GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI

1. Dane są wektory:





2, 3,1



a =

,





1, 6, 1



b =

,





1,5,3

c =

. Wyznaczyć:

a)









2

3

a

b

c

a

 



b)









2

2

b

c

a c

 



c)









2

4

b

a

a c

 



d)









2

3

a

b

a c





2. Napisać równania ogólne płaszczyzn spełniających podane warunki:

a) płaszczyzna przechodzi przez punkt





0

,

2

,

1





P

i jest prostopadła do wektora





2

,

3

,

0





n



b) płaszczyzna przechodzi przez punkty





0

,

0

,

0

1



P

,





3

,

2

,

1

2



P

,





5

,

3

,

1

3







P

c) płaszczyzna przechodzi przez punkt





0

,

0

,

0

1



P

i jest prostopadła do prostej























0

5

2

2

0

1

3

:

z

y

x

z

y

x

l

d) płaszczyzna przechodzi przez punkt





3

,

1

,

1





P

i jest równoległa do wektorów





0

,

1

,

1



a



,





1

,

1

,

0



b



e) płaszczyzna przechodzi przez punkt





0

,

3

,

0



P

i jest równoległa do płaszczyzny

0

2

3

:







y

x

H

f) płaszczyzna przechodzi przez punkt





3

,

1

,

2





P

i jest prostopadła do płaszczyzn

0

:

1





y

x

H

,

0

:

2





z

y

H

g) płaszczyzna przechodzi przez punkt





4

,

5

,

1





A

i jest prostopadła do wektora



AB , gdzie





7

,

3

,

4





B

.

3. Napisać równania parametryczne prostych spełniających podane warunki:

a) prosta przechodzi przez punkt





2

,

5

,

3





P

i jest równoległa do wektora





3

,

1

,

2





u



b) prosta przechodzi przez punkty





6

,

0

,

1

1



P

,





4

,

2

,

2

2





P

c) prosta przechodzi przez punkt





2

,

1

,

2

1





P

i jest równoległa do prostej

1

1

2

1

1

:











z

y

x

l

d) prosta przechodzi przez punkt





0

,

2

,

7



P

i jest prostopadła do wektorów





3

,

0

,

2

1





v



,





0

,

2

,

1

2





v



e) prosta jest częścią wspólną płaszczyzn

1

:

2

4

0

H x

z



 

i

2

:

6

0

H

x

y

  

f) prosta jest równoległa do płaszczyzn o równaniach

1

:6

2

0

H

x

y

z

   

i

2

:

3

2

1 0

H

x

y

z





 

i przechodzi przez punkt





2,3,1

P

g) prosta jest prostopadła do prostych:

1

1

:

2

3

2

x

y

z

l

x

y

z

  



   



,

2

3

:

1

x

t

l

y

t

z

t





   



  



,

R



t

oraz

przechodzi przez punkt





2,3,1

P