Aut Rob B id 72430 Nieznany

R´

ownania R´

o ˙zniczkowe Zwyczajne

wykÃlad dla student´

ow na kierunku automatyka i robotyka - wersja robocza (27 wrzesie´

n 2004

)

BogusÃlaw Bo˙zek

WydziaÃl Matematyki Stosowanej AGH

Spis tre´

sci

RozdziaÃl 1. Wprowadzenie

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

RozdziaÃl 2. Elementy analizy funkcjonalnej

. . . . . . . . . . . . . . .

RozdziaÃl 3. Twierdzenia o istnieniu i jednoznaczno´

sci

. . . . . . . .

RozdziaÃl 4. Proste typy r´

owna´

n r´

o ˙zniczkowych skalarnych

. . . . .

4.1.

R´ownanie r´o˙zniczkowe o zmiennych rozdzielonych . . . . . . . . . . . . .

4.2.

R´ownanie jednorodne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3.

R´ownanie r´o˙zniczkowe zupeÃlne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3.1. Czynnik caÃlkuj

acy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.4.

R´ownanie Clairauta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

RozdziaÃl 5. Liniowe r´

ownania r´

o ˙zniczkowe

. . . . . . . . . . . . . . . .

5.1.

R´ownania i ukÃlady r´owna´

n r´o˙zniczkowych liniowych . . . . . . . . . . . .

5.2.

Skalarne r´ownanie liniowe rz

edu pierwszego . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3.

R´ownanie Bernoulliego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.4.

R´ownanie Riccatiego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.5.

R´ownanie Lagrange’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.6.

Skalarne r´ownanie r´o˙zniczkowe liniowe

-tego rz

edu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.7.

Obni˙zanie rz

edu r´ownania liniowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.7.1. Wz´or Liouville’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.7.2. R´ownania wy˙zszych rz

ed´ow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.8.

Niejednorodne r´ownanie r´o˙zniczkowe liniowe

-tego rz

edu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.9.

R´ownanie liniowe n-tego rz

edu o staÃlych wsp´oÃlczynnikach . . . . . . . . .

5.10. Metoda przewidywa´

n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.11. UkÃlad skalarnych r´owna´

n r´o˙zniczkowych liniowych rz

edu pierwszego . . .

5.12. UkÃlady r´owna´

n liniowych o staÃlych

wsp´oÃlczynnikach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.12.1. Metoda warto´sci i wektor´ow wÃlasnych . . . . . . . . . . . . . . .

5.12.2. Sprowadzanie macierzy ukÃladu do postaci Jordana . . . . . . . .

5.13. R´ownanie ruchu harmonicznego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Spis tre´sci

RozdziaÃl 6. Rozwi

azania w postaci szereg´

ow funkcyjnych

. . . . . .

6.1.

Rozwi

azania w postaci szereg´ow pot

egowych . . . . . . . . . . . . . . . .

6.1.1. UkÃlad r´owna´

n liniowych rz

edu pierwszego o staÃlych

wsp´oÃlczynnikach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.1.2. Skalarne r´ownania r´o˙zniczkowe rz

edu pierwszego i drugiego . . .

6.2.

R´ownania r´o˙zniczkowe liniowe rz

edu drugiego – szeregi Frobeniusa

. . .

RozdziaÃl 7. Stabilno´

s´

c rozwi

aza´

n r´

owna´

n r´

o ˙zniczkowych

. . . . . . .

7.1.

Podstawowe deﬁnicje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.2.

Twierdzenie Lapunowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.3.

Problem Routha–Hurwitza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.4.

Punkty osobliwe r´ownania r´o˙zniczkowego zupeÃlnego . . . . . . . . . . . .

RozdziaÃl 8. Transformata Laplace’a

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8.1.

Podstawowe deﬁnicje i twierdzenia

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8.2.

Wyznaczanie transformaty r´ownania r´o˙zniczkowego . . . . . . . . . . . .

8.3.

Wyznaczanie funkcji na podstawie jej transformaty . . . . . . . . . . . .

RozdziaÃl 9. Dodatek

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9.1.

Tablice transformat Laplace’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9.2.

PrzykÃladowe tematy zada´

n egzaminacyjnych – studia dzienne . . . . . .

9.3.

PrzykÃladowe tematy zada´

n egzaminacyjnych – studia zaoczne . . . . . .

Bibliograﬁa

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

RozdziaÃl 1

Wprowadzenie

R´ownaniem r´o˙zniczkowym nazywamy zwi

azek mi

edzy pewn

a nieznan

a funkcj

a jej pochodnymi; gdy funkcja niewiadoma jest funkcj

a jednej zmiennej, to m´owimy

o r´ownaniu r´o˙zniczkowym zwyczajnym, w przeciwnym wypadku o r´ownaniu
r´o˙zniczkowym cz

astkowym. Zwi

azek postaci

F (t, x(t), x

′

(t), . . . , x

(n)

(t)) = 0

nazywamy r´ownaniem r´o˙zniczkowym zwyczajnym n-tego rz

edu, je´sli lewa strona

istotnie zale˙zy od x

(n)

. Nie musi oba zale˙ze´c od x i t. PrzykÃladowo r´ownanie

′′′

+ t(x

′

)

− e

x sin t

= 0

jest r´ownaniem r´o˙zniczkowym rz

edu trzeciego. Funkcja x mo˙ze by´c funkcj

a ska-

larn

a, albo wektorow

R´ownania r´o˙zniczkowe w zagadnieniach technicznych powstaj

a na og´oÃl w wy-

niku stosowania nast

epuj

acych metod post

epowania:

a) Przedstawiania praw ﬁzyki w postaci matematyczno-analitycznej.
b) Przedstawiania zwi

azk´ow geometrycznych w postaci analitycznej.

c) Rugowania parametr´ow z n-parametrowej rodziny funkcji i n r´owno´sci.
Ad a) Niech v : R

× R

⊃ [t

, T ]

× R

∋ (t, x) → v(t, x) ∈ R

edzie zadanym

polem pr

edko´sci. R´ownanie x

′

= v(t, x) opisuje ruchy cz

astek unoszonych w polu

v. Je´sli dodatkowo przyj

a´c warunek x(t

) = x

, to x(t) jest poÃlo˙zeniem w chwili

t tej cz

astki, kt´ora w chwili t

znajdowaÃla si

e w punkcie x

Ad b) Niech y = f (x). Wielko´s´c

ρ(A) =

(1 + (y

′

)

3
2

′′

(A)

RozdziaÃl 1. Wprowadzenie

nazywamy promienie krzywizny, a jej odwrotno´s´c

1
ρ

(A) krzywizn

a w punkcie A.

R´ownanie r´o˙zniczkowe

′′

(1 + (y

′

)

3
2

= a

∋ a ≥ 0

jest zadem r´ownaniem r´o˙zniczkowym, kt´orego rozwi

azaniem s

a krzywe o staÃlej

krzywi´znie r´ownej a.
Ad c) Rozwa˙zmy rodzin

e okr

eg´ow

− a)

+ (y

− b)

= R

(1.1)

gdzie a, b, R parametry. Za´o˙zmy, ˙ze y = y(x). R´o˙zniczkuj

ac trzykrotnie zwi

azek

(1.1) dostajemy







− a + (y − b)y

′

= 0

1 + (y

′

)

+ (y

− b)y

′′

= 0

′

′′

+ (y

− b)y

′′′

= 0.

Ruguj

ac z tych r´owna´

n wszystkie trzy parametry dostajemy r´ownanie r´o˙zniczkowe

rodziny okr

eg´ow:

′

′′

)

−

1 + (y

′

)

′′′

= 0.

Bez nale˙zytej precyzji mo˙zemy przyj

a´c w tej cwili, ˙ze r´ownaniem r´o˙zniczkowym

nazywamy r´ownanie postaci

F (t, x, x

′

, . . . , x

) = 0.

(1.2)

Je´sli funkcja ϕ : [a, b]

→ R klasy C

speÃlnia to˙zsamo´sciowo r´owno´s´c

F (t, ϕ(t), ϕ

′

(t), . . . , ϕ

(t)) = 0 w [a, b],

to ϕ nazywamy caÃlk

a szczeg´oln

a r´ownania r´o˙zniczkowego. Gdy ϕ jest funkcj

a ele-

mentarn

a, to m´owimy ˙ze (1.2) ma rozwi

azanie efektywne. Na przykÃlad r´ownanie

′′

(t) + ω

x(t) = 0

ma rozwi

azania efektywne

(t) = sin ωt i ϕ

(t) = cos ωt.

Z kolei r´ownanie Riccatiego

= a x

+ b t

a, b staÃle,

∈ N

ma rozwi

azanie efektywne (niestety) tylko dla pewnych n.

Je´sli rozwi

azanie mo˙zna wyznaczy´c przez sko´

nczon

a liczb

e caÃlkowaN, to m´owimy,

˙ze tak przedstawione rozwi

azania s

a rozwi

azaniami przez kwadratur

e. Na przykÃlad

r´ownanie

′

sin t

ma rozwi

azanie

x(t) =

sin t

dt + C.

Niestety s

a r´ownania, kt´ore nie s

a rozwi

azywalne przez kwadratur

e. PrzykÃladem

takiego r´ownania jest r´ownanie Bessela

′′

+ tx

′

− n

x = 0.

Mo˙zna dla niego poda´c rozwi

azanie w postaci szereg´ow funkcyjnych. W szczeg´olno´sci

funkcje

(t) =

∞

k=0

(

−1)

(k!)

(t) = 2

∞

k=0

(

−1)

(k!)

+ C

−

ν=1

gdzie C = 0.5772157 . . . jest staÃl

a Eulera, s

a rozwi

azaniami r´ownania Bessela dla

n = 0. Funkcje I

i Y

nosz

a nazw

e funkcji Bessela 1-go i 2-go rodzaju rz

edu 0.

Nie ka˙zde r´ownanie r´o˙zniczkowe ma rozwi

azanie. R´ownanie

1 +

= 0

nie ma rozwi

aza´

n rzeczywistych, ma jednak rozwi

azanie zespolone

x(t) = it.

R´ownanie

exp

= 0

w og´ole nie ma rozwi

aza´

n, bo funkcja C

∋ z → e

∈ C nie ma zer. Z kolei

r´ownanie

′

= f (t, x),

gdzie prawa strona jest ci

a ma niesko´

nczenie wiele rozwi

aza´

RozdziaÃl 2

Elementy analizy funkcjonalnej

ZaÃl´o˙zmy, ˙ze X

6= ∅.

Deﬁnicja 1.

Funcj

e ρ : X

×X → [0, ∞) nazywamy metryk

a, wtedy i tylko wtedy,

gdy

∀

x,y∈X

ρ(x, y) = 0

⇐⇒ x = y,

∀

x,y∈X

ρ(x, y) = ρ(y, x),

∀

x,y,z∈X

ρ(x, z)

≤ ρ(x, y) + ρ(y, z).

Deﬁnicja 2.

Je´sli X

6= ∅ i ρ : X × X → R metryka, to par

e (X, ρ) nazywamy

przestrzeni

a metryczn

Niech X b

edzie przestrzeni

a wektorow

a nad ciaÃlem K (K = R, lub K = C).

Deﬁnicja 3.

Funkcj

k · k : X → [0, ∞) nazywamay norm

a, wtedy i tylko wtedy,

gdy

kxk = 0 ⇐⇒ x = 0,

2. ∀

α∈K

∀

x∈X

kαxk = |α|kxk,

∀

x,y∈X

kx + yk ≤ kxk + kyk.

Deﬁnicja 4.

Par

e (X,

k · k) nazywamy przestrzeni

a unormowan

Uwaga 1.

Ka˙zda norma indukuje metryk

e wedÃlug wzoru

ρ(x, y) :=

kx − yk,

tote˙z ka˙zda przestrze´

n unormowana jest przestrzeni

a metryczn

RozdziaÃl 2. Elementy analizy funkcjonalnej

Deﬁnicja 5.

Niech (X, ρ) - przestrze´

n metryczna. Ci

}

n∈N

⊂ X nazywamy

agiem Cauchy’ego (ci

agiem fundamentalnym) wtedy i tylko wtedy, gdy

∀

ε>0

∃

k∈N

∀

m>k

∀

n>k

ρ (x

, x

) < ε.

Deﬁnicja 6.

Niech (X, ρ) - przestrze´

n metryczna. M´owimy, ˙ze ci

}

n∈N

⊂

X jest zbie˙zny do granicy g

∈ X wtedy i tylko wtedy, gdy ci

ag liczbowy ρ (x

, g)

ma granic

e r´own

a 0, tj.

lim

n→∞

= g

⇐⇒ lim

n→∞

ρ (x

, g) = 0

⇐⇒ ∀

ε>0

∃

k∈N

∀

∋n>k

ρ (x

, g) < ε

Deﬁnicja 7.

M´owimy, ˙ze ci

}

n∈N

⊂ X jest zbie˙zny w przestrzeni metrycz-

nej (X, ρ) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje g

∈ X, takie ˙ze lim

n→∞

= g.

Twierdzenie 1.

Ka˙zdy ci

ag zbie˙zny w przestrzeni metrycznej (X, ρ) jest ci

agiem

Cauchy’ego.

Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.

PrzykÃlad 1.

n∈N

jest zbie˙zny do zera w przestrzeni metrycznej (R, ρ

gdzie ρ

jest metryk

a euklidesow

a. Jest on zatem w my´sl poprzedniego twierdzenia

agiem Cauchy’ego. Niech X := (0, 1) i niech d b

edzie restrykcj

a metryki ρ

× X. Przestrze´n (X, d) jest przestrzeni

a metryczn

a, a rozwa˙zany ci

ag w tej

przestrzeni nie jest zbie˙zny, gdy˙z 0

6∈ X.

Deﬁnicja 8.

Przestrze´

n metryczn

a (X, ρ) nazywamy zupeÃln

a, wtedy i tylko wtedy,

gdy ka˙zdy ci

ag Cauchy’ego

}

n∈N

⊂ X jest zbie˙zny (do elementu przestrzeni

X).

Deﬁnicja 9.

Przestrze´

n unormowan

a zupeÃln

a nazywamy przestrzeni

a Banacha.

Twierdzenie 2.

(Banacha o odwzorowaniach zw

e˙zaj

acych)

Je´sli

- (X,

k · k) przestrze´n Banacha,

- T : X

→ X q-zw

e˙zaj

ace tzn.

∃

q∈[0,1)

∀

x,y∈X

kT (x) − T (y)k ≤ qkx − yk,

— T ma jedyny punkt staÃly tzn.

∃! x

⋆

∈ X :

T (x

⋆

) = x

⋆

— Ponadto, je´sli x

∈ X, x

n+1

:= T (x

), to

ρ (x

⋆

, x

)

≤

− q

ρ (x

, x

)

dla

∈ N.

RozdziaÃl 3

Twierdzenia o istnieniu i

jednoznaczno´

sci

Twierdzenie 3.

Je´sli

1. t

∈ I = [a, b] ⊂ R,

∈ B = B (x

, R)

⊂ U ∈ topX,

∈ C(I × U, X),

2. funkcja f : I

× U ∋ (t, x) → f(t, x) ∈ X speÃlnia warunek Lipschitza

wzgl

edem drugiej zmiennej na zbiorze I

× B tzn.:

∃

L>0

∀

t∈I

∀

y,z∈B

kf(t, y) − f(t, z)k ≤ ky − zk,

3. rozwa˙zamy r´ownanie r´o˙zniczkowe postaci:

(RR)

′

(t) = f (t, x(t)) t

∈ I,

(WPC) x (t

) = x

to r´ownanie (RR) z zadanym warunkiem pocz

atkowym Cauchy’ego (WPC) ma

dokÃladnie jedno rozwi

azanie x = x(t) na przedziale J = I

∩ [t

− r, t

+ r], gdzie

r :=

∞ gdy R = +∞ czyli B = X

gdy R < +

∞

i M := sup

{kf(t, y)k : t ∈ T, y ∈ B}.

Deﬁnicja 10.

Niech

(X, d), (Y, ρ) przestrzenie metryczne,
U

⊂ X,

RozdziaÃl 3. Twierdzenia o istnieniu i jednoznaczno´sci

f : I

× U ∋ (t, x) → f(t, x) ∈ Y .

M´owimy, ˙ze f speÃlnia lokalnie warunek Lipschitza wzgl

edem zmiennej x, je˙zeli

∀

∈I

∀

∈U

∃

J∈top(t

)

∃

B=B(x

,R)

∃

L=L(J,B)

∀

t∈J

∀

y,z∈B∩U

ρ (f (t, y), f (t, z))

≤ L · d(y, z).

Twierdzenie 4.

Je˙zeli U

∈ topX, f = f(t, x) ∈ C(I × U, X), f speÃlnie lokalnie

warunek Lipschitza wzgl

edem zmiennej x, to dla ka˙zdego (t

, x

)

∈ I ×U r´ownanie

′

= f (t, x) z warunkiem pocz

atkowym Cauchy’ego x (t

) = x

ma dokÃladnie jedno

rozwi

azanie okre´slone w pewnym otoczeniu punktu t

Twierdzenie 5.

(Zasada identyczno´sci) Przyjmijmy zaÃlo˙zenia poprzedniego twier-

dzenia. Niech P przedziaÃl, P

⊂ I. Niech x = x(t), y = y(t) b

a dwoma

rozwi

azaniami tego samego r´ownania r´o˙zniczkowego x

′

= f (t, x) okre´slonymi na

P i speÃlniaj

acymi warunki pocz

atkowe Cauchy’ego x (t

) = x

, y (t

) = y

. Je´sli

istnieje taki punkt p

∈ P , w kt´orym x(p) = y(p), to x(t) = y(t) dla t ∈ P .

Twierdzenie 6.

Niech Y = X

, U

∈ topY , f ∈ C(I × U, X) i niech f = f(t, y)

speÃlnia lokalnie warunek Lipschitza wzgl

edem zmiennej y. Wtedy dla ka˙zdego

∈ I, dla ka˙zdego x

= (x

, . . . , x

)

∈ U r´ownanie r´o˙zniczkowe

(n)

= f

t, x, x

′

, . . . , x

(n−1)

z warunkiem pocz

atkowym Cauchy’ego

(j)

) = x

j = 0, 1, . . . , n

− 1

ma dokÃladnie jedno rozwi

azanie x = x(t) w pewnym otoczeniu punktu t

Dow´

. R´ownanie sprowadzamy do ukÃladu r´owna´

n. Niech y

:= x oraz

′

= y

=: f

(t, y

, . . . , y

)

′

= y

=: f

(t, y

, . . . , y

)

. . .

′

n−1

= y

=: f

n−1

(t, y

, . . . , y

)

′

= f (t, y

, . . . , y

) =: f

(t, y

, . . . , y

)

UkÃlad ten mo˙zna zapisa´c w postaci

′

F(t, Y),

gdzie

Y = (y

, . . . , y

)

F = (f

, . . . , f

)

c.k.d

Deﬁnicja 11.

Rozwi

azanie okre´slone na caÃlym przedziale I okre´slono´sci r´ownania

r´o˙zniczkowego nazywamy rozwi

azaniem globalnym tego r´ownania.

Twierdzenie 7.

(o rozwi

azaniu globalnym) Niech t

∈ I = |a, b| ⊂ R i niech

∈ C(I × X, X) i niech dane b

edzie r´ownanie

′

= f (t, x),

∈ I

z warunkiem pocz

atkowym Cauchy’ego

x (t

) = x

Je´sli

∀

J=[a

′

]⊂I

∃

L=L(J)>0

∀

t∈J

∀

x,y∈X

kf(t, x) − f(t, y)k ≤ L kx − yk ,

to powy˙zsze r´ownanie r´o˙zniczkowe z dowolnie zadanym warunkiem pocz

atkowym

Cauchy’ego ma dokÃladnie jedno rozwi

azanie globalne tj. okre´slone na przedziale

Podobne twierdzenie ma miejsce dla ukÃlad´ow r´owna´

PrzykÃlad 2.

R´ownanie x

′

= x

nie speÃlnia zaÃlo˙ze´

n powy˙zszego twierdzenie. CaÃlka

og´olna tego r´ownania jest okre´slona wzorem x(t) =

−

t+C

∈ R) i nie jest

okre´slona na X = R.

RozdziaÃl 4

Proste typy r´

owna´

n r´

o ˙zniczkowych

skalarnych

4.1. R´

ownanie r´

o ˙zniczkowe o zmiennych rozdzielonych

R´ownanie r´o˙zniczkowe postaci

′

(t) =

f (t)

g(x)

(4.1)

gdzie f

∈ C(I, R), g ∈ C(J, R), x ∈ C

(I, J), I, J przedziaÃly, t

∈ I, g(x) 6= 0 dla

∈ J nazywamy r´ownaniem o zmiennych rozdzielonych. R´ownanie to mo˙zemy

zapisa´c w postaci

g(x)x

′

(t) = f (t).

Niech G = G(x) oraz F = F (t) b

a dowolnymi funkcjami pierwotnymi odpo-

wiednio funkcji g = g(x) i f = f (t). W´owczas r´ownanie (4.1) mo˙zna przepisa´c w
postaci

◦ x)(t) =

F (t),

czyli

[G(x)

− F (t)] = 0, x = x(t), t ∈ I.

Poniewa˙z I przedziaÃl, to r´ownanie to na podstawie twierdzenia Lagrange’a jest
r´ownowa˙zne r´ownaniu

G(x)

− F (t) = C, x = x(t), t ∈ I, C ∈ R,

RozdziaÃl 4. Proste typy r´

owna´

n r´

o˙zniczkowych skalarnych

kt´ore mo˙zemy zapisa´c w postaci

g(x)dx =

f (t)dt,

x = x(t).

(4.2)

4.2. R´

ownanie jednorodne

R´ownaniem r´o˙zniczkowym jednorodnym nazywamy r´ownanie postaci

′

= f

³x

(4.3)

gdzie t

∈ I, x = x(t), f ∈ C(J, R), I, J - przedziaÃly. Podstawienie

x(t) = ty(t)

sprowadza r´ownanie (4.3) do r´ownania r´o˙zniczkowego

′

f (y)

− y

o zmiennych rozdzielonych.

Dodatkowo nale˙zy sprawdzi´c, czy rozwi

azaniem

r´ownania (4.3) jest funkcja x(t) := y

t, gdzie y

, jest rozwi

azaniem r´ownania

f (y

)

− y

= 0.

R´ownanie

= f

t + b

x + c

t + b

x + c

(4.4)

gdzie f jest funkcj

a ci

agÃl

a oraz a

− a

6= 0 mo˙zna przez stosown

a zmian

zmiennych sprowadzi´c do r´ownania jednorodnego. Je´sli bowiem wektor (¯

t, ¯

x) jest

rozwi

azaniem ukÃladu r´owna´

¶ µ

t
x

−c

to zmiana zmiennych

t = ¯

t + ξ,

x = ¯

x + η

przy kt´orej

dη
dξ

d(x−¯

dξ

sprowadza r´ownanie (4.4) do r´ownania jednorod-

nego

dη
dξ

= f

ξ + b

= f

+ b

η
ξ

+ b

η
ξ

=: g

η
ξ

Gdy a

− a

= 0, to istnieje takie λ

∈ R, ˙ze a

t + b

x = λ (a

t + b

x) lub

t + b

x = λ (a

t + b

x). R´ownanie (4.4) przeksztaÃlca si

e w r´ownanie postaci

′

= ¯

f (a

t + b

lub x

′

= ¯

f (a

t + b

x) .

Podstawienie odpowiednio

u(t) = a

t + b

x(t) lub u(t) = a

t + b

x(t)

sprowadza je do r´ownania o zmiennych rozdzielonych.

4.3. R´

ownanie r´

o˙zniczkowe zupeÃlne

4.3. R´

ownanie r´

o ˙zniczkowe zupeÃlne

Niech D

⊂ R

edzie obszarem tj. zbiorem otwartym i sp´ojnym. Niech

P, Q

∈ C(D, R) oaz Q(t, x) 6= 0 dla (t, x) ∈ D.

Deﬁnicja 12.

R´ownanie r´o˙zniczkowe

′

−

P (t, x)
Q(t, x)

(4.5)

czyli

P (t, x)dt + Q(t, x)dx = 0

(4.6)

nazywamy zupeÃlnym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka funkcja U

∈ C

(D, R),

˙ze

(t,x)

U = P (t, x)dt + Q(t, x)dx dla (t, x)

∈ D.

(4.7)

Poniewa˙z zbi´or D jest obszarem, zatem je´sli (4.6) jest r´ownaniem r´o˙zniczkowym
zupeÃlnym, to caÃlka og´olna tego r´ownania ma posta´c

U (t, x) = C,

∈ R.

Z twierdzenia Poincar`e’go wynika nast

epuj

ace

Twierdzenie 8.

Je´sli D jest obszarem ´sci

agalnym w R

, P, Q

∈ C(D, R) oraz

∂P

∂x

∂Q

∂t

w D, to (4.6) jest r´ownaniem r´o˙zniczkowym zupeÃlnym,

przy czym:

Deﬁnicja 13.

Obszar D nazywamy ´sci

agalnym w R

wtedy i tylko wtedy, gdy

istniej

a obszar obszar gwia´zdzisty G

⊂ R

oraz dyﬀeomorﬁzm h : G

→ D (tzn. h

bijekcja, H, h

−1

klasy C

Deﬁnicja 14.

Zbi´or G

⊂ R

nazywamy zbiorem gwia´zdzistym wtedy i tylko

wtedy, gdy

∃

∈G

∀

x∈G

, x]

⊂ G,

Wiedz

ac, ˙ze (4.6) zupeÃlne z warunku (4.7) mamy:

∂U

∂t

= P,

∂U

∂x

= Q.

CaÃlkuj

ac pierwszy z tych zwi

azk´ow wzgl

edem zmiennej t dostajemy:

U (t, x) =

P (t, x)dt + C(x) (t, x)

∈ D.

Z kolei

Q(t, x) =

∂U

∂x

(t, x) =

∂P (t, x)

∂x

dt + C

′

(x),

RozdziaÃl 4. Proste typy r´

owna´

n r´

o˙zniczkowych skalarnych

′

(x) = Q(t, x)

−

∂P

∂x

(t, x)dt.

i w konsekwencji

C(x) =

Q(t, x)dx

−

Z µZ

∂P

∂x

(t, x)dt

dx.

Ostatecznie

U (t, x) =

P (t, x)dt +

Q(t, x)dx

−

Z µZ

∂P

∂x

(t, x)dt

dx,

tak wi

ec rozwi

azanie og´olne r´ownania r´o˙zniczkowego zupeLnego (4.6) wyra˙za si

wzorem:

P (t, x)dt +

Q(t, x)dx

−

Z µZ

∂P

∂x

(t, x)dt

dx = C,

∈ R.

(4.8)

4.3.1. Czynnik caÃlkuj

acy

Je˙zeli r´ownanie (4.6) nie speÃlnia warunku

∂P

∂x

∂Q

∂t

w zadanym obszarze

´sci

agalnym D, to szukamy takiej funkcji µ = µ(t, x)

∈ C

(D, R), aby

∂(µP )

∂x

∂(µQ)

∂t

(t, x)

∈ D

(4.9)

Deﬁnicja 15.

Funkcj

e µ

∈ C

(D, R), dla kt´orej zachodzi warunek (4.9) nazy-

wamy czynnikiem caÃlkuj

acym r´ownania (4.6).

Twierdzenie 9.

Je´sli funkcje P, Q

∈ C

(D, R) i D obszar ´sci

agalny, to istnieje

∈ C

(D, R) czynnik caÃlkuj

acy r´ownania (4.6).

Efektywne wyznaczenie czynnika caÃlkuj

acego jest mo˙zliwe zawsze, gdy zale˙zy on

od jednej zmiennej oraz w sytuacji, gdzy µ = µ(ω(t, x)), gdzie ω(t, x) jest znan

funkcj

a klasy C

(D, R). W pozostaÃlych przypadkach jest to zagadnienie trudne

esto niemo˙zliwe do zrealizowania.

Za´o˙zmy zatem, ˙ze istnieje czynnik caÃlkuj

acy r´ownania (4.6) postaci µ =

µ(ω(t, x)). Warunek

∂(µP )

∂x

∂(µQ)

∂t

(t, x)

∈ D

jest r´ownowa˙zny warunkowi

′

∂ω

∂x

P + µ

∂P

∂x

= µ

′

∂ω

∂t

Q + µ

∂Q

∂t

kt´ory mo˙zna zapisa´c w postaci

′

∂Q

∂t

−

∂P

∂x

∂ω

∂x

−

∂ω

∂t

(4.10)

4.4. R´

ownanie Clairauta

Poniewa˙z lewa strona, z zaÃlo˙zenia, zale˙zy od ω(t, x), zatem warunkiem istnienia
czynnika caÃlkuj

acego postaci µ = µ(ω(t, x)) jest aby prawa strona r´ownania (4.10)

byÃla zale˙zna od ω(t, x). Wtedy te˙z dostajemy wz´or:

|µ(ω)| =

Z Ã

∂Q

∂t

−

∂P

∂x

∂ω

∂x

−

∂ω

∂t

(ω)

dω =: χ(ω)

z kt´orego wynika, ˙ze ka˙zda z funkcji

µ(t, x) := µ(ω(t, x)) = Ce

χ(ω(t,x))

∈ R \ {0})

(4.11)

jest szukanym czynnikiem caÃlkuj

acym.

Poszukuj

ac czynnika caÃlkuj

acego nale˙zy rozpocz

ac od najprostszych przy-

padk´ow tj. ω(t, x) = t lub ω(t, x) = x, potem rozwa˙zy´c kolejno ω(t, x) = t + x,
ω(t, x) = t

− x, ω(t, x) = tx, ω(t, x) =

. Gdy nie przyniesie to rezultatu szanse

na znalezienie czynnika caÃlkuj

acego s

a znikome.

PrzykÃlad 3.

Istnieje czynnik caÃlkuj

acy µ = µ(t) r´ownania (t + t

+ x

) dt +

xdx = 0, gdy˙z

′

(t)

µ(t)

= 2. Rozwi

azuj

ac ostatnie r´ownanie dostajemy

|µ(t)| = 2

i w konsekwencji µ(t) = Ce

∈ R\{0}) jest szukanym czynnikiem caÃlkuj

acym.

4.4. R´

ownanie Clairauta

Deﬁnicja 16.

R´ownaniem Clairauta nazywamy r´ownanie r´o˙zniczkowe

− tx

′

− f (x

′

) = 0,

(4.12)

gdzie t

∈ I, I - przedziaÃl, x ∈ C

(I, J), J - przedziaÃl, f

∈ C

(J, R) i funkcja f

nie jest postaci f (τ ) = Aτ + B.

R´o˙zniczkuj

ac (4.12) stronami dostajemy:

′

− x

′

− tx

′′

− f

′

) x

′′

= 0

czyli

′′

(t + f

′

)) = 0.

Je´sli istnieje x = x(t) rozwi

azanie r´ownania (4.12) klasy C

(I, R), to

′′

= 0 lub t + f

′

) = 0.

Je´sli x

′′

(t) = 0, to x

′

(t) = C, x(t) = Ct + b. Wstawiaj

ac funkcj

e x(t) = Ct + b

do r´ownania (4.12) dostajemy b = f (C). Tak wi

ec ka˙zda prosta

x(t) = Ct + f (C),

∈ J

(4.13)

jest rozwi

azaniem (4.12).

RozdziaÃl 4. Proste typy r´

owna´

n r´

o˙zniczkowych skalarnych

W sytuacji t + f

′

) = 0, traktujemy pochodn

a x

′

jak parametr i oznaczamy

go symbolem p. Tak wi

ec t =

−f

′

(p). R´ownanie (4.12) mo˙zemy przepisa´c w

postaci x = tp + f (p) =

−f

′

(p)p + f (p). R´ownanie parametryczne
½

−f

′

(p)

x = f (p)

− pf

′

(p)

(4.14)

jest r´ownaniem obwiedni rodziny prostych (4.13).

RozdziaÃl 5

Liniowe r´

ownania r´

o ˙zniczkowe

5.1. R´

ownania i ukÃlady r´

owna´

n r´

o ˙zniczkowych liniowych

Niech (X,

k · k) przestrze´n Banacha, I = |a, b| ⊂ R - dowolny przedziaÃl,

L(X, X) :=

{T : X → X :

operator liniowy i ci

agÃly

}. Niech

A : I

∋ t → A(t) ∈ L(X, X) ci

agÃle,

∈ C(I, X),

x = x(

·) ∈ C

(I, X).

Deﬁnicja 17.

R´ownaniem r´o˙zniczkowym liniowym jednorodnym rz

edu pierw-

szego (RRLJ) nazywamy r´ownanie postaci

′

(t) = A(t) (x(t)) ,

∈ I,

(5.1)

kr´otko x

′

= A(t)x, x = x(t), t

∈ I.

Deﬁnicja 18.

R´ownaniem r´o˙zniczkowym liniowym niejednorodnym rz

edu pierw-

szego (RRLN) nazywamy r´ownanie postaci

′

(t) = A(t) (x(t)) + g(t),

∈ I,

(5.2)

kr´otko x

′

= A(t)x + g(t), x = x(t), t

∈ I.

Deﬁnicja 19.

W sytuacji X = R

(RRLJ), (RRLN) nazywamy ukÃladem r´owna´

r´o˙zniczkowych liniowych.

Deﬁnicja 20.

R´ownanie r´ozniczkowe

(n)

= A(t)

x, x

′

, . . . , x

(n−1)

+ g(t),

(5.3)

RozdziaÃl 5. Liniowe r´

ownania r´

o˙zniczkowe

gdzie x = x(t), t

∈ I, I - przedziaÃl, A ∈ C (I, L (X

, X)), g

∈ C(I, X), X

- przestrze´

n Banacha, nazywamy r´ownaniem r´o˙zniczkowym liniowym rz

edu n -

tego. Je´sli g = 0, to r´ownanie (5.3) nazywamy r´ownaniem jednorodnym, w prze-
ciwnym wypadku niejednorodnym.

Jak wiadomo z wcze´sniejszych rozwa˙za´

n, r´ownanie to mo˙zna sprowadzi´c do

r´ownania rz

edu pierwszego w przestrzeni Banacha X

Twierdzenie 10.

(Twierdzenie o istnieniu rozwi

azania globalnego) Standardowe

r´ownanie r´o˙zniczkowe liniowe (5.2) ma zawsze rozwi

azanie globalne przy dowol-

nym warunku pocz

atkowym Cauchy’ego.

Twierdzenie 11.

Zbi´or rozwi

aza´

n r´ownania r´o˙zniczkowego liniowego jednorod-

nego (5.1) (caÃlka og´olna) jest przestrzeni

a liniow

Dow´

. Wystarczy pokaza´c, ˙ze je´sli funkcje x i y s

a rozwi

azaniami (5.1) to ich

dowolna kombinacja liniowa tak˙ze. Niech α, β

∈ R. Mamy

(αx + βy)

′

= αx

′

+ βy

′

= αA(t)x + βA(t)y =

= A(t)(αx) + A(t)(βy) = A(t)(αx + βy)

c.k.d

Twierdzenie 12.

Rozwi

azanie og´olne r´ownania r´o˙zniczkowego liniowego niejed-

norodnego (5.2) jest sum

a rozwi

azania szczeg´olnego (5.2) i rozwi

azania og´olnego

r´ownania r´o˙zniczkowego liniowego jednorodnego(5.1), a dokÃladniej:

Ka˙zde rozwi

azanie (5.2) jest sum

a pewnego ustalonego rozwi

azania (5.2) i

pewnego rozwi

azania (5.1).

Dow´

. Niech

R :=

∈ C

(I, X) :

′

= A(t)x + g(t)

∈ C

(I, X) :

′

= A(t)y

Ustalmy e

∈ R i zdeﬁniujmy

Z :=

∈ C

(I, X) :

z = e

x + y, y

∈ Y

= e

x + Y.

Mamy pokaza´c, ˙ze R = Z.

Udowodnimy najpierw, ˙ze Z

⊂ R.

We´zmy z

∈ Z. Z deﬁnicji zbioru Z wynika, ˙ze istnieje y ∈ Y , ˙ze z = ex + y.

Poniewa˙z

′

= e

′

+ y

′

= (A(t)e

x + g(t)) + A(t)y = A(t) (e

x + y) + g(t) = A(t)z + g(t)

zatem z

∈ R.

5.2. Skalarne r´

ownanie liniowe rz

edu pierwszego

Teraz udowodnimy, ˙ze R

⊂ Z.

We´zmy x

∈ R. Wektor x mo˙zemy zapisa´c w postaci x = ex+(x − ex). Zdeﬁniujmy

y := x

− ex. Zauwa˙zmy, ˙ze

′

= (x

− ex)

′

= x

′

= e

′

= (A(t)x + g(t))

− (A(t)ex + g(t)) =

= A(t)x

− A(t)ex = A(t) (x − ex) = A(t)y,

co oznacza, ˙ze y

∈ Y . W takim razie x ∈ Z.

c.k.d

5.2. Skalarne r´

ownanie liniowe rz

edu pierwszego

Skalarne r´ownanie liniowe rz

edu pierwszego

′

+ f (t)x = 0,

(5.4)

gdzie x = x(t), t

∈ I, I - przedziaÃl, f ∈ C(I, R), jest r´ownaniem o zmiennych

rozdzielonych. CaÃlk

a og´oln

a tego r´ownania jest rodzina funkcji

x(t) = Ce

−

f (t)dt

C = const

∈ R, t ∈ I.

CaÃlk

e szczeg´oln

a r´ownania niejednorodnego

′

+ f (t)x = g(t) t

∈ I,

(5.5)

mo˙zemy znale´z´c metod

a uzmienniania staÃlej. Przypu´s´cmy bowiem, ˙ze istnieje

rozwi

azanie r´ownania (5.5) postaci

x(t) = C(t)e

−

f (t)dt

= C(t)e

−F (t)

gdzie F (t) :=

f (t)dt. Je´sli funkcja ta jest rozwi

azaniem r´ownania (5.5), to

g(t) = x

′

+f (t)x = C

′

(t)e

−F (t)

+C(t) (

−F

′

(t)) e

−F (t)

+f (t)C(t)e

−F (t)

= C

′

(t)e

−F (t)

′

(t) =

g(t)

−F (t)

= g(t)e

F (t)

Rozwi

azaniem tego r´ownania jest funkcja

C(t) =

g(t)e

F (t)

dt,

∈ I.

Tak wi

ec caÃlk

a szczeg´oln

a r´ownania (5.5) jest funkcja

x(t) =

µZ

g(t)e

f (t)dt

−

f (t)dt

RozdziaÃl 5. Liniowe r´

ownania r´

o˙zniczkowe

5.3. R´

ownanie Bernoulliego

R´ownaniem r´o˙zniczkowym Bernoulliego nazywamy r´ownanie postaci

′

+ f (t)x = g(t)x

p = const

∈ R \ {1},

(5.6)

przy czym w stosunku do funkcji f i g przyjmujemy takie same zaÃlo˙zenia jak w
przypadku r´ownania liniowego. Przez zmian

e zmiennych

y(t) := x

1−p

(t)

r´ownanie to mo˙zna sprowadzi´c do r´ownanie r´o˙zniczkowego liniowego. Zauwa˙zmy
bowiem, ˙ze skoro y

′

= (1

− p)x

−p

′

, to obustronnie mno˙z

ac r´ownanie (5.6) przez

− p)x

−p

dostajemy

− p)x

−p

′

+ (1

− p)f(t)x

1−p

= (1

− p)g(t),

czyli r´ownanie r´o˙zniczkowe liniowe niejednorodne

′

+ (1

− p)f(t)y = (1 − p)g(t).

5.4. R´

ownanie Riccatiego

R´ownaniem r´o˙zniczkowym Riccatiego nazywamy r´ownanie postaci

′

= a(t)x

+ b(t)x + c(t),

(5.7)

gdzie a, b, c : I

→ R ci

agÃle, I - przedziaÃl otwarty.

Z poprzednich twierdze´

n Ãlatwo pokaza´c, ˙ze ka˙zdy punkt zbioru I

×R jest punk-

tem globalnej jednoznaczno´sci. Gdy a(t) = 0, to r´ownanie (5.7) jest r´ownaniem
r´o˙zniczkowym liniowym, a gdy c(t) = 0 r´ownaniem Bernoulliego.

Specjalnym r´ownaniem Riccatiego nazywamy szczeg´olny przypadek r´ownanoa

(5.7) a mianowicie

′

= c

+ c

, c

∈ R.

Nawet dla tego ostatniego r´ownania mo˙zna poda´c efektywne metody dla pewnych
warto´sci wykÃladnika n. W og´olnym przypadku zachodzi natomiast nast

epuj

ace:

Twierdzenie 13.

Niech I = (α, β)

⊂ R. Je´sli ϕ jest caÃlk

a szczeg´oln

a r´ownania

(5.7) okre´slon

a na I, to dla ka˙zdego rozwi

azania x tego r´ownania okre´slonego w

przedziale

△ ⊂ I funkcja okre´slona wzorem:

y(t) := x(t)

− ϕ(t) (t ∈ △),

jest rozwi

azaniem r´ownania Bernoulliego

′

= [b(t) + 2a(t)ϕ(t)] y + a(t)y

(5.8)

5.5. R´

ownanie Lagrange’a

i na odwr´ot, dla ka˙zdego rozwi

azania y r´ownania (5.8) okre´slonego w

△ funkcja

x zdeﬁniowana wzorem:

x(t) = ϕ(t) + y(t) (t

∈ △)

jest rozwi

azaniem r´ownania (5.7).

Dow´

. Niech ϕ i x b

a dwoma rozwi

azaniami r´ownania (5.7), czyli

′

= a(t)ϕ

+ b(t)ϕ + c(t),

′

= a(t)x

+ b(t)x + c(t).

W´owczas

′

= x

′

− ϕ

′

a(t)x

+ b(t)x + c(t)

−

a(t)ϕ

+ b(t)ϕ + c(t)

= a(t)

− ϕ

+ b(t) (x

− ϕ) = a(t) (x + ϕ) (x − ϕ) + b(t) (x − ϕ) =

= (a(t) (x + ϕ) + b(t)) (x

− ϕ) = (b(t) + a(t)x + a(t)ϕ) (x − ϕ) =

= (b(t) + 2a(t)ϕ + a(t)x

− a(t)ϕ) (x − ϕ) =

= (b(t) + 2a(t)ϕ + a(t) (x

− ϕ)) (x − ϕ) = (b(t) + 2a(t)ϕ) y + a(t)y

Tak wi

′

= (b(t) + 2a(t)ϕ) y + a(t)y

c.k.d

PrzykÃlad 4.

Rozwa˙zmy r´ownanie Riccatiego

′

− 2tx + x

= 5

− t

kt´orego caÃlk

a szczeg´oln

a jest funkcja ϕ(t) = t + 2. Przepisuj

ac to r´ownanie w

postaci x

′

= (

−1)x

+ (2t)x + (5

− t

), widzimy, ˙ze a(t) =

−1, b(t) = 2t, c(t) =

− t

. Skojarzone r´ownanie Bernoulliego przybiera wi

ec posta´c

′

= [2t + 2(

−1)(t + 2)] y + (−1)y

−4y − y

Jego rozwi

azaniem og´olnym jest rodzina funkcji

y(t) = Ce

∈ R), tak wi

rozwi

azaniem r´ownania wyj´sciowego jest rodzina funkcji

x(t) = Ce

+t+2(C

∈

5.5. R´

ownanie Lagrange’a

R´ownaniem Lagrange’a nazywamy r´ownanie postaci:

x = a (x

′

) t + f (x

′

) .

(5.9)

ZakÃladamy, ˙ze funkcje a, f

∈ C

(J, R), x

∈ C

(I, J), I, J przedziaÃly. Je´sli funkcja

a jest funkcj

a identyczno´sciow

a, to r´ownanie Lagrange’a jest r´ownaniem Cla-

irauta. Przyjmijmy zatem dalej, ˙ze a(p)

6= p dla wszystkich p ∈ J. R´o˙zniczkuj

RozdziaÃl 5. Liniowe r´

ownania r´

o˙zniczkowe

r´ownanie (5.9) stronami i podstawiaj

ac za pocchodn

a x

′

now

a funkcj

e p = p(t)

mo˙zemy to r´ownanie przeksztaÃlci´c do postaci:

′

= a

′

) x

′′

t + a (x

′

) + f

′

) x

′′

p = a

′

(p) p

′

t + a (p) + f

′

(p) p

′

p = (a

′

(p)t + f

′

(p))

+ a(p),

− a(p)

′

(p)t + f

′

(p)

Zamieniaj

ac role zmiennych p i t mamy

′

(p)t + f

′

(p)

− a(p)

′

(p)

− a(p)

t +

′

(p)

− a(p)

czyli r´ownanie r´o˙zniczkowe niejednorodne

′

(p)

a(p)

− p

t =

′

(p)

− a(p)

z niewiadom

a funkcj

a t = t(p). Po wyznaczeniu tego rozwi

azania wstawiamy

je do wyj´sciowego r´ownania (5.9), w kt´orym w miejsce pochodnej x

′

wstawiamy

parametr p. Ostatecznie

= t(p)

x = a (p) t(p) + f (p) .

(5.10)

jest rozwi

azaniem r´ownania (5.9) w postaci parametrycznej.

5.6. Skalarne r´

ownanie r´

o ˙zniczkowe liniowe

n-tego rz

edu

Deﬁnicja 21.

Skalarnym r´ownaniem r´o˙zniczkowym jednorodnym n-tego rz

edu

(SRRLJ) nazywamy r´ownanie

(n)

+ a

n−1

(t)x

(n−1)

+ . . . + a

(t)x

′

+ a

(t)x = 0,

(5.11)

w kt´orym a

(t)

∈ C(I, R), (j = 0, 1, . . . , n − 1), I - przedziaÃl.

Niech

L(t) :=

+ a

n−1

(t)

n−1

+ . . . + a

(t)

+ a

(t),

∈ I,

w´owczas r´ownanie (5.11) mo˙zna zapisa´c w zwi

ezÃlej postaci

L(t)x = 0,

∈ I.

(5.12)

5.6. Skalarne r´

ownanie r´

o˙zniczkowe liniowe

-tego rz

edu

Deﬁnicja 22.

Wro´

nskianem funkcji x

, . . . , x

∈ C

n−1

(I, R) nazywamy funkcj

W (x

, . . . , x

) (t) := det

(k−1)
j

(t)

k = 1, . . . , n
j = 1, . . . , n

(5.13)

Twierdzenie 14.

a) Je´sli wro´

nskian W (x

, . . . , x

) (t

)

6= 0 dla pewnego t

∈ I,

to funkcke x

, . . . , x

a liniowo niezale˙zne.

b) Niech x

, . . . , x

a rozwi

azaniami r´ownania (5.11). Je´sli x

, . . . , x

liniowo niezale˙zne, to ich wro´

nskian W (x

, . . . , x

) (t))

6= 0 dla ka˙zdego t ∈ I.

Dow´

Kolejno udowodnimy obie cz

e´sci twierdzenia.

ad a) (nie wprost)

Przyjmijmy, ˙ze x

, . . . , x

∈ C

n−1

(I, R) s

a liniowo zale˙zne. Zatem istniej

a takie

staÃle C

, . . . , C

∈ R, ˙ze

n
j=1

6= 0 oraz

j=1

(t) = 0 dla t

∈ I.

(5.14)

R´o˙zniczkuj

ac t

e r´owno´s´c sukcesywnie wzgl

edem zmiennej t dostajemy zwi

azek

j=1

(k−1)
j

= 0 k = 1, . . . , n, t

∈ I.

Poniewa˙z W (x

, . . . , x

) (t

)

6= 0, zatem ukÃlad (5.14) ma tylko rozwi

azanie zerowe

= C

= . . . = C

= 0 wbrew zaÃlo˙zeniu.

ad b) (nie wprost) Przypu´s´cmy, ˙ze istnieje taki punkt t

∈ I : W (x

, . . . , x

) (t

) =

0.
PoÃl´o˙zmy

j
k

:= x

(k−1)
j

) ,

j, k

∈ {1, . . . , n} i zdeﬁniujmy macierz A :=

j
k

Niech wektor C = (C

, . . . , C

)

edzie niezerowym rozwi

azaniem ukÃladu

AC = 0.

Takie rozwi

azanie istnieje, gdy˙z

det A = det

j
k

= W (x

, . . . , x

) (t

) = 0.

We´zmy

x = x(t) :=

j=1

(t).

Funkcja ta jest rozwi

azaniem r´ownania (5.11) bo jest kombinacj

a liniow

a rozwi

aza´

(j = 1, . . . , n). Zauwa˙zmy, ˙ze x(t) speÃlnia warunek pocz

atkowy Cauchy’ego:

(k−1)

) =

j=1

k−1

) = 0.

RozdziaÃl 5. Liniowe r´

ownania r´

o˙zniczkowe

Z drugiej strony funkcja staÃla r´owna zero te˙z speÃlnoa powy˙zszy warunek pocz

atkowy

i jest rozwi

azaniem r´ownania (5.11). Wobec jedyno´sci rozwi

azania problemu

pocz

atkowego dla r´ownania (5.11) i wobec liniowej niezale˙zno´sci x

, . . . , x

mamy

= C

= . . . = C

= 0 co przeczy zaÃlo˙zeniu.

c.k.d

Wniosek 1.

Je˙zeli x

, . . . , x

a rozwi

azaniami r´ownania (5.11), to

∀

t∈I

W (x

, . . . , x

) (t) = 0,

lub

∀

t∈I

W (x

, . . . , x

) (t)

6= 0.

Deﬁnicja 23.

Zbi´or

, . . . , x

} liniowo niezale˙znych rozwi

aza´

n szczeg´olnych

r´ownania (5.11) nazywamy fundamentalnym ukÃladem rozwi

aza´

n (SRRLJ) rz

edu

Twierdzenie 15.

Ka˙zde r´ownanie r´o˙zniczkowe liniowe jednorodne rz

edu n-tego

(5.11) ma fundamentalny ukÃlad rozwi

aza´

Dow´

Niech A =

j
k

∈ R

edzie dowoln

a macierz

a nioeosobliw

a i niech

∈ I. Wiadomo, ˙ze r´ownanie (5.11) ma rozwi

azania globalne przy zadanych

warunkach pocz

atkowych Cauchy

ego

(k−1)
j

) = a

j
k

k = 1, . . . , n.

Oznaczmy je symbolami x

, (j = 1, . . . , n). Z konstrukcji tych rozwi

aza´

n wynika,

˙ze

W (x

, . . . , x

) (t

) = det A

6= 0

i wobec poprzedniego twierdzenia rozwi

azania x

, . . . , x

tworz

a fundamentalny

ukÃlad rozwi

aza´

c.k.d

Twierdzenie 16.

Je˙zeli rozwi

azania x

, . . . , x

tworz

a fundamentalny ukÃlad rozwi

aza´

jednorodnego r´ownania r´o˙zniczkowego liniowego rz

edu n (5.11), to rodzina funkcji

x =

j=1

gdzie C

, (j = 1, . . . , n) jest rozwi

azaniem og´olnym tego r´ownania.

Dow´

Nale˙zy pokaza´c, ˙ze dla dowolnego rozwi

azania szczeg´olnego x speÃlniaj

acego

warunek pocz

atkowy Cauchy’ego

(k−1)

) = x

(k = 1, . . . , n)

5.7. Obni˙zanie rz

edu r´

ownania liniowego

istniej

a staÃle

(j = 1, . . . , n)

takie, ˙ze

x =

n
j=1

Rozwa˙zmy ukÃlad r´owna´

j=1

(k−1)
j

) = x

(k = 1, . . . , n).

Macierz tego ukÃladu jest nieosobliwa, bo jej wyznacznik jest r´owny W (x

, . . . , x

) (t

)

0. Niech rozwi

azaniem tego ukÃladu b

edzie wektor e

C =

, . . . , e

. ÃLatwo

zauwa˙zy´c, ˙ze skÃladowe e

tego wektora s

a poszukiwanymi staÃlymi.

c.k.d

5.7. Obni ˙zanie rz

edu r´

ownania liniowego

5.7.1. Wz´

or Liouville’a

Rozwa˙zmy teraz jednorodne r´ownanie r´o˙zniczkowe liniowe (5.11) rz

edu dru-

giego. Mo˙zna pokaza´c nast

epuj

ace twierdzenie Liouville’a:

Twierdzenie 17.

Je´sli x

, x

stanowi

a ukÃlad fundamentalny rozwi

aza´

n jedno-

rodnego r´ownania r´o˙zniczkowego liniowego (5.11) rz

edu drugiego, to

∃

C∈R

W (x

, x

) (t) = C exp

−

(t) dt

Je´sli x

jest znanym rozwi

azaniem r”wnania (5.11), to drugie rozwi

azanie

niezale˙zne mo˙zna znale˙z´c nast

epuj

acym sposobem:

∀

t∈R

(t) x (t)

′

(t) x

′

(t)

¯ 6= 0,

(5.15)

′

− x

′

x = C exp

−

(t) dt

′

− x

′

C exp

−

(t) dt

C exp

−

(t) dt

Z µ

C exp

−

(t) dt

¶¶

dt,

x (t) = x

(t)

µZ µ

(t)

C exp

−

(t) dt

¶¶

dt + C

. (5.16)

RozdziaÃl 5. Liniowe r´

ownania r´

o˙zniczkowe

5.7.2. R´

ownania wy ˙zszych rz

ed´

Druga metoda, bardziej uniwersalna metoda, to zastosowanie podstawienia:

x (t) = x

(t) y (t) .

(5.17)

Ma bowiem miejsce nast

epuj

ace

Twierdzenie 18.

Je˙zeli

x(t)

6= 0

jest rozwi

azanie jednorodnego liniowego

r´ownania r´o˙zniczkowego (5.11) rz

edu n, to po podstawieniu x(t) = e

x(t)y(t) otrzy-

mujemy r´ownanie, kt´orego rz

ad mo˙zna obni˙zy´c do rz

edu n

− 1.

5.8. Niejednorodne r´

ownanie r´

o ˙zniczkowe liniowe

n-tego rz

edu

Deﬁnicja 24.

Niejednorodnym r´ownaniem r´o˙zniczkowym liniowym rz

edu n na-

zywamy r´ownanie postaci

L(t)x = g(t),

(5.18)

gdzie g : R

⊃ I → R jest funkcj

a ci

agÃl

ZaÃl´o˙zmy, ˙ze znamy ukÃlad fundamentalny

, . . . , x

} skojarzonego jednorod-

nego r´ownania r´o˙zniczkowego (5.12). CaÃlk

e szczeg´oln

a r´ownania niejednorodnego

(5.18) znajdziemy metod

a uzmienniania staÃlych (metod

a Lagrange’a).

ZakÃladamy, ˙ze poszukiwane rozwi

azanie jest postaci

x(t) =

j=1

(t)x

(t).

Funkcje C

(t) wyznaczamy rozwi

azuj

ac ukÃlad r´owna´

n r´o˙zniczkowych







(t)

. . .

(t)

′

. . .

′

(t)

...

(n−2)

. . . x

(n−2)

(t)

(n−1)

. . . x

(n−1)

(t)













′

(t)

′

(t)

...

′

n−1

(t)

′

(t)













0
0

...

g(t)







Rozwi

azuj

ac powy˙zszy ukÃlad dostajemy n r´owna´

n o zmiennych rozdzielonych

′

(t) = F

(t) (j = 1, . . . , n),

gdzie funkcje F

a okre´slone wzorami Cramera.

Twierdzenie 19.

(Zasada superpozycji) Je´sli funkcja x

(t) jest rozwi

azaniem

r´ownania L(t)x = g

(t), a x

(t) rozwi

azaniem L(t)x = g

(t), to x

(t) + x

(t) jest

rozwi

azaniem r´ownania L(t)x = g

+ g

(t).

Uzasadnienie tego faktu zostanie przedstawiony przy omawianiu metody uzmien-

niania staÃlych dla ukÃladu r´owna´

n r´o˙zniczkowych liniowych.

5.9. R´

ownanie liniowe n-tego rz

edu o staÃlych wsp´

oÃlczynnikach

5.9. R´

ownanie liniowe

n-tego rz

edu o staÃlych

wsp´

oÃlczynnikach

Rozwa˙zamy r´ownanie postaci

(n)

+ a

n−1

(n−1)

+ . . . + a

′

+ a

x = 0,

(5.19)

w kt´orym a

∈ R, (j = 0, 1, . . . , n − 1). Niech

L :=

+ a

n−1

+ . . . + a

+ a

w´owczas r´ownanie (5.19) mo˙zna zapisa´c kr´otko

Lx = 0.

(5.20)

Przewidujemy rozwi

azanie r´ownania (5.19) w postaci x(t) = e

λt

, gdzie λ

∈ C.

Po wsrawieniu pochodnych x

(j)

(t) = λ

λt

do (5.19) i wydzieleniu przez e

λt

do-

stajemy:

+ a

n−1

+ . . . + a

= 0.

(5.21)

Wniosek 2.

Funkcja x(t) = e

λt

jest rozwi

azaniem r´ownania r´o˙zniczkowego (5.19)

wtedy i tylko wtedy, gdy λ jest pierwiastkiem r´ownania (5.21) zwanego r´ownaniem
charakterystycznym

Uwaga 2.

Funkcja zespolona x(t) jest rozwi

azaniem r´ownania r´o˙zniczkowego

(5.19) wtedy i tylko wtedy, gdy

ℜe x(t) oraz ℑm x(t) s

a rozwi

azaniami tego r´ownania.

Niech λ

, . . . , λ

∈ C b

a wszystkimi pierwiastkami r´ownania charaktery-

stycznego (5.21), przy czym pierwiastek k-krotny wyst

epuje w tym ci

agu k razy.

Funkcje x

(t) = e

maj

a wro´

nskian

W (x

, . . . , x

) (t) = e

(λ

+...+λ

. . . 1

. . . λ

2
1

2
2

. . . λ

2
n

...

n−1

. . . λ

n−1

= e

(λ

+...+λ

k=1

j=k+1

(λ

− λ

) .

Macierz wyznacznika wyst

epuj

acego w ostatnim wzorze nasi nazw

e macierzy Van-

dermonde’a.

Mog

a zaistnie´c cztery przypadki:

1. Wielomian charakterystyczny ma n r´o˙znych pierwiastk´ow rzeczywistych tj.:

∀

i∈{1,...,n}

∈ R oraz

∀

i,j∈{1,...,n}

6= j ⇒ λ

6= λ

RozdziaÃl 5. Liniowe r´

ownania r´

o˙zniczkowe

Wtedy ∀

t∈R

W (x

, . . . , x

) (t)

6= 0, zatem rodzina funkcji

x(t) =

j=1

jest caÃlk

a og´oln

a r´ownania (5.19).

2. Wielomian charakterystyczny ma n r´o˙znych pierwiastk´ow, ale nie wszystkie

pierwiastki s

a rzeczywiste tj.:

∀

i∈{1,...,n}

∈ C oraz

∀

i,j∈{1,...,n}

6= j ⇒ λ

6= λ

Niech np. λ

= a + ib b

edzie jednym z pierwiastk´ow zespolonych. Po-

niewa˙z wielomian charakterystyczny (5.21) ma wsp´oÃlczynniki rzeczywiste, za-
tem r´ownie˙z λ

= a

− ib musi by´c pierwiastkiem tego wielomianu. Mo˙zna

bez szkody dla og´olno´sci przyj

a´c, ˙ze jest to kolejny pierwiastek na li´scie pier-

wiastk´ow tj. λ

m+1

= λ

. Par

e liniowo niezale˙znych rozwi

aza´

n zespolonych

(t) = e

m+1

= e

zast

epujemy par

a liniowo niezale˙znych rozwi

aza´

n rzeczywistych

(t) =

ℜe e

= e

cos(bt),

m+1

(t) =

ℑm e

= e

sin(bt).

3. Wielomian charakterystyczny (5.21) ma wszystkie pierwiastki rzeczywiste, ale

a w´sr´od nich pierwiastki wielokrotne. W tej sytuacji W

, . . . , e

= 0.

Niech λ

∈ R b

edzie pierwiastkiem krotno´sci k > 1. W´owczas funkcje

= e

, t

, . . . , t

k−1

a liniowo niezale˙zne, ponadto ka˙zda z nich jest rozwi

azaniem (5.19). Jak

Ãlatwo bowiem sprawdzi´c bezpo´srednim rachunkiem

− λ

λt

= st

s−1

λt

ad wniosek, ˙ze je´sli λ jest pierwiastkiem k krotnym i s

≤ k − 1, to

− λ

λt

= 0.

5.10. Metoda przewidywa´

W przypadku niejednorodnego r´ownania r´o˙zniczkowego rz

edu n o staÃlych

wsp´oÃlczynnikach

(n)

+ a

n−1

(n−1)

+ . . . + a

′

+ a

x = g(t),

(5.22)

5.11. UkÃlad skalarnych r´

owna´

n r´

o˙zniczkowych liniowych rz

edu pierwszego

mo˙zliwe jest skonstruowanie caÃlki szczeg´olnej tego r´ownania, je´sli

g(t) = e

(t) cos bt + q

(t) sin bt) ,

gdzie p

i q

a wielomianami odpowiednio stopnia k i m. Rozwi

azanie szczeg´olne

przewidujemy w postaci

x(t) = e

(t) cos bt + s

(t) sin bt) ,

gdzie:
— p jest krotno´sci

a pierwiastka a + ib wielomianu charakterystycznego r´ownania

jednorodnego skojarzonego z (5.22); gdy a+ib nie jest pierwiastkiem, to p = 0,

— l = max

{k, l},

— r

, s

wielomiany stopnia l.

Wsp´oÃlczynniki wielomian´ow r

, s

dobieramy metod

a wsp´oÃlczynnik´ow nieozna-

czonych.

5.11. UkÃlad skalarnych r´

owna´

n r´

o ˙zniczkowych liniowych

edu pierwszego

Rozwa˙zamy ukÃlad r´owna´

n r´o˙zniczkowych rz

edu pierwszego postaci

′

(t) =

k=1

(t)x

(t) + g

(t) (j = 1, . . . , n),

(5.23)

czyli

′

(t) = A(t)x(t) + g(t),

(5.24)

gdzie

x(t) =







(t)

...

(t)





 ,

A(t) =







(t) . . . a

(t)

...

(t) . . . a

(t)





 ,

g(t) =







(t)

...

(t)





 .

Przyjmujemy zaÃlo˙zenia regularno´sciowe takie jak w teorii dotycz

acej zagadnie´

liniowych. W tym przypadku oznacza to, ˙ze

∀

j,k∈{1,...,n}

∋ t → g

(t),

∋ t → a

(t)

∈ C (I, R)

∀

j∈{1,...,n}

∋ t → x

(t)

∈ C

(I, R) ,

gdzie I

⊂ R jest przedziaÃlem.

Niech M

∈ R

n×n

. Deﬁniujemy

:= I

:= M

· M

j−1

RozdziaÃl 5. Liniowe r´

ownania r´

o˙zniczkowe

oraz

∞

k=0

Szereg ten jest zbie˙zny w R

dla ka˙zdej macierzy M . Wynika to st

ad, ˙ze wobec

oszacowania

°M

° =

°M · M

k−1

° ≤ kMk

°M

k−1

° ≤ kMk

mamy nier´owno´s´c

∞

k=0

°M

≤

∞

k=0

kMk

Szereg

∞
k=0

kMk

jest zbie˙zny, a zatem szereg

∞
k=0

jest zbie˙zny, gdzy˙z

w przestrzeniach Banacha zachodzi twierdzenie, ˙ze szereg kt´ory jest zbie˙zny
wzgl

edem normy (czyli jezt zbie˙zny bezwzgl

ednie) jest zbie˙zny.

Twierdzenie 20.

Je´sli macierze M, N

∈ R

n×n

a przemienne, to znaczy gdy

M N = N M , to e

M +N

= e

Wniosek 3.

Dla dowolnej macierzy M

∈ R

n×n

−1

= e

−M

Dow´

od.

Macierze M i

−M s

a przemienne, a zatem e

−M

= e

M −M

= e

= I.

Mno˙z

ac ten zwi

azek lewostronnie przez

−1

dostajemy tez

c.k.d.

Niech A(t) =

(t)

j,k=1,...,n

. Wprowadzamy oznaczenie

A(t) dt :=

µZ

(t) dt

j,k=1,...,n

Twierdzenie 21.

Je´sli macierze A(t) i

A(t) dt s

a przemienne, to funkcja

x(t) := e

A(t) dt

(5.25)

gdzie C = (C

, . . . , C

)

∈ R

jest rozwi

azaniem jednorodnego ukÃladu r´owna´

r´o˙zniczkowych liniowych rz

edu pierwszego

′

(t) = A(t)x(t).

(5.26)

Dow´

od.

Policzmy:

′

(t) =

A(t) dt

′

A(t) dt

′

C =

∞

k=0

¡R

A(t) dt

′

C =

∞

k=1

¡R

A(t) dt

k−1

¡R

A(t)dt

′

C =

∞

k=1

¡R

A(t) dt

k−1

A(t)

− 1)!

C =

= A(t)

∞

k=0

¡R

A(t) dt

C = A(t)e

A(t)

C = A(t)x(t).

5.11. UkÃlad skalarnych r´

owna´

n r´

o˙zniczkowych liniowych rz

edu pierwszego

c.k.d.

Wz´or (5.25) ma niewielkie znaczenie praktyczne, gdy macierz ukÃladu A(t)

zale˙zy istotnie od zmiennej t.

Uwaga 3.

Je´sli macierz ukÃladu (5.26) jest staÃla tj. A(t) = A, to

A(t) dt =

A dt = tA, a zatem macierze A i

A dt = tA s

a przemienne. W konsekwencji

rozwi

azaniem ukÃladu

′

= Ax

jest funkcja

x(t) = e

Jak si

e dalej oka˙ze efektywne obliczenie macierzy e

edzie mo˙zliwe.

W podobny spos´ob jak przedstawiony powy˙zej, mo˙zna pokaza´c, ˙ze funkcja

x(t) = e

A(t) dt

−

A(t) dt

g(t) dt + e

A(t) dt

∈ R

jest rozwi

azaniem og´olnym niejednorodnego ukÃladu (5.24). Wektor C dla rozwi

azania

speÃlniaj

acego warunek pocz

atkowy Cauchy’ego x (t

) =

x ma posta´c:

C = e

−

A(t) dt 0

x −

−

A(t) dt

g(t) dt.

Twierdzenie 22.

Niech funkcje x

∈ C

(I, R) (j, k = 1, . . . , n), niech x

ozna-

cza wektor x

, . . . , x

i niech

, . . . , x

(t) := det

³¡

(t)

j,k=1,...,n

a) Je´sli D (x

, . . . , x

) (t)

6= 0 dla pewnego t

∈ I, to x

, . . . , x

a liniowo

niezale˙zne.

b) Je´sli x

, . . . , x

a liniowo niezale˙znymi rozwi

azaniami jednorodnego ukÃladu

(5.26), to

∀

t∈I

D (x

, . . . , x

) (t)

6= 0.

Dow´

od.

Ad a). (Nie wprost) Przyjmijmy, ˙ze x

, . . . , x

liniowo zale˙zne tzn.

istniej

a takie staÃle C

, . . . , C

, ˙ze

n
k=1

6= 0 oraz ∀

t∈I

n
k=1

(t) = 0.

To jednak oznacza, ˙ze det

³¡

(t)

j,k=1,...,n

= D (x

, . . . , x

) (t

) = 0, wbrew

zaÃlo˙zeniu.

Ad b). (Nie wprost) Dla dowodu nie wprost przyjmijemy, ˙ze D (x

, . . . , x

) (t

) =

0 dla pewnego t

∈ I. Niech wektor (C

, . . . , C

)

edzie niezerowym rozwi

azaniem

ukÃladu







) , . . . x

)

...

) , . . . x

)





 ·







...





 =







...





 .

RozdziaÃl 5. Liniowe r´

ownania r´

o˙zniczkowe

Zdeﬁniujmy funkcj

e x(t) jako

x(t) :=

k=1

(t),

∈ I.

Jako kombinacja liniowa rozwi

aza´

n x

funkcja x jest rozwi

azaniem ukÃladu (5.24).

Ponadto speÃlnia ona warunek pocz

atkowy Cauchy’ego

x (t

) = 0.

Funkcja y(t)

≡ 0 jest r´ownie˙z rozwi

azaniem ukÃladu (5.24) speÃlniaj

acym ten sam

warunek pocz

atkowy. Wobec jednoznaczno´sci rozwi

azania funkcje te musz

a by´c

r´owne, czyli x = 0. Oznacza to jednak wbrew zaÃlo˙zeniu, ˙ze funkcje x

, . . . , x

liniowo zale˙zne.

c.k.d.

Uwaga 4.

Je˙zeli x

, . . . , x

a rozwi

azaniami ukÃladu (5.26), to

∀

t∈I

, . . . , x

(t) = 0,

lub

∀

t∈I

, . . . , x

(t)

6= 0.

Deﬁnicja 25.

Zbi´or

, . . . , x

} liniowo niezale˙znych rozwi

aza´

n ukÃladu (5.26)

nazywamy fundamentalnym ukÃladem rozwi

aza´

Twierdzenie 23.

Ka˙zdy jednorodny ukÃlad r´owna´

n r´o˙zniczkowych liniowych ma

fundamentalny ukÃlad rozwi

aza´

n i je´sli funkcje x

, . . . , x

tworz

a fundamentalny

ukÃlad rozwi

aza´

n, to rodzina odwzorowa´

n x(t) =

n
k=1

(t), gdzie C

∈ R jest

rozwi

azaniem og´olnym tego ukÃladu.

Je´sli

, . . . , x

} tworz

a fundamentalny ukÃlad rozwi

aza´

n (5.26), to caÃlk

szczeg´oln

a niejednorodnego ukÃladu (5.24) znajdujemy metod

a uzmienniania staÃlych.

Przewidujemy j

a w postaci

x(t) :=

k=1

(t)x

(t).

Dalej mamy x

′

(t) :=

n
k=1

′

(t)x

(t) +

n
k=1

(t)

′

(t) i po wstawieniu do

r´ownania otrzymujemy:

k=1

′

(t)x

(t) +

k=1

(t)

′

(t) = A(t)

k=1

(t)x

(t) + g(t),

czyli

k=1

′

(t)x

(t) = g(t),

5.12. UkÃlady r´

owna´

n liniowych o staÃlych

wsp´

oÃlczynnikach

to jest







(t) x

(t)

· · · x

(t)

(t) x

(t)

· · · x

(t)

...

(t) x

(t)

· · · x

(t)













′

(t)

′

(t)

...
C

′

(t)













(t)

...
g

(t)







Poniewa˙z dla wszystkich t

∈ I :

D (x

, . . . , x

) (t)

6= 0, st

ad powy˙zszy ukÃlad

ma dokÃladnie jedno rozwi

azanie okre´slone wzorami Cramera

′

(t) = p

(t) (k = 1, . . . , n).

Ka˙zde z tych r´owna´

n jest r´ownaniem o zmiennych rozdzielonych zatem

(t) =

(t) dt + M

gdzie M

∈ R, (k = 1, . . . , n).

Ostatecznie

x(t) =

k=1

(t) +

k=1

µZ

(t) dt

(t).

5.12. UkÃlady r´

owna´

n liniowych o staÃlych

wsp´

oÃlczynnikach

ZakÃladamy teraz, ˙ze macierz ukÃladu (5.26) jest macierz

a staÃl

a tj. a

(t)

≡ a

∈

. Jak wiadomo z wcze´sniejszych rozwa˙za´

n, rozwi

azanie tego ukÃladu jest postaci

x(t) = e

gdzie C

∈ R

5.12.1. Metoda warto´

sci i wektor´

ow wÃlasnych

Je´sli w

6= 0 jest wektorem wÃlasnym macierzy A tj. istnieje λ ∈ C :

Aw = λw

i we´zmiemy x(t) = y(t)

· w, gdzie y(t) ∈ C

(R, R), to po podstawieniu x do

r´ownania (5.26) dostajemy y

′

(t)w = λy(t)w co daje (y

′

(t)

− λy(t)) w = 0. Wobec

6= 0 mamy y

′

(t) = λy(t) r´ownanie o zmiennych rozdzielonych z rozwi

azaniem

y(t) = Ce

λt

∈ R.

Jak wiadomo zbi´or rozwi

aza´

n ukÃladu (5.26) jest przestrzeni

a wektorow

a n-wymiarow

Poszukujemy zatem fundamentalnego ukÃladu rozwi

aza´

n. Mo˙zemy rozwa˙zy´c przy-

padki:
1. Ka˙zdej warto´sci wÃlasnej λ

o krotno´sci k

odpowiada k

liniowo niezale˙znych

wektor´ow wÃlasnych w

j,1

, . . . , w

j,k

macierzy A

(j = 1, . . . , p,

+ k

. . . + k

= n). Poniewa˙z wektory wÃlasne odpowiadaj

ace r´o˙znym warto´sciom

wÃlasnym s

a liniowo niezale˙zne, wi

ec dla

j,s

(t) := e

j,s

(s = 1, . . . , k

, j = 1, . . . , p)

RozdziaÃl 5. Liniowe r´

ownania r´

o˙zniczkowe

wyznacznik

1,1

, . . . , x

p,k

(t) = e

+...+k

det

j,s

6= 0,

gdzie i = 1, . . . , n, s = 1, . . . , k

, j = 1, . . . , p. W konsekwencji funkcje x

j,s

tworz

a fundamentalny ukÃlad rozwi

aza´

Je´sli warto´s´c wÃlasna i wektor wÃlasny s

a zespolone tj. np. λ

= λ

= λ i w =

u+iv = (u

+ iv

, . . . , u

+ iv

)

jest wektorem wÃlasnym odpowiadaj

acym λ

i w = u

− iv = (u

− iv

, . . . , u

− iv

)

wektorem wÃlasnym odpowiadaj

acym

, to poniewa˙z r´owno´s´c Aw = λw poci

aga r´owno´s´c Aw = Aw = Aw = λw =

λw, zatem zamiast zespolonych rozwi

aza´

= e

bierzemy

ℜe y

= e

tℜe λ

(u cos (t

ℑm λ) − v sin (tℑm λ)) ,

ℑm y

= e

tℜe λ

(u sin (t

ℑm λ) + v cos (tℑm λ)) .

2. Niech warto´sci wÃlasnej np. λ

= λ o krotno´sci k odpowiada tylko r liniowo

niezale˙znych wektor´ow wÃlasnych, gdzie r < k. Tak jest wtedy, gdy

ad (A

− λI) = n − r > n − k.

Poszukujemy rozwi

azania og´olnego odpowiadaj

acego warto´sci wÃlasnej λ po-

staci

x(t) = e

λt

P (t),

gdzie P (t) = (P

(t), . . . , P

(t))

i P

jest wielomianem stopnia k

− 1, j =

1, . . . , n przy czym w rozwi

azaniu og´olnym powinno wyst

api´c k staÃlych do-

wolnych.

3. Rozwi

azanie og´olne ukÃladu (5.26) jest sum

a rozwi

aza´

n szczeg´olnych odpowia-

daj

acych poszczeg´olnym warto´sciom wÃlasnym.

5.12.2. Sprowadzanie macierzy ukÃladu do postaci Jordana

Przypadek szczeg´

olny

Je´sli A jest diagonalizowaln

a rzeczywist

a macierz

wymiaru n, tj. istnieje macierz podobie´

nstwa P taka, ˙ze P

−1

AP = D, gdzie

D jest macierz

a diagonaln

a, to podstawiaj

ac x = P y sprowadzamy ukÃlad x

′

(t) =

Ax(t),

∈ I

(

∈ topR) do postaci y

′

(t) = Dy(t), kt´orego rozwi

azaniem jest

y(t) = e

C =







...





 ,

5.12. UkÃlady r´

owna´

n liniowych o staÃlych

wsp´

oÃlczynnikach

a zatem

x (t) = P







...





 .

W sczeg´olno´sci, je´sli macierz A ma n r´o˙znych warto´sci wÃlasnych λ

(i = 1, . . . , n),

to jest diagonalizowalna i D = diag

{λ

, . . . , λ

}. Wtedy te˙z macierz podo-

bie´

nstwa P jest r´owna

P = (v

, . . . , v

) ,

gdzie v

jest wektorem wÃlasnym odpowiadaj

acym warto´sci wÃlasnej λ

(i = 1, . . . , n).

Przypadek og´

olny

Niech A b

edzie dan

a rzeczywist

a macierz

a kwadratow

wymiaru n. Niech λ

(r = 1, . . . , q) b

a warto´sciami wÃlasnymi tej macie-

rzy, przy czym przyjmujemy, ˙ze warto´s´c wÃlasna λ

ma krotno´s´c k

. Oczywi´scie

q
r=1

= n. Niech P b

edzie tak

a macierz

a nieosobliw

a, ˙ze macierz

J =

−1

jest macierz

a Jordana, tzn.

J =







· · · 0

...

. ..

...

1i(1)

...

. ..

...

. .. ...

· · · 0

· · · J

q,i(q)







gdzie







· · · 0

...

. .. ... ...

· · · λ

· · · 1







lub

= (λ

)

(macierze J

nazywamy klatkami Jordana). Oznaczmy przez k

liczb

e wierszy i

kolumn macierzy J

. Obliczaj

ac wielomian charakterystyczny macierzy J, r´owny

wielomianowi charakterystycznemu macierzy A Ãlatwo mo˙zna si

e przekona´c, ˙ze

maj

a miejsce nast

epuj

ace r´owno´sci:

i(r)

j=1

(r = 1, . . . , q) .

Liczby k

mo˙zna wyznaczy´c np. metod

a przedstawion

a w [6].

RozdziaÃl 5. Liniowe r´

ownania r´

o˙zniczkowe

Niech D

(λ) oznacza najwi

ekszy wsp´olny dzielnik wszystkich minor´ow stop-

nia m macierzy A

− λI. Mo˙zna pokaza´c, ˙ze D

(λ) dzieli si

e przez D

m−1

(λ).

Zatem z dokÃladno´sci

a do czynnika a, takiego ˙ze

|a| = 1:

(λ) = (λ

− λ

)

(λ

− λ

)

. . . (λ

− λ

)

n−1

(λ) = (λ

− λ

)

(λ

− λ

)

. . . (λ

− λ

)

. . .

........................................................

(λ) = (λ

− λ

)

(λ

− λ

)

. . . (λ

− λ

)

przy czym u

≥ u

≥ . . . ≥ u

co mo˙zna zapisa´c kr´otko u

≥ u

dla k

≤ j . Nie wykluczamy przypadku, gdy pewne u

= 0. W tym przypadku

jednak u

= 0 dla wszystkich j

≥ k. Przy tych oznaczeniach:

= u

− u

= u

− u

, . . . ,

= u

− u

i,j+1

, . . .

Mamy w´owczas i (r) = max

{j :

6= 0}.

Je˙zeli k

= 1 dla pewnego m, to i (m) = 1 oraz J

= (λ

) jest macierz

wymiaru 1

× 1. Bez straty og´olno´sci mo˙zemy przyj

a´c, ˙ze je´sli istniej

a pierwiastki

jednokrotne, to maj

a one kolejne numery rozpoczynaj

ace si

e od 1. Macierz Jor-

dana J jest wi

ec postaci







· · · 0

... ... ...

...

p+1,1

... ...

. .. ...

· · · 0

· · · J

q,i(q)







Dowodzi si

e, ˙ze je´sli

A = P JP

−1

= P e

−1

Z kolei







· · · 0

...

. ..

...

p+1,1

...

. .. ...

· · ·

· · · e

q,i(q)







gdzie λ

, . . . , λ

a jednokrotnymi pierwiastkami wielomianu charakterystycznego.

5.12. UkÃlady r´

owna´

n liniowych o staÃlych

wsp´

oÃlczynnikach

Niech J

wymiaru k

edzie jedn

a z klatek Jordana odpowiadaj

acych warto´sci

wÃlasnej λ

o krotno´sci k

. Wprost z deﬁnicji mo˙zna pokaza´c, ˙ze

= e







· · · 0

...

. .. ...

krj −1

−1)!

krj −2

−2)!

· · · 1







Niech P b

edzie macierz

a sprowadzaj

a macierz A do postaci Jordana tj. J =

−1

AP . Ostatni zwi

azek jest r´ownowa˙zny r´owno´sci P J = AP . Wprowadzaj

now

a funkcj

e niewiadom

a y (t) okre´slon

a r´owno´sci

x(t) = P y(t),

sprowadzamy ostatni URRLJ do r´ownowa˙znego ukÃladu

′

(t) = Jy(t),

kt´orego rozwi

azaniem og´olnym jest funkcja

y(t) = e

C, C

∈ R

Tak wi

ec rozwi

azaniem og´olnym wyj´sciowego URRLJ jest funkcja

x(t) = P e

C, C

∈ R

PrzykÃlad 5.

Rozwa˙zmy ukÃlad r´owna´

′

(t) =





1 1 2
0 1 1
0 0 2



 x (t)

Jak Ãlatwo sprawdzi´c λ

= 1,

= 2

= 2,

= 1

P =





1 1 3
1 0 1
0 0 1





J =





1 0 0
1 1 0
0 0 2





Stosuj

ac standardowe podstawienie x (t) = P y (t) rozwi

azujemy ukÃlad r´owna´

′

(t) = Jy(t). Jego rozwi

azaniem jest

y(t) = e

C =



 e

1 0

t 1











 =





0 e











 ,

RozdziaÃl 5. Liniowe r´

ownania r´

o˙zniczkowe

zatem

x(t) =





1 1 3
1 0 1
0 0 1









0 e











 =





(1 + t) e











 .

5.13. R´

ownanie ruchu harmonicznego

R´ownanie ruchu pod dziaÃlaniem siÃly elastycznej, tj. r´ownanie ruchu harmo-

nicznego jest opisane r´ownaniem r´o˙zniczkowym wektorowym:

−k

gdzie r = r (t) = (x (t) , y (t) , z (t)). Podstawiaj

ac ω =

√

dostajemy ukÃlad

separowanych r´owna´

n skalarnych:







x +ω

x = 0

y +ω

y = 0

z +ω

z = 0

CaÃlka og´olna pierwszego z nich ma posta´c:

x (t) = C

sin ωt + C

cos ωt = A sin (ωt + γ) ,

gdzie A =

+ C

, γ = arctan (C

). ÃLatwo zauwa˙zy´c, ˙ze rozwi

azanie x (t)

jest okresowe o okresie T =

2π

. StaÃl

a ω nazywamy cz

esto´sci

a koÃlow

a lub pulsacj

ν =

esto´sci

a, ωt + γ faz

a, za´s γ staÃl

a fazow

Je˙zeli na punkt materialny opr´ocz siÃly elastycznej

−k

x dziaÃla dodatkowa siÃla

−ρ

(ρ > 0), to otrzymujemy drgania tÃlumione.

RozdziaÃl 6

Rozwi

azania w postaci szereg´

funkcyjnych

Jak wiadomo nie zawsze mo˙zna efektywnie rozwi

aza´c r´ownanie r´o˙zniczkowe,

nie zawsze mo˙zna otrzyma´c rozwi

azanie przez sko´

nczon

a liczb

e kwadratur. Cza-

sami trzeba si

egn

a´c do sposob´ow bardziej wyraﬁnowanych - jednym z nich jest

wyra˙zenie rozwi

azania w postaci szeregu funkcyjnego. Poni˙zej om´owione s

a dwa

przypadki takiego post

epowania.

6.1. Rozwi

azania w postaci szereg´

ow pot

egowych

Niech b

edzie dane zagadnienie pocz

atkowe Cauchy’ego

′

= f (t, x)

∈ I) ,

x (t

) = x

gdzie I

⊂ R przedziaÃl, taki ˙ze t

∈

◦

I, x : I

∋ t → x(t) ∈ U ⊂ R, U zbi´or

otwarty w R, x

∈ U. Twierdzenie Cauchy-Kowalewskiej orzeka, ˙ze je´sli funkcja

f : I

× U → R jest analityczna w otoczeniu punktu (t

, x

), to istnieje dokÃladnie

jedno analityczne rozwi

azanie tego r´ownania w pewnym otoczeniu punktu t

RozdziaÃl 6. Rozwi

azania w postaci szereg´

ow funkcyjnych

6.1.1. UkÃlad r´

owna´

n liniowych rz

edu pierwszego o staÃlych

wsp´

oÃlczynnikach

Rozwa˙zamy ukÃlad r´owna´

n r´o˙zniczkowych rz

edu pierwszego (5.23) o staÃlych

wsp´oÃlczynnikach czyli ukÃlad postaci

′

(t) =

k=1

(t) + g

(t) (j = 1, . . . , n).

(6.1)

Przyjmijmy, ˙ze

(t) =

∞

ν=0

jν

− t

)

(j = 1, . . . , n).

Szukamy rozwi

azania x : R

⊃ I → R

, kt´orego wszystkie skÃladowe s

a szeregami

pot

egowymi o ´srodku w punkcie t

(t) =

∞

ν=0

jν

− t

)

(j = 1, . . . , n).

Podstawiaj

ac szeregi g

(t), x

(t) i

′

(t) =

∞

ν=0

(ν + 1)b

j,ν+1

− t

)

(j=1,. . . ,n) do r´ownania (6.1), przegrupowuj

ac wyrazy i korzystaj

ac z deﬁnicji

r´owno´sci szereg´ow pot

egowych dostajemy zwi

azki rekurencyjne na wsp´oÃlczynniki

szereg´ow x

(t):

j,ν+1

ν + 1

k=1

kν

+ c

jν

(6.2)

Wsp´oÃlczynniki b

a wyznaczone przez warunek pocz

atkowy Cauchy’ego.

Je´sli g

(t)

≡ 0, czyli ukÃlad (6.1) jest jednorodny, to wyznaczaj

ac kolejno

n rozwi

aza´

n ukÃladu (6.1) z warunkiem pocz

atkowym x(t

) = e

, gdzie e

jest

wersorem i-tej osi, otrzymujemy fundamentalny ukÃlad rozwi

aza´

6.1.2. Skalarne r´

ownania r´

o ˙zniczkowe rz

edu pierwszego i drugiego

Nieliniowe r´

ownanie r´

o ˙zniczkowe rz

edu drugiego

Rozwa˙zmy przypadek szczeg´olny, r´ownanie skalarne postaci:

′′

= w(g(t), x, x

′

)

∈ (t

, T )

x (t

) = x

′

) = x

gdzie w(p

, p

) jest wielomianem stopnia co najwy˙zej drugiego

w(p

, p

) = a

i=1

i,j=1

i<=j

6.1. Rozwi

azania w postaci szereg´

ow pot

egowych

o wsp´oÃlczynnikach rzeczywistych, a g jest funkcj

a analityczn

a w otoczeniu punktu

. Przyjmijmy, ˙ze funkcja g ma rozwini

ecie w szereg pot

egowy

g(t) =

∞

k=0

− t

)

a szukana funkcja x(t) rozwini

ecie

x(t) =

∞

k=0

− t

)

Pierwsza i druga pochodna funkcji szukanej maj

a zatem rozwini

ecia

′

(t) =

∞

k=0

(k + 1)c

k+1

− t

)

′′

(t) =

∞

k=0

(k + 2)(k + 1)c

k+2

− t

)

Iloczyny

g(t)g(t),

g(t)x(t),

g(t)x

′

(t),

x(t)x(t),

x(t)x

′

(t),

′

(t)x

′

(t)

po prawej stronie r´ownania r´o˙zniczkowego s

a iloczynami Cauchy’ego:

∞

k=0

− t

)

! Ã

∞

k=0

− t

)

∞

k=0

j=0

k−j

− t

)

Ostatecznie dostajemy r´owno´s´c dw´och szereg´ow pot

egowych:

∞
k=0

(k + 2)(k + 1)c

k+2

− t

)

∞
k=0

((δ

+ a

(k + 1)c

k+1

) +

k
j=0

k−j

+ a

k−j

+ a

(k + 1

− j)g

k+1−j

+ a

k−j

+ a

(k + 1

− j)c

k+1−j

+ a

(j + 1)(k + 1

− j)c

j+1

k+1−j

)) (t

− t

)

kt´ora przez por´ownanie wsp´oÃlczynnik´ow przy tych samych pot

egach (t

− t

) pro-

wadzi do niesko´

nczonego ukÃladu r´owna´

n algebraicznych o niewiadomych

∈

Uwzgl

edniaj

ac warunki pocz

atkowe mamy

= x

Kolejne wsp´olczynniki c

mo˙zna wyznaczy´c rekurencyjnie:

k+2

(k + 1)(k + 2)

+ a

+ (k + 1)a

k+1

j=0

∈ N),

gdzie

:= a

k−j

+ c

k−j

+ a

) +

+(k + 1

− j)c

k+1−j

+ a

+ (j + 1)a

j+1

) ,

a δ

jest delt

a Kroneckera.

RozdziaÃl 6. Rozwi

azania w postaci szereg´

ow funkcyjnych

Jednorodne liniowe r´

ownanie r´

o ˙zniczkowe rz

edu drugiego

Wyznaczenie rozwi

azania r´ownania liniowego jednorodnego rz

edu drugiego

′′

+ p(t)x

′

+ q(t)x = 0

∈ (t

, T )

x (t

) = x

′

) = x

ze wsp´oÃlczynnikami p(t), q(t) analitycznymi w otoczeniu punktu t

wygl

ada po-

dobnie do przedstawionego powy˙zej. Je´sli

p(t) =

∞

k=0

− t

)

q(t) =

∞

k=0

− t

)

to r´ownanie rekurencyjne na wsp´oÃlczynniki c

ma posta´c:

k+2

−

(k + 1)(k + 2)

j=0

((j + 1)a

k−j

j+1

+ b

k−j

)

∈ N),

(Punkt t

, w otoczeniu kt´orego wsp´oÃlczynniki r´ownania liniowego jednorodnego

a funkcjami analitycznymi, nazywamy punktem nieosobliwym tego r´ownania.)

Bior

ac kolejno dwa warunki pocz

atkowe Cauchy’ego x (t

) = x

, x

′

) = x

oraz x (t

) = x

, x

′

) = x

takie, ˙ze det

6= 0, mo˙zna wygenerowa´c

dwa liniowo niezale˙zne rozwi

azania tego r´ownania i jego rozwi

azanie og´olne. Naj-

pro´sciej przyj

a´c x

= 1, x

= 0 oraz x

= 0 i x

= 1.

Specjalne r´

ownanie Riccatiego

Jeszcze jednym przykÃladem niech b

edzie spos´ob wyznaczenia rozwi

azania spe-

cjalnego r´ownania Riccatiego x

′

(t) = ax

(t) + bt

z warunkiem pocz

atkowym

Caychy’ego x(0) = x

, gdzie a, b

∈ R, n ∈ N. Dla prostoty przyjmijmy

n = 2. Post

epowanie takie jak wy˙zej prowadzi do wzor´ow rekurencyjnych na

wsp´olczynniki rozwi

azania x(t) =

∞
k=0

= x

= ac

1
3

+ c

1
3

ν+1

ν + 1

k=0

ν−k

ν = 3, 4, 5, . . . .

6.2. R´

ownania r´

o ˙zniczkowe liniowe rz

edu drugiego –

szeregi Frobeniusa

Niech b

edzie dane liniowe r´ownanie r´o˙zniczkowe rz

edu drugiego

′′

+ p(t)x

′

+ q(t)x = 0

∈ I) ,

6.2. R´

ownania r´

o˙zniczkowe liniowe rz

edu drugiego – szeregi Frobeniusa

gdzie I

⊂ R przedziaÃl, taki ˙ze t

∈

◦

I, x : I

∋ t → x(t) ∈ U ⊂ R, U ∈ topR.

Wiadomo, ˙ze zbi´or rozwi

aza´

n r´ownania jednorodnego jest przestrzeni

a wek-

torow

a dwuwymiarow

a. W przypadku, gdy p(t) = const, q(t) = const, w pro-

sty i znany spos´ob mo˙zna wypisa´c wzory dw´och liniowo niezale˙znych rozwi

aza´

tego r´ownania i w konsekwencji dla zadanego warunku pocz

atkowego Cauchy’ego

wyznaczy´c rozwi

azanie problemu pocz

atkowego. Gdy t

jest punktem nieosobli-

wym r´ownania tj. p(t), q(t) s

a funkcjami analitycznymi w otoczeniu punktu t

to mo˙zna wyznaczy´c rozwi

azanie tego problemu w postaci szeregu pot

egowego

o ´srodku w punkcie t

, jak to zostaÃlo pokr´otce opisane powy˙zej, a tak˙ze wy-

znaczy´c dwa szeregi pot

egowe, kt´orych sumy s

a dwoma liniowo niezale˙znymi

rozwi

azaniami r´ownania jednorodnego. Gdy funkcje p(t), q(t) nie s

a analityczne

w otoczeniu punktu t

, to punkt ten nazywamy punktem osobliwym r´ownania, a

nazywamy go punktem osobliwym regularnym, je´sli funkcje (t

− t

) p(t), (t

− t

)

q(t)

a analityczne w otoczeniu t

Niech t

edzie regularnym punktem osobliwym rozwa˙zanego r´ownania i niech

funkcje (t

− t

) p(t), (t

− t

)

q(t) analityczne w otoczeniu

|t − t

| < R maj

a roz-

wini

ecia w szeregi pot

egowe:

− t

) p(t) =

∞

k=0

− t

)

− t

)

q(t) =

∞

k=0

− t

)

Niech λ

, λ

a pierwiastkami r´ownania

λ(λ

− 1) + p

λ + q

= 0,

zwanego r´ownaniem indeksowym (wyznaczaj

acym), gdzie p

= lim

t→t

− t

) p(t),

= lim

t→t

− t

)

q(t). W jednym z mo˙zliwych przypadk´ow, w sytuacji gdy

, λ

∈ R, λ

> λ

, λ

− λ

6∈ N rozwa˙zane r´ownanie ma dwa liniowo niezale˙zne

rozwi

azania w przedziale (t

, t

+ R) postaci:

(t) = (t

− t

)

∞

k=0

− t

)

(t) = (t

− t

)

∞

k=0

− t

)

Bior

ac dowolne a

6= 0, kolejne wsp´oÃlczynniki a

(k = 1, 2, . . .) wyznaczamy z

zale˙zno´sci:

−

k
j=1

− j + λ

) + q

) a

k−j

(k + λ

) (k + λ

− 1) + p

(k + λ

) + q

Podobnie, bior

ac dowolne b

6= 0, kolejne wsp´oÃlczynniki b

(k = 1, 2, . . .) wyzna-

czamy z zale˙zno´sci:

−

k
j=1

− j + λ

) + q

) b

k−j

(k + λ

) (k + λ

− 1) + p

(k + λ

) + q

RozdziaÃl 6. Rozwi

azania w postaci szereg´

ow funkcyjnych

Gdy λ

, λ

∈ R, λ

= λ

, rozwi

azanie szczeg´olne x

(t) ma posta´c:

(t) = x

(t) ln (t

− t

) + (t

− t

)

∞

k=0

− t

)

natomiast, gdy λ

, λ

∈ R, λ

≥ λ

, λ

− λ

∈ N jest postaci:

(t) = Cx

(t) ln (t

− t

) + (t

− t

)

∞

k=0

− t

)

gdzie staÃla C mo˙ze by´c r´owna zeru.

Podobne wzory mo˙zna wyprowadzi´c dla zespolonych pierwiastl´ow r´ownania

indeksowego.

RozdziaÃl 7

Stabilno´

s´

c rozwi

aza´

n r´

owna´

r´

o ˙zniczkowych

7.1. Podstawowe deﬁnicje

Deﬁnicja 26.

Niech X b

edzie przestrzeni

a Banacha. Niech dane b

edzie (RR):

′

= f (t, x) z (WPC): x (t

) = x

, gdzie t

∈ I, I przedziaÃl , x

∈ U ∈ top X

ZaÃl´o˙zmy, ˙ze

∀

∈U

(RR)

(W P C) :

x (t

) = y

ma rozwi

azanie x (t, y

) okre´slone na maksymalnym przedziale istnienia J (y

) =

, R (t

, y

)).

1. Rozwi

azanie x (

·, x

) nazywamy stabilnym, lub stabilnym w sensie Lapu-

nowa, je˙zeli

∀

ε>0

∃

δ>0

− x

k < δ ⇒ kx (t, y

)

− x (t, x

)

k < ε

dla t

∈ J (x

)

∩ J (y

2. M´owimy, ˙ze rozwi

azanie x (t, x

) jest lokalnie asymptotycznie stabilne, je˙zeli

I = [0, +

∞), rozwi

azanie jest stabilne i ponadto ma wÃlasno´s´c lokalnego przyci

agania,

tzn.

∃

δ>0

− x

k < δ ⇒

⇒

J (y

) = [t

, +

∞) , lim

t→∞

kx (t, y

)

− x (t, x

)

k = 0

W skr´ocie piszemy: x (t, x

) jest LAS.

RozdziaÃl 7. Stabilno´s´c rozwi

aza´

n r´

owna´

n r´

o˙zniczkowych

3. M´owimy, ˙ze rozwi

azanie x (t, x

) jest globalnie asymptotycznie stabilne, je˙zeli

jest stabilne i ponadto ma wÃlasno´s´c globalnego przyci

agania, tzn.

∀

∈U

: J (y

) = [t

, +

∞) , lim

t→∞

kx (t, y

)

− x (t, x

)

k = 0.

W skr´ocie piszemy: x (t, x

) jest GAS.

PrzykÃlad 6.

R´ownianie x

′

−x = 0 z warunkiem pocz

atkowym Cauchy’ego x(0) =

ma rozwi

azanie postaci x(t, x

) = x

. Rozwi

azanie x(t, 0) = 0 nie jest

stabilne, bo dla r > 0 mamy

sup

{|x(t, x

)

− 0| :

≥ 0, |x

− 0| < r} = +∞.

PrzykÃlad 7.

R´ownanie mx

′′

+ 2px

′

+ kx = 0 z warunkiem pocz

atkowym Cau-

chy’ego x(0) = A, x

′

(0) = υ gdy p

< km, p > 0, m > 0 ma rozwi

azanie postaci

x(t, A, υ) = Ce

−qt

sin(ωt + ϕ), gdzie q =

, ω =

− q

, C =

qA+υ

ϕ = arccos

A
C

. Rozwi

azanie zerowe jest, co oczywiste, lokalnie asymptotycznie

stabilne.

Twierdzenie 24.

Rozwi

azanie x (t, x

) = p (t) r´ownania x

′

= f (t, x) jest sta-

bilne (asymptotycznie stabilne) wtedy i tylko wtedy, gdy rozwi

azanie y (t) = 0

r´ownania y

′

= g (t, y) := f (t, y + p (t))

− f (t, p (t)) jest stabilne (asymptotycznie

stabilne).

Dow´od. Niech p (t) := x (t, x

) stabilne rozwi

azanie r´ownania x

′

= f (t, x).

Funkcja y (t) := x (t)

− p (t) speÃlnia r´ownanie y

′

(t) = f (t, x (t))

− f (t, p (t)) =

f (t, y (t) + p (t))

− f (t, p (t)) =: g (t, y (t)). Funkcje f i g s

a tej samej klasy

regularno´sci.

Inaczej

. Niech p (t) = x (t, x

), x (t) = x (t, y

), p

′

= f (t, p), x

′

= f (t, x).

Tak wi

ec x

′

− p

′

= f (t, x)

− f(t, p). Zdeﬁniujmy z := x − p. Mamy z

′

f (t, z + p)

− f(t, p) =: g(t, z) czyli z

′

= g(t, z). Skoro

− x

k < δ =⇒ kx (t, y

)

− x (t, x

)

k < ε

zatem

k < δ =⇒ kx (t) − p (t)k = kz(t)k < ε

co jest r´ownowa˙zne

− 0k < δ =⇒ kz(t) − 0k < ε

PrzykÃlad 8.

Rozwa˙zmy ukÃlad r´owna´

n r´o˙zniczkowych

′

= (x

− 1) (x

− 1)

′

= x

− 2

7.2. Twierdzenie Lapunowa

kt´ore mo˙zna zapisa´c jako jedno r´ownanie w postaci wektorowej

′

= f (x) :=

− 1) (x

− 1)

− 2

gdzie x(t) =

(t)

. ÃLatwo zauwa˙zy´c, ˙ze funkcje x(t) =

1
2

, x(t) =

2
1

a rozwi

azaniami przykÃladowego r´ownania (jego poÃlo˙zeniami r´ownowagi).

Stabilno´s´c pierwszego z tych rozwi

aza´

n jest r´ownowa˙zna stabilno´sci rozwi

azania

zerowego r´ownania

′

= f

y +

1
2

¶¶

− f

1
2

+ 1)

+ 2y

+ y

a stabilno´s´c drugiego z nich stabilno´sci rozwi

azania zerowego r´ownania

′

= f

y +

2
1

¶¶

− f

2
1

+ 1) y

+ y

+ 2y

Uwaga 5.

Stabilno´s´c nie implikuje przyci

agania i odwrotnie.

PrzykÃlad 9.

Rozwa˙zmy r´ownanie x

′′

+ x = 0 z warunkiem pocz

atkowym Cau-

chy’ego x (0) = x

, x

′

(0) = 0. Jego rozwi

azaniem jest funkcja x (t) = x

cos t.

Rozwi

azanie zerowe jest wi

ec stabilne, ale nie ma wÃlasno´sci przyci

agania.

PrzykÃlad 10.

Rozwi

azaniem ukÃladu

′

−x

z warunkiem pocz

atkowym

(0) =

jest funkcja

(t) =

cos t

−x

sin t

. Tak wi

ec zerowe

rozwi

azanie jest stabilne, ale nie ma wÃlasno´sci przyci

agania.

7.2. Twierdzenie Lapunowa

Twierdzenie 25.

(Lapunowa) Niech dany b

edzie skalarny ukÃlad r´owna´

n r´o˙zniczkowych

′

= f

(t, x)

(j = 1, . . . , n)

gdzie t

∈ [t

, +

∞), x = x (t) = (x

(t) , . . . , x

(t))

∈ U ∈ topR

, f = (f

, . . . , f

)

∈

([t

, +

∞) × U, R

). ZaÃl´o˙zmy,˙ze

— f (t, 0, . . . , 0) = 0
— a

∂f

∂x

(t, 0, . . . , 0)

∈ R

j, k = 1, . . . , n

— det

− λδ

)

j,k=1,...,n

= 0 =

⇒ Re λ < 0

RozdziaÃl 7. Stabilno´s´c rozwi

aza´

n r´

owna´

n r´

o˙zniczkowych

—

∃ M : U −→ R, ˙ze lim

x−→0

M (x) = 0

oraz

¯f

(t, x)

−

k=1

¯ ≤

M (x)

kxk dla t ≥ t

, x

∈ U, j = 1, . . . , n.

Wtedy rozwi

azanie zerowe x (

·, 0) = 0 powy˙zszego ukÃladu jest lokalnie asympto-

tycznie stabilne tzn. ∃

r>0

k < r =⇒ { maksymalny przedziaÃl J (y

) istnienia

rozwi

azania x (

·, y

) jest r´owny [t

, +

∞) } oraz ∀

ε>0

∃

δ>0

k < δ =⇒ lim

t−→+∞

x (t, y

) = 0 i

kx (t, y

)

k < ε dla t ≥ t

Wniosek 4.

Niech dany b

edzie skalarny ukÃlad r´owna´

n r´o˙zniczkowych

′

= f

(x)

(j = 1, . . . , n)

gdzie x = x (t) = (x

(t) , . . . , x

(t))

∈ U ∈ topR

, f = (f

, . . . , f

)

∈ C

(U, R

ZaÃl´o˙zmy, ˙ze

— f (0, . . . , 0) = 0
— a

∂f

∂x

(0, . . . , 0)

∈ R

j, k = 1, . . . , n

— det

− λδ

)

j,k=1,...,n

= 0 =

⇒ Re λ < 0

Wtedy rozwi

azanie zerowe x (

·, 0) = 0 powy˙zszego ukÃladu jest lokalnie asymp-

totycznie stabilne.

PrzykÃlad 11.

Rozwa˙zmy pierwsze r´ownanie z przykÃladu 8 tj.

′

= g (y) :=

+ 1)

+ 2y

+ y

ÃLatwo zauwa˙zy´c, ˙ze g(0) = 0 natomiast

∂g

∂x

(0)

+ 1

+ 2 y

+ 1

=0, y

1 0
2 1

. Macierz ta ma warto´s´c wÃlasn

a λ = 1 o krotno´sci k = 2, a zatem

rozwi

azanie zerowe powy˙zszego r´ownania nie jest lokalnie asymptotycznie stabilne

i nie jest stabilne.

Wniosek 5.

Rozwa˙zmy r´ownanie skalarne x

′

= f (x). Je´sli f (0) = 0 oraz

′

(0) < 0, to rozwi

azanie zerowe tego r´ownania jest lokalnie asymptotycznie

stabilne.

Wniosek 6.

Rozwa˙zamy ukÃlad r´owna´

n r´o˙zniczkowych liniowych x

′

= Ax. Je´sli

wszystkie warto´sci wÃlasne macierzy A maj

a ujemne cz

e´sci rzeczywiste, to rozwi

azanie

zerowe rozwa˙zanego ukÃladu jest lokalnie asymptotycznie stabilne.

7.3. Problem Routha–Hurwitza

Twierdzenie 26.

Rozwi

azanie zerowe ukÃladu r´owna´

n r´o˙zniczkowych liniowych

′

= Ax jest stabilne, gdy Re λ

≤ 0 dla ka˙zdej warto´sci wÃlasnej λ macierzy A, a

w przypadku Re λ = 0, krotno´s´c tej warto´sci wÃlasnej jest r´owna 1.

7.3. Problem Routha–Hurwitza

Niech b

edzie dany wielomian W o wsp´oÃlczynnikach rzeczywistych. Poda´c

takie warunki na jego wsp´oÃlczynniki, aby pierwiastki wielomianu W le˙zaÃly w
lewej p´oÃlpÃlaszczy´znie pÃlaszczyzny zespolonej.

Niech W (λ) = λ

n−1

· · ·+a

n−1

λ+a

= 0, gdzie a

∈ R (j = 1, . . . , n).

Twierdzenie 27.

(Warunek konieczny)

∀

i∈{1,...,n}

> 0 . Je˙zeli n

≤ 2, to ten

warunek jest warunkiem wystarczaj

acym.

Twierdzenie 28.

(Warunek Routha–Huwitza) Warunkiem koniecznym i wy-

starczaj

acym na to, aby wszystkie pierwiastki wielomianu W miaÃly ujemne cz

e´sci

rzeczywiste jest, aby wszystkie minory gÃl´owne macierzy Hurwitza







· · ·

...

. ..

...

n−1

n−2

· · ·







byÃly dodatnie.

Twierdzenie 29.

Je´sli W (λ) = a

+ a

n−1

· · · + a

n−1

λ + a

= 0 jest wielo-

mianem Hurwitza tzn. wszystkie jego pierwiastki maj

a ujemne cz

e´sci rzeczywiste,

to V (λ) := λ

= a

+ a

n−1

+ . . . + a

λ + a

jest tak˙ze wielomianem

Hurwitza.

PrzykÃlad 12.

Wyznaczy´c obszar asymptotycznej stabilno´sci dla ukÃladu







−x + αy

= βx

− y + αz

= βy

− z,

gdzie α, β s

a parametrami rzeczywistymi.

RozdziaÃl 7. Stabilno´s´c rozwi

aza´

n r´

owna´

n r´

o˙zniczkowych

W rozwa˙zanym przypadku wielomian charakterystyczny jest r´owny

W (λ) =

−1 − λ

= λ

+ 3λ

+ (3

− 2αβ)λ + (1 − 2αβ).

Macierz Hurwitza dla tego wielomianu ma posta´c





− 2αβ 3 − 2αβ

− 2αβ



 .

Jej minory gÃl´owne s

a r´owne:

△

= 3,

△

= 8

− 4αβ, △

= (8

− 4αβ)(1 − 2αβ).

Jak Ãlatwo zauwa˙zy´c s

a one wszystkie dodatnie dla αβ <

1
2

7.4. Punkty osobliwe r´

ownania r´

o ˙zniczkowego zupeÃlnego

Rozwa˙zmy r´ownanie

P (t, x)dt + Q(t, x)dx = 0

(7.1)

okre´slone w obszarze ´sci

agalnym D

⊂ R

, gdzie P, Q

∈ C

(D, R). Poprzednio

zakÃladali´smy, ˙ze

|P (t, x)| + |Q(t, x)| > 0. Przy tych zaÃlo˙zeniach mo˙zna byÃlo

powy˙zsze r´ownanie sprowadzi´c do postaci

′

−

P (t, x)
Q(t, x)

x = x(t),

lub

′

−

Q(t, x)
P (t, x)

t = t(x)

r´owna´

n maj

acych jednoznaczne rozwi

azanie przy zadanych WPC.

Deﬁnicja 27.

Je´sli istnieje taki punkt (t

, x

)

∈ D w kt´orym

P (t

, x

) = Q (t

, x

) = 0

to taki punkt nazywamy punktem osobliwym r´ownania r´o˙zniczkowego (7.1).

Przez punkt osobliwy mo˙ze przechodzi´c wiele krzywych caÃlkowych, lub ˙zadna

krzywa caÃlkowa.

PrzykÃlad 13.

Rozwi

azaniem og´olnym r´ownania

2t dx

− x dt = 0, (x, t) ∈ R

jest rodzina krzywych

t = Cx

∈ R.

Punkt (0, 0) jest punktem osobliwym przez kt´ory przechodzi niesko´

nczenie wiele

caÃlek — jest to tzw. punkt w

ezÃlowy.

7.4. Punkty osobliwe r´

ownania r´

o˙zniczkowego zupeÃlnego

PrzykÃlad 14.

Rozwi

azaniem og´olnym r´ownania

2at dt + 2bx dx = 0,

(x, t)

∈ R

a, b > 0

jest rodzina krzywych

+ bx

+ C,

∈ R

Punkt (0, 0) jest punktem osobliwym tzw. punktem wirowym.

PrzykÃlad 15.

Rozwi

azaniem og´olnym r´ownania

2at dt

− 2bx dx = 0, (x, t) ∈ R

a, b > 0

jest rodzina krzywych

− bx

+ C,

∈ R.

Przez punkt osobliwy (0, 0) przechodz

a dwie krzywe caÃlkowe:

x = x(t) =

−

∈ R.

Punkt (0, 0) jest to tzw. punktem siodÃlowy.

PrzykÃlad 16.

R´ownanie

(2t + x) dt + (2x

− t) dx = 0, (x, t) ∈ R

ma rozwi

azanie og´olne, kt´ore we wsp´oÃlrz

ednych biegunowych ma posta´c

r = Ce

ϕ/2

∈ R

Punkt osobliwy (0, 0) jest w tym wypadku tzw. punktem asymptotycznym.

RozdziaÃl 8

Transformata Laplace’a

8.1. Podstawowe deﬁnicje i twierdzenia

Niech ϕ(t) b

edzie funkcj

a zmiennej niezale˙znej t

∈ R. za´s s := σ + iω liczb

zespolon

Deﬁnicja 28.

Transformat

a Laplace’a (transformat

a) funkcji ϕ(t) nazywamy funkcj

ϕ(s) (zmiennej niezale˙znej s) okre´slon

a wzorem

ϕ(s) :=

∞

−st

ϕ(t)dt

(8.1)

Aby transformata funkcji ϕ(t) byÃla okre´slona, wystarczy aby caÃlka (8.1) istniaÃla
dla pewnego zbioru warto´sci s, przy czym dla pozostaÃlych s caÃlka ta mo˙ze nie
istnie´c. Mo˙ze si

e zdarzy´c, ˙ze caÃlka (8.1) nie istnieje dla ˙zadnej warto´sci s. W tym

przypadku przeksztaÃlcenie Laplace’a nie jest mo˙zliwe.

PrzykÃlad 17.

Niech ϕ(t)

≡ 1. ÃLatwo policzy´c

ϕ(s) =

∞

−st

dt = lim

A→+∞

−st

dt =

lim

A→+∞

−

1
s

−σA

(cos ωA−i sin ωA)

= lim

A→+∞

−

1
s

−σA

(cos ωA

− i sin ωA) − 1

1
s

, gdy σ > 0

nie istnieje , gdy σ

≤ 0.

(8.2)

Uwaga 6.

Mo˙zna pokaza´c, ˙ze je´sli ϕ(t) jest w przedziale 0

≤ t ≤ ∞ ograniczona,

albo ro´snie ze wzreostem t jak t

lub e

αt

, gdzie α > 0, to jej transformata istnieje.

RozdziaÃl 8. Transformata Laplace’a

Twierdzenie 30.

(Transformata pochodnej) Niech ψ(t) =

dϕ

. W´owczas ψ(s) =

sϕ

(s)

− ϕ(0), gdzie symbol ϕ(0) oznacza granic

e prawostronn

a w zerze funkcji ϕ.

Dow´

od.

Niech ψ(t) =

dϕ

. Z deﬁnicji

ψ(s) =

∞

−st

ψ(t) dt =

∞

−st

dϕ

(t) dt =

−st

ϕ(t)

∞

+ s

∞

−st

ϕ(t) dt.

Je´sli

ℜe(s) na tyle du˙ze, ˙ze lim

t→∞

−st

ϕ(t) = 0, to ψ(s) = sϕ(s)

− ϕ(0). Je´sli

ϕ(t) ograniczona, lub wzrost ϕ(t) jest wielomianowy (funkcja ro´snie jak t

), to

wystarczy przyj

a´c σ > 0, je´sli ϕ(t) ro´snie jak funkcja e

αt

, to wystarczy przyj

a´c

σ > α.

c.k.d.

Ostatni wz´or jest prawdziwy, gdy funkcja ϕ jest ci

agÃla; je´sli nie, a konkretnie,

je´sli ma nieci

agÃlo´sci skokowe, to we wzorze tym pojawi

a si

e dodatkowe skÃladniki.

W szczeg´olnym przypadku, gdy ϕ(0) = 0 dostajemy ψ(s) = sϕ(s). Otrzymany
rezultat Ãlatwo uog´olni´c.

Twierdzenie 31.

Je´sli ψ(t) =

, to ψ(s) = s

ϕ(s)

− s

n−1

ϕ(0)

− s

n−2

′

(0)

−

. . .

−ϕ

(n−1)

(0), gdzie symbol ϕ

(k)

(0) oznacza granic

e prawostronn

a w zerze funkcji

(k)

Twierdzenie 32.

Je´si ψ(t) :=

ϕ(τ )dτ , to ψ(s) =

ϕ(s)

Dow´

od.

Zauwa˙zmy, ˙ze ϕ(t) =

dψ

(t),

ψ(0) = 0. Tak wi

ec na podstawie

wzoru na transformat

e pochodnej ϕ(s) = sψ(s), sk

ad bezpo´srednio wynika teza

twierdzenia.

c.k.d.

Twierdzenie 33.

Transformata Laplace’a jest operatorem liniowym.

8.2. Wyznaczanie transformaty r´

ownania r´

o ˙zniczkowego

Niech dane b

edzie r´ownanie r´o˙zniczkowe

′

+ ax = f (t),

∈ R

z warunkiem pocz

atkowym Cauchy’ego x(0) = x

. Mno˙z

ac obie strony r´ownania

przez e

−st

i caÃlkuj

ac w granicach od 0 do +

∞ mo˙zemy napisa´c

∞

−st

′

(t) dt + a x(s) = f (s).

Korzystaj

ac ze wzoru na transformat

e pochodnej i warunku pocz

atkowego dosta-

jemy r´ownanie

(s + a)x(s)

− x

= f (s),

8.3. Wyznaczanie funkcji na podstawie jej transformaty

x(s) =

f (s) + x

s + a

gdzie f (s) =

∞

−st

f (t) dt.

Analogicznie dla r´ownania

′′

+ ax

′

+ bx = f (t),

a, b

∈ R

mno˙z

ac je obustronnie przez e

−st

i caÃlkuj

ac w granicach od 0 do

∞ dostajemy

+ as + b

= f (s) + s x(0) + x

′

(0) + a x(0),

x =

f (s) + (s + a) x(0) + x

′

(0)

+ as + b

e sam

a metod

e mo˙zemy zastosowa´c do ukÃladu r´owna´

n o wsp´oÃlczynnikach staÃlych.

PrzykÃladowo rozwa˙zmy

′

+ a

x + b

′

+ c

y = f

(t)

′

+ a

x + b

′

+ c

y = f

(t).

Mno˙zymy ka˙zde z tych r´owna´

n przez e

−st

i caÃlkujemy w przedziale od 0 do +

∞.

W konsekwencji po przeksztaÃlceniach otrzymujemy ukÃlad r´owna´

n algebraicznych

s + a

s + c

s + a

s + c

¶ µ

x(s)
y(s)

(s) + x(0) + b

y(0)

(s) + x(0) + b

y(0)

Je´sli macierz tego ukÃladu jest nieosobliwa, to rozwi

azanie tego ukÃladu jest okre´slone

wzorami Cramera.

Transformat

e Laplace’a mo˙zna r´ownie˙z z powodzeniem stosowa´c do pewnych

r´owna´

n r´o˙zniczkowo–caÃlkowych np. do r´ownania

′

(t) + ax(t) + b

x(τ ) dτ = f (t).

Og´olnie mo˙zna bez kÃlopotu poda´c wzory na transformat

e dowolnego r´ownania

liniowego rz

edu n-tego o staÃlych wsp´oÃlczynnikach i ukÃladu r´owna´

n r´o˙zniczkowych

o macierzy liczbowej.

8.3. Wyznaczanie funkcji na podstawie jej transformaty

ZaÃl´o˙zmy, ˙ze dana jest funkcja ϕ(s). Zajmiemy si

e problemem wyznaczenia

ϕ(t):

∞

−st

ϕ(t)dt = ϕ(s)

(8.3)

R´ownanie caÃlkowe powy˙zej nazywa si

e r´ownaniem Laplace’a.

RozdziaÃl 8. Transformata Laplace’a

Twierdzenie 34.

Dla danych a

∈ R, ϕ

(s), (i = 1, . . . , n) mamy

∞

−st

i=1

(t)

dt =

i=1

(s).

Stosunkowo Ãlatwo jest rozwi

aza´c r´ownanie Laplace

a w przypadku, gdy prawa

strona tego r´ownania jest funkcj

a wymiern

Twierdzenie 35.

Je´sli

ϕ(s) =

U (s)
V (s)

gdzie U (s) i V (s) s

a wielomianami, przy czym st.U (s) = m < st.V (s) = n oraz

V (s) = (s

− s

) . . . (s

− s

), przy czym s

6= s

je´sli i

6= j, to

ϕ(t) =

k=1

U (s

)

′

)

(8.4)

Dow´

od.

Iloraz

U (s)
V (s)

mo˙zna przedstawi´c w postaci sumy uÃlamk´ow prostych

U (s)
V (s)

k=1

− s

Mno˙z

ac obie strony przez s

− s

mamy

− s

)

U (s)
V (s)

= c

+ (s

− s

)

k=2

− s

Przechodz

ac obustronnie z s do granicy w s

i stosuj

ac reguÃl

e de l’Hospitala

dostajemy

U (s

)

′

)

= c

Podobnie obliczamy warto´sci pozostaÃlych wsp´oÃlczynnik´ow c

. Tak wi

ec rozkÃlad

na uÃlamki proste ma posta´c:

U (s)
V (s)

k=1

U (s

)

′

)

− s

ÃLatwo si

e przekona´c, ˙ze r´ownanie

∞

−st

ψ(t)dt =

− s

ma rozwi

azanie

ψ(t) = e

Wobec tych fakt´ow i liniowo´sci transformaty otrzymujemy tez

e twierdzenia.

c.k.d.

8.3. Wyznaczanie funkcji na podstawie jej transformaty

Twierdzenie 36.

(Twierdzenie o rozkÃladzie) Niech

ϕ(s) =

U (s)

s W (s)

gdzie U (s) i W (s) s

a wielomianami odpowiednio stopni m i n, przy czym m

≤ n.

ZakÃladamy, ˙ze W (0)

6= 0 i wielomian W nie ma pierwiastk´ow wielokrotnych tj.

W (s) = (s

− s

) . . . (s

− s

), przy czym s

6= s

dla i

6= j. Wtedy

ϕ(t) =

U (0)

W (0)

i=1

U (s

)

′

)

Dow´

od.

Przyjmuj

ac V (s) = s W (s) mo˙zemy na podstawie poprzedniego twier-

dzenia napisa´c

ϕ(t) =

i=0

U (s

)

[s W (s)]

|s=s

przy czym s

:= 0. Z kolei

[s W (s)]

|s=s

= W (s

) + s

′

) .

Dla i = 0 drugi skÃladnik jest r´owny zeru, a dla i

6= 0 zeruje si

e pierwszy skÃladnik,

tak wi

[s W (s)]

|s=s

= W (s

) = W (0),

[s W (s)]

|s=s

= s

′

)

dla i

6= 0.

Podstawienie tych wzor´ow do (8.4) ko´

nczy dow´od.

c.k.d.

Twierdzenie 37.

(Twierdzenie o przesuni

eciu rzeczywistym) Niech ϕ(s) b

edzie

transformat

a funkcji ϕ(t), a ψ niech b

edzie funkcj

a zdeﬁniowan

a wzorem:

ψ(t) :=

dla t < t

ϕ (t

− t

) dla t > t

W´owczas

ψ(s) = e

−st

ϕ(s).

Dow´

od.

Z deﬁnicji transformaty:

ψ(s) =

∞

−st

ψ(t)dt =

∞

−st

ϕ (t

− t

) dt =

∞

−s(ξ+t

)

ϕ(ξ)dξ = e

−st

∞

−sξ

ϕ(ξ)dξ = e

−st

ϕ(s).

c.k.d

RozdziaÃl 8. Transformata Laplace’a

Twierdzenie 38.

(Twierdzenie o przesuni

eciu zespolonym) Niech ψ(t) := e

−λt

ϕ(t),

gdzie λ

∈ R, lub λ ∈ C. Wowczas ψ(s) = ϕ(s + λ).

Dow´

od.

Wprost z deﬁnicji:

ψ(s) =

∞

−st

−λt

ϕ(t) dt =

∞

−(s+λ)t

ϕ(t) dt = ϕ(s + λ).

c.k.d

Twierdzenie 39.

(Twierdzenie o splocie) Niech ψ(t) :=

(τ )ϕ

− τ) dτ.

W´owczas ψ(s) = ϕ

(s)ϕ

(s).

Obserwacja 1.

Je´sli ψ(t) :=

(τ )ϕ

− τ) dτ, to ψ(s) = sϕ

(s)ϕ

(s).

RozdziaÃl 9

Dodatek

9.1. Tablice transformat Laplace’a

Transformat

a Laplace’a (transformat

a) funkcji ϕ(t) nazywamy funkcj

e ϕ(s)

(zmiennej niezale˙znej s

∈ C) okre´slon

a wzorem

ϕ (s) =

∞

−st

ϕ(t)dt.

Pot

egi

ϕ (t)

ϕ (s)

1
s

n+1

, n ∈ N

−1/2

1/2

√

3/2

Γ (α + 1)

α+1

, α > −1

RozdziaÃl 9. Dodatek

Funkcje trygonometryczne

ϕ (t)

ϕ (s)

sin kt

+ k

cos kt

+ k

sin

s (s

+ 4k

)

cos

+ 2k

s (s

+ 4k

)

t sin kt

2ks

+ k

)

t cos kt

− k

+ k

)

2 (1 − cos kt)

+ k

sin at

arctan

³ a

ϕ (t)

ϕ (s)

sin kt + kt cos kt

2ks

+ k

)

sin kt − kt cos kt

− k

)

1 − cos kt

s (s

+ k

)

kt − sin kt

+ k

)

a sin bt − b sin at

ab (a

− b

)

+ a

) (s

+ b

)

cos bt − cos at

− b

+ a

) (s

+ b

)

sin at cos bt

1
2

arctan

a + b

1
2

arctan

a − b

Funkcje hiperboliczne

ϕ (t)

ϕ (s)

sinh kt

− k

cosh kt

− k

sinh

s (s

− 4k

)

cosh

− 2k

s (s

− 4k

)

ϕ (t)

ϕ (s)

t sinh kt

2ks

− k

)

t cosh kt

+ k

− k

)

2 (1 − cosh kt)

− k

Funkcje wykÃladnicze

ϕ (t)

ϕ (s)

s − a

(s − a)

n+1

, n ∈ N

− e

s−a

s−b

ϕ (t)

ϕ (s)

√

πt

−a

/4t

−a

√

πt

−a

/4t

−a

√

− e

a − b

(s − a) (s − b)

− be

a − b

(s − a) (s − b)

9.1. Tablice transformat Laplace’a

Funkcje wykÃladnicze i trygonometryczne

ϕ (t)

ϕ (s)

sin kt

(s − a)

+ k

cos kt

s − a

(s − a)

+ k

Funkcje wykÃladnicze i hiperboliczne

ϕ (t)

ϕ (s)

sinh kt

(s − a)

− k

cosh kt

s − a

(s − a)

− k

Funkcje trygonometryczne i hiperboliczne

ϕ (t)

ϕ (s)

sin kt sinh kt

+ 4k

sin kt cosh kt

+ 2k

+ 4k

cos kt sinh kt

− 2k

+ 4k

cos kt cosh kt

+ 4k

Funkcja Bessela

ϕ (t)

ϕ (s)

(kt)

√

+ k

Uog´

olniona funkcja bÃl

edu

ϕ (t)

ϕ (s)

erfc

√

= 1 − erf

√

−a

√

−a

/4t

− a erfc

√

−a

√

erfc

√

t +

√

−a

√

¡√

s + b

−e

erfc

√

t +

√

+ erfc

√

−

√

(

√

s+b

)

Delta Diraca

ϕ (t)

ϕ (s)

δ (t)

δ (t − t

)

−st

RozdziaÃl 9. Dodatek

Funkcja Heaviside’a

ϕ (t)

ϕ (s)

ϕ (t − a) H (t − a)

−as

ϕ (s)

H (t − a)

−

przy czym H(t) :=

dla

t < 0

dla

t ≥ 0

Og´

olne prawa

ϕ (t)

ϕ (s)

ϕ (t)

ϕ (s − a)

ϕ (t − a) H (t − a)

−as

ϕ (s)

(n)

(t)

ϕ (s) − s

(n−1)

ϕ (0) − . . . − ϕ

(n−1)

(0)

ϕ (t)

(−1)

n d

ϕ (s)

ϕ (τ ) ψ (t − τ) dτ

ϕ (s) ψ (s)

9.2. PrzykÃladowe tematy zada´

n egzaminacyjnych – studia

dzienne

Pisemny egzamin z r´owna´

n r´o˙zniczkowych jest dwucz

e´sciowy. Cz

e´s´c pierwsza

ma na celu sprawdzenie biegÃlo´sci rachunkowej, a cz

e´s´c druga, umownie zwana

jest cz

e´sci

a ,,teoretyczn

a” i nie ma ona charakteru wyÃl

acznie rachunkowego. Czas

trwania egzaminu z cz

e´sci zadaniowej: 110 minut. Czas trwania egzaminu z cz

e´sci

teoretycznej: 50 minut. Ka˙zde zadanie jest punktowane w skali 0

− 10 punkt´ow.

Poni˙zej zaprezentowane s

a zestawy zada´

n egzaminacyjnych z kilku sesji. S

a one

reprezentatywne, je´sli chodzi o poziom trudno´sci temat´ow. W poszczeg´olnych
latach zmienia si

e jednak cz

esciowo zakres wykÃladanego materiaÃlu materiaÃlu, a

ec i tematyczny zakres zada´

9 czerwiec 2001

e´s´c zadaniowa:

1. Rozwi

a˙z r´ownanie Ricattiego

′

= 2t

− 2x

wiedz

ac, ˙ze jedn

a z jego caÃlek jest wielomian stopnia pierwszego.

2. Wyznacz rozwi

azanie og´olne r´ownania

(t + 1)x

′′

− 2x = 0

wiedz

ac, ˙ze jego caÃlk

a szczeg´oln

a jest funkcja x

(t) = 1 +

3. Wyznacz caÃlk

e og´oln

a r´ownania

′′

+ 3x

′

+ 2x = e

−t

cos

Wskaz´owka. Tak przeksztaÃl´c praw

a stron

e, aby mo˙zliwe byÃlo zastosowanie

metody przewidywa´

9.2. PrzykÃladowe tematy zada´

n egzaminacyjnych – studia dzienne

4. Metod

a Frobeniusa znajd´z fundamentalny ukÃlad rozwi

aza´

n r´ownania

2tx

′′

+ (1 + t)x

′

+ x = 0.

5. Wyznacz caÃlk

e szczeg´oln

a ukÃladu r´owna´

′

−3

−4

x +

−t

speÃlniaj

a warunek pocz

atkowy Cauchy’ego x(0) =

−1

6. Zbadaj stabilno´s´c poÃlo˙ze´

n r´ownowagi ukÃladu r´owna´

= y

− x

= 3x

− x

− y.

e´s´c teoretyczna:

1. Dla jakich warto´sci paramatr´ow a i b rozwi

azanie zerowe r´ownania

+ ax

′′′

+ 4x

′′

+ bx

′

+ x = 0

jest lokalnie asymptotycznie stabilne.

2. Znajd´z krzyw

a o tej wÃlasno´sci, ˙ze trapez utworzony przez osie wsp´oÃlrz

ednych

Ox i Oy, styczn

a do krzywej i prost

a prostopadÃl

a do osi Ox w punkcie

styczno´sci, ma staÃle pole r´owne 3a

3. Rozstrzygnij dla jakich a i b rozwi

azania r´ownania x

′′

+ ax

′

+ bx = 0 s

ograniczone na caÃlej prostej?

20 czerwiec 2001

e´s´c zadaniowa:

1. Rozwi

a˙z r´ownanie r´o˙zniczkowe

(1 + ln x) dt =

−

2. Wyznacz rozwi

azanie og´olne r´ownania

′′

− (2t + 1)x

′

+ (t + 1)x = 0

wiedz

ac, ˙ze jego caÃlk

a szczeg´oln

a jest funkcja postaci e

αt

3. Znajd´z fundamentalny ukÃlad rozwi

aza´

n w postaci szereg´ow pot

egowych, unor-

mowany w punkcie t

= 0, r´ownania

′′

+ tx

′

−

+ 1

x = 0.

RozdziaÃl 9. Dodatek

4. Wyznacz caÃlk

e szczeg´oln

a ukÃladu r´owna´

′





−1 1

0 1

−1

0 1



 x

speÃlniaj

a warunek pocz

atkowy Cauchy’ego x(0) =





1
2



 .

5. Wyznacz obszar asymptotycznej stabilno´sci dla ukÃladu







−x + αy

= βx

− y + αz

= βy

− z,

gdzie α, β s

a parametrami rzeczywistymi.

e´s´c teoretyczna:

1. Dla jakich warto´sci paramatr´ow a i b rozwi

azanie zerowe r´ownania

+ 2x

′′′

+ ax

′′

+ bx

′

+ x = 0

jest lokalnie asymptotycznie stabilne. Zaprezentuj rozwi

azanie w postaci gra-

ﬁcznej.

2. Wyznacz krzywe, dla kt´orych odcinek stycznej zawarty mi

edzy osiami wsp´oÃlrz

ednych

ma staÃl

a dÃlugo´s´c d.

3. Oblicz e

, gdzie A jest macierz

a ukÃladu z zadania (4) w cz

e´sci zadaniowej tj.

A =





−1 1

0 1

−1

0 1



 .

13 wrzesie´

n 2001

e´s´c zadaniowa:

1. Rozwi

a˙z problem pocz

atkowy Cauchy’ego

+ x

− 2tx dx = 0, x(4) = 0.

2. Rozwi

a˙z r´ownanie

+ 1

dt +

− 1

dx = 0.

3. Znajd´z caÃlk

e og´oln

a r´ownania

(6)

+ 2x

(4)

+ x

(2)

= 0.

4. Wyznacz caÃlk

e szczeg´oln

a ukÃladu r´owna´

′





−1 −4

−12

−3 −9



 x

9.2. PrzykÃladowe tematy zada´

n egzaminacyjnych – studia dzienne

speÃlniaj

a warunek pocz

atkowy Cauchy’ego x(0) =





1
1
1



 .

5. Znajd´z ukÃlad fundamentalny rozwi

aza´

n w postaci szereg´ow pot

egowych unor-

mowanych w punkcie t

= 0 r´ownania:

′′

− t

x = 0

i okre´sl rozwi

azanie og´olne.

e´s´c teoretyczna:

1. Dla jakich warto´sci paramatr´ow a i b rozwi

azanie zerowe r´ownania

+ 2x

′′′

+ ax

′′

+ bx

′

+ x = 0

jest lokalnie asymptotycznie stabilne. Zaprezentuj rozwi

azanie w postaci gra-

ﬁcznej.

2. Wyznacz krzywe, dla kt´orych odcinek stycznej zawarty mi

edzy osiami wsp´oÃlrz

ednych

ma staÃl

a dÃlugo´s´c d.

3. Oblicz e

, gdzie A jest macierz

a ukÃladu z zadania (4) w cz

e´sci zadaniowej tj.

A =





−1 1

0 1

−1

0 1



 .

27 wrzesie´

n 2001

e´s´c zadaniowa:

1. Rozwi

a˙z r´ownanie

′

= 2

x + 2

t + x

− 1

2. Odgadnij rozwi

azanie szczeg´olne, a nast

epnie rozwi

a˙z r´ownanie Riccatiego

′

− 2tx + x

= 5

− t

3. Wiedz

ac, ˙ze funkcja x (t) =

jest rozwi

azaniem szczeg´olnym r´ownania

′′

+ 3tx

′

− x = 0 rozwi

a˙z r´ownanie

′′

+ 3tx

′

− x =

(obni˙zaj

ac jego rz

ad jednym z dw´och poznanych sposob´ow) a nast

epnie wska˙z

jego caÃlk

e speÃlniaj

a warunki pocz

atkowe x (1) = 1, x

′

(1) =

−

4
3

4. Znajd´z caÃlk

e og´oln

a ukÃladu r´owna´

′

−1 2

x +

RozdziaÃl 9. Dodatek

5. Rowi

a˙z r´ownanie

′′

+ 3x

′

+ 2x =

+ 1

e´s´c teoretyczna:

1. Znajd´z krzyw

a o tej wÃlasno´sci, ˙ze trapez utworzony przez osie ukÃladu wsp´oÃlrz

ednych

Ox, Oy, styczn

a do krzywej i prost

a prostopadÃl

a do osi Ox w punkcie styczno´sci,

ma staÃle pole r´owne 3a

2. Dla jakich a i b r´ownanie x

′′

+ax

′

+bx = 0 ma przynajmniej jedno rozwi

azanie

x (t)

6= 0 takie, ˙ze lim

t→+∞

x (t) = 0.

3. Zbadaj stabilno´s´c wszystkich poÃlo˙ze´

n r´ownowagi ukÃladu

′

= ln (y

− x)

′

= x

− y − 1

Deﬁnicja. Niech X przestrze´

n Banacha, f : X

⊃ U → X, u : R ⊃ I → X,

∈ topX, I ∈ topR. PoÃlo˙zeniem r´ownowagi ukÃladu u

′

= f (u) nazywamy

∗

∈ U takie, ˙ze f (ω

∗

) = 0.

10 czerwiec 2002

e´s´c zadaniowa:

1. Wyznacz caÃlk

e szczeg´oln

a r´ownania r´o˙zniczkowego

t(x

′

+ x

) = x

speÃlniaj

a warunek pocz

atkowy x(1) = 1.

2. Wyznacz rozwi

azanie og´olne r´ownania

′′

− x

′

− 4t

x = 0,

wiedz

ac, ˙ze jego caÃlk

a szczeg´oln

a jest funkcja e

3. Znajd´z dwa liniowo niezale˙zne rozwi

azania szczeg´olne r´ownania

′′

′

+ x = 0.

w postaci szereg´ow Frobeniusa w otoczeniu punktu osobliwego regularnego
t

= 0.

4. Wyznacz caÃlk

e szczeg´oln

a ukÃladu r´owna´

′

−1 −6

speÃlniaj

a warunek pocz

atkowy Cauchy’ego x(0) =

2
2

5. Wyznacz wszystkie poÃlo˙zenia r´ownowagi ukÃladu

′

= xy

′

= x

+ y

− 4

i zbadaj ich stabilno´s´c.

9.2. PrzykÃladowe tematy zada´

n egzaminacyjnych – studia dzienne

6. Przy pomocy transformaty Laplace’a rozwi

a˙z r´ownanie

′′

− 2x

′

+ x = 1 + t,

x(0) = 0,

′

(0) = 0.

e´s´c teoretyczna:

1. Rozwa˙zamy dwuwymiarowy ukÃlad r´owna´

′

= ax + by

′

= cx + dy,

gdzie a, b, c, d

∈ R. Wyka˙z, ˙ze je´sli jedno z jego rozwi

aza´

n jest funkcj

a okre-

sow

a, to wszystkie rozwi

azania, opr´ocz rozwi

azania zerowego, s

a funkcjami

okresowymi.

2. Wyznacz r´ownanie krzywej przechodz

acej przez punkt (1, 1), dla kt´orej pole

tr´ojk

ata utworzonego przez o´s Ot, styczn

a i wektor wodz

acy punktu styczno´sci

jest staÃle i r´owna si

e 1.

3. Dla jakich warto´sci paramatr´ow a i b rozwi

azanie zerowe r´ownania

+ ax

′′′

+ 4x

′′

+ bx

′

+ x = 0

jest lokalnie asymptotycznie stabilne.

17 czerwiec 2002

e´s´c zadaniowa:

1. Wyznacz caÃlk

e og´oln

a r´ownania

xdx = (tdx + xdt)

√

1 + x

2. Rozwi

a˙z r´ownanie

′

− 2tx + x

= 5

− t

3. Znajd´z dwa liniowo niezale˙zne rozwi

azania szczeg´olne r´ownania

t(t

− 1)x

′′

+ (1 + t)x

′

− x = 0.

w postaci szereg´ow Frobeniusa w otoczeniu punktu osobliwego regularnego
t

= 0, lub t

= 1.

4. Wyznacz caÃlk

e szczeg´oln

a ukÃladu r´owna´

′

−3 −1

speÃlniaj

a warunek pocz

atkowy Cauchy’ego x(0) =

−1

5. Wyznacz wszystkie poÃlo˙zenia r´ownowagi ukÃladu

′

−x + y

′

= x + y

− 2xy

i zbadaj ich stabilno´s´c.

RozdziaÃl 9. Dodatek

6. Przy pomocy transformaty Laplace’a wyznacz caÃlk

e sczeg´oln

a ukÃladu r´owna´

′

−2y + 3t

′

= 2x + 4

speÃlniaj

a warunek pocz

atkowy x(0) = 2, y(0) = 3.

e´s´c teoretyczna:

1. Jakie warunki musz

a speÃlnia´c warto´sci i wektory wÃlasne macierzy ukÃladu:

′

= ax + by

′

= cx + dy,

(a, b, c, d

∈ R), aby jego rozwi

azanie u(t) = (x(t), y(t)) speÃlniaj

ace warunek

pocz

atkowy x(0) = y(0) = 1 miaÃlo wÃlasno´s´c:

a) lim

t→∞

u(t) = (0, 0),

b) lim

t→∞

ku(t)k = ∞,

c) u jest funkcj

a ograniczon

2. Wyznacz r´ownanie r´o˙zniczkowe rodziny krzywych x = e

i r´ownanie r´o˙zniczkowe

rodziny krzywych ortogonalnych do danych.

3. Oblicz e

dla macierzy:

A =

−2 −4

16 wrzesie´

n 2002

e´s´c zadaniowa:

1. Wyznacz caÃlk

e og´oln

a r´ownania

(1 + t + x + tx) x

′

= 1.

2. Rozwi

a˙z r´ownanie

dx =

− x

dt.

3. Znajd´z dwa liniowo niezale˙zne rozwi

azania szczeg´olne r´ownania

t(t

− 1)x

′′

+ (

−1 + 3t)x

′

+ x = 0.

w postaci szereg´ow Frobeniusa w otoczeniu punktu osobliwego regularnego
t

= 0, lub t

= 1.

4. Wyznacz caÃlk

e szczeg´oln

a ukÃladu r´owna´

′

3 2

−5 1

speÃlniaj

a warunek pocz

atkowy Cauchy’ego x(0) =

−1

9.2. PrzykÃladowe tematy zada´

n egzaminacyjnych – studia dzienne

5. Wyznacz wszystkie poÃlo˙zenia r´ownowagi ukÃladu

′

= 3

−

4 + x

+ y

′

= ln (x

− 3)

i zbadaj ich stabilno´s´c.

6. Przy pomocy transformaty Laplace’a wyznacz caÃlk

e sczeg´oln

a ukÃladu r´owna´

′

−x + y + e

′

= x

− y + e

speÃlniaj

a warunek pocz

atkowy x(0) = 1, y(0) = 1.

e´s´c teoretyczna:

1. Jakie warunki musz

a speÃlnia´c warto´sci i wektory wÃlasne macierzy ukÃladu:

′

= ax + by

′

= cx + dy,

(a, b, c, d

∈ R), aby jego rozwi

azanie u(t) = (x(t), y(t)) speÃlniaj

ace warunek

pocz

atkowy x(0) = y(0) = 1 miaÃlo wÃlasno´s´c:

a) lim

t→∞

u(t) = (0, 0),

b) lim

t→∞

ku(t)k = ∞,

c) u jest funkcj

a ograniczon

2. Wyznacz r´ownanie r´o˙zniczkowe rodziny hiperbol x =

i r´ownanie r´o˙zniczkowe

rodziny krzywych ortogonalnych do danych.

3. Oblicz e

dla macierzy:

A =

−1

9 czerwiec 2003

e´s´c zadaniowa:

1. Rozwi

a˙z r´ownanie r´o˙zniczkowe

6txdt + (4x + 9t

)dx = 0.

2. Wyznacz rozwi

azanie og´olne r´ownania

= e

+ (1 + 2e

)x + x

wiedz

ac, ˙ze jego caÃlk

a szczeg´oln

a jest funkcja postaci x

(t) =

−e

3. Znajd´z fundamentalny ukÃlad rozwi

aza´

n w postaci szereg´ow pot

egowych, unor-

mowany w punkcie t

= 0, r´ownania

′′

+ e

′

− x = 0.

RozdziaÃl 9. Dodatek

4. Wyznacz caÃlk

e szczeg´oln

a ukÃladu r´owna´

′





0 8

0 0

−2

2 8

−2



 x

speÃlniaj

a warunek pocz

atkowy Cauchy’ego x(0) =





1
0
0



 .

5. Korzystaj

ac z transformaty Laplace’a znajd´z caÃlk

e szczeg´oln

a ukÃladu r´owna´

r´o˙zniczkowych

(

= t

−

= 4t

speÃlniaj

a warunek pocz

atkowy Cauchy’ego x(0) = 8, x

′

(0) = y(0) = y

′

(0) =

e´s´c teoretyczna:

1. Dla jakich warto´sci paramatr´ow a i b rozwi

azanie zerowe r´ownania

′

= x + ay + y

′

= bx

− 3y − x

jest lokalnie asymptotycznie stabilne. Zaprezentuj rozwi

azanie w postaci gra-

ﬁcznej.

2. Znajd´z krzyw

a x = x(t) o tej wÃlasno´sci, ˙ze tr´ojk

at utworzony przez o´s Ot,

styczn

a do krzywej oraz promie´

n wodz

acy w punkcie styczno´sci jest tr´ojk

atem

r´ownoramiennym.

3. Oblicz e

, gdzie A jest macierz

a ukÃladu z zadania (4) w cz

e´sci zadaniowej tj.

A =





0 8

0 0

−2

2 8

−2



 x

16 czerwiec 2003

e´s´c zadaniowa:

1. Rozwi

a˙z r´ownanie r´o˙zniczkowe

+ 2tx

− x

)dt + (x

+ 2tx

− t

)dx = 0,

wiedz

ac, ˙ze ma ono czynnik caÃlkuj

acy postaci µ = µ(t + x).

2. Rozwi

a˙z r´ownanie

2xx

′

= t(x

′2

+ 4).

3. Znajd´z fundamentalny ukÃlad rozwi

aza´

n w postaci szereg´ow pot

egowych, unor-

mowany w punkcie t

= 0, r´ownania

′′

− t

′

+ (t + 1)x = 0.

9.2. PrzykÃladowe tematy zada´

n egzaminacyjnych – studia dzienne

4. Wyznacz caÃlk

e og´oln

a r´ownania

′′′

− x

′′

+ 4x

′

− 4x = 3e

− 4 sin 2t.

5. Korzystaj

ac z transformaty Laplace’a rozwi

a˙z r´ownanie

x(t) = 3t

− e

−t

−

x(τ )e

t−τ

dτ .

e´s´c teoretyczna:

1. Dla jakich paramatr´ow a i b zerowe rozwi

azanie r´ownania

+ ax

′′′

+ 4x

′′

+ bx

′

+ x = 0

jest lokalnie asymptotycznie stabilne. Zaznacz wyznaczony zbi´or na pÃlaszczy´znie
Oab.

2. Znajd´z rodzin

e krzywych ortogonalnych do krzywych rodziny

= Ce

+ t + 1,

gdzie C

∈ R.

3. Przeprowad´z dyskusj

e dla jakich rzeczywistych parametr´ow p i q wszystkie

rozwi

azania r´ownania x

′′

+ px

′

+ qx = 0 s

a ograniczone na caÃlej prostej?

Zaznacz wyznaczony zbi´or na pÃlaszczy´znie Opq.

22 wrzesie´

n 2003

e´s´c zadaniowa:

1. Znajd´z caÃlk

e og´oln

a r´ownania

′′

1
2

−

′

− x = 0,

je´sli x

(t) = t

jest jego caÃlk

a szczeg´oln

2. Znajd´z fundamentalny ukÃlad rozwi

aza´

n w postaci szereg´ow pot

egowych, unor-

mowany w punkcie t

= 0, r´ownania

′′

− tx

′

−

+ 1

x = 0.

3. Wyznacz caÃlk

e og´oln

a ukÃladu r´owna´

′

= 2y

− x,

′

= 4y

− 3x +

4. Korzystaj

ac z transformaty Laplace’a rozwi

a˙z r´ownanie

x(t) = 3t

− e

−t

−

x(τ )e

t−τ

dτ .

RozdziaÃl 9. Dodatek

5. Sprowad´z r´ownanie

′′

+ 2rx

′

+ ω

x = 0

(r > 0, ω > 0)

z warunkami pocz

atkowymi x(0) = x

, x

′

(0) = x

, do r´ownowa˙znego mu

ukÃladu r´owna´

n rz

edu pierwszego oraz zbadaj stabilno´s´c poÃlo˙zenia r´ownowagi

tego ukÃladu.

e´s´c teoretyczna:

1. Znajd´z krzywe, dla kt´orych tr´ojk

at utworzony przez o´s Oy, styczn

a i wektor

wodz

acy punktu styczno´sci jest r´ownoramienny (o podstawie na osi Oy).

2. Przeprowad´z dyskusj

e dla jakich rzeczywistych parametr´ow p i q wszystkie

rozwi

azania r´ownania x

′′

+ px

′

+ qx = 0 s

a ograniczone na caÃlej prostej?

Zaznacz wyznaczony zbi´or na pÃlaszczy´znie Opq.

3. Wyznacz obszar asymptotycznej stabilno´sci dla ukÃladu







−x + αy

= βx

− y + αz

= βy

− z,

gdzie α, β s

a parametrami rzeczywistymi.

7 czerwiec 2004

e´s´c pierwsza:

1. Rozwi

a˙z r´ownanie r´o˙zniczkowe

+ tx + 3x

)dt

− (t

+ 2tx)dx = 0.

2. Rozwi

a˙z r´ownanie

′

−

x + x

wiedz

ac, ˙ze jego caÃlk

a szczeg´oln

a jest funkcja x(t) =

3. Metod

a Frobeniusa znajd´z fundamentalny ukÃlad rozwi

aza´

n r´ownania

− t

′′

− 2tx

′

+ 30x = 0

w otoczeniu punktu t

−1 (grupa A), t

= 1 (grupa B).

4. Wyznacz caÃlk

e og´oln

a r´ownania

′′′

− x

′′

+ 4x

′

− 4x = 3e

− 4 cos 2t.

5. Wyznacz caÃlk

e og´oln

a ukÃladu r´owna´

′





0 1 1
1 0 1
2 2 1



 x.

e´s´c druga:

9.2. PrzykÃladowe tematy zada´

n egzaminacyjnych – studia dzienne

1. Zdeﬁniuj transformat

e Laplace’a funkcji. Oblicz transformat

e Laplace’a caÃlki

szczeg´olnej ukÃladu r´owna´

′

+ y

′

− 2x

= 1

′

+ y

′

− 3x − 3y = 2

z warunkiem pocz

atkowym x(0) = 0, y(0) = 0.

2. Obni˙z rz

ad r´ownania

′′

− x

′

tan t + 2x = 0

wiedz

ac, ˙ze funkcja x

(t) = sin t jest jego caÃlk

a szczeg´oln

3. Stosuj

ac twierdzenie Lapunowa zbadaj stabilno´s´c rozwi

azania zerowego ukÃladu

r´owna´

′

= tan(y

− x)

′

= 2

− 2 cos

− x

15 czerwiec 2004

e´s´c pierwsza:

1. Rozwi

a˙z zagadnienie pocz

atkowe

′

+ x

= 1,

x(1) = 2.

2. Rozwi

a˙z r´ownanie Lagrange’a

′

+ 2) = x.

3. Metod

a Frobeniusa znajd´z fundamentalny ukÃlad rozwi

aza´

n r´ownania

′′

− (2t − 1)x

′

+ (t

− 1)x = 0

w otoczeniu punktu t

= 0.

4. Wyznacz caÃlk

e szczeg´oln

a r´ownania

′′′

− 2x

′′

+ x

′

= te

+ 5,

x(0) = 2,

′

(0) = 2,

′′

(0) =

−1.

5. Wyznacz caÃlk

e og´oln

a ukÃladu r´owna´

′





−4 0

0 2

2 5



 x.

e´s´c druga:

1. Stosuj

ac transformat

e Laplace’a rozwi

a˙z problem pocz

atkowy

′′

− 6x

′

+ 9x = t

x(0) = 2,

′

(0) = 6.

2. Wiedz

ac, ˙ze jedno z rozwi

aza´

n r´ownania Riccatiego

′

− 2tx + x

= 5

− t

jest wielomianem, sprowad´z to r´ownanie do r´ownania Bernoulliego.

RozdziaÃl 9. Dodatek

3. Wyznacz warto´sci parametr´ow a i b, dla kt´orych zerowe rozwi

azanie ukÃladu

′

= x + ay + y

′

= bx

− 3y − x

jest lokalnie asymptotycznie stabilne.

13 wrzesie´

n 2004

e´s´c pierwsza:

1. Rozwi

a˙z zagadnienie pocz

atkowe

′

− 9t

x = (t

+ t

2
3

x(0) = 0.

2. Rozwi

a˙z r´ownanie

(t sin x + x cos x) dt + (t cos x

− x sin x) dx = 0.

3. Znajd´z krzyw

a, kt´orej styczne tworz

a z osiami wsp´oÃlrz

ednych tr´ojk

at o po-

wierzchni 2a

4. Znajd´z fundamentalny ukÃlad rozwi

aza´

n w postaci szereg´ow pot

egowych o

´srodku w punkcie t

= 0 r´ownania:

′′

+ tx

′

− (2t

+ 1)x = 0.

5. Wyznacz caÃlk

e og´oln

a ukÃladu r´owna´

′





−3

2 2

−3 −1 1
−1

2 0



 x.

e´s´c druga:

1. Stosuj

ac transformat

e Laplace’a rozwi

a˙z problem pocz

atkowy

′′

+ 4x

′

+ 13x = te

−t

x(0) = 0,

′

(0) = 2.

2. Wiedz

ac, ˙ze jedno z rozwi

aza´

n r´ownania Riccatiego

′

−x

+ 1 + t

jest wielomianem stopnia pierwszego, sprowad´z to r´ownanie do r´ownania Ber-
noulliego.

3. Stosuj

ac twierdzenie Lapunowa zbadaj stabilno´s´c rozwi

azania zerowego ukÃladu

r´owna´

′

= ln (3e

− 2 cos x)

′

= 2e

−

√

8 + 12y.

24 wrzesie´

n 2004

e´s´c pierwsza:

9.2. PrzykÃladowe tematy zada´

n egzaminacyjnych – studia dzienne

1. Rozwi

a˙z r´ownanie

′

−

x + x

wiedz

ac, ˙ze jego caÃlk

a szczeg´oln

a jest funkcja ϕ(t) =

2. Znajd´z krzywe, dla kt´orych odcinek odci

ety na osi rz

ednych Ox (w ukÃladzie

wsp´oÃlrz

ednych Otx) przez styczn

a, jest r´owny kwadratowi rz

ednej punktu

styczno´sci.

3. Znajd´z caÃlk

e szczeg´oln

a r´ownania

(t + 1)x

′′

− (2 − t)x

′

+ x = 0

speÃlniaj

a warunek pocz

atkowy x(0) = 2, x

′

(0) =

−1 w postaci szeregu

pot

egowego o ´srodku w punkcie t

= 0.

4. Metod

a warto´sci i wektor´ow wÃlasnych, lub przez sprowadzenie macierzy ukÃladu

do postaci Jordana, wyznacz caÃlk

e szczeg´oln

a ukÃladu r´owna´

′

−1 −2

x +

3
3

speÃlniaj

a warunek pocz

atkowy

x(0) =

−4

5. Metod

a transformaty Laplace’a wyznacz caÃlk

e szczeg´oln

a ukÃladu r´owna´

′

+ y

′

− y = t

′

+ y

′

= t

speÃlniaj

a warunek pocz

atkowy x(0) = 1, y(0) = 0.

e´s´c druga:

1. Obni˙z rz

ad r´ownania r´o˙zniczkowego

(1 + 2t)x

′′

+ 4tx

′

− 4x = 0

wiedz

ac, ˙ze jego caÃlk

a szczeg´oln

a jest funkcja ϕ(t) = e

−2t

2. Zbadaj dla jakich parametr´ow a i b, zerowe rozwi

azanie r´ownania

+ ax

′′′

+ 4x

′′

+ bx

′

+ x = 0

jest lokalnie asymptotycznie stabilne.

3. Wyznacz r´ownanie r´o˙zniczkowe rodziny parabol x(t) = at

+ bt.

RozdziaÃl 9. Dodatek

9.3. PrzykÃladowe tematy zada´

n egzaminacyjnych – studia

zaoczne

Pisemny egzamin z r´owna´

n r´o˙zniczkowych jest jednocz

e´sciowy. Czas trwania

egzaminu: zazwyczaj 120 minut. Ka˙zde zadanie jest punktowane w skali 0

− 10

punkt´ow. Poni˙zej zaprezentowane s

a zestawy zada´

n egzaminacyjnych z kilku

sesji.

16 czerwiec 2002
1. Rozwi

a˙z r´ownanie jednorodne

′

t + x

2. Wyznacz caÃlk

e szczeg´oln

a r´ownania Bernoulliego

t(x

′

+ x

) = x

speÃlniaj

a warunek pocz

atkowy x(1) = 1.

3. Wyznacz 4 pierwsze wyrazy rozwini

ecia rozwi

azania problemu pocz

atkowego

x(x

′

+ 1) = t,

x(0) = 1

w szereg pot

egowy w otoczeniu punktu t

= 0.

4. Wyznacz caÃlk

e og´oln

a r´ownania

′′

+ 3x

′

+ 2x = t.

5. Wyznacz caÃlk

e szczeg´oln

a ukÃladu r´owna´

′

−1 −6

speÃlniaj

a warunek pocz

atkowy Cauchy’ego x(0) =

2
2

6. Dla jakich warto´sci paramatr´ow a i b rozwi

azanie zerowe r´ownania

+ ax

′′′

+ 4x

′′

+ bx

′

+ x = 0

jest lokalnie asymptotycznie stabilne. Zaznacz wyznaczony zbi´or na pÃlaszczy´znie
Oab.

20 wrzesie´

n 2002

1. Rozwi

a˙z r´ownanie r´o˙zniczkowe

−tx

9.3. PrzykÃladowe tematy zada´

n egzaminacyjnych – studia zaoczne

2. Znajd´z fundamentalny ukÃlad rozwi

aza´

n w postaci szereg´ow pot

egowych, unor-

mowany w punkcie t

= 0, r´ownania

′′

+ x

′

+ tx = 0.

3. Wyznacz caÃlk

e szczeg´oln

a ukÃladu r´owna´

′

−1

speÃlniaj

a warunek pocz

atkowy Cauchy’ego x(0) =

−1

4. Korzystaj

ac z transformaty Laplace’a znajd´z caÃlk

e szczeg´oln

a r´ownania

′′

− x

′

= sin t

speÃlniaj

a warunek pocz

atkowy Cauchy’ego x(0) = 1, x

′

(0) = 0.

5. Wyznacz caÃlk

e og´oln

a r´ownania

′′

− 2x

′

+ x = t + e

6. Dla jakich paramatr´ow a i b zerowe rozwi

azanie r´ownania

+ ax

′′′

+ 4x

′′

+ 2x

′

+ bx = 0

jest lokalnie asymptotycznie stabilne. Zaznacz wyznaczony zbi´or na pÃlaszczy´znie
Oab.

28 wrzesie´

n 2002

1. Rozwi

a˙z r´ownanie

1 + e

′

= e

2. Rozwi

a˙z r´ownanie

′

− x

3. Wyznacz caÃlk

e og´oln

a r´ownania

′′

− x = t

− t + 1.

4. Znajd´z caÃlk

e szczeg´oln

a ukÃladu r´owna´

′

1 1
4 1

speÃlniaj

a warunek pocz

atkowy postaci

x(1) =

1
0

RozdziaÃl 9. Dodatek

5. Dla jakich paramatr´ow a i b zerowe rozwi

azanie r´ownania

+ ax

′′′

+ 4x

′′

+ bx

′

+ x = 0

jest lokalnie asymptotycznie stabilne. Zaznacz wyznaczony zbi´or na pÃlaszczy´znie
Oab.

14 czerwiec 2003
1. Rozwi

a˙z r´ownanie r´o˙zniczkowe

6txdt + (4x + 9t

)dx = 0.

2. Znajd´z fundamentalny ukÃlad rozwi

aza´

n w postaci szereg´ow pot

egowych, unor-

mowany w punkcie t

= 0, r´ownania

′′

+ tx

′

− x = 0.

3. Wyznacz caÃlk

e szczeg´oln

a ukÃladu r´owna´

′

−3

speÃlniaj

a warunek pocz

atkowy Cauchy’ego x(0) =

1
0

4. Korzystaj

ac z transformaty Laplace’a znajd´z caÃlk

e szczeg´oln

a r´ownania

− 3x = e

speÃlniaj

a warunek pocz

atkowy Cauchy’ego x(0) = 1.

5. Wyznacz caÃlk

e og´oln

a r´ownania

′′

+ 2x

′

+ x = te

6. Dla jakich paramatr´ow a i b zerowe rozwi

azanie r´ownania

+ ax

′′′

+ 4x

′′

+ bx

′

+ x = 0

jest lokalnie asymptotycznie stabilne. Zaznacz wyznaczony zbi´or na pÃlaszczy´znie
Oab.

20 wrzesie´

n 2003

1. Rozwi

a˙z r´ownanie r´o˙zniczkowe

−tx

9.3. PrzykÃladowe tematy zada´

n egzaminacyjnych – studia zaoczne

2. Znajd´z fundamentalny ukÃlad rozwi

aza´

n w postaci szereg´ow pot

egowych, unor-

mowany w punkcie t

= 0, r´ownania

′′

+ x

′

+ tx = 0.

3. Wyznacz caÃlk

e szczeg´oln

a ukÃladu r´owna´

′

−1

speÃlniaj

a warunek pocz

atkowy Cauchy’ego x(0) =

−1

4. Korzystaj

ac z transformaty Laplace’a znajd´z caÃlk

e szczeg´oln

a r´ownania

′′

− x

′

= sin t

speÃlniaj

a warunek pocz

atkowy Cauchy’ego x(0) = 1, x

′

(0) = 0.

5. Wyznacz caÃlk

e og´oln

a r´ownania

′′

− 2x

′

+ x = t + e

6. Dla jakich paramatr´ow a i b zerowe rozwi

azanie r´ownania

+ ax

′′′

+ 4x

′′

+ 2x

′

+ bx = 0

jest lokalnie asymptotycznie stabilne. Zaznacz wyznaczony zbi´or na pÃlaszczy´znie
Oab.

3 pa´

zdziernik 2003

1. Znajd´z caÃlk

e szczeg´oln

a r´ownania

′

−e

x+t+1

speÃlniaj

a warunek pocz

atkowy x(0) =

−1.

2. Znajd´z fundamentalny ukÃlad rozwi

aza´

n w postaci szereg´ow pot

egowych, unor-

mowany w punkcie t

= 0, r´ownania

′′

− x

′

+ tx = 0.

3. Wyznacz caÃlk

e og´oln

a ukÃladu r´owna´

′

−1

4. Korzystaj

ac z transformaty Laplace’a rozwi

a˙z zagadnienie pocz

atkowe

′′

+ x = t,

x(0) = 0,

′

(0) = 1.

RozdziaÃl 9. Dodatek

5. Wyznacz caÃlk

e og´oln

a r´ownania

′′

− 2x

′

+ x = e

−t

6. Dla jakich paramatr´ow a i b zerowe rozwi

azanie r´ownania

+ ax

′′′

+ 4x

′′

+ bx

′

+ x = 0

jest lokalnie asymptotycznie stabilne. Zaznacz wyznaczony zbi´or na pÃlaszczy´znie
Oab.

12 czerwiec 2004
1. Rozwi

a˙z jednorodne r´ownanie r´o˙zniczkowe

+ tx + 3x

)dt

− (t

+ 2tx)dx = 0.

2. Znajd´z caÃlk

e szczeg´oln

a w postaci szeregu pot

egowego, unormowanego w

punkcie t

= 0, r´ownania

′′

+ tx

′

− x = 0, x(0) = 1, x

′

(0) = 0.

3. Wyznacz caÃlk

e og´oln

a r´ownania

′′′

− x

′′

+ 4x

′

− 4x = 3e

4. Wyznacz caÃlk

e szczeg´oln

a ukÃladu r´owna´

′

−3

−2

x +

−1

z warunkiem pocz

atkowym x(0) =

0
0

5. Stosuj

ac transformat

e Laplace’a oblicz x-sow

a skÃladow

a caÃlki szczeg´olnej ukÃladu

r´owna´

′

+ y

′

− 2x

= 1

′

+ y

′

− 3x − 3y = 2

z warunkiem pocz

atkowym x(0) = 0, y(0) = 0.

6. Dla jakiej warto´sci parametru a zerowe rozwi

azanie r´ownania

+ ax

′′′

+ x

′′

+ 2x

′

+ x = 0

jest lokalnie asymptotycznie stabilne.

17 wrzesie´

n 2004

1. Rozwi

a˙z problem pocz

atkowy Cauchy’ego

′

sin t = x ln x,

x(π/2) = 1.

9.3. PrzykÃladowe tematy zada´

n egzaminacyjnych – studia zaoczne

2. Znajd´z caÃlk

e szczeg´oln

a w postaci szeregu pot

egowego, unormowanego w

punkcie t

= 0, r´ownania

′′

+ x

′

− t

x = 0,

x(0) =

−1, x

′

(0) = 1.

3. Wyznacz caÃlk

e szczeg´oln

a r´ownania

′′

− 2x

′

+ 2x = te

−t

speÃlniaj

a warunek pocz

atkowy x(0) = x

′

(0) = 0.

4. Wyznacz caÃlk

e og´oln

a ukÃladu r´owna´

′

= 2x

− y,

′

= x + 2e

5. Stosuj

ac transformat

e Laplace’a oblicz y-kow

a skÃladow

a caÃlki szczeg´olnej ukÃladu

r´owna´

′

+ y

′

− 2x

= 1

′

+ y

′

− 3x − 3y = 2

z warunkiem pocz

atkowym x(0) = 0, y(0) = 0.

6. Dla jakich warto´sci parametr´ow a i b, zerowe rozwi

azanie r´ownania

+ 2x

′′′

+ 4x

′′

+ ax

′

+ bx = 0

jest lokalnie asymptotycznie stabilne.

27 wrzesie´

n 2004

1. Rozwi

a˙z problem pocz

atkowy Cauchy’ego

′

= x ln x,

x(0) = e.

2. Znajd´z caÃlk

e szczeg´oln

a w postaci szeregu pot

egowego, unormowanego w

punkcie t

= 0, r´ownania

′′

+ (t + 1)x = 0,

x(0) = 1,

′

(0) = 1.

3. Wyznacz caÃlk

e szczeg´oln

a r´ownania

′′

− 6x

′

+ 9x = t

speÃlniaj

a warunek pocz

atkowy x(0) = 0, x

′

(0) = 1.

4. Wyznacz caÃlk

e og´oln

a ukÃladu r´owna´

′

x + 2y,

′

−

1
2

x + y.

5. Dla jakich warto´sci parametr´ow a i b, zerowe rozwi

azanie r´ownania

+ 2x

′′′

+ 4x

′′

+ ax

′

+ bx = 0

jest lokalnie asymptotycznie stabilne.

6. Stosuj

ac transformat

e Laplace’a rozwi

a˙z problem pocz

atkowy Cauchy’ego

′′

+ x = sin t,

x(0) = 1,

′

(0) =

−1.

Bibliograﬁa

[1] F.Bierski, Funkcje zespolone, Szeregi i przeksztaÃlcenia Fouriera, PrzeksztaÃlcenia

caÃlkowe Laplace’a, PrzeksztaÃlcenia Laurenta (Z), wyd. pi

ate poprawione, Uczel-

niane Wydawnictwa Naukowo-Dydaktyczne AGH, Krak´ow 1999.

[2] B.P.Conrad, Diﬀerential Equations, A Systems Approach, Pearson Education,

Inc., Upper Saddle River, New Jersey, 2003.

[3] B.P.Demidowicz, Matematyczna teoria stabilno´sci, Wyd. Naukowo-Techniczne,

Warszawa 1972.

[4] L.Dru˙zkowski, Analiza Matematyczna dla ﬁzykow, Cz

e´s´c II, Wybrane zagadnie-

nia, Wyd. UJ, Krak´ow 1997.

[5] A.F.Filippow, Zbi´or zada´

n z r´owna´

n r´o˙zniczkowych, Izd. Nauka, Moskwa 1973.

[6] I.M. Gelfand, WykÃlady z algebry liniowej, wyd. 3, PWN, Warszawa 1977.
[7] R.Gutowski, Rownania r´o˙zniczkowe zwyczajne, Wyd. Naukowo-Techniczne, War-

szawa 1971.

[8] M.I.Kontorowicz, Rachunek operatorowy i procesy w ukÃladach elektrycznych,

Wyd. Naukowo-Techniczne, Warszawa 1968.

[9] N.M.Matwiejew, Metody caÃlkowania r´owna´

n r´o˙zniczkowych zwyczajnych, PWN,

Warszawa 1972.

[10] J.Niedoba, W.Niedoba, R´ownania r´o˙zniczkowe zwyczajne i cz

astkowe, Zadania z

matematyki, Wydanie trzecie, Uczelniane Wydawnictwa Naukowo-Dydaktyczne
AGH, Krak´ow 2001.

[11] J.Ombach, WykÃlady z r´owna´

n r´o˙zniczkowych, Wyd. UJ, Krak´ow 1996.

[12] A.Palczewski, R´ownania r´o˙zniczkowe zwyczajne (teoria i metody numeryczne

z wykorzystaniem komputerowego systemu oblicze´

n symbolicznych), Wyd.

Naukowo-Techniczne, Warszawa 1999.

[13] A.Pelczar, J.Szarski, Wst

ep do teorii r´owna´

n r´o˙zniczkowych, Cz

e´s´c I, PWN, War-

szawa 1987.

[14] A.Pelczar, Wst

ep do teorii r´owna´

n r´o˙zniczkowych, Cz

e´s´c II, PWN, Warszawa

1989.

[15] K.K.Ponomariew, UkÃladanie i rozwi

azywanie r´owna´

n r´o˙zniczkowych w zagadnie-

niach technicznych, Wyd. Naukowo-Techniczne, Warszawa 1969.

[16] W.Stankiewicz, J.Wojtowicz, Zadania z matematyki dla wy˙zszych uczelni tech-

nicznych, Cz

e´s´c II, PWN, Warszawa 1983.

Bibliograﬁa

[17] F.G.Tricomi,Diﬀerential Equations, Blackie&Son Limited, 1961.
[18] D.G.Zill, Diﬀerential Equations with Boundary-Value Problems, PWS-KENT Pu-

blishing Company, Boston, 1986.

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
podst czlony automatyki rob id Nieznany
Abolicja podatkowa id 50334 Nieznany (2)
4 LIDER MENEDZER id 37733 Nieznany (2)
katechezy MB id 233498 Nieznany
metro sciaga id 296943 Nieznany
perf id 354744 Nieznany
interbase id 92028 Nieznany
Mbaku id 289860 Nieznany
Probiotyki antybiotyki id 66316 Nieznany
miedziowanie cz 2 id 113259 Nieznany
LTC1729 id 273494 Nieznany
D11B7AOver0400 id 130434 Nieznany
analiza ryzyka bio id 61320 Nieznany
pedagogika ogolna id 353595 Nieznany
Misc3 id 302777 Nieznany
cw med 5 id 122239 Nieznany
D20031152Lj id 130579 Nieznany

więcej podobnych podstron