω → R klasy C

(Ω), gdzie Ω otwarty, gradf (x

) =

0, H

) > 0 (H

) < 0), to f ma w x

minimum lokalne (maksimum lokalne).

Algorytm badania istnienia ekstremum funkcji f wielu zmiennych:

1. Wyznaczamy gradf (x).

2. Rozwi

azujemy r´

ownanie gradf (x) = 0. Symbolem

R oznaczamy zbi´or rozwi

aza´

tego r´

ownania, czyli zbi´

or punkt´

ow stacjonarnych.

3. Badamy okre´slono´s´c formy kwadratowej indukowanej przez macierz Hessego

∗

) dla x

∗

∈ R. Je´sli forma jest dodatnio okre´slona to w x

∗

funkcja

osi

aga minimum lokalne, je´sli jest ujemnie okre´slona to w x

∗

funkcja f

osi

aga maksimum lokalne, a je´sli jest nieokre´slona to w x

∗

funkcja f nie ma

ekstremum lokalnego.

Rozdzia l 9

Rachunek ca lkowy – funkcja
pierwotna

9.1

Podstawowe definicje i twierdzenia

Definicja 50

Niech f : R

⊃ I → R, I – przedzia l. M´owimy, ˙ze funkcja F

r´

o˙zniczkowalna w I jest funkcj

a pierwotn

a (ca lk

a nieoznaczon

a) funkcji f je´sli:

∀

∈I

(x) = f (x).

Twierdzenie 64

Ka˙zda funkcja f ci

ag la w przedziale I ma w nim funkcj

e pier-

wotn

a F (x) =

(x)dx (F =

Twierdzenie 65

Niech f b

edzie funkcj

a ci

ag l

a na przedziale I. W´

owczas

a) Je´sli F i G s

a ca lkami funkcji f to istnieje takie c = const

∈ R, ˙ze F = G + c.

b) Je´sli F jest ca lk

a funkcji f to ∀

∈R

+ c te˙z jest ca lk

a f .

Twierdzenie 66

Je´sli f, g : R

⊃ I → R s

a funkcjami ci

ag lymi na przedziele I,

α, β

∈ R, to

(αf + βg) = α

+ β

co oznacza, ˙ze ca lka nieoznaczona jest operatorem liniowym.

Twierdzenie 67

(Twierdzenie o ca lkowaniu przez cz

e´sci) Je´sli f, g : R

⊃ I →

a funkcjami klasy C

na przedziale I, to

(x)g

(x)dx = f (x)g(x)

−

(x)g(x)dx.

(9.1)

Mo˙zna to zapisa´c kr´

otko:

f g

= f g

−

f dg

= f g

−

g df.

Dow´

od.

Zauwa˙zmy, ˙ze wobec definicji funkcji pierwotnej mamy:

f g

. Z kolei stosuj

ac twierdzenie o pochodnej sumy, pochodnej iloczynu wobec

definicji funkcji pierwotnej dostajemy:

f g

−

= f

+ f g

− f

= f g

Zatem pochodne lewej i prawej strony wzoru (9.1).

c.k.d.

Przyk lady:

ln xdx,

sin xdx.

ROZDZIA L 9.

RACHUNEK CA LKOWY – FUNKCJA PIERWOTNA

Twierdzenie 68

(Twierdzenie o ca lkowaniu przez podstawienie) Je´sli f : R

⊃

→ R jest ci

ag la w przedziale I, ϕ : R

⊃ J → I funkcj

a klasy C

w przedziale J, to

◦ ϕ)ϕ

◦ ϕ.

(9.2)

Wz´

or ten mo˙zna zapisa´c r´

ownie˙z w postaci:

(ϕ(t))ϕ

(t) dt =

(x)dx

=ϕ(t)

Dow´

od.

Na mocy twierdzenia o pochodnej funkcji z lo˙zonej:

◦ ϕ

= (f

◦ ϕ) · ϕ

c.k.d.

Przyk lady:

(x)

=ϕ(x)

= ln

|ϕ(x)|.

[ϕ(x)]

(x)dx =

=ϕ(x)

(x)

dla α

6= −1.

9.2

Wzory rekurencyjne

Niech A

oznacza ca lk

(1 + x

)

Zauwa˙zmy, ˙ze A

= x. Poka˙zemy, ˙ze

= A

−1

−

2(n

− 1)

2(n

− 1)

(1 + x

)

−1

Zauwa˙zmy bowiem, ˙ze

(1 + x

)

(1 + x

)

(1 + x

)

1 + x

= t

2xdx = dt

dt
t

−n+1

−n + 1

(1 + x

)

−n+1

−n + 1

Dalej

(1 + x

)

(1 + x

)

− x

(1 + x

)

= A

−1

−

1
2

(1 + x

)

(1 + x

)

= A

−1

−

1
2

−n + 1

(1 + x

)

−n+1

= A

−1

2(n

− 1)

(1 + x

)

−n+1

−

2(n

− 1)

(1 + x

)

−1

= A

−1

2(n

− 1)

(1 + x

)

−n+1

−

2(n

− 1)

−1

Niech

sin

x dx.

9.3.

PODSTAWOWE CA LKI

Mo˙zna pokaza´c, ˙ze

= x,

sin xdx =

− cos x,

− 1

−2

−

sin

−1

cos x.

Podobnie, je´sli

cos

x dx,

= x,

= sin x,

− 1

−2

sin x cos

−1

9.3

Podstawowe ca lki

Korzystaj

ac ze wzor´

ow na pochodne funkcji elementarnych otrzymujemy nast

epuj

ace

wzory ca lkowe:

, α

6= −1

−1

|x|

ln a

sin x

− cos x

cos x

sin x

cos

tan x

sin

− cot x

1+x

arctan

√

1−x

arcsin x

Mo˙zna udowodni´c wzory:

L.p.

tan x

− ln |cos x|

cot x

|sin x|

arcsin x

arcsin x +

√

− x

arctan x

− ln

√

1 + x

√

−x

arcsin

|a|

√

x +

√

+ x

√

− x

x
2

√

− x

arcsin

|a|

√

+ x

x
2

√

+ x

x +

√

+ x

3. przez cz

e´

sci , a potem ϕ(x) = 1 − x2

4. przez cz

e´

sci, potem sprowadzi´

c do pochodnej z funkcji logarytmicznej

6. podstawienie t = x +

+ x2

9.4

Ca lkowanie funkcji wymiernych

Ka˙zd

a funkcj

e wymiern

a R(x) =

(x)

, gdzie L i M wielomiany o wsp´

o lczynnikach

rzeczywistych, po wydzieleniu mo˙zna przedstawi´c w postaci R(x) = W (x) +

(x)

ROZDZIA L 9.

RACHUNEK CA LKOWY – FUNKCJA PIERWOTNA

gdzie W wielomian i stopien wielomianu L silnie mniejszy od stopnia wielomianu
M

. Dalej, zgodnie ze stosownym twierdzeniem z algebry, funkcj

e wymiern

(x)

mo˙zna jednoznacznie roz lo˙zy´c na sum

e u lamk´

ow prostych pierwszego i drugiego

rodzaju.

Definicja 51

U lamkiem prostym pierwszego rodzaju nazywamy wyra˙zenie po-

staci

(x−a)

, a u lamkiem prostym drugiego rodzaju wyra˙zenie postaci

+αx+β)

przy czym α

− 4β < 0, A, B, C ∈ R, m ∈ N.

Uwaga 4

Ca lka z u lamka prostego pierwszego rodzaju jest r´

owna:

− a)

1−m

− a)

1−m

dla

6= 1,

|x − a|

dla

= 1.

Ca lkuj

ac u lamek prosty drugiego rodzaju dostajemy:

+ C

+ αx + β)

−

Bα

+ αx + β)

1−m

+ αx + β)

1−m

6= 1

+ αx + β

= 1

Bα

+ αx + β)

Poniewa˙z x

+ αx + β =

4β−α





4β−α2

+ 1



, tak wi

ec stosuj

ac podstawienie

4β−α2

w ca lce

+αx+β)

mo˙zemy j

a sprowadzi´c do postaci:

+ αx + β)

4β−α

− 1)

4β

− α

1
2

−m

+ 1)

w kt´

orej ostatni

a ca lk

e mo˙zna obliczy´c rekurencyjnie.

9.5

Ca lkowanie pewnych klas funkcji

Funkcj

e R

3 (x, y) → ax

∈ R nazywamy jednomianem stopnia p + q, a

sum

e jednomian´

ow W (x, y) =

+j≤m

- wielomian stopnia

≤ m. Je´sli

i M s

a wielomianami, to funkcj

e R(x, y) =

(x,y)

nazywamy funkcj

a wymiern

Wiele typ´

ow ca lek przez stosowne podstawienie mo˙zna sprowadzi´c do ca lki z funkcji

wymiernej.

1. Ca lk

e A =

, gdzie ad

− cb 6= 0 obliczamy stosuj

ac pod-

stawienie t =

. Wtedy x =

−t

−a

wyra˙za si

e wymiernie przez t oraz

r´

o˙zniczka dx tak˙ze.

2. W celu obliczenia ca lki B =

R x,

√

+ bx + c

, gdzie ∆

6= 0, rozwa˙zymy

trzy przypadki:

i) Je´sli a < 0 to musi by´c ∆ > 0. Wtedy ax

+ bx + c = a(x

− x

)(x

− x

) =

−ax

−x

− x

)

, sk

ad, je´sli x

< x

√

+ bx + c = (x

− x

)

−ax

−x

Mamy w´

owczas do czynienia z ca lk

a rozwa˙zan

a w poprzednim punkcie.

9.5.

CA LKOWANIE PEWNYCH KLAS FUNKCJI

ii) Je´sli a > 0 i ∆ > 0 post

epujemy jak wy˙zej.

iii) a > 0 i ∆ < 0 to podstawiamy

√

+ bx + c = (t

− x)

√

. W´

owczas

−c

2t+b

wyra˙za si

e wymiernie przez t.

3. Ca lk

e C =

)dx, gdzie c

6= 0 obliczamy przez podstawienie t = e

4. W ca lce postaci D =

(sin x, cos x)dx stosujemy standardowo podstawienie

= tan

x
2

. Wtedy x = 2 arctan x, dx =

1+t

, sin x =

1+t

, cos x =

1−t

1+t

ROZDZIA L 9.

RACHUNEK CA LKOWY – FUNKCJA PIERWOTNA

Rozdzia l 10

Ca lka oznaczona

Definicja 52

Ca lk

e oznaczon

(x)dx z funkcji ci

ag lej f po przedziale [a, b]

definiujemy wzorem

(x)dx := F (b)

− F (a),

(10.1)

gdzie F jest dowoln

a pierwotn

a funkcji f .

W lasno´

sci ca lek oznaczonych.

Twierdzenie 69

Niech f , g b

a funkcjami ci

ag lymi na przedziale I, a, b, c

∈ I,

α, β

∈ R. Prawdziwe s

a wzory:

(x)dx

= 0,

(x)dx

−

(x)dx,

(αf + βg)dx = α

f dx

+ β

g dx,

f dx

f dx,

(x)dx

= c

(x)dx,

(x)g

(x)dx

= [f (x)g(x)]

b
a

−

(x)g(x)dx,

(f (x))f

(x)dx

(b)

(a)

(y)dy,

Uwaga 5

Je´sli f jest funkcj

a ci

agl

a na odcinku [a, b], a < b oraz f (x)

≥ 0 dla

∈ [a, b], to

(x)dx

≥ 0.

Uwaga 6

Je´sli f : [a, b]

→ R jest funkcj

a ci

ag l

a, to

(x)dx

≤

|f(x)| dx ≤ M(b − a),

gdzie M = sup

∈[a,b]

|f(x)|.

ROZDZIA L 10.

CA LKA OZNACZONA

Dow´

od.

Poniewa˙z

−M ≤ − |f(x)| ≤ f(x) ≤ |f(x)| ≤ M, zatem wobec Uwagi

5 mamy:

(

−M)dx ≤

(

− |f(x)|)dx ≤

(x)dx

≤

|f(x)| dx ≤

M dx

ad bezpo´srednio wynika teza uwagi.

c.k.d.

10.1

Obliczanie p´

ol i obj

eto´

sci figur

Jednym z zastosowa´

n ca lki oznaczonej s

a wzory na obliczanie p´

ol i obj

eto´sci

figur geometrycznych.

1. Je˙zeli ϕ, ψ : [a, b]

→ R s

a funkcjami ci

ag lymi takimi, ˙ze

∀

∈[a,b]

(x)

≤ ψ(x),

|D| =

(ψ

− ϕ)(x)dx,

gdzie

{(x, y) : a ≤ x ≤ b, ϕ(x) ≤ y ≤ ψ(x)} .

(x)

2. Niech k b

edzie krzyw

a o r´

ownaniu parametrycznym x = x(t), y = y(t), α

≤

≤ β, przy czym funkcje x, y s

a klasy C

[α, β] oraz y(t)

≥ 0, x

(t) > 0 w

[α, β]. W´

owczas pole zawartego mi

edzy t

a krzyw

a , osi

a Ox i rz

ednymi w

punktach ko´

ncowych wyra˙za s

e wzorem:

|D| =

(t)x

(t)dt.

3. Za l´

o˙zmy, ˙ze f : [α, β]

3 ϕ → f(ϕ) ∈ R

jest funkcj

a ci

ag la. W´

owczas

|D| =

1
2

[f (ϕ)]

dϕ,

gdzie

{(x, y) = (r cos ϕ, r sin ϕ) :

∈ [α, β], 0 ≤ r ≤ f(ϕ)} .

10.2.

OBLICZANIE D LUGO ´

SCI KRZYWYCH

(ϕ)

4. Niech V b

edzie bry la obrotowa powsta l

a przez obr´

ot funkcji f : [a, b]

→

\ {0} klasy C

[a, b] dooko la osi Ox. Tu rysunek

W´

owczas wzory

|V | = π

(x)dx,

|S| = 2π

(x)

1 + [f

(x)]

wyra˙zaj

a odpowiednio obj

eto´s´c V i pole powierzchni bocznej tej bry ly obro-

towej.

10.2

Obliczanie d lugo´

sci krzywych

Innym zastosowaniem ca lki oznaczonej s

a wzory na obliczanie dLugo´sci krzy-

wych.

1. Je´sli f : [a, b]

3 x → f(x) ∈ R jest funkcj

a klasy C

, to d lugo´s´c krzywej f

le˙z

acej mi

edzy punktami (a, f (a)) i (b, f (b)) wyra˙za si

e wzorem:

1 + [f

(x)]

dx.

2. Je´sli x : [α, β]

3 t → x(t) ∈ R

, y : [α, β]

3 t → y(t) ∈ R

a funkcjami klasy

, to d”ugo´s´c krzywej k okre´slonej parametrycznie (x(t), y(t)) (t

∈ [α, β])

wyra˙za si

e wzorem:

(t) + y

(t)dt

Policzy´c kilka przyk lad´

ow np:

a) Pole ko la
b) Obj

eto´s´c odcinka kuli

c) D lugo´s´c fragmentu paraboli
d) Obj

eto´s´c fragmentu paraboloidy

ROZDZIA L 10.

CA LKA OZNACZONA

Rozdzia l 11

Ca lka podw´

ojna

Nie podamy, mi

edzy innymi z braku czasu, precyzyjnej definicji ca lki podw´

ojnej.

Ograniczymy si

e jedynie do definicji ca lki podw´

ojnej z funkcji ci

ag lej na zbiorze

regularnym.

Definicja 53

Ograniczony zbi´

or Ω

⊂ R

nazywamy regularnym, je´sli wtedy i

tylko wtedy, gdy jego brzeg daje si

e podzieli´c na sko´

nczon

a ilo´s´c krzywych, z kt´

orych

ka˙zda daje si

e przedstawi´c r´

ownaniem: y = y(x)

∈ [a, b], lub x = x(y) y ∈

[c, d], przy czym funkcje y(x) oraz x(y) s

a ci

ag le.

Definicja 54

Zbi´

or regularny Ω

⊂ R

nazywamy normalnym wzgl

edem osi Ox

wtedy i tylko wtedy, gdy istniej

a sta le a, b i ci

ag le funkcje ϕ, ψ, takie ˙ze

Ω =

{(x, y) :

≤ x ≤ b, ϕ(x) ≤ y ≤ ψ(x)} ,

a nazywamy normalnym wzgl

edem osi Oy wtedy i tylko wtedy, gdy istniej

a sta le c,

i ci

ag le funkcje κ, χ, takie ˙ze

Ω =

{(x, y) :

≤ y ≤ d, κ(y) ≤ x ≤ χ(y)} .

Definicja 55

Je´sli Ω

⊂ R

jest normalny wzgl

edem osi Ox, a f : Ω

→ R jest

funkcj

a ci

ag l

a, to

Ω

(x, y) dx dy :=

(x)

(x, y) dy

dx,

a je´sli Ω

⊂ R

jest normalny wzgl

edem osi Oy, to

Z Z

Ω

(x, y) dx dy :=

(y)

(x, y) dx

dy.

Definicja 56

Niech Ω

⊂ R

edzie zbiorem regularnym, a f : Ω

3 (x, y) →

(x, y)

∈ R funkcj

a ci

ag l

a. Je´sli Ω =

n
i

Ω

przy czym Ω

(i = 1, . . . , n) normalny

wzgl

edem osi Ox lub normalny wzgl

edem osi Oy oraz, je´sli i

6= j, to (Ω

∩ Ω

)

◦

∅,

w´

owczas

Ω

(x, y) dx dy :=

Ω

(x, y) dx dy

ROZDZIA L 11.

CA LKA PODW ´

OJNA

11.1

Zastosowania geometryczne ca lek podw´

ojnych

1. Niech D

⊂ R

edzie zbiorem regularnym, a ϕ, ψ : D

→ R funkcjami ci

ag lymi

takimi, ˙ze ϕ(x, y)

≤ ψ(x, y) w zbiorze D. Definiujemy zbi´or

(x, y, z)

∈ R

(x, y)

∈ D, ϕ(x, y) ≤ z ≤ ψ(x, y)

Obj

eto´s´c V wyra˙za si

e wzorem

|V | =

Z Z

(ψ

− ϕ)(x, y) dx dy.

2. Niech D

⊂ R

edzie zbiorem regularnym, f : D

→ R funkcj

a klasy C

, a S

p latem powierzchniowym

{(x, y, f(x, y)) :

(x, y)

∈ D} .

Pole tego p lata jest r´

owne

|S| =

1 + f

+ f

dx dy

Twierdzenie 70

Je˙zeli

a) funkcje ϕ i ψ s

a ci

ag le wraz z pochodnymi w obszarze obejmuj

acym obszar

regularny ∆ i jego brzeg ∂∆,

b) (ϕ, ψ) : ∆

◦

→ D iniekcja,

∂

(ϕ,ψ)

∂

(u,v)

6= 0 wewn

atrz ∆, to

Z Z

(x, y) dx dy =

Z Z

∆

(ϕ(u, v), ψ(u, v))

∂

(ϕ, ψ)

∂

(u, v)

du dv,

gdzie ∆

◦

oznacza wn

etrze zbioru ∆, a

∂

(ϕ, ψ)

∂

(u, v)

:= det

∂ϕ
∂u

(u, v)

∂ψ

∂u

(u, v)

∂ϕ

∂v

(u, v)

∂ψ

∂v

(u, v)

Przyk lad 3

a) Niech x = r cos θ, y = r sin θ, dla (r, θ)

∈ R

× [0, π). W´owczas

∂

(x, y)

∂

(r, θ)

cos θ

−r sin θ

sin θ

cos θ

= r

b) Niech x =

+η

, y =

+η

dla (ξ, η)

6= (0, 0). Prosty rachunek pokazuje, ˙ze

∂

(x,y)

∂

(ξ,η)

−1.

c) x

+ y

+η

y
η

dla ξ

6= 0 i η 6= 0.

Rozdzia l 12

Ca lka potr´

ojna

Niech

Ω =

(x, y, z)

∈ R

≤ x ≤ b, ϕ(x) ≤ y ≤ ψ(x), κ(x, y) ≤ z ≤ χ(x, y)

W´

owczas definiujemy

ZZZ

Ω

(x, y, z) dx dy dz =

(x)

(x,y)

(x, y, z) dz

Twierdzenie 71

Je˙zeli

a) funkcje ϕ

(i = 1, 2, 3) s

a ci

ag le wraz z pochodnymi w obszarze obejmuj

acym

obszar regularny ∆ i jego brzeg ∂∆,

b) (ϕ

, ϕ

) : ∆

◦

→ D iniekcja,

∂

(ϕ

,ϕ

)

∂

)

6= 0 wewn

atrz ∆, to

ZZZ

, x

)dx

Z ZZ

∆

(ϕ

, ϕ

)

∂

(ϕ

, ϕ

)

∂

, u

)

gdzie

∂

(ϕ

, ϕ

)

∂

, u

)

:= det

∂ϕ

∂u

, u

)

=1,2,3

Przyk lad 4

a) Niech x = ρ cos θ, y = ρ sin θ, z = z, gdzie θ

∈ [0, 2π), ρ ∈ R

, z

∈ R.

W´

owczas

∂

(x, y, z)

∂

(ρ, θ, z)

cos θ

sin θ

−ρ sin θ ρ cos θ 0
0

= ρ

cos θ

sin θ

− sin θ cos θ

= ρ

b) Niech x = r sin ϕ cos θ, y = r sin ϕ sin θ, z = r cos ϕ dla 0

≤ r < +∞, 0 ≤ ϕ ≤

, 0

≤ θ < 2π. W´owczas

∂

(x, y, z)

∂

(r, ϕ, θ)

sin ϕ cos θ

sin ϕ sin θ

cos ϕ

cos ϕ cos θ

cos ϕ sin θ

−r sin ϕ

−r sin ϕ sin θ r sin ϕ cos θ 0

= r

sin ϕ.

ROZDZIA L 12.

CA LKA POTR ´

OJNA

Przyk lad 5

Podamy teraz kilka przyk lad´

ow obliczania ca lek.

a) Obliczy´c obj

eto´s´c bry ly ograniczonej powierzchni

a (x

+ y

+ z

)

= a

We wsp´

o lrz

ednych sferycznych x = r sin ϕ cos θ, y = r sin ϕ sin θ, z = r cos ϕ

r´

ownanie powierzchni przyjmuje posta´c: r = a

√

cos ϕ dla 0

≤ ϕ ≤

1
2

, 0

≤

1
2

. Zatem

|V | = 4

dθ

dϕ

√

cos ϕ

sin ϕdr =

2
3

πa

sin ϕ cos ϕdϕ =

1
3

πa

b) Obliczy´c pole figury ograniczonej krzyw

. Rusunek poni˙zej

przedstawia badan

a krzyw

a dla a = 3, b = 2 i c = 4: Zmieniaj

ac zmienne

-1

-0.5

0.5

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

zgodnie z wzorami x = ar cos θ, y = br sin θ r´

ownanie tej krzywej przyjmuje

posta´c r

ab
c

sin θ cos θ. Tak wi

|D| = 2

dθ

ab
c2

sin θ cos θ

abrdr

sin θ cos θdθ =

c) Aby obliczy´c pole ograniczone p

etl

a krzywej (x + y)

= ax

(na rysunku

poni˙zej przyj

eto a = 5)

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

warto zastosowa´c zmian

e zmiennych postaci x = r cos

, y = r sin

. R´

ownanie

krzywej przyjmuje posta´c r = a cos

sin

. W tym wypadku jakobian jest

r´

owny

cos

−2r sin θ cos θ

sin

2r sin θ cos θ

= 2r sin θ cos θ.

ROZDZIA L 12.

CA LKA POTR ´

OJNA

Rozdzia l 13

Przyk ladowe zestawy zada´

egzaminacyjnych

Pisemny egzamin z analizy matematycznej jest dwucz

e´sciowy. Cz

e´s´c pierwsza

ma na celu sprawdzenie bieg lo´sci rachunkowej, a cz

e´s´c druga, umownie zwana jest

e´sci

a ,,teoretyczn

a” i nie ma ona charakteru wy l

acznie rachunkowego. Czas trwa-

nia egzaminu z cz

e´sci zadaniowej: 90 - 110 minut. Czas trwania egzaminu z cz

e´sci

teoretycznej: 30 -45 minut. Ka˙zde zadanie jest punktowane w skali 0

− 10 punkt´ow.

Poni˙zej zaprezentowane s

a zestawy zada´

n egzaminacyjnych z jednej sesji. S

a one

reprezentatywne, je´sli chodzi o poziom trudno´sci temat´

ow. W poszczeg´

olnych la-

tach zmienia si

e jednak cz

esciowo zakres wyk ladanego materia lu materia lu, a wi

i tematyczny zakres zada´

28 stycze´

n 2001

e´s´c zadaniowa:

1. Na danej kuli opisz sto˙zek o najmniejszej obj

eto´sci.

2. W sto˙zku o wysoko´sci h = 10cm i promieniu podstawy r = 30cm zwi

ekszono

wysoko´s´c o 2mm i jednocze´snie zmniejszono promie´

n o 3mm. Korzystaj

ac ze

wzoru f (x)

− f (x

)

≈ d

− x

) oszacowa´c o ile zmieni si

e obj

eto´s´c tego

sto˙zka.

3. Oblicz ca lk

√

2x+3

4. Korzystaj

ac ze wsp´

o lrz

ednych biegunowych oblicz obj

eto´s´c bry ly ograniczonej

walcami x

+ y

= 2, x

+ y

= 4, p lasczyznami y = x, y = 0, z = 0 i

paraboloid

a obrotow

a z = x

+ y

5. Zbadaj zbie˙zno´s´c szereg´

ow:

•

∞
n

sin

•

∞
n

(n+1)

e´s´c teoretyczna:

1. Podaj definicj

e pochodnej kierunkowej funkcji. Oblicz ∂

), gdzie

: R

3 (x

, x

)

→

∈ R, v = (1, 2), x

= (2,

−1).

2. Sformu luj twierdzenie Taylora dla funkcji k zmiennych rzeczywistych o warto´sciach

rzeczywistych. Rozwi´

n wed lug wzoru Taylora z n = 2 funkcj

e f : R

, x

)

→ x

cos x

∈ R w otoczeniu punktu (1, 0).

3. Sformu luj znane Ci w lasno´sci funkcji ci

ag lych.

56ROZDZIA L 13. PRZYK LADOWE ZESTAWY ZADA ´

N EGZAMINACYJNYCH

27 stycze´

n 2002

e´s´c zadaniowa:

1. W odcinek paraboli y = 2x

ograniczony prost

a y = 2 wpisz prostok

at o

najwi

ekszym polu.

2. Wyznacz ekstrema lokalne funkcji

: R

3 (x, y, z) → x

+ y

+ z

− xy + x − 2z ∈ R.

3. Oblicz ca lk

√

−2x+1

4. Korzystaj

ac ze wsp´

o lrz

ednych biegunowych x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ oblicz

pole figury ograniczonej p

etl

a krzywej o r´

ownaniu x

+ y

= xy le˙z

a w

pierwszej ´cwiartce uk ladu wsp´

o lrz

ednych (x

≥ 0, y ≥ 0).

-0.4

-0.2

0.2

0.4

-0.4

-0.2

0.2

0.4

5. Zbadaj zbie˙zno´s´c szereg´

ow:

•

∞
n

√

(n+1)

•

∞
n

2n−1

(

√

e´s´c teoretyczna:

1. Udowodnij twierdzenie:

Twierdzenie 72

Je´sli a

0 dla i

∈ N oraz szereg

∞
i

jest rozbie˙zny,

to rozbie˙zny jest tak˙ze szereg

∞
i

Wskaz´

owka: Wykorzystaj kryterium por´

ownawcze Weierstrassa oraz kszta lt

funkcji R

3 t → t i R

3 t → t

w otoczeniu punktu 0.

2. Sformu luj warunek wystarczaj

acy istnienia ekstremum lokalnego funkcji n-

zmiennych rzeczywistych o warto´sciach rzeczywistych (n > 1).

3. Zastosuj twierdzenie Taylora do obliczenia przybli˙zonej warto´sci wyra˙zenia

(1.04)

2.02

17 luty 2002

e´s´c zadaniowa:

1. W tr´

ojk

at prostok

atny o d lugo´sciach przyprostok

atnych r´

ownych a i b wpisano

prostok

at, kt´

orego bok le˙zy na przeciwprostok

atnej tr´

ojk

ata. Jakie powinny

by´c wymiary prostok

ata, ˙zeby jego pole by lo najwi

eksze.

2. Wyznacz ekstrema lokalne funkcji

: R

3 (x, y, z) → x

+ y

+ z

+ 2x + 4y

− 6z ∈ R.

3. Stosuj

ac twierdzenie o ca lkowaniu przez cz

e´sci oblicz ca lk

sin 5x dx.

4. Oblicz pole figury ograniczonej krzywymi y =

1
x

, y =

√

, y =

1
8

≥ 0).

5. Zbadaj zbie˙zno´s´c szereg´

ow:

•

∞
n

(3n−2)(3n+1)

•

∞
n

2+(−1)

e´s´c teoretyczna:

1. Udowodnij twierdzenie:

Twierdzenie 73

Je´sli szereg

∞
i

o wyrazach dodatnich jest zbie˙zny, to

zbie˙zny jest r´

ownie˙z szereg

∞
i

Wskaz´

owka: Wykorzystaj warunek konieczny zbie˙zno´sci szeregu liczbowego,

kryterium por´

ownawcze Weierstrassa oraz kszta lt funkcji R

3 t → t i R

→ t

w otoczeniu punktu 0.

2. Sformu luj warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego funkcji n-zmiennych

rzeczywistych o warto´sciach rzeczywistych. Podaj przyk lad funkcji ilustruj

acy,

˙ze nie jest to warunek wystarczaj

acy.

3. Podaj trzy przyk lady zastosowania ca lki oznaczonej w geometrii.

8 stycze´

n 2003

e´s´c zadaniowa:

1. Koszt wynaj

ecia statku towarowego wynosi 3000 z lotych na godzin

e. Przy

edko´sci x km/godz koszt paliwa wynosi 3x

z lotych na godzin

e. Statek

mo˙ze p lyn

a´c z maksymaln

a pr

edko´sci

a 32 km/godz. Jaka jest najbardziej

ekonomiczna pr

edko´s´c? Jaka b

edzie odpowied´z przy wynaj

eciu statku na

d lu˙zszy okres, gdy udziela si

e rabatu 10% rabatu za wynaj

ecie?

2. Wyznacz ekstrema lokalne funkcji

: R

3 (x, y) → xy +

8
y

∈ R.

3. Oblicz ca lk

√

4. Oblicz obj

eto´s´c bry ly powsta lej przez obr´

ot krzywej y = sin x dla x

∈ [0, π]

dooko la osi Ox.

5. Zbadaj zbie˙zno´s´c szereg´

ow:

•

∞
n

−1

•

∞
n

2+(−1)

e´s´c teoretyczna:

1. Sformu luj warunek wystarczaj

acy istnienia ekstremum lokalnego funkcji n-

zmiennych rzeczywistych o warto´sciach rzeczywistych (n > 1).

2. Zastosuj twierdzenie Taylora do obliczenia przybli˙zonej warto´sci wyra˙zenia

√

1.02 dok ladno´sci

a do 0.001.

58ROZDZIA L 13. PRZYK LADOWE ZESTAWY ZADA ´

N EGZAMINACYJNYCH

3. Sformu luj twierdzenie o zmianie zmiennych w ca lce podw´

ojnej i dokonaj za-

miany zmiennych przechodz

ac do wsp´

o lrz

ednych biegunowych w ca lce

sin x

+ y

dxdy,

gdzie K =

(x, y) :

+ (y

− 1)

≤ 1

8 luty 2003

e´s´c zadaniowa:

1. Koszt przejazdu ci

e˙zar´

owki wynosi 60 +

groszy za kilometr, gdzie x ozna-

cza szybko´s´c w kilometrach na godzin

e. Kierowca otrzymuje 10 z lotych za

godzin

e pracy. Jaka b

edzie najbardziej ekonomiczna pr

edko´s´c ci

e˙zar´

owki:

• na szosie, gdzie pr

edko´s´c nie mo˙ze przekracza´c 90 km/godz,

• na autostradzie, gdzie pr

edko´s´c nie mo˙ze przekracza´c 110 km/godz.

2. Wyznacz ekstrema lokalne funkcji

: R

3 (x, y) → 2x

+ 8xy + ln y

∈ R.

3. Oblicz obj

eto´s´c bry ly obrotowej powsta lej prze obr´

ot figury zawartej mi

edzy

krzywymi y =

1
x

, y = 1, x = 1, x = 3 dooko la osi Ox.

4. Oblicz ca lk

5x−7

−8x+13

5. Stosuj

ac kryteria Cauchy’ego i d’Alemberta zbadaj zbie˙zno´s´c szereg´

ow:

•

∞
n

1−n

•

∞
n

e´s´c teoretyczna:

1. Sformu luj twierdzenie Taylora dla funkcji jednej zmiennej rzeczywistej o warto´sciach

rzeczywistych.

2. Zmie´

n kolejno´s´c ca lkowania w ca lce

√

(x, y)dy

3. Zdefiniuj poj

ecie granicy funkcji f : R

⊃ Ω → R w punkcie x

∈ Ω

◦

Wiedz

ac, ˙ze lim

→0

sin x

= 1 oblicz lim

→0

tan 2x

tan x

28 luty 2003

e´s´c zadaniowa:

1. Jakie powinny by´c wymiary szklanki o grubo´sci ´scianek d = 2 mm i po-

jemno´sci V = 0.2 dcm

, aby ilo´s´c szk la potrzebnego do jej wytworzenia by la

najmniejsza?

2. Wyznacz ekstrema lokalne funkcji

: R

3 (x, y) → x

+ 3xy

− 51x − 24y ∈ R.

3. Oblicz pole obszaru Ω ograniczonego krzywymi: y = x

, y = 3x

− 1, x = 1.

4. Oblicz ca lk

+2x+10

5. Zbadaj zbie˙zno´s´c szereg´

ow:

•

∞
n

100

•

∞
n

e´s´c teoretyczna:

1. Sformu luj twierdzenie Maclaurina dla funkcji jednej zmiennej rzeczywistej o

warto´sciach rzeczywistych. Z dok ladno´sci

a do 0.0001 oblicz warto´s´c wyra˙zenia

−0.07

2. Zmie´

n kolejno´s´c ca lkowania w ca lce

√

(x, y)dy

3. Zdefiniuj poj

ecie granicy funkcji f : R

⊃ Ω → R w punkcie x

∈ Ω

◦

Wiedz

ac, ˙ze lim

→0

sin x

= 1 oblicz lim

→0

tan 2x

tan x

29 marzec 2003

1. W tr´

ojk

at prostok

atny o d lugo´sciach przyprostok

atnych r´

ownych a i b wpisano

prostok

at, kt´

orego bok le˙zy na przeciwprostok

atnej tr´

ojk

ata. Jakie powinny

by´c wymiary prostok

ata, ˙zeby jego pole by lo najwi

eksze.

2. Wyznacz ekstrema lokalne funkcji

: R

3 (x, y, z) → x

+ y

+ z

+ 2x + 4y

− 6z ∈ R.

3. Oblicz ca lk

sin 2x dx.

4. Oblicz obj

eto´s´c bry ly powsta lej przez obr´

ot krzywej y = cos x dla x

∈

−

dooko la osi Ox.

5. Zbadaj zbie˙zno´s´c szereg´

ow:

•

∞
n

3n(3n+1)

•

∞
n

(

−

1
2

)

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Aut Rob B
Aut Rob B id 72430 Nieznany
Aut Rob B
Prop aut W9 Ses cyfr Przetworniki fotoelektryczne
aut prawa majatkowe wIV
anal
cyfr anal
anal deutsche bank polska
Kalend.-Ćwiczeń-z-Now.-Met.-Anal.-Żywn.-13-14, Nowoczesne metody analizy żywności
Oklejanie Aut Folią
anal termin 2, Automatyka i Robotyka, Semestr I, Analiza, Egzamin, egzamin
test I pomoc anal I i farm, Ratownictwo medyczne, Ratownictwo
PROGRAM ANAL., Nieorganiczna
test anal med, Ratownictwo Medyczne CM UMK, Ratownicwo, pierwsza pomoc, Nowy folder

więcej podobnych podstron