13 Miejsca średnie,prawdziwe i widome

168

Miejsca ´srednie, prawdziwe i widome

Rozdział 13

Miejsca ´srednie, prawdziwe i
widome

13.1

Streszczenie

Warto´sci współrz˛ednych gwiazd zawsze dotycz ˛

a okre´slonego momentu czasu (np.

data ob-

serwacji, data efemerydy czy po prostu jaka´s data) oraz odniesione s ˛

a do konkretnego układu

odniesienia. Układ odniesienia wyró˙zniony jest za pomoc ˛

a tzw. epoki, czyli pewnej daty, na któr ˛

okre´slono oriejtacj˛e osi układu. Data obserwacji (moment efemerydy) niekoniecznie musi by´c
identyczna z epok ˛

a na któr ˛

a okre´slono układ odniesienia. Kieruj ˛

ac si˛e wzgl˛edami praktycznymi

wyró˙zniono kilka szczególnych epok jak: B1900.0, B1950.0, J2000.0 nadaj ˛

ac im status epok

standardowych. Współrz˛edne gwiazd okre´slone na te epoki i podane wzgl˛edem ´srednich barycen-
trycznych układów równikowych na te epoki nosz ˛

a miano współrz˛ednych standardowych. Kata-

logi poło˙ze´n ciał niebieskich zawieraj ˛

a wła´snie te współrz˛edne. Współrz˛edne równikowe ró˙zni ˛

ace

si˛e od wspólrz˛ednych standardowych jedynie poprawkami precesyjnymi nazywamy współrz˛ed-
nymi (miejscami) ´srednimi.
Miejsca ´srednie nie wyczerpuj ˛

a wszystkich wariantów współrz˛ednych ciał niebieskich.

Wprowadzaj ˛

ac do miejsc ´srednich poprawki nutacyjne otrzymamy współrz˛edne (miejsca) praw-

dziwe. Gdy do tych współrz˛ednych dodamy poprawki za paralas˛e i aberacjj˛e roczn ˛

a dostaniemy

geocentryczne współrz˛edne widome danego obiektu. W wypadku gwiazd, miejsca obserwowane
ró˙zni ˛

a si˛e od miejsc widomych o lokaln ˛

a aberracj˛e dobow ˛

a i refrakcj˛e.

Istniej ˛

a formuły pozwalaj ˛

ace na przej´scia od miejsc standardowych do miejsc widomych i odwrot-

nie. W podej´sciu przybli˙zonym w formułach uwzgl˛ednione s ˛

a jedynie roczne i wiekowe zmiany

poło˙ze´n gwiazd uj˛ete w formie ró˙znego rodzaju stałych i liczb np. stałych gwiazdowych i liczb
dziennych Bessel’a. Aberracja i paralaksa roczna nierzadko uwzgl˛edniana jest przy uproszczaj ˛

cym zało˙zeniu o kołowej orbicie Ziemi, poło˙zonej w płaszczy´znie ekliptyki. Metody te stosowane
s ˛

a wsz˛edzie tam, gdzie napotykamy trudno´sci natury rachunkowej. Współczesne metody trans-

formacji poło˙ze´n gwiazd oparte s ˛

a o dokładne algorytmy w formali´zmie wektorowym.

Jak powiedziano, standardowe miejsca gwiazd publikowane s ˛

a w katalogoach gwiazdowych. Z

grubsza, istniej ˛

a dwa rodzaje takich katalogów: katalogi fundamentalne (absolutne) i katalogi

ogólne (wzgl˛edne). Podstawow ˛

a rol˛e w astronomii pełni katalog fundamentalny FK5 zawiera-

j ˛

acy barycentryczne, równikowe współrz˛edne ´srednie około 4500 gwiazd na epok˛e J2000.0. Wraz

z podanymi zmianami współrz˛ednych powodowanymi precesj ˛

a i ruchami własnymi, stanowi on

definicj˛e astronomicznego równikowego układu odniesienia. Katalogi ogólne stanowi ˛

a układy

odniesienia drugiej rangi i zawieraj ˛

a poło˙zenia i ruchy własne du˙zej liczby gwiazd. Najnowszym

takim katalogiem jest katalog PPM (Positions and Proper Motions) zawieraj ˛

acy poło˙zenia i ruchy

własne dla około 400 tysi˛ecy gwiazd.
Słowa kluczowe: miejsce standardowe gwiazdy, miejsce ´srednie, miejsce prawdziwe, miejsce
widome, miejsce obserwowane, zmiany wiekowe i roczne, liczby dzienne Bessel’a, stałe gwiaz-
dowe, katalogi fundamentalne, równonoc katalogowa, równonoc dynamiczna, katalog FK5.

13.2 Terminologia

169

13.2

Terminologia

Współrz˛edne gwiazd ulegaj ˛

a zmianom z ró˙znych powodów. Najwa˙zniejszymi przyczynami s ˛

ruch własny, precesja i nutacja, aberracja oraz paralaksa. Zjawiska te maj ˛

a ró˙zn ˛

a natur˛e, co nie

przeszkadza w napisaniu jednego równania ł ˛

acz ˛

acego ich sumaryczny wpływ na współrz˛edne

gwiazdy. Takie wła´snie równanie stanowi jjeden z celów niniejszego rozdziału.

Niech dla pewnej gwiazdy dana b˛edzie para współrz˛ednych

(;

)

. Aby informacja ta była

przydatna, musimy albo domy´slnie, albo explicite posiada´c dodatkowe dane pozwalaj ˛

ace odpowiedzie´c

na nast˛epuj ˛

ace pytania:

1. Jakiej dacie podane

(;

)

odpowiadaj ˛

2. Gdzie znajduje si˛e pocz ˛

atek układu odniesienia, wzgl˛edem którego

(;

)

s ˛

a zdefiniowane?

3. W jaki sposób wybrano równik i równonoc układu współrz˛ednych?

Data, o któr ˛

a pytamy w punkcie (1) jest momentem obserwacji, momentem efemerydy lub dowoln ˛

inn ˛

a dat ˛

a. Je˙zeli jest nieznana, nic nie da si˛e zrobi´c w celu uwzgl˛ednienia ruchu własnego gwiazdy.

Pocz ˛

atek układu współrz˛ednych czyli ´srodek sfery niebieskiej, ustala konkretn ˛

a klas˛e układu

odniesienia. Mamy tu kilka mo˙zliwo´sci ale najwa˙zniejsze s ˛

a układy okre´slone wzgl˛edem barycen-

trum Układu Słonecznego oraz układ geocentryczny. Transformacja pomi˛edzy tymi układami
polega na wprowadzeniu poprawek z tytułu rocznej aberracji i rocznej paralaksy. Pozostałe drobne
efekty jak relatywistyczne ugi˛ecie

´swiatła czy drugiego rz˛edu wyrazy aberracyjne, zwykle nie

bed ˛

a nas interesowały.

W praktyce najcz˛e´sciej stosowanymi układami s ˛

a ´sredni równik i równonoc oraz prawdziwy

równik i równonoc odpowiadaj ˛

ace tej samej epoce. Układy ´srednie to układy ró˙zni ˛

ace si˛e jedynie

precesj ˛

a, układy ´srednie i prawdziwe dodatkowo ró˙zni ˛

a si˛e z tytułu nutacji. Ale w ka˙zdym z nich

epoka równika i równonocy mo˙ze (ale nie musi) by´c identyczna z momentem czasu (z dat ˛

a), na

który podane s ˛

a współrz˛edne

(;

)

Mo˙zliwo´sci wyboru najrozmaitszych układów odniesienia jest zatem cały legion, dlatego przy-

datna b˛edzie standaryzacja, co poci ˛

aga konieczno´s´c ustalenia terminologii, sformułowania definicji

etc. Poni˙zej podajemy niektóre z nich.

Miejsce ´srednie, współrz˛edne ´srednie.
Miejsce ´srednie

(

;

)

gwiazdy, okre´slone jest za pomoc ˛

a jej współrz˛ednych na sferze barycen-

trycznej,

wyznaczonych wzgl˛edem ´sredniego równika i równonocy daty.

Od ´srednich współ-

rz˛ednych tej gwiazdy podanych na inne epoki, współrz˛edne

(

;

)

ró˙zni ˛

a si˛e jedynie zmianami

powodowanymi zjawiskiem precesji i ruchem własnym. Poniewa˙z s ˛

a to współrz˛edne barycen-

tryczne, nie ma tu sensu pytanie o zmiany z powodu zjawiska aberracji, paralaksy rocznej.

Miejsce prawdziwe (locus verus), współrz˛edne prawdziwe.
Miejsce prawdziwe

(

;

)

gwiazdy okre´slaj ˛

a jej współrz˛edne na sferze barycentrycznej odnie-

sione do prawdziwego równika i równonocy daty. W stosunku do miejsc ´srednich na dan ˛

a epok˛e,

w miejscach prawdziwych dodatkowo uwzgl˛edniono nutacj˛e. Jako takie, miejsca te nie maj ˛

a szer-

szego zastosowania, najcz˛e´sciej stanowi ˛

a krok po´sredni w transformacji od miejsca ´sredniego do

miejsca widomego.

Miejsce widome (locus apparens), współrz˛edne widome.
Współrz˛edne widome

(;

)

gwiazdy s ˛

a jej współrz˛ednymi geocentrycznymi, odniesionymi do

prawdziwego równika i równonocy daty. Uzyskanie z miejsca prawdziwego miejsca widomego
wymaga wyznaczenia poprawki na aberracj˛e roczn ˛

a i paralaks˛e roczn ˛

a. Od poło˙zenia obser-

wowanego (locus observatus), lucus apparens ró˙zni si˛e jedynie lokalnymi wpływami refrakcji i
aberracji dobowej.

Standardowe miejsce ´srednie.

Mamy tu na my´sli barycentrum Układu Planetarnego.

Sformułowanie to oznacza, ˙ze epoka równika i punktu równonocy oraz data obserwacji s ˛

a identyczne.

170

Miejsca ´srednie, prawdziwe i widome

Standardowe współrz˛edne ´srednie

(

;

)

gwiazdy s ˛

a to współrz˛edne ´srednie na moment

czasu równy epoce standardowej. Epok˛e standardow ˛

a jest najcz˛e´sciej epoka B1950.0 lub J2000.0.

Poło˙zenia gwiazd podane w katalogach s ˛

a to standardowe miejsca ´srednie.

13.3

Zmiany roczne i wiekowe (variatio annua, variatio saecu-
laris)

Załó˙zmy, ˙ze interesuje nas widome miejsce gwiazdy na pewien moment czasu oddalony o

)

lat od epoki standardowej, przy czym

0:5)

jest liczb ˛

a całkowit ˛

a dobran ˛

a tak, ˙ze pozostały

ułamek

nale˙zy do przedziału

0:5

. Przy takich zało˙zeniach obliczymy najpierw

współrz˛edne ´srednie na moment

lat po epoce standardowej. Współrz˛edne te

(

;

)

mo˙zna

rozwin ˛

a´c w szereg Taylora w otoczeniu warto´sci

(

;

)

z epoki standardowej. Ograniczaj ˛

ac si˛e

do trzech pierwszych wyrazów, mamy:

dÆ

(13.1)

W niektórych katalogach gwiazd, obok

(

;

)

podane s ˛

a tak˙ze warto´sci tych pochodnych. Pier-

wsze pochodne nazywane s ˛

a zmianami rocznymi w rektascensji i deklinacji (variatio annua).

Poniewa˙z brane s ˛

a pod uwag˛e jedynie precesja i ruch własny, za pomoc ˛

a przybli˙zonych wzorów

mo˙zemy zmiany roczne wyrazi´c jako

sin

tan

dÆ

(13.2)

Oczywi´scie, składowe ruchu własnego

(

;

)

oraz stałe precesyjne

(m;

oszacowane s ˛

a na

epok˛e standardow ˛

a. W katalogach zmiany roczne podano w sekundach czasu na rok i w sekundach

łuku na rok, odpowiednio.

Drugie pochodne w równaniach (13.1) s ˛

a bardzo małe, dlatego w katalogach ich warto´sci

s ˛

a nieco zmodyfikowane. Podaje si˛e je w formie zmian wiekowych

;

)

w rektascensji i

deklinacji (variatio saecularis). Definiowane s ˛

a jako szybko´sci zmian na stulecie odpowiednich

zmian rocznych:

100

(13.3)

Wyznaczenie zmian wiekowych jest do´s´c zło˙zone, dokonuje si˛e tego jedynie w czasie kompilacji
katalogu. Ró˙zniczkuj ˛

ac równanie (13.2) mamy w odpowiednich jednostkach:

100

sin

tan

sin

dÆ

sin

100

15n

sin

(13.4)

Patrz materiał z wykładu na temat precesji.

13.4 Miejsce prawdziwe gwiazdy

171

W równaniach (13.4) zło˙zono´s´c rachunków została w pewnym sensie zamaskowana, np. szybko´s´c
zmian składowych ruchu własnego wymaga wielu oddzielnych wyrazów.

Ostateczne formuły pozwalaj ˛

ace wykorzysta´c dane katalogowe s ˛

a ju˙z bardzo proste. Zgodnie

z równaniem (13.1) b˛edziemy mieli

200

dÆ

200

(13.5)

Równanie (13.5) mo˙zna udoskonali´c dodaj ˛

ac wyrazy trzeciego rz˛edu co dla niektórych gwiazd

jest konieczne.

13.4

Miejsce prawdziwe gwiazdy

Współrz˛edne

(

;

)

) wyprowadzone powy˙zej, daj ˛

a miejsca ´srednie na ´srodek roku, najbli˙zszy

wymaganemu momentowi czasu.

Krok nast˛epny ma na celu obliczenie miejsca prawdziwego

(

;

)

) na dan ˛

a dat˛e

)

W tym celu wymagana jest dalsza poprawka na precesj˛e i ruch własny, ale jedynie na krótkim
interwale

, oraz wł ˛

aczenie nutacji. Przypu´s´cmy, ˙ze

(13.6)

Wykorzystuj ˛

ac wyra˙zenia słu˙z ˛

ace do oszacowania zmian współrzednych równikowych z powodu

nutacji

, bior ˛

ac jeszcze równanie (13.2), otrzymamy:

sin

tan

( os

sin

tan

)

tan

sin

(13.7)

gdzie

;

s ˛

a nutacj ˛

a w długo´sci i w nachyleniu obliczonymi na wymagany moment czasu

)

Przegrupowuj ˛

ac wyrazy w równaniu (13.7) mo˙zna uzyska´c posta´c korzystniejsz ˛

a z punktu

widzenia zło˙zono´sci obliczeniowej. W szczególno´sci warto rozdzieli´c składniki zale˙zne od wyma-
ganej daty, czyli

;

od tych, które zale˙z ˛

a od współrz˛ednych gwiazdy.

W tym celu, wyeliminujemy najpierw

nachylenie ekliptyki do równika. Z równa´n podanych

rozdziale 10 podczas omawiania zjawiska precesji mo˙zna otrzyma´c

;

sin

(13.8)

gdzie

jest roczn ˛

a zmian ˛

a w rektascensji z tytułu precesji planetarnej.

Kład ˛

ac te równania do (13.7), po drobnej redukcji b˛edziemy mieli

(

sin

tan

)

tan

sin

(13.9)

Wyra˙zenia te mo˙zna odnale´z´c w rozdziale ?? po´swi˛econemu zjawiskom precesji i nutacji.

172

Miejsca ´srednie, prawdziwe i widome

Dokonuj ˛

ac podstawie´n:

)

(13.10)

(

sin

tan

)

tan

sin

(13.11)

i wprowadzaj ˛

ac je w odpowiednie miejsca w równaniach (13.9), formuły na współrz˛edne praw-

dziwe gwiazdy na moment

)

mo˙zna napisa´c w sposób skrócony

(13.12)

Wielko´sci

;

tradycyjnie nazywane s ˛

a liczbami dziennymi Bessel’a. S ˛

a one niezale˙zne od

współrz˛ednych gwiazd, ale szybko zmieniaj ˛

a si˛e w czasie. Liczby te ł ˛

acznie z warto´sciami

zostały stabelaryzowane w Astronomical Almanac z jednodniowym krokiem. Warto´sci

po-

dane s ˛

a w sekundach łuku,

podano w sekundach czasowych.

Wielko´sci

;

s ˛

a to stałe gwiazdowe Bessel’a. Nie s ˛

a to stałe absolutne, gdy˙z współrz˛e-

dne gwiazd, a tak˙ze wielko´sci precesyjne

powoli zmieniaj ˛

a si˛e w czasie. Pomijaj ˛

ac te drobne

efekty, stałe Bessel’a mo˙zna obliczy´c raz na zawsze wykorzystuj ˛

ac standardowe miejsca ´srednie

gwiazd. Pozwoli to na wł ˛

aczenie tych stałych do katalogu gwiazd. Ale takie podej´scie nie gwaran-

towałoby wystarczaj ˛

acej precyzji i dlatego stałe Bessel’a nale˙zy od´swie˙za´c na rok odpowiadaj ˛

acy

wymaganemu momentowi czasu. Ich stało´s´c oznacza´c b˛edzie dalej jedynie to, ˙ze nie zale˙z ˛

a od

ułamka czasu

Równanie (13.12) ma pewn ˛

a posta´c alternatywn ˛

a nie zawieraj ˛

ac ˛

a stałych gwiazdowych. Za-

miast nich, w sposób jawny wyst˛epuj ˛

a rektascensja i deklinacja. Upraszczaj ˛

ac za pomoc ˛

a (13.10)

równanie (13.9) mamy

sin

)

tan

sin

(13.13)

Wprowad´zmy oznaczenia

sin

(13.14)

Wówczas prawdziwe współrz˛edne gwiazdy dane s ˛

a jako

sin(G

)

tan

)

(13.15)

Wielko´sci

;

nazwano niezale˙znymi liczbami dziennymi. Jak wynika z ich definicji,

wyra˙zone

jest w sekundach czasu,

w sekundach łuku,

natomiast konwencjonalnie podaje si˛e w mierze

czasowej. Liczby te były równie˙z publikowane w Astronomical Almanac, ale od roku

1981

przes-

tano je tam zamieszcza´c.

13.5 Miejsce widome gwiazdy

173

13.5

Miejsce widome gwiazdy

Współrz˛edne widome gwiazdy

(;

)

ró˙zni ˛

a si˛e od miejsc prawdziwych o roczn ˛

a aberracj˛e i

roczn ˛

a paralaks˛e. Oznaczmy ró˙znic˛e pomi˛edzy nimi przez

(;

)

, w sensie

(13.16)

Ró˙znice współrz˛ednych zale˙z ˛

a od składowych wektorów poło˙zenia i pr˛edko´sci Ziemi, (patrz ma-

teriały wykadowe dotyczce współrz˛ednych helio i berycentrycznych), mianowicie

(

)

(

)

sin

(

)

sin

(

)

sin

(

)

(13.17)

gdzie

jest paralaks ˛

a gwiazdy,

pr˛edko´sci ˛

a ´swiatła w

=doba

Równanie (13.17) mo˙zna przekształci´c do postaci zawieraj ˛

acej liczby dzienne i stałe gwiaz-

dowe. Zanim to uczynimy, zwró´cmy uwag˛e na kilka istotnych punktów. Po pierwsze, w prawych
stronach równa´n (13.17) nie mo˙zna poło˙zy´c współrz˛ednych widomych gwiazd, bowiem nie zostały
one jeszcze policzone. W tej sytuacji, najbardziej naturalnym byłoby wstawienie zamiast nich
współrz˛ednych prawdziwych

(

;

)

. Jest to jednak utrudnione, gdy˙z współrz˛edne te zostan ˛

zaabsorbowane przez stałe gwiazdowe, a te z kolei powinny by´c niezale˙zne od daty. Na szcz˛e´s-
cie, z dostateczn ˛

a precyzj ˛

a mo˙zemy tu zastosowa´c współrz˛edne ´srednie

(

;

)

odpowiadaj ˛

ace

´srodkowi roku.

Podobne uwagi dotycz ˛

a składowych wektorów poło˙zenia i pr˛edko´sci Ziemi. W sytuacji ide-

alnej powinny one by´c odniesione do prawdziwego równika i równonocy daty, ale okazuje si˛e, ˙ze
´sredni równik i równonoc na ´srodek roku s ˛

a zupełnie wystarczaj ˛

ace. Składowe te s ˛

a wł ˛

aczone w

nowe liczby dzienne podane na ka˙zdy dzie´n w Astronomical Almanac.

Zasadniczo nic nie stoi na przeszkodzie by wykorzysta´c tu prawdziwy równik i równonoc. Jed-

nak˙ze w praktyce poprawki na paralaks˛e i aberracj˛e s ˛

a wprowadzane jednocze´snie z poprawkami

na miejsce prawdziwe i dlatego w celu zachowania wi˛ekszego porz ˛

adku, wykorzystuje si˛e ´sredni

równik i równonoc w całym algorytmie. Powstały wskutek tego drobny wpływ drugiego rz˛edu
daje si˛e usun ˛

a´c za pomoc ˛

a drugiego rz˛edu liczb dziennych, o których powiemy pó´zniej.

Poprawka paralaktyczna tkwi ˛

aca w równaniu (13.17) jest wielko´sci ˛

a charakterystyczn ˛

a dla

ka˙zdej gwiazdy i dlatego nie mo˙ze by´c wł ˛

aczona do liczb dziennych. Składowe

;

)

wektora

poło˙zenia Ziemi s ˛

a stabelaryzowane w Astronomical Almanac jako współrz˛edne ´srednie standar-

dowe. Poniewa˙z poprawka paralaktyczna jest znacznie mniejsza od aberracyjnej, z wystarczaj ˛

ac ˛

dokładno´sci ˛

a mo˙zemy te dane wykorzystywa´c.

Równanie (13.17) daje si˛e upro´sci´c przez wyeliminowanie w nim składowej z-towej wektorów

poło˙zenia i pr˛edko´sci Ziemi. Zakładaj ˛

ac, ˙ze Ziemia le˙zy dokładnie w płaszczy´znie ekliptyki na

długo´sci

, wówczas jej równikowy wektor poło˙zenia wynosi

R ( os

;

sin

i st ˛

tan

(13.18)

Równania (13.18) nie s ˛

a ´scisłe, gdy˙z interesuj ˛

ace nas współrz˛edne

(;

)

odniesione s ˛

a do barycen-

trum a nie do Sło ´nca, s ˛

a to współrz˛edne ´srednie a powinny by´c prawdziwe, jednak˙ze, bł˛edy z tego

tytułu w (13.18) nie s ˛

a znacz ˛

ace. Dzi˛eki takiemu zabiegowi liczba równa´n na liczby dzienne

mo˙ze zosta´c zredukowana z trzech do dwóch. Kład ˛

ac do równania (13.17) jeszcze

(

;

)

zami-

174

Miejsca ´srednie, prawdziwe i widome

ast

(;

)

otrzymamy

sin

( tan

sin

)

sin

(13.19)

Oznaczmy:

(13.20)

sin

tan

sin

(13.21)

Wielko´sci

C ;

s ˛

a nowymi liczbami dziennymi Bessel’a, zostały one stabelaryzowane z krok-

iem jednodniowym w Astronomical Almanac. Wielko´sci

;

s ˛

a to dalsze stałe gwiazdowe

Bessel’a. W takiej notacji, równanie (13.19) mo˙zna napisa´c w formie

)

(13.22)

Podobnie jak poprzednio mo˙zliwym jest nadanie równaniu (13.19) postaci z niezale˙znymi liczbami
dziennymi. Wprowad´zmy w tym celu

sin

tan

(13.23)

a za pomoc ˛

a (13.21) dostaniemy

sin

)

sin

(13.24)

Na pierwszy rzut oka równania te maj ˛

a prostsz ˛

a posta´c, jednak nie zawieraj ˛

a one poprawek par-

alaktycznych, dla których stałe gwiazdowe s ˛

a niezb˛edne. Jak ju˙z powiedziano, współcze´snie w

u˙zyciu s ˛

a raczej liczby Bessel’a ani˙zeli liczby niezale˙zne.

Kiedy paralaksa gwiazdy jest dostatecznie mała, mo˙zna wł ˛

aczy´c j ˛

a do stałych gwiazdy czyni ˛

zało˙zenie o kołowej orbicie Ziemi. Wówczas wektory poło˙zenia i pr˛edko´sci Ziemi dane s ˛

a jako

(

;

sin

;

(sin

;

gdzie

jest stał ˛

a aberracji,

jest długo´sci ˛

a ekliptyczn ˛

a Sło ´nca.

za pomoc ˛

a obrotów wokół osi

o k ˛

, mo˙zemy przetransformowa´c te współrz˛edne do

układu równikowego, otrzymaliby´smy

(

;

sin

(sin

;

sin

(13.25)

Zauwa˙zmy, ˙ze chocia˙z operujemy przybli˙zon ˛

a pr˛edko´sci ˛

a Ziemi, przybli˙zenie to dotyczy wył ˛

acznie

poprawki paralaktycznej. Aberracja roczna jest traktowana dokładnie. Z równa´n (13.25) mo˙zna

13.5 Miejsce widome gwiazdy

175

pokaza´c, ˙ze

(13.26)

gdzie

C ;

dane s ˛

a równaniami (13.20). Kład ˛

;

do równa´n (13.22) mamy

(13.27)

A w skrócie

(13.28)

gdzie

0:0532d

0:0448

0:0532d

0:0448

(13.29)

s ˛

a nieco zmodyfikowanymi stałymi gwiazdowymi, w które wł ˛

aczono przyczynek od paralaksy

rocznej. Warto´sci tych stałych obliczone s ˛

a raz na zawsze i wykorzystywane w równaniu (13.28).

Równanie to jest jednak jedynie uproszczeniem w stosunku do bardziej dokładnego równania
(13.22). Wynikaj ˛

ace st ˛

ad bł˛edy mo˙zna uwa˙za´c za zaniedbywalne je˙zeli

0:2

Poprawki dane równaniami (13.22) i (13.12) mo˙zna poł ˛

aczy´c w jedn ˛

a formuł˛e, gdy˙z nie mamy

˙zadnej potrzeby obliczania explicite miejsca prawdziwego. I tak, wychodz ˛

ac od miejsca ´sredniego

(

;

)

na moment odpowiadaj ˛

acy ´srodkowi roku mamy, ˙ze miejsce widome

(;

)

wynosi

)

(13.30)

Równania (13.30) s ˛

a formułami pierwszego rz˛edu, wystarczaj ˛

aco dokładnymi w wi˛ekszo´sci zas-

tosowa´n.

Je´sli jest taka potrzeba, liczby dzienne mo˙zna rozszerzy´c przez doł ˛

aczenie efektów rz˛edu dru-

giego, które mog ˛

a by´c znacz ˛

ace zwłaszcza dla du˙zych deklinacji. Pełna teoria efektów drugiego

rz˛edu wykracza poza ramy niniejszego wykładu. W praktyce zalecanej w Astronomical Almanac,
w równaniach (13.30) dodaje si˛e człon

tan

w rektascensji i

tan

w deklinacji. Wiel-

ko´sci

oraz

zwane s ˛

a liczbami dziennymi rz˛edu drugiego. S ˛

a one zale˙zne od współrz˛ednych

gwiazd i zostały stabelaryzowane w Astronomical Almanac w funkcji czasu i rektascensji. Nie
podano tam wszystkich wyrazów rz˛edu drugiego, jedynie przybli˙zone warto´sci tych, które s ˛

a na-

jbardziej znacz ˛

ace. Liczby dzienne rz˛edu drugiego stosuje si˛e w celu zmniejszenia bł˛edów system-

atycznych, które staj ˛

a si˛e znacz ˛

ace zwłaszcza dla du˙zych deklinacji. Przyczyn ˛

a s ˛

a tu osobliwo´sci

w układzie współrz˛ednych równikowych w okolicy biegunów niebieskich. Trudno´sci tych mo˙zna
unikn ˛

a´c stosuj ˛

ac wektorowe podej´scie do całego problemu, dlatego takie podej´scie jest zawsze

rekomendowane je´sli formuły (13.30) oka˙z ˛

a si˛e niewystarczaj ˛

ace.

Na jednym z poprzednich wykładów mówili´smy o tzw. członach E w aberracji rocznej.

Poniewa˙z powszechn ˛

a praktyk ˛

a było pozostawianie tych członów w katalogowych poło˙zeniach

gwiazd, dlatego a˙z do 1984 roku stałe warto´sci składowych pr˛edko´sci odpowiedzialne za ten efekt
były usuwane ze składowych

przed obliczeniem aberracyjnych liczb dziennych. Obecnie

zaniechano tego typu zabiegów, a zatem liczby

, obliczone s ˛

a ´sci´sle w oparciu o barycen-

tryczne składowe pr˛edko´sci Ziemi, tak jak to ma miejsce w przypadku równa´n (13.20).

176

Miejsca ´srednie, prawdziwe i widome

(T +t)

* t

(T )

Rysunek 13.1: Miejsce widome gwiazdy. Konfiguracja wektorów poło˙zenia gwiazdy obser-
wowanej wzgl˛edem barycentrum

oraz wzgl˛edem obserwatora na powierzchni Ziemi

13.6

Miejsce widome gwiazdy, formalizm wektorowy

Omówimy inn ˛

a technik˛e pozwalaj ˛

ac ˛

a na przej´scie od miejsc ´srednich do widomych, ró˙zn ˛

a od

techniki liczb dziennych. B˛edzie to metoda dokładna, a wi˛ec lepsza, ale wymagaj ˛

aca bardziej

˙zmudnych oblicze´n.

Wychodzimy od standardowego miejsca ´sredniego gwiazdy

(

;

)

na epok˛e

, naszym

celem jest miejsce widome

(;

)

na moment

lat pó´zniejszy. We´zmiemy w rachub˛e ruch własny,

paralaks˛e, aberracj˛e i w rezultacie otrzymamy prostok ˛

atne współrz˛edne geocentryczne na ˙z ˛

adan ˛

dat˛e, ale nadal wzgl˛edem pocz ˛

atkowego układu współrz˛ednych. Zatem ostatni krok jaki jeszcze

b˛edzie trzeba wykona´c to transformacja do układu opartego o prawdziwy równik i równonoc daty,
a zatem uwzgl˛ednienie precesji i nutacji.

Niech

b˛edzie wersorem okre´slaj ˛

acym miejsce ´srednie gwiazdy

( os

;

sin

;

sin

)

(13.31)

Zmodyfikujemy najpierw ten wersor uwzgl˛edniaj ˛

ac wpływy czysto geometryczne ruchu własnego

i paralaksy. Na rysunku 13.1,

oznacza barycentrum Układu Słonecznego,

poło˙zenie Ziemi w

momencie

obserwacji gwiazdy. Punkty

oznaczaj ˛

a quasi geometryczne poło˙zenia

gwiazdy

na epok˛e standardow ˛

a i dat˛e obserwacji. Generalnie, te cztery punkty nie b˛ed ˛

a le˙zały w

jednej płaszczy´znie i na rysunu 13.1 nie mamy intencji czego´s takiego sugerowa´c. Niech

;

oraz

b˛ed ˛

a wektorami barycentrycznych poło˙ze´n punktów

;

oraz

. Mo˙zemy zatem

napisa´c

)

(13.32)

Załó˙zmy, ˙ze gwiazda ma pr˛edko´s´c

wzgl˛edem barycentrum. Z rysunku 13.1 wynika, ˙ze

V t

(13.33)

Quasi geometryczne, bowiem wiekowa aberracja nie została skorygowana.

13.6 Miejsce widome gwiazdy, formalizm wektorowy

177

Przy czym korzystamy tu z uzasadnionego zało˙zenia, ˙ze w interwale t, wektor

nie zmienia si˛e.

Katalogi dostarczaj ˛

a nast˛epuj ˛

acych informacji podanychh wzgl˛edem eppoki sstandardowej:

standardowe miejsce ´srednie

(

;

)

składowe ruchu własnego

(

;

)

paralaksa roczna

szybko´s´c radialna

(km/s).

– składowe wektora

(poło˙zenie geocentrum) podane s ˛

a w rocznikach w jednostkach astrono-

micznych,

st ˛

ad je´sli

wyra˙zono w radianach

, zatem równanie (13.33) mo˙zna b ¸Sedzie napisa´c

w postaci

(13.34)

gdzie

jest wektorem ruchu przestrzennego gwiazdy

. Poniewa˙z wektor ten musi by´c

wyra˙zony w radianach na rok, pr˛edko´s´c

gwiazdy tradycyjnie podan ˛

a w km/s trzeba wyrazi´c w

AU/rok. Po odpowiednich zamianach b˛edziemy mieli

4:74

(13.35)

przy czym wektor ruchu własnego

jest wyra˙zony w radianach na rok. Z drugiej strony, je´sli

(

;

)

oraz

podane s ˛

a w jednostkach praktycznych, składowe wektora

dane s ˛

a przez

(

sin

4:74

)

sin

(

sin

4:74

sin

)

sin

(

4:74

sin

)

sin

(13.36)

Podstawiaj ˛

ac te składowe do równania (13.34), po unormowaniu, otrzymamy wersor

opisuj ˛

acy

quasi geometryczny kierunek do wybranej gwiazdy na moment obserwacji

Nast˛epnym krokiem jest wprowadzenie poprawki z tytułu aberracji. W jaki sposób zostanie

to dokonane, zale˙zy od tego czy uznamy podej´scie klasyczne za adekwatne, czy te˙z nie. Je´sli
tak, problem jest prosty. Obserwowane ´zródło ´swiatła emituje kwanty o pr˛edko´sci

wzgl˛edem

barycentrum, czyli

Wzgl˛edem poruszaj ˛

acej sie Ziemi pr˛edko´s´c ta wynosi

gdzie pr˛edko´s´c ´swiatła

jak i pr˛edko´s´c Ziemi

wyra˙zone s ˛

a w

=doba

. Poprawiony na aber-

racj˛e kierunek dany jest jako wersor

za pomoc ˛

a wyra˙zenia

0:0057756

(13.37)

Prawa strona tego równania nie jest wektorem jednostkowym, st ˛

ad aby otrzyma´c wersor

nale˙zy

j ˛

a unormowa´c do jedno´sci. Je˙zeli katalog jakim dysponujemy podaje poło˙zenia gwiazd ju˙z popraw-

ione na aberracyjne człony

, konieczna b˛edzie pewna modyfikacja. Trzeba wówczas pr˛edko´s´c

178

Miejsca ´srednie, prawdziwe i widome

, składow ˛

a eliptyczn ˛

a, odpowiedzialn ˛

a za istnienie członów

odj ˛

a´c od

przed podstawie-

niem tego wektora do równania (13.37). Pr˛edko´s´c

, wzgl˛edem równika i równonocy 1950.0

ma składowe

(

0:000281;

0:0000

;

:00

)

(13.38)

W przypadku katalogów bardziej współczesnych, których epok ˛

a podstawow ˛

a jest J2000.0, mody-

fikacja ta nie jest potrzebna.

W nast˛epnym kroku obliczymy składowe wersora

wzgl˛edem osi układu współrz˛ednych

zdefiniowanego w oparciu o prawdziwy równik i równonoc daty. W tym celu, interesuj ˛

acy nas

moment czasu musimy zna´c elementy macierzy obrotu

, obejmuj ˛

acej transformacj˛e z tytułu

precesji i nutacji. Elementy te mo˙zna zaczerpn ˛

a´c z Astronomical Almanac lub policzy´c samemu

w oparciu o formuły podane na wykładzie dotycz ˛

acym precesji i nutacji.

Wersor

, a z jego skladowych

(;

)

gwiazdy, odpowiadaj ˛

ace miejscu widomemu otrzymamy

za pomoc ˛

a zale˙zno´sci:

( os

;

sin

;

sin

)

(13.39)

Opisana wy˙zej technika wektorowa jest dokładna w ramach podej´scia klasycznego.

13.7

Miejsce widome planety, formalizm wektorowy

Rozwa˙zymy problem przej´scia do miejsca widomego dla obiektów poło˙zonych wewn ˛

atrz Układu

Słonecznego. Zast˛epujemy tu ruch własny ruchem orbitalnym, a wi˛ec odrzucamy zało˙zenie o
stało´sci pr˛edko´sci ´zródła promieniowania. Mamy zatem nast˛epuj ˛

acy problem: dana jest barycen-

tryczna efemeryda planety na pewien moment czasu

, nale˙zy wyznaczy´c widome miejsce planety

na ten sam moment.

Załó˙zmy, ˙ze efemeryda planety dana jest w postaci prostok ˛

atnych składowych

;

)

okre´slonych wzgl˛edem standardowego ´sredniego równika i równonocy. A wi˛ec, barycentryczny
wektor poło˙zenia planety na moment

wynosi

;

)

(13.40)

Na rysunku 13.2, wektor ten okre´sla poło˙zenie punktu

. Niech

b˛edzie poło˙zeniem cen-

trum Ziemi w tym samym momencie okre´slonym za pomoc ˛

a wektora

. Poło˙zenie planety

odpowiada chwili kiedy nast ˛

api emisja kwantu promieniowania widzianego w

w momencie

oznaczamy wektor tego kierunku przez

. Klasyczne rozwi ˛

azanie naszego problemu jest bardzo

proste. Jest ono równowa˙zne transformacji do układu geocentrycznego, po której wprowadzi´c
nale˙zy poprawk˛e za aberracj ˛

a planetarn ˛

a, a nast˛epnie dokona´c przej´scia do prawdziwego równika

i równonocy.

A zatem kolejno mamy, geocentryczny wektor planety

dany jest jako

(13.41)

Jest to oczywi´scie dokładna formuła. Aby wprowadzi´c poprawk˛e na aberracj˛e planetarn ˛

a trzeba

zna´c czas propagacji

. ´Sci´sle, nale˙załoby go obliczy´c jako

, ale w klasycznym podej´sciu

b˛edzie wystarczaj ˛

aco dokładnym zastosowanie przybli˙zenia

(13.42)

Widome współrz˛edne planety na moment

s ˛

a równowa˙zne współrz˛ednym geometrycznym na mo-

ment

)

. Taka poprawka oddaje w cało´sci efekty pierwszego rz˛edu pochodz ˛

ace od pr˛edko´sci

planety i Ziemi. Widomy wektor geocentryczny planety

mo˙zna obliczy´c jako

(

)

(13.43)

13.8 Katalogi gwiazdowe

179

s’

(t− )

’

P’

(t)

−τ

(t)

Rysunek 13.2: Miejsce widome planety. Konfiguracja wektorów poło˙zenia planety obserwowanej
wzgl˛edem barycentrum

oraz wzgl˛edem obserwatora na powierzchni Ziemi

przy czym składowe wektora

otrzymamy obliczaj ˛

ac pochodne rownania (13.41). Wyra˙zaj ˛

pr˛edko´s´c w

=doba

, z uwzgl˛ednieniem (13.42), równanie (13.43) mo˙zna napisa´c w postaci

0:00057756

(

)

(13.44)

Ostatecznie miejsce widome planety otrzymamy je˙zeli wektor

wyrazimy wzgl˛edem prawdzi-

wego równika i równonocy daty. za pomoc ˛

a macierzy obrotu

miejsce widome

dane jest

jako

(13.45)

Po unormowaniu prawej strony, otrzymamy wersor

, a dalej łatwo obliczy´c współrz˛edne sfer-

yczne planety

(;

)

na moment

13.8

Katalogi gwiazdowe

Na jednym z wykładów powiedziano, ˙ze koło południkowe umo˙zliwia pomiar współrz˛ednych
poło˙zenia gwiazdy bez konieczno´sci wcze´sniejszych pomiarów poło˙ze´n innych gwiazd. Ter-
min absolutny stosowany jest do takich wła´snie pomiarów, w celu odró˙znienia ich od pomiarow
wzgl˛ednych. Katalogi, w których zestawiono rezultaty pomiarów absolutnych nosz ˛

a tak˙ze miano

absolutnych. Musimy jednak odró˙zni´c dwa rodzaje katalogów absolutnych. Katalogi obserwa-
cyjne podaj ˛

ace poło˙zenia gwiazd wyznaczone przez jedno obserwatorium, obejmuj ˛

a relatywnie

krótki interwał czasu. Natomiast katalog absolutny fundamentalny (General Catalogue), skon-
struowany jako kompilat z wielu katalogów obserwacyjnych z wielu obserwatoriów rozci ˛

aga si˛e

na wyra´znie wi˛ekszy okres czasu.

Katalogi fundamentalne zawieraj ˛

a miejsca ´srednie wybranych gwiazd wraz ze zmianami współ-

rz˛ednych powstałych w wyniku precesji i ruchu własnego (zmiany roczne i wiekowe). Kata-
log taki definiuje układ odniesienia. Mówimy cz˛esto o odnoszeniu współrz˛ednych gwiazd do
okre´slonego równika i równonocy, tak jak gdyby to koło wielkie oraz punkt

dawały si˛e rzeczy-

wi´scie zobaczy´c na niebie. A przecie˙z jedyn ˛

a obserwowan ˛

a rzeczywisto´sci ˛

a s ˛

a gwiazdy. I tak

180

Miejsca ´srednie, prawdziwe i widome

naprawd˛e to katalogowe poło˙zenie gwiazdy definiuje równik i równonoc. ´Sredni równik i równonoc
na epok˛e standardow ˛

a zdefiniowane s ˛

a implicite poprzez rektascensj˛e i deklinacje gwiazdy z kat-

alogu fundamentalnego. Katalogowe warto´sci zmian rocznych i wiekowych pozwalaj ˛

a rozci ˛

aga´c

t˛e definicj˛e na inne epoki.

Ustalony tak ˛

a drog ˛

a układ odniesienia jest naturalnie układem rotuj ˛

acym (precesja). Poru-

szaj ˛

aca si˛e równonoc takiego układu nazywana jest równonoc ˛

a katalogow ˛

a. Implicite równonoc

jest definiowana jako zerowy punkt rachuby rektascensji. Punkt ten mo˙zna by w zasadzie wy-
bra´c zupełnie arbitralnie, ale tradycyjnie obierano go tak by le˙zał mo˙zliwie blisko punktu prze-
ci˛ecia chwilowej orbity Ziemi i niebieskiego rownika. Ten drugi punkt równonocy, nazywany
jest równonoc ˛

a dynamiczn ˛

a. Ró˙znica pomi˛edzy nimi jest niewielka, ale mimo to trzeba odró˙zni´c

idealizacj˛e równonocy dynamicznej od jej praktycznej realizacji jako punktu zerowego funda-
mentalnego układu odniesienia. Wynikaj ˛

aca st ˛

ad ró˙znica w rektascensji nazywana jest poprawk ˛

punktu równonocy.
Stała poprawka równonocy w ˙zadnym wypadku nie degraduje katalogowego układu odniesie-
nia, poprawka zmieniaj ˛

aca si˛e, ´swiadczy natomiast o pewnych efektach dynamicznych potrak-

towanych nieprecyzyjnie.

Nierotuj ˛

acy układ odniesienia musi by´c oparty o nieruchomy równik i punkt równonocy epoki

standardowej. Definiowany jest on poprzez dat˛e standardowej epoki przez same poło˙zenia katal-
ogowe, ale na inne daty b˛edzie zdefiniowany e˙zeli dysponowa´c b˛edziemy odpowiednimi ruchami
własnymi. Rozwikłanie splecionych przyczynków od ruchu własnego i precesji w ramach zmian
rocznych i wiekowych wymaga przyj˛ecia pewnego tempa precesji. Zwykle jest ono podane w
katalogach i st ˛

ad fundamentalny układ odniesienia zdefiniowany jest zarówno jako poruszaj ˛

acy

si˛e układ odniesienia i jako nieruchomy układ odniesienia na wszystkie daty.

Układ odniesienia nieruchomy, definiowany za pomoc ˛

a katalogów fundamentalnych nazywa´c

b˛edziemy układem odniesienia gwiazdowym. Pomijaj ˛

ac niedokładno´sci katalogu o charakterze

residualnym, układ gwiazdowy, definiowany jest w sposób całkowicie zgodny wewn˛etrznie. W
idealnym przypadku, układ odniesienia gwiazdowy powinien by´c inercjalny, ale zakres w jakim
ten ideał jest osi ˛

agany nale˙zy wyznaczy´c obserwacyjnie drog ˛

a porówna´n z układami odniesienia

zdefiniowanymi w inny sposób, np. wykorzystuj ˛

acych dynamik˛e Układu Słonecznego, Galaktyki

czy te˙z obiekty pozagalaktyczne.

Zgodnie z ugodami mi˛edzynarodowymi, dokonanymi pod egid ˛

a MUA, układ fundamentalny,

wykorzystywany od 1963 roku zdefiniowany jest przez tzw. Fourth Fundamental Catalogue (FK4)
opracowany przez Fricke’ego i Kopff’a, z Astronomisches Rechen Institut z Heidelbergu. Zawiera
on dane o 1535 gwiazdach. Do utworzenia katalogu FK4 wykorzystano obserwacje z lat 1950-
tych, jego standardow ˛

a epok ˛

a jest B1950.0.

Obserwacje pó´zniejsze wykorzystano do opracowania w Heidelbergu katalogu FK5. Epok ˛

standardow ˛

a jest tym razem data J2000.0. Rewizja katalogu FK4 trwała do 1983 roku. W jej

efekcie zamierzano wł ˛

aczy´c do nowego katalogu fundamentalnego wiele dodatkowych słabych

gwiazd. Stwierdzono, ˙ze punkty równonocy obydwóch katalogów nieco si˛e ró˙zni ˛

a. W efekcie

rektascensje otrzymane za pomoc ˛

a tych systemów wykazuj ˛

a ró˙znice systematyczne:

0775

085T

(13.46)

gdzie

jest interwałem w stuleciach julia´nskich od J2000.0.

Oznacza to, ˙ze ruchy własne gwiazd w obydwu systemach równa´n równie˙z si˛e ró˙zni ˛

(

)

(

)

00085

(13.47)

co oznacza ró˙znic˛e

275

na stulecie.

Od 1984 roku system FK5 stał si˛e dost˛epny poprzez roczniki astronomiczne. Gwiazdy w kat-

alogach fundamentalnych wykorzystywane s ˛

a jako podstawowe (oporowe) w astrometrii wzgl˛ed-

nej. O wiele pro´sciej jest mierzy´c rektascensj˛e i deklinacj˛e gwiazdy wzgl˛edem systemu funda-
mentalnego ani˙zeli np. wzgl˛edem południka miejscowego.

13.9 Zadanka na ´cwiczenia

181

W roku 1999 w Heildelbergu opublikowano kolejn ˛

a wersj˛e katalogu fundamentalnego

Opublikowano go w czterech cz˛e´sciach zawieraj ˛

acych ró˙zn ˛

a liczb˛e gwiazd:

cz˛e´s´c I zawieraj ˛

ac ˛

879

gwiazd fundamentalnych,

cz˛e´s´c II obejmuj ˛

ac ˛

a około

500

gwiazd fundamentalnych,

cz˛e´s´c III licz ˛

ac ˛

a 3272 gwwiazdy,

cz˛e´s´c IV zawieraj ˛

ac ˛

a około 1000 gwiazd.

Katalog FK6 powstał w rezultacie poł ˛

aczenia rezultatów astrommetrycznnego satelity HIPARKOS

z obserwacjami uzyskanymi na powierzchni Ziemi. Wi˛ecej informacji na ten temat mo˙zna odnale´z´c
na stronie internetowej pod adresem http://www.ari.uni-heidelberg.de/fk6.

Katalogi ogólne o niefundamentalnej naturze podaj ˛

a poło˙zenia i ruchy własne olbrzymiej

liczby gwiazd

(10

)

. Stanowi ˛

a one układy odniesienia drugiej rangi. Gwiazdy w tych katalo-

gach rozrzucone s ˛

a po całej sferze niebieskiej z tak ˛

a g˛esto´sci ˛

a by mo˙zliwie zawsze pewna liczba

gwiazd skatalogowanych znalazła si˛e na kliszy fotograficznej podczas fotografowania danego ob-
szaru nieba. Znane współrz˛edne tych gwiazd wykorzystuje si˛e do wyznaczania poło˙ze´n innych
obiektów metodami wzgl˛ednymi.

13.9

Zadanka na ´cwiczenia

1. Poka˙z, ˙ze zmiany roczne poło˙zenia gwiazdy, mo˙zna wyrazi´c we współrz˛ednych równiko-

wych w postaci:

2. Pewna gwiazda w epoce standardowej ma rektascensj˛e równ ˛

, deklinacj˛e

. Jej pr˛ed-

ko´s´c radialna nie daje si˛e mierzy´c, jest zbyt mała, jej ruch własny na epok˛e standardow ˛

wynosi

przy k ˛

acie pozycyjnym równym

. Poka˙z, ˙ze w tych warunkach wiekowe zmi-

any redukuj ˛

a si˛e do:

100

0:4n

sin

1500mn

sin

gdzie

s ˛

a wyra˙zone w sekundach czasu i łuku na rok, odpowiednio.

3. Oblicz współrz˛edne równikowe gwiazdy z zadania 2, na moment

lat przed epok ˛

a stan-

dardow ˛

a. Wykorzystaj

dane jako:

07496

00186T

20:

0431

0085T

4. Gwiazda

U. Min. ma współrz˛edne równikowe

(15

44:

)

na epok˛e 1984.5.

Oblicz jej Beslowskie stałe gwiazdowe na rok 1984.
Skorzystaj ze wzorów:

1055

0189T

21:

46:

81T

oraz podanego wy˙zej wzoru na

182

Miejsca ´srednie, prawdziwe i widome

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
13 5 miejsce WZK CRK w UWid 14600 ppt
Polske na liscie swiatowego dziedzictwa UNESCO reprezentuje 13 miejsc, Studia, Turystyka i rekreacja
Izraelczycy na 13 miejscu szczęśliwości na świecie
liczba miejsc na uczelniach medycznych na rok akademicki 13 2014
13 Dążenie do ideału etycznego w literaturze średniowiecza
13.Kochanowski a Sep Szarzynski, Jan Kochanowski i Mikołaj Sęp-Szarzyński o człowieku i jego miejscu
Metody naiwne i sredniej ruchomej 13 11
2 Konflikty w miejscu pracy (13)
17 Konflikty w miejscu pracy (13)
40 III 13 WŁĄCZANIE SIĘ DO RUCHU ZASADY WŁĄCZANIA SIĘ DO RUCHU, OPUSZCANIE MIEJSCA POSTOJU PO P (5
przeliczanie średniego na prawdziwy 1
13. sredniowiecze, LEKTURY, ZAGADNIENIA Średniowiecze, renesans, barok
2 Konflikty w miejscu pracy (13)
13 Przysłówek, proszę was, oznacza sposób, miejsce lub czas
13 Sredniadoroslosc, psychologia, II rok, psychologia rozwoju czlowieka w cyklu zycia

więcej podobnych podstron