AKADEMIA GÓRNICZO - HUTNICZA
IM. STANISŁAWA STASZICA w KRAKOWIE
WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI, AUTOMATYKI, INFORMATYKI i ELEKTRONIKI
KATEDRA METROLOGII
LABORATORIUM METROLOGII
Podstawy akwizycji i cyfrowego przetwarzania
sygnałów
dr inż. Andrzej Skalski
mgr inż. Mirosław Socha
Kraków, 2010
2
dr inż. Andrzej Skalski, mgr inż. Mirosław Socha
Katedra Metrologii AGH
Akwizycja sygnałów
Laboratorium Metrologii
Spis treści
1.
Wstęp .............................................................................................................................................. 3
2.
Szeregi Fouriera .............................................................................................................................. 3
3.
Reprezentacja sygnałów ................................................................................................................. 5
4.
Przekształcenie Fouriera ................................................................................................................. 7
5.
Przetwarzanie sygnału analogowego na cyfrowy ......................................................................... 8
6.
Ograniczenie długości sygnału oraz Twierdzenie o próbkowaniu ................................................ 8
7.
Widmo sygnału ............................................................................................................................. 11
8.
Kwantowanie ................................................................................................................................ 14
9.
Kodowanie .................................................................................................................................... 15
10. Literatura....................................................................................................................................... 16
3
Akwizycja sygnałów
Laboratorium Metrologii
Katedra Metrologii AGH
dr inż. Andrzej Skalski, mgr inż. Mirosław Socha
1. Wstęp
Rozwój urządzeń pomiarowych oraz mocy obliczeniowej komputerów umożliwia budowę
komputerowych systemów pomiarowych lub kontrolno‐pomiarowych dających nowe możliwości w
porównaniu z klasycznymi przyrządami analogowymi. Projektowanie systemów pomiarowych zwykle
ma celu umożliwienie pomiaru różnych wielkości fizycznych obiektu. Jako przykład można podać:
pomiar temperatury, przemieszczeń, przyspieszeń, prędkości obrotowej czy naprężeń. Jednym z
możliwych rozwiązań jest system pomiarowy wykorzystujący kartę akwizycji danych. Przykładową
ideę takiego systemu przedstawiono na rys. 1.
Wi
el
ko
ści
mi
er
zo
ne
Rysunek 1 Idea sytemu pomiarowego wykorzystującego kartę pomiarową.
Pierwszym elementem systemu są czujniki pomiarowe, w których następuje zmiana określonego
parametru w funkcji wartości wielkości mierzonej. Przykładowo, w czujniku Pt100 następuje zmiana
wartości rezystancji wraz ze zmianami temperatury, które chcemy mierzyć. Następnie przetwornik
pomiarowy zamienia parametr elektryczny na napięcie lub prąd stały (mostek Wheatstone’a z
czujnikiem rezystancyjnym wpiętym w gałąź mostka). Ponieważ urządzania pomiarowe posiadają
zdefiniowany zakres pomiarowy, poziom sygnałów mierzonych musi zostać dostosowany do
zakresów wejściowych tegoż urządzenia. Zadanie to realizują układy kondycjonowania sygnałów,
które normalizują sygnał wejściowy do odpowiednich wartości. Tak przygotowany sygnał podawany
jest na wejście karty pomiarowej, gdzie przetwornik analogowy‐cyfrowy (a/c) zamienia pomiarowy
sygnał analogowy na cyfrowy, który może zostać wprowadzony do komputera w celu wizualizacji,
diagnostyki obiektu oraz jego stanu lub wykorzystania go do sterowania procesami technologicznymi.
Szczegółowy opis poszczególnych bloków, rozwiązania sprzętowe, interfejsy pomiarowe oraz inne
typy systemów (np. modułowe) można znaleźć w [1].
Jednym z problemów występujących przy projektowaniu systemów pomiarowych jest
odpowiedni dobór parametrów akwizycji sygnałów (częstotliwość próbkowania, rozdzielczość
przetwornika a/c), tak aby nie utracić informacji pomiarowej zawartej w mierzonym sygnale. Celem
ćwiczenia jest zapoznanie się z podstawami akwizycji sygnałów pomiarowych tj.: twierdzeniem o
próbkowaniu, kwantowaniem, kodowaniem oraz widmową reprezentacją sygnałów.
2. Szeregi Fouriera
Dowolny okresowy sygnał rzeczywisty x(t) można przybliżyć przy pomocy rozwinięcia w szereg ‐
sumę odpowiednio dobranych funkcji np. trygonometrycznych. Szczególne znaczenie ma rozwinięcie
nazywane szeregiem Fouriera, które jest protoplastą dyskretnej transformacji (przekształcenia)
Fouriera [3].
4
dr inż. Andrzej Skalski, mgr inż. Mirosław Socha
Katedra Metrologii AGH
Akwizycja sygnałów
Laboratorium Metrologii
Tabela 1 zawiera wzory umożliwiające wyznaczenie współczynników szeregu Fouriera dla kilku
podstawowych przebiegów. Ponieważ transformacja Fouriera jest operacją liniową, przytoczone
współczynniki szeregu Fouriera mogą służyć do obliczenia teoretycznego udziału poszczególnych
harmonicznych (całkowitych wielokrotności pulsacji podstawowej ω
0
) dla sygnałów okresowych.
Szersze zestawienie rozkładów innych funkcji okresowych w szereg Fouriera można znaleźć w
poradniku encyklopedycznym [5].
Pamiętaj!
Związek częstotliwości z pulsacją wyraża się zależnością:
f
π
ϖ
2
=
Tabela 1 Współczynniki szeregu Fouriera podstawowych sygnałów (tab. 3‐1 w [3])
Sygnał
Współczynniki szeregu Fouriera
Prostokąt bipolarny:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
+
=
…
t
t
t
A
t
x
0
0
0
5
sin
5
1
3
sin
3
1
sin
4
)
(
ω
ω
ω
π
Prostokąt unipolarny wypełniony
50%:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
−
+
=
…
t
t
t
A
A
t
x
0
0
0
5
cos
5
1
3
cos
3
1
cos
2
2
)
(
ω
ω
ω
π
Prostokąt unipolarny o dowolnym
wypełnieniu:
∑
∞
=
+
=
1
0
cos
/
)
/
sin(
2
)
(
k
t
k
T
k
T
k
T
A
T
A
t
x
ω
τ
π
τ
π
τ
τ
Trójkąt bipolarny:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
−
=
…
t
t
t
A
t
x
0
2
0
2
0
2
5
sin
5
1
3
sin
3
1
sin
8
)
(
ω
ω
ω
π
Trójkąt typu piła, bipolarny:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
−
=
…
t
t
t
A
t
x
0
0
0
3
sin
3
1
2
sin
2
1
sin
2
)
(
ω
ω
ω
π
5
Akwizycja sygnałów
Laboratorium Metrologii
Katedra Metrologii AGH
dr inż. Andrzej Skalski, mgr inż. Mirosław Socha
Trójkąt unipolarny:
∑
∞
=
+
+
−
=
0
0
2
2
)
1
2
cos(
)
1
2
(
1
4
2
)
(
k
t
k
k
A
A
t
x
ω
π
Trójkąt typu piła, unipolarny:
∑
∞
=
−
=
1
0
sin
2
)
(
k
k
t
k
A
A
t
x
ω
π
Sinusoida wyprostowana
dwupołówkowo:
∑
∞
=
−
−
=
0
0
2
2
cos
1
4
1
4
2
)
(
k
t
k
k
A
A
t
x
ω
π
π
Sinusoida wyprostowana
jednopołówkowo:
∑
∞
=
−
−
+
=
1
0
2
0
2
cos
1
4
1
2
sin
2
)
(
k
t
k
k
A
t
A
A
t
x
ω
π
ω
π
Można zauważyć, że funkcje parzyste (x(t)=x(‐t)) oraz nieparzyste (x(t)=‐x(‐t)) są odtwarzane przy
pomocy sumy funkcji kosinus bądź sinus. Dodatkowo, nie zawsze występują wszystkie wielokrotności
pulsacji podstawowej (pierwszej harmonicznej) ω
0
, np. przebieg trójkątny może zawierać jedynie
harmoniczne nieparzyste (3,5…) zaś trójkątny typu piła zawiera również harmoniczne parzyste.
Amplitudy poszczególnych harmonicznych dość szybko maleją, dlatego podczas analizy wyników
prezentowanych na wykresach w dziedzinie częstotliwości, na osi amplitudy stosuje się skalę
logarytmiczną, która umożliwia obserwowanie wartości zarówno dużych jak i małych.
Pamiętaj!
Pierwsza składowa harmoniczna jest sygnałem o częstotliwości (pulsacji)
równej częstotliwości (pulsacji) analizowanego sygnału okresowego. Kolejne
harmoniczne ( 2, 3, 4...) są całkowitą wielokrotnością pierwszej harmonicznej.
3. Reprezentacja sygnałów
Sygnał pomiarowy może być przedstawiany w różnej sposób. Naturalnym podejściem wydaje się
reprezentacja w dziedzinie czasu, gdzie przedstawiana jest zmiana wartości sygnału w czasie (rys. 2a).
6
dr inż. Andrzej Skalski, mgr inż. Mirosław Socha
Katedra Metrologii AGH
Akwizycja sygnałów
Laboratorium Metrologii
Innym podejściem jest reprezentacja sygnału w dziedzinie częstotliwości (rys. 2b), która umożliwia
przeprowadzanie jego analizy częstotliwościowej. Informacja o składowych częstotliwościowych
zawartych
w
sygnałach,
z
którymi
często
się
spotykamy:
sygnały
biomedyczne
(np. elektrokardiograficzne, elektromiograficzne), sygnały pochodzące z urządzeń technicznych
(np. drgania maszyn) itd., pozwalają wnioskować o właściwościach lub stanach obiektu
analizowanego.
Z drugiej strony, człowiek sam dokonuje podziału dostępnego pasma częstotliwościowego na
podpasma, w których generuje sygnały użytkowe o różnych częstotliwościach. Wykorzystujemy to w
życiu codziennym zmieniając stację radiową, kanał w telewizji, czy korzystając z telefonii
komórkowej.
Rysunek 2 Przykładowy sygnał w dziedzinie: a) czasu; b) częstotliwości.
Urządzenia cyfrowe (np. komputer, kalkulator) nie są wstanie przedstawić dowolnej liczby. Mogą
one przedstawić skończoną ich ilość oraz skończoną liczbę wartości (ściśle zdefiniowanych). Z tego
powodu nie jest możliwe „bezpośrednie wprowadzenie” do komputera np. sygnału EKG. Sygnały
występujące w przyrodzie i technice w głównej mierze są tak zwanymi sygnałami analogowymi.
Termin analogowy wykorzystuje się do opisu sygnałów, które są ciągłe w czasie oraz mogą
przyjmować wartości z ciągłego zakresu liczb. W celu analizy czy wykorzystania sygnału w procesach
technologicznych, konieczna jest zamiana takiego sygnału na sygnał cyfrowy (dyskretny), czyli taki,
który jest reprezentowany jako ciąg wartości liczbowych. Wartości te nie należą do ciągłego
przedziału czasu lub amplitudy, mogą tylko przyjąć ściśle określoną liczbę wartości w dziedzinie czasu
oraz amplitudy. Przykładowy sygnał analogowy oraz jego reprezentacja cyfrowa została
przedstawiona w postaci graficznej na rysunku 3. Szczegółowe wyjaśnienia wraz z przykładami można
znaleźć w [2] (str. 18‐24) lub w [3].
7
Akwizycja sygnałów
Laboratorium Metrologii
Katedra Metrologii AGH
dr inż. Andrzej Skalski, mgr inż. Mirosław Socha
Rysunek 3 a) Przykładowy sygnał analogowy; b) reprezentacja cyfrowa sygnału z a).
4. Przekształcenie Fouriera
Analiza częstotliwościowa sygnałów wykonywana jest zwykle przy wykorzystaniu przekształcenia
Fouriera, które zdefiniowane jest za pomocą prostej i odwrotnej transformacji (dla sygnałów ciągłych
w dziedzinie czasu):
∫
+∞
∞
−
⋅
⋅
⋅
⋅
−
⋅
=
dt
e
t
x
f
X
t
f
j
π
2
)
(
)
(
(1)
∫
+∞
∞
−
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
df
e
f
X
t
x
t
f
j
π
2
)
(
)
(
(2)
gdzie X(f) jest zespolonym widmem Fouriera sygnału x(t) i zawiera informację o jego zawartości
częstotliwościowej (f – częstotliwość wyrażona w Hz, e – podstawa logarytmu naturalnego,
eksponenta), [2,3].
Transformata Fouriera sygnałów sinus i kosinus wynosi (rozdział 4.3 w [3]):
))
(
2
)
(
2
(
)
(
cos
0
0
2
1
2
1
0
0
0
ω
ω
πδ
ω
ω
πδ
ω
ω
ω
+
+
−
↔
+
=
−
t
j
t
j
e
e
t
(3)
))
(
2
)
(
2
(
)
(
sin
0
0
2
2
1
0
0
0
ω
ω
πδ
ω
ω
πδ
ω
ω
ω
+
−
−
−
↔
−
=
−
j
t
j
t
j
j
e
e
t
(4)
gdzie jest impulsem (deltą) Diraca, funkcją uogólnioną reprezentującą nieskończenie krótki impuls o
nieskończonej amplitudzie i jednostkowym polu powierzchni, zdefiniowaną w następujący sposób:
8
dr inż. Andrzej Skalski, mgr inż. Mirosław Socha
Katedra Metrologii AGH
Akwizycja sygnałów
Laboratorium Metrologii
∫
∞
∞
−
=
⎩
⎨
⎧
=
∞
≠
=
1
)
(
0
0
0
)
(
dt
t
t
dla
t
dla
t
δ
δ
(5)
Deltę Diraca
)
(t
δ
lub
)
(
ω
δ
przedstawia się graficzne w postaci „szpilki” o jednostkowej
amplitudzie, umieszczonej na osi odciętych w punkcie określonym przez argument funkcji (dla
przytoczonych oznaczeń będą to punkty t na osi czasu oraz
ω
na osi pulsacji).
Analizując wyrażenia na transformatę Fouriera funkcji okresowych sinus i kosinus można
stwierdzić, że ich transformata w dziedzinie częstotliwości (
ω
) ma postać sumy dwóch impulsów
Diraca. Idąc dalej tym tropem, można zauważyć, że skoro dowolny okresowy przebieg x(t) można
zapisać jako sumę funkcji sinus i kosinus (szereg Fouriera), to jego transformata Fouriera będzie
miała postać sumy transformat funkcji sinus i kosinus (gwarantuje to liniowość transformaty). Tak
więc każdej częstotliwości występującej w sygnale odpowiada prążek będący deltą Diraca o
amplitudzie, której wartość można wyznaczyć na podstawie rozwinięcia sygnału w szereg Fouriera.
Transformata Fouriera delty Dirca ma następującą postać:
1
)
(
↔
t
δ
(6)
Transformata Fouriera funkcji stałej:
)
(
2
1
ω
πδ
↔
(7)
Bardzo często deltę Diraca traktuje się jako funkcję próbkowania sygnałów analogowych:
∫
∞
∞
−
=
−
)
(
)
(
)
(
τ
τ
δ
x
dt
t
t
x
(8)
5. Przetwarzanie sygnału analogowego na cyfrowy
Jak już wspomniano, proces przetwarzania sygnału analogowego na cyfrowy (a/c) powinien być
dokonany w sposób staranny z uwzględnieniem właściwości oraz ograniczeń dotyczących tego
procesu. Z przetwarzaniem a/c związane są trzy procesy, które zostaną bardziej szczegółowo
omówione w dalszej części: próbkowanie, kwantowanie oraz kodowanie.
6. Ograniczenie długości sygnału oraz Twierdzenie o próbkowaniu
Ponieważ żadne urządzenie cyfrowe nie jest wstanie zarejestrować nieskończenie wielu próbek
sygnału zebranych w nieskończenie krótkich odstępach czasu, konieczne jest zastosowanie
określonych reguł pozwalających zarejestrować próbki sygnału w taki sposób, aby była możliwość ich
późniejszego odtworzenia bez strat informacji w sygnale.
Pierwszy problem rozwiązuje się rejestrując (próbkując) tylko skończony fragment
nieskończonego sygnału. Proces ten można sobie wyobrazić jak zastosowanie okna, które pokazuje
(wycina) fragment przebiegu. Okno takie można zdefiniować jako funkcję prostokątną, której
9
Akwizycja sygnałów
Laboratorium Metrologii
Katedra Metrologii AGH
dr inż. Andrzej Skalski, mgr inż. Mirosław Socha
amplituda jest równa 1 tylko w obszarze równym „szerokości czasowej” okna. Dla pozostałych chwil
czasu, okno ma wartość równą zero (jest „nieprzeźroczyste”). Tylko ten fragment sygnału, który jest
widziany przez okno, jest dalej przetwarzany. W praktyce wykorzystuje się rożne rodzaje i kształty
okien, w których wartości zmieniają się w inny sposób niż skokowy [2,3]. W dalszej części instrukcji
ograniczymy się tylko do okna prostokątnego, ponieważ analiza wpływu okien wybiega poza program
tego ćwiczenia.
Na rysunku 4 przedstawiono przykład zastosowania okna prostokątnego (linia przerywana) o
różnej długości (różny czas obserwacji sygnału).
Rysunek 4. Pierwszy i drugi wiersz: wycięcie fragmentu sygnału oknem; w kolumnach: wpływ doboru szerokości
okna na widmo częstotliwościowe.
W pierwszym przypadku (lewa kolumna), okno obserwacji sygnału ma długość równą okresowi
badanego sygnału, w drugim zaś (prawa kolumna) jest krótsze. W drugim wierszu przedstawiono
10
dr inż. Andrzej Skalski, mgr inż. Mirosław Socha
Katedra Metrologii AGH
Akwizycja sygnałów
Laboratorium Metrologii
wycięte fragmenty sygnału. Wycięty fragment sygnału traktowany jest jako fragment reprezentujący
cały, nieskończenie długi sygnał (trzeci wiersz). Porównując nieskończony sygnałem okresowy
(pierwszy wiersz rysunku) z sygnałem odtworzonym na podstawie wyciętego fragmentu, można
zauważyć, że w wyniku zastosowania krótszego okna, analizowany sygnał nie może być już
traktowany jako „czysta” sinusoida. Zawiera on gwałtowny skok wartości chwilowej, który musi być
odtworzony w dziedzinie częstotliwości – objawia się w widmie sygnału w postaci rozmycia prążka.
Podsumowując: jeżeli w oknie (czasie) obserwacji sygnału nie znajduje się całkowita wielokrotność
okresów sygnału (rysunek 4. kolumna druga) to każdej harmonicznej odpowiada kilka prążków
sygnału.
Próbkowanie jest operacją polegającą na dyskretyzacji czasu – wybierane są ściśle określone
momenty w czasie, w których to dokonywany jest pomiar wartości amplitudy sygnału analogowego.
Dobór częstotliwości z jaką powinno się zrejestrować próbki sygnału, tak aby możliwe było późniejsze
odtworzenie sygnału analogowego, określa twierdzenie o próbkowaniu znane również pod nazwą
Twierdzenie Kotielnikowa‐Shannona:
Pamiętaj!
TWIERDZENIE O PRÓBKOWANIU: Dolnopasmowy sygnał ciągły może być
ponownie wiernie odtworzony z sygnału dyskretnego, jeśli był próbkowany
z częstotliwością f
p
co najmniej dwa razy większą od największej częstotliwości
występującej w widmie sygnału (częstotliwość graniczna, częstotliwość
Nequista).
Dolnopasmowość sygnału oznacza, że w sygnale można wyróżnić pewną największą
częstotliwość graniczną, czyli w sygnale występują jedynie częstotliwości mniejsze od częstotliwości
granicznej. Sygnały, których rozwinięcia w szeregi Fouriera przedstawiono w tabeli 1 są przykładami
sygnałów o teoretycznie nieskończonym widmie, ponieważ opisane są sumami harmonicznych dla
których pulsacja rośnie do nieskończoności. Jednocześnie amplitudy kolejnych harmonicznych dążą
do zera. Ze względu na ograniczoną rozdzielczość amplitudową, wyższe harmoniczne nie mogą więc
być poprawnie mierzone. Dla rzeczywistych sygnałów przyjmuje się, że są to sygnały o szerokim ale
skończonym widmie.
Rysunek 5 przedstawia wynik próbkowania trzech przebiegów sinusoidalnych o różnych
częstotliwościach (20Hz, 120Hz i 240Hz) z częstotliwością f
p
=100Hz. Można zauważyć, że zaznaczone
na rysunku wartości zmierzonych próbek sygnałów są identyczne, zarówno co do czasu jak i wartości
chwilowej. Jest to wynik niepoprawnego doboru częstotliwości próbkowania dla przebiegów
drugiego i trzeciego – nie zostało dla nich spełnione twierdzenia o próbkowaniu.
W przypadku niespełnienia twierdzenia o próbkowaniu, ciąg x(n) próbek reprezentujących
przebieg sinusoidalny o częstotliwości f
0
Hz może również reprezentować przebiegi o innych
częstotliwościach równych f
0
+kf
p
, będącymi całkowitymi wielokrotnościami częstotliwości
próbkowania:
)
)
(
2
sin(
)
2
sin(
)
(
0
0
p
p
p
nt
kf
f
nt
f
n
x
+
=
=
π
π
(9)
gdzie t
p
=1/f
p
.
11
Akwizycja sygnałów
Laboratorium Metrologii
Katedra Metrologii AGH
dr inż. Andrzej Skalski, mgr inż. Mirosław Socha
Rysunek 5 Wynik próbkowania sygnałów sinusoidalnych o częstotliwościach od góry: 20 Hz, 120 Hz, 220 Hz.
Czarne słupki oznaczają próbkowanie z częstotliwością f
p
=100 Hz
.
Pamiętaj!
Podczas próbkowania z szybkością f
p
próbek na sekundę, jeśli k jest dowolną
liczbą całkowitą, nie jesteśmy w stanie rozróżnić spróbkowanych wartości
przebiegu sinusoidalnego o częstotliwości f
0
Hz oraz przebiegu sinusoidalnego
o częstotliwości (f
0
+kf
p
) Hz.
7. Widmo sygnału
W praktyce bardzo często spotykamy się z cyfrową reprezentacją sygnałów analogowych.
W konsekwencji prowadzi to do konieczności stosowania odpowiednich narzędzi dostosowanych do
tego typu sygnałów. Odpowiednikiem transformacji Fouriera dla sygnałów ciągłych jest Dyskretne
Przekształcenie Fouriera (ang. Discrete Fourier Transform ‐ DFT):
∑
−
=
⋅
⋅
⋅
⋅
−
⋅
=
1
0
2
)
(
)
(
N
n
N
k
n
j
e
n
x
k
X
π
(9)
gdzie x(n) jest n próbką sygnału dyskretnego, k – numer prążka (numer składowej
częstotliwościowej), N – liczba próbek sygnału. W wyniku przekształcenia otrzymujmy N dyskretnych
prążków X(k). Innymi słowy, liczba składowych częstotliwościowych otrzymywanych w wyniku
przekształcenia jest równa liczbie próbek sygnału, na którym stosowane jest przekształcenie.
Szczegółowy opis, właściwości przekształcenia wraz z przykładami obliczeniowymi można znaleźć
w [2,3].
12
dr inż. Andrzej Skalski, mgr inż. Mirosław Socha
Katedra Metrologii AGH
Akwizycja sygnałów
Laboratorium Metrologii
Pamiętaj!
W wyniku Dyskretnego Przekształcenia Fouriera wyznaczona liczba
składowych częstotliwościowych (prążków) jest równa liczbie próbek sygnału,
na którym wykonywane jest przekształcenie.
Pojęciem widma posługujemy się w sposób bardzo ogólny za każdym razem, gdy rozważamy
dowolnego typu rozwinięcie częstotliwościowe sygnału. W szczególności, bardzo często
wykorzystujemy widmo Fouriera.
Sygnał w dziedzinie częstotliwości przedstawiany jest zwykle w postaci tak zwanego widma
amplitudowego oraz widma fazowego. Widmo amplitudowe sygnału jest to moduł z wyników
przekształcenia Fouriera:
2
2
))
(
Im(
))
(
Re(
)
(
k
X
k
X
k
X
+
=
(10)
Widmo fazowe sygnału definiowane jest jako argument z wyników przekształcenia Fouriera:
(
)
(
)
(
)
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
)
(
Re
)
(
Im
)
(
arg
k
X
k
X
arctg
k
X
(11)
Pamiętaj!
Widmo amplitudowe sygnału jest symetryczne względem f
p
/2.
Pamiętaj!
Sygnał sinusoidalny w widmie amplitudowym jest reprezentowany przez
pojedynczy prążek (rys. 2). Jeżeli sygnał jest złożony z sumy sygnałów
sinusoidalnych to w widmie każda składowa będzie reprezentowana przez
oddzielny prążek.
Składowa stała sygnału w widmie amplitudowym ujawnia się zawsze jako
prążek zerowy (0 Hz).
13
Akwizycja sygnałów
Laboratorium Metrologii
Katedra Metrologii AGH
dr inż. Andrzej Skalski, mgr inż. Mirosław Socha
Rozdzielczość częstotliwościowa takiego widma wyznaczana jest z zależności:
N
f
f
p
=
Δ
(12)
gdzie f
p
jest częstotliwością próbkowania, natomiast N liczbą próbek, z której jest liczone DFT. Należy
tutaj podkreślić fakt, iż ze względu na symetrie występujące w DFT (patrz: [2], [3]) widmo jest
przedstawiane od 0 do f
p
/2.
Przykład 1: Kartą pomiarową zarejestrowano 512 próbek sygnału sinusoidalnego o częstotliwości
f = 20 Hz, amplitudzie równej 1 V i składowej stałej DC=2 V. Częstotliwość próbkowania f
p
wynosiła
256 Hz. Narysuj widmo amplitudowe (w zakresie od 0 do f
p
/2) oraz wyznacz rozdzielczość
częstotliwościową widma.
Widmo amplitudowe:
Ponieważ w sygnale występuje składowa stała, w widmie pojawi się niezerowy prążek dla
częstotliwości 0 Hz (prążek zerowy). Dodatkowo uwidoczni się składowa sinusoidalna dla
częstotliwości 20 Hz.
Wysokość prążków została przeliczona na wartość amplitudy A=2*M(k) gdzie M(k) jest wartością
k prążka ([2] str).
Rozdzielczość częstotliwościowa:
Hz
0,5
512
256
=
=
=
Δ
N
f
f
p
14
dr inż. Andrzej Skalski, mgr inż. Mirosław Socha
Katedra Metrologii AGH
Akwizycja sygnałów
Laboratorium Metrologii
Przykład 2: Kartą pomiarową zarejestrowano 512 próbek sygnału sinusoidalnego o częstotliwości
f = 456 Hz, amplitudzie równej 1 V. Częstotliwość próbkowania f
p
wynosiła 256 Hz. Narysuj widmo
amplitudowe (w zakresie od 0 do f
p
/2).
Widmo amplitudowe:
Wybierzmy widmo zawierające częstotliwość równą częstotliwości sygnału czyli prążek 456 Hz.
Będzie to widmo w zakresie (f
p
do 2f
p
) co odpowiada (256 Hz do 512 Hz). Ze względu na symetrię
widma Fouriera względem f
p
/2 (w naszym wypadku względem 3 f
p
/2) prążek 456 Hz pojawi się w 312
Hz (512Hz – 456Hz = 56 Hz czyli prążek pojawi się w 256 Hz + 56 Hz = 312 Hz). Uwzględniając zjawisko
powielenia widma, widmo z zakresu f
p
do 2f
p
będzie takie samo jak w zakresie 0 do f
p
. Podsumowując
w zakresie 0 do f
p
/2 pojawi się niezerowy prążek dla 56 Hz.
1. Symetria
względem fp/2
2. Powielenie
widma
8. Kwantowanie
Kwantowanie lub inaczej dyskretyzacja wartości spróbkowanych sygnałów, jest obok
próbkowania i kodowania jednym z trzech podstawowych etapów przetwarzania analogowo‐
cyfrowego. Polega na przypisaniu zmierzonej amplitudzie skończonej liczby kwantów. Wartość
kwantu określa najmniejszy rozróżniany poziomu amplitudy przetwarzanego sygnału. Celem
kwantowania jest zastąpienie ciągłego opisu amplitudy, zapisem dyskretnym o ograniczonej liczbie
możliwych stanów, który możliwy jest do dalszego przetwarzania w systemach komputerowych.
Wartość kwantu zależy od dwóch parametrów:
• liczby bitów przetwornika A/C (najczęściej od 8b do 24b), która określa liczbę możliwych do
rozróżnienia stanów, równą 2
Nbit
15
Akwizycja sygnałów
Laboratorium Metrologii
Katedra Metrologii AGH
dr inż. Andrzej Skalski, mgr inż. Mirosław Socha
• pełnego zakresu pomiarowego, czyli przedziału dopuszczalnej zmienności wielkości
przetwarzanej przez przetwornik, definiowanego jako moduł różnicy wartości maksymalnej oraz
minimalnej przedziału dopuszczalnej wartości chwilowej sygnału; zakres pomiarowy może być
unipolarny (np. przedział od 0V do 1V – pełen zakres 1V) oraz bipolarny (np. przedział od ‐10V do
+10V – pełen zakres 20V).
Rozdzielczość przetwornika równa jest wartości kwantu i wyznaczana jest jako iloczyn zakresu
pomiarowego oraz liczby rozróżnialnych poziomów:
Nbit
min
max
2
U
U
q
−
=
(13)
Przykład 3: Oblicz rozdzielczość 8 bitowego przetwornika a/c pracującego na zakresie 0 – 1 V.
mV
9
.
3
2
0
1
2
8
Nbit
min
max
=
−
=
−
=
U
U
q
9. Kodowanie
Ostatnim krokiem przetwarzania analogowo‐cyfrowego jest kodowanie, podczas którego liczba
kwantów odpowiadająca skwantowane wartości chwilowe sygnału, zapisywana jest w postaci słowa
binarnego na skończonej liczbie bitów Nbit przy użyciu konkretnego kodu binarnego (dwójkowego).
W kodach tych używa się dwóch symboli: 1 (włączony) i 0 (wyłączony). Rozróżnia się dwa szczególne
bity w słowach: bit najstarszy lub najbardziej znaczący, który w zapisie znajduje się na skrajnej lewej
pozycji oraz bit najmłodszy lub inaczej najmniej znaczący (LSB) ustawiany najbardziej po prawej
stronie. Liczba bitów w słowie nazywana jest długością słowa bitowego. Każdy przetwornik
analogowo‐cyfrowy, po kwantyzacji koduje liczbę kwantów do postaci słowa bitowego o
odpowiedniej długości oraz z wykorzystaniem odpowiedniego kodu, który wynika z metody
przetwarzania lub przewidzianego interfejsu. Etap kodowania ma szczególne znaczenie w przypadku
wykorzystywania konkretnych przetworników a/c do projektowania aparatury pomiarowej.
W przypadku kart pomiarowych, kodowanie ma mniejsze znaczenie, ponieważ jest ono „ukryte przed
użytkownikiem” i nie ma ono bezpośredniego wpływu na sposób obsługi karty.
Rozróżnia się dwa podstawowe rodzaje reprezentacji dwójkowej: stałoprzecinkową oraz
zmiennoprzecinkową.
W reprezentacji stałoprzecinkowej, każdy bit w słowie posiada przypisaną wagę. W najprostszym
przypadku, kolejnym bitom słowa przypisuje się wagi równe kolejnym potęgom dwójki. Bit
najmłodszy ma wagę 2
0
, kolejny bit 2
1
, itd. Kod ten nazywany jest naturalnym kodem binarnym
(NKB) i można go zapisać w postaci równania:
0
0
1
1
2
2
2
2
2
...
2
a
a
a
a
n
n
+
+
+
+
(14)
Przykład 4: Zamień na wartość dziesiętną słowo binarne 1001
2
zakodowane
w NKB.
Słowu binarne 1001
2
zakodowane w naturalnym kodzie dwójkowym ma następującą wartość
dziesiętną: 1*2
3
+ 0*2
2
+ 0*2
1
+ 1*2
0
= 1*8 + 0*4 + 0*2 + 1*1=9
10
16
dr inż. Andrzej Skalski, mgr inż. Mirosław Socha
Katedra Metrologii AGH
Akwizycja sygnałów
Laboratorium Metrologii
Jeżeli wagi bitów mogą przyjmować wartości ułamkowe, np. poprzez wprowadzenie ujemnego
wykładnika potęgi (np. 2
‐2
=
1
/
4
), wówczas możliwe jest kodowanie liczb rzeczywistych. Pozycja
przecinka w ciągu binarnym jest stała, ponieważ wagi bitów przypisywane są na stałe.
Przykład 5: Zamień na wartość dziesiętną słowo binarne 1001
2
zakodowane
w kodzie binarnym
z przecinkiem ustalonym po drugim bicie.
Wartość dziesiętną można zdekodować następująco:
1*2
1
+ 0*2
0
+ 0*2
‐1
+ 1*2
‐2
= 1*2 + 0*1 + 0*
1
/
2
+ 1*
1
/
4
= 2,25
10
Kodowanie zmiennoprzecinkowe pozwala na znaczne zwiększenie zakresu oraz precyzji
kodowanych wartości. W kodowaniu zmiennoprzecinkowym słowo podzielone jest na dwie części:
mantysę m oraz wykładnik e. Każdej części przydziela się konkretną liczbę bitów, od której zależą
zakres oraz precyzja kodowania. Wartość zakodowanej liczby równa jest iloczynowi mantysy i liczby 2
podniesionej do potęgi wykładnika:
e
m
n
2
⋅
=
(15)
Więcej informacji na temat stosowanych kodów oraz ich właściwości można znaleźć w pracy [2].
10. Literatura
[1] W. Nawrocki. „Komputerowe Systemy Pomiarowe”. WKŁ, Warszawa, 2002.
[2] R. G. Lyons. „Wprowadzenie do cyfrowego przetwarzania sygnałów”. WKŁ, Warszawa 1999.
[3] T. P. Zieliński. „Cyfrowe przetwarzanie sygnałów. Od teorii do zastosowań”. WKŁ, Warszawa,
2005.
[4] Dokumentacja karty pomiarowej: USER GUIDE AND SPECIFICATIONS NI USB‐6008/6009 ,
http://digital.ni.com/manuals.nsf/websearch/7781F8E689519ED786257411006FB09F
[5] I. N. Bronsztejn, K. A. Siemiendiajew „Matematyka, Poradnik encyklopedyczny”, Wydawnictwo
Naukowe PWN, 1997
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
spr cw 11, Technologia chemiczna, semestr 2, Fizyka, Laboratorium, laboratoria fizyka bincia
Ćw 11 Czwórniki bierne charakterystyki częstotliwościowedocx
fi cw 11
spr cw 11
hfs cw' 11
KPF w Neurologii cw (11 10 10)
fs cw 11
cw 11
acad cw 11
ćw 11
Cw 11 Filtry aktywne
Cw 11 Filtry aktywne
cw 11 instrukcja
Ćw 8 0 11 12 etyka
Ćw 11;?danie własności prostowniczych diod półprzewodnikowych
ćw 11
cw 11
Ćw 6 11 12
więcej podobnych podstron