1
Działania w zbiorze macierzy
1. Dodawanie macierzy
Ujęcie poglądowe
_______________________________________________________________________
Dwie macierze można dodać wtedy i tylko wtedy, gdy mają te same wymiary. Po prostu
dodaje się odpowiadające sobie wyrazy. Na przykład
A + B =
−
0
1
1
4
3
2
+
5
4
3
7
6
5
=
+
+
−
+
+
+
+
5
0
4
1
3
1
7
4
6
3
5
2
=
5
3
4
11
9
7
C + 0 = 0 + C =
f
e
d
c
b
a
+
0
0
0
0
0
0
=
0
0
0
0
0
0
+
f
e
d
c
b
a
=
f
e
d
c
b
a
Zauważmy, że w przypadku dodawania C + 0 przyjęliśmy takie wymiary macierzy zerowej,
które czynią dodawanie sensownym.
Takie wyrażenie, jak
−
0
1
1
4
3
2
+
−
−
4
4
1
3
2
0
1
0
jest pozbawione sensu, bo te macierze mają różne wymiary.
_________________________________________________________________________________
Ujęcie formalne ogólne
_________________________________________________________________________________
Definicja
Sumą macierzy A = [a
ij
]
m
××××
n
i B = [b
ij
]
m
××××
n
nazywamy macierz C
m
××××
n
= [c
i j
]
m
××××
n
,
gdzie c
i j
= a
i j
+ b
i j
.
Piszemy:
C = A + B lub [c
ij
]
m
××××
n
= [a
ij
]
m
××××
n
+ [b
ij
]
m
××××
n
lub [a
ij
+ b
ij
]
m
××××
n
= [a
ij
]
m
××××
n
+ [b
ij
]
m
××××
n
.
mn
m
m
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
...
...
...
...
...
...
...
2
1
2
22
21
1
12
11
+
mn
m
m
n
n
b
b
b
b
b
b
b
b
b
...
...
...
...
...
...
...
2
1
2
22
21
1
12
11
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
mn
mn
m
m
m
m
n
n
n
n
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
...
...
...
...
...
...
...
2
2
1
1
2
2
22
22
21
21
1
1
12
12
11
11
.
2
Definicja
Macierzą przeciwną do A = [a
i j
]
m
××××
n
nazywamy macierz: –A = [ –a
i j
]
m
××××
n
.
Definicja
Różnicą A – B macierzy A, B nazywamy macierz C = A + (–B).
2. Mnożenie macierzy przez liczbę
Ujęcie poglądowe
__________________________________________________________________
Każdą macierz można pomnożyć przez dowolną liczbę (skalar). Wystarczy tylko po-
mnożyć każdy wyraz macierzy przez ten skalar. Na przykład:
3
⋅
A = 3
⋅
−
0
1
1
4
3
2
=
⋅
−
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
0
3
)
1
(
3
1
3
4
3
3
3
2
3
=
−
0
3
3
12
9
6
Jest 0
⋅
A = A
⋅
0 = 0.
liczba 0 macierz zerowa
Poniższy przykład pokazuje, w jaki sposób odejmujemy macierze (oczywiście tego sa-
mego wymiaru), a mianowicie: X – Y = X + (-1) Y.
C
−
D =
6
5
4
3
2
1
+ (-1)
−
−
3
1
0
1
2
3
=
6
5
4
3
2
1
+
−
−
−
3
1
0
1
2
3
=
−
9
6
4
2
0
2
.
___________________________________________________________
Ujęcie formalne ogólne
_____________________________________________________________________________
Definicja
Iloczynem macierzy A = [a
i j
]
m
××××
n
przez liczbę rzeczywistą
β
nazywamy macierz
C = [c
i j
]
m
××××
n
= [
β
a
i j
]
m
××××
n
Piszemy: C =
β⋅
A lub [c
i j
]
m
××××
n
=
β
[a
i j
]
m
××××
n
=
[
β
a
i j
]
m
××××
n
.
3
β
mn
m
m
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
...
...
...
...
...
...
...
2
1
2
22
21
1
12
11
=
mn
m
m
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
β
β
β
β
β
β
β
β
β
...
...
...
...
...
...
...
2
1
2
22
21
1
12
11
.
Twierdzenie
Jeżeli A, B, 0 (macierz zerowa) są macierzami tego samego wymiaru,
α
,
β
liczbami
rzeczywistymi, to:
a)
α
(A + B) =
α
A +
α
B ,
b) (
α
+
β
) A =
α
A +
β
A ,
c) 1
⋅
A = A ,
d) 0
⋅
A = 0 .
Przykład
Rozwiąż równanie -3(A + X) + 5(2X + B) = A – B o niewiadomej X, gdy
A =
−
−
4
1
2
3
0
2
1
1
, B =
−
3
1
2
0
1
2
0
2
.
Zauważmy że X musi być macierzą wymiaru 2
×
4 (w przeciwnym przypadku nie moż-
na byłoby dodać jej do A).
Zadanie można rozwiązać w różny sposób, np.
1.
Oznaczyć poszczególne wyrazy literami i po podstawieniu danych macierzy w miej-
sce A i B wykonać obliczenia.
2.
Wykonać działania i na końcu podstawić dane macierze.
Postąpimy wg drugiego sposobu, wykorzystując powyższe twierdzenie.
-3(A + X) + 5(2X + B) = A – B
-3A – 3X + 10X + 5B = A – B
-3A + 7X + 5B = A – B
3A –3A + 7X + 5B = 3A + A – B
7X + 5B = 3A + A – B
7X + 5B = 4A – B
7X = 4A – B – 5B
7X = 4A – 6B
X =
7
4
A –
7
6
B.
4
Wystarczy obliczyć
7
4
A,
7
6
B,
7
4
A –
7
6
B i otrzymamy macierz X.
Wykonamy te operacje.
7
4
A =
7
4
−
−
4
1
2
3
0
2
1
1
=
−
−
7
16
7
4
7
8
7
12
0
7
8
7
4
7
4
,
7
6
B =
7
6
−
3
1
2
0
1
2
0
2
=
−
7
18
7
6
7
12
0
7
6
7
12
0
7
12
,
7
4
A –
7
6
B =
−
−
7
16
7
4
7
8
7
12
0
7
8
7
4
7
4
–
−
7
18
7
6
7
12
0
7
6
7
12
0
7
12
=
−
−
−
−
−
−
7
2
7
10
7
4
7
12
7
6
7
20
7
4
7
8
.
Zatem X =
−
−
−
−
−
−
7
2
7
10
7
4
7
12
7
6
7
20
7
4
7
8
.
3. Mnożenie macierzy
Ujęcie poglądowe
______________________________________________________________________
Pokażemy, jak obliczać wyrazy iloczynu na przykładzie macierzy A o wymiarach 2
×
3
oraz macierzy D o wymiarach 3
×
2. Macierz AD ma wymiary 2
×
2; ma tyle wierszy ile ma ma-
cierz A i tyle kolumn ile macierz D.
Niech A =
6
5
4
3
2
1
, D =
−
−
−
4
0
2
5
0
1
.
Oznaczmy wyrazy macierzy C = AD następująco:
22
21
12
11
c
c
c
c
.
5
Na przykład, wyraz c
12
leży w pierwszym wierszu i w drugiej kolumnie macierzy AD.
Otrzymujemy go z pierwszego wiersza macierzy A i drugiej kolumny macierzy D.
Pierwszy wiersz A druga kolumna D Pierwszy wiersz
i druga kolumna AD
*
*
*
3
2
1
−
−
4
*
2
*
0
*
*
*
*
11
c
Żeby otrzymać wyraz c
11
z pierwszego wiersza macierzy A i drugiej kolumny macierzy
D, mnożymy odpowiadające sobie wyrazy i dodajemy iloczyny. Iloczyny wynoszą 0, -4, -12.
Po dodaniu ich otrzymujemy -16. Pokazuje to schemat:
Aby pomnożyć macierze wygodnie je pisać w następujący sposób:
−
−
−
4
0
2
5
0
1
6
5
4
3
2
1
−
−
34
21
16
9
Strzałki podpowiadają z którego wiersza i z której kolumny otrzymujemy dany wyraz.
−
−
−
4
0
2
5
0
1
6
5
4
3
2
1
−
−
34
21
16
9
Dalsze wyrazy macierzy AD liczymy tak:
c
11
= 9 = 1
⋅
(-1) + 2
⋅
5 + 3
⋅
0, c
12
= -16 = 1
⋅
0 + 2(-2) + 3 (-4),
c
21
= 21 = 4(-1) + 5
⋅
5 + 6
⋅
0, c
22
= -34 = 4
⋅
0 + 5(-2) + 6(-4).
6
Ostatecznie mamy:
A
⋅
D =
6
5
4
3
2
1
⋅
−
−
−
4
0
2
5
0
1
=
−
−
34
21
16
9
.
Zachodzą ogólne twierdzenia
a)
Mnożenie macierzy nie jest przemienne.
b)
Mnożenie macierzy jest łączne (A B) C = A (B C), czyli można najpierw mnożyć A
przez B i wynik przez C bądź mnożyć A przez wynik mnożenia macierzy B i C; wszyst-
ko pod warunkiem, że te mnożenia są wykonalne.
c)
Transpozycja zmienia porządek iloczynu, to znaczy, że (AB)
T
= B
T
A
T
Macierz zerowa działa dokładnie tak, jak można by oczekiwać: wynik mnożenia czego-
kolwiek przez macierz zerową jest macierzą zerową.
__________________________________________________________________
Ujęcie formalne ogólne
_______________________________________________________________________
Definicja
Niech A
m
××××
t
= [a
i j
]
m
××××
t
, B
t
××××
n
= [b
i j
]
t
××××
n
.
Iloczynem AB macierzy A i B nazywamy macierz C
m
××××
n
= [c
ij
]
m
××××
n
,
gdzie c
i j
=
j
i
k
w o
=
∑
=
t
s
s
s
k
w
1
.
Przyjmując, że A =
m
w
w
w
...
2
1
, B = [
1
k
,
2
k
, … ,
n
k ],
wtedy
AB =
m
w
w
w
...
2
1
⋅
[
1
k
,
2
k
, … ,
n
k ]=
n
m
m
m
n
n
k
w
k
w
k
w
k
w
k
w
k
w
k
w
k
w
k
w
o
o
o
o
o
o
o
o
o
...
...
...
...
...
...
...
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
.
7
Twierdzenie
Niech A, B, C, I (macierz jednostkowa) , 0 (macierz zerowa) będą takimi macierzami,
dla których podane działania są wykonalne. Wtedy:
a) A (B + C) = A B + A C,
b) (A + B) C = A C + B C,
c) A (
α
B) = (
α
A) B =
α
(A B),
d) A (B C) = (A B) C,
e) A
⋅
I = I
⋅
A = A,
f) 0
⋅
A = A
⋅
0 = 0.
Macierz jednostkowa zawsze jest macierzą kwadratową, ale - podobnie jak w przypadku
macierzy zerowej - jej dokładne wymiary powinny być wywnioskowane z kontekstu. Macie-
rzą jednostkową o wymiarach 3 x 3 jest
I
3
=
1
0
0
0
1
0
0
0
1
, I
2
=
1
0
0
1
W macierzy jednostkowej na głównej przekątnej są jedynki, a poza tą przekątną zera.
Ćwiczenia
1. Dane są macierze:
A
2 x 3
=
−
−
−
5
3
2
4
2
1
, B
2 x 2
=
−
−
1
5
,
0
0
2
, C
3 x 2
=
2
1
6
3
4
2
, D
2 x 3
=
−
1
0
1
0
5
2
.
Wyznacz (o ile to możliwe) macierz:
a) A + 2B , b) 2A – 2B , c) (A – B)
⋅
C , d) C
⋅
D, e) D
⋅
C,
f) A
⋅
C, g) C
T
⋅
A, h) (D
T
– 2 C)
⋅
B, i) B
2
, j) A
2
,
k) C
T
– A, l) (B – C)
⋅
A, ł) B
2
⋅
D, m) C
⋅
B
2
⋅
D, n) (2D + A)
⋅
C
2
,
o) D
⋅
C
⋅
B, p) 2A
⋅
3D, q) C
⋅
D
⋅
A
T
, r) A
⋅
B, s) C
⋅
B.
Uwaga
Przyjmujemy, że X
2
= X
⋅
X.
2. Oblicz:
2
0
1
1
2
−
+
2
1
1
3
2
−
−
.
8
3. Podaj warunki , przy których A
⋅
X = B, gdy A =
−
−
1
2
1
0
1
1
3
2
1
, B =
0
3
1
, X =
z
y
x
.
4. Rozwiąż równania i układy równań:
a) 3 A –
−
0
1
5
2
= 5A –
−
1
0
1
2
, b) 2
b
a
–
−
2
1
+ 4
b
a
=
1
2
,
c) (2A)
T
=
−
0
3
5
2
, d) [a 2 1]
⋅
1
0
0
2
1
0
3
2
1
⋅
0
2
a
= 0 ,
e)
2
1
A + 4
−
1
0
2
1
= -
−
−
2
1
5
2
, f)
−
=
+
−
=
−
1
4
1
2
2
3
2
1
0
2
Y
X
Y
X
.
5. Oblicz wartość wyrażenia f(X) = X
2
– 4X + 5 I, gdy X =
−
1
1
3
2
, I =
1
0
0
1
.