1

Wykład 3

Dynamika punktu

Dynamika punktu

materialnego

materialnego

Wrocław University of Technology

15-X-2011

2

Isaac Newton

„If I have seen farther than other men, it is because I have stood on

the shoulders of giants.”

„

Je

ś

li widz

ę

dalej, to dlatego,

ż

e stałem na ramionach olbrzymów

”

Kogo miał na my

ś

li?: Tycho Brahe, Jan Kepler, Galileo Galilei.

„What we know is a drop, what we don't know is an

ocean.”

„

Co my wiemy, to tylko kropelka. Czego nie wiemy, to cały ocean.

”

„I was like a boy playing on the sea-shore, and diverting myself now

and then finding a smoother pebble or a prettier shell than ordinary,
whilst the great ocean of truth lay all undiscovered before me.”

„

Nie wiem, jak wygl

ą

dam w oczach

ś

wiata, lecz dla siebie jestem tylko chłopcem bawi

ą

cym si

ę

na morskim brzegu, pochylaj

ą

cym si

ę

i znajduj

ą

cym gładszy kamie

ń

lub pi

ę

kniejsz

ą

muszelk

ę

ni

ż

inne, podczas gdy wielki ocean prawdy jest ci

ą

gle zakryty przede mn

ą

.

”

DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO

15.X.2011

3

Zasady dynamiki Newtona

Dynamika to dział mechaniki, w którym bada si

ę

zwi

ą

zki mi

ę

dzy

wzajemnymi oddziaływaniami ciał i zmianami ich ruchu. Dynamika
zajmuje si

ę

siłami działaj

ą

cymi na ciała i

ź

ródłami tych sił.

Siła to wielko

ść

wektorowa, która jest miar

ą

oddziaływania mechanicznego

innych ciał (otoczenia) na dane ciało. Jest to oddziaływanie, które mo

ż

e

nada

ć

ciału przyspieszenie.

Masa ciała to wielko

ść

fizyczna, charakteryzuj

ą

ca ciało:

- miara „liczebno

ś

ci” materii (st

ą

d definicje wzorca masy w Sèvres pod

Pary

ż

em);

- miara bezwładno

ś

ci ciała, czyli jego reakcja na działaj

ą

c

ą

na

ń

sił

ę

oraz

pr

ę

dko

ść

, osi

ą

gana pod działaniem tej siły.

Jest to wielko

ść

skalarna.

DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO

15.X.2011

4

I zasada dynamiki Newtona

Ka

ż

de ciało pozostaje w spoczynku lub porusza si

ę

ruchem jednostajnym

prostoliniowym, dopóki działanie innych ciał nie zmusi go do zmiany tego

stanu.

Ciało, na które nie działaj

ą ż

adne siły zewn

ę

trzne, lub działaj

ą

ce siły si

ę

równowa

żą

, pozostaje w spoczynku lub porusza si

ę

ruchem jednostajnym

prostoliniowym:

0

0

=

⇒

=

a

F

wyp

r

r

Inaczej nazywana zasad

ą

bezwładno

ś

ci.

•

obalenie nauki Arystotelesa: gdy nie ma sił zewn

ę

trznych, ciała musz

ą

si

ę

zatrzyma

ć

!

•

istnienie inercjalnego układu odniesienia – czyli wła

ś

nie takiego, w

którym ciało spoczywa je

ś

li nie działaj

ą

na niego siły.

DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO

15.X.2011

5

I zasada dynamiki Newtona

moneta

DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO

15.X.2011

6

∑

∑

=

=

=

=

=

N

i

i

i

N

i

i

v

m

p

p

v

m

p

1

1

v

v

v

v

v

II zasada dynamiki Newtona

P

ę

d

( )

a

m

dt

v

d

m

v

m

dt

d

F

m

dt

p

d

F

r

r

v

r

r

v

=

=

=

⇒

=

=

const

,

Dla punktu materialnego

Dla układu punktów materialnych

II zasada dynamiki dla ruchu post

ę

powego

F jest wypadkow

ą

sił zewn

ę

trznych (wypadkowa sił wewn

ę

trznych,

działaj

ą

cych mi

ę

dzy cz

ęś

ciami składowymi układu, wynosi zero, gdy

ż

znosz

ą

si

ę

one na mocy III zasady dynamiki)

DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO

15.X.2011

7

II zasada dynamiki Newtona

Jednostką siły w układzie SI jest jeden

Niuton [1N].

2

1

1

1

s

m

kg

N

⋅

=

Jeżeli cząstka porusza się z przyśpieszeniem

a

w układzie

inercjalnym, to działa na nią siła równa iloczynowi masy
bezwładnej cząstki i jej przyśpieszenia.

2

2

dt

r

d

m

dt

v

d

m

a

m

F

v

v

r

r

=

=

=

Gdy masa jest stała:

DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO

15.X.2011

8

II zasada dynamiki Newtona

Jeśli na dwie różne masy podziałamy tą samą siłą, to możemy
napisać:

2

2

1

1

a

m

F

a

m

F

r

r

r

r

=

=

stąd wynika, że

Widać więc, że pod wpływem tej samej siły większa masa ulega
mniejszemu przyśpieszeniu, a mniejsza większemu.

Masa bezwładna jest miarą oporu jaki cząstka stawia przyśpieszeniom.

1

2

2

1

m

a

m

a

=

DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO

15.X.2011

9

II zasada dynamiki Newtona

)

,

,

(

t

dt

r

d

r

F

F

r

r

r

r

=

Ruch cząstki znajdujemy rozwiązując równanie:

)

,

,

(

)

(

2

2

t

dt

r

d

r

F

dt

t

r

d

m

r

r

r

r

=

Równaniem ruchu Newtona

.

Jest ono równoważne trzem równaniom dla poszczególnych składowych.

)

,

,

,

,

,

,

(

)

(

)

,

,

,

,

,

,

(

)

(

)

,

,

,

,

,

,

(

)

(

2

2

2

2

2

2

t

dt

dz

dt

dy

dt

dx

z

y

x

F

dt

t

z

d

m

t

dt

dz

dt

dy

dt

dx

z

y

x

F

dt

t

y

d

m

t

dt

dz

dt

dy

dt

dx

z

y

x

F

dt

t

x

d

m

z

y

x

=

=

=

DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO

15.X.2011

10

II zasada dynamiki Newtona

v

v

v

t

t

t

1 blok = m

C

1 blok

2 bloki

1 ciężar =F

g

1 ciężar

2 ciężary

Przyspieszenie = a

Przyspieszenie = 2a

Przyspieszenie = 1/2a

Prosta weryfikacja eksperymentalna

DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO

15.X.2011

11

II zasada dynamiki Newtona

g

a

F

∝

r

r

C

1

a

m

∝

r

0.169

5.9

2

1

0.235

4.125

2

2

0.32

3.125

1

2

0.219

4.275

1

1

a

t

m

F

Wyniki doświadczenia, da się zapisać jako:

a

m

F

m

F

a

C

C

g

r

r

r

r

=

=

lub

Masa m pokonywała w każdym
przypadku drogę 2 m.

Widać, że

oraz

DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO

15.X.2011

12

Zasada superpozycji sił

Je

ś

li na dany punkt działa kilka sił, to siła wypadkowa jest sum

ą

wektorow

ą

sił składowych.

A

F

r

B

F

r

W

F

r

∑

=

=

+

+

+

=

N

i

i

N

W

F

F

F

F

F

1

2

1

...

v

r

r

r

r

DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO

15.X.2011

13

Zasada superpozycji sił

Przykład 1

y

x

45

o

53

o

30

o

300N

150N

200N

F

1

F

2

F

3

N

N

F

N

N

F

o

y

o

x

100

30

sin

)

200

(

173

30

cos

)

200

(

1

1

=

=

=

=

r

r

N

N

F

N

N

F

o

y

o

x

212

135

sin

)

300

(

212

135

cos

)

300

(

2

2

=

=

−

=

=

r

r

N

N

F

N

N

F

o

y

o

x

124

233

sin

)

155

(

93

233

cos

)

155

(

3

3

−

=

=

−

=

=

r

r

Siła wypadkowa:

N

N

N

N

F

F

F

F

F

N

N

N

N

F

F

F

F

F

y

y

y

iy

Wy

x

x

x

ix

Wx

188

)

124

(

212

100

132

)

93

(

)

212

(

173

3

2

1

3

2

1

=

−

+

+

=

+

+

=

=

−

=

−

+

−

+

=

+

+

=

=

∑

∑

r

r

N

N

N

F

F

F

y

x

W

230

)

188

(

)

132

(

2

2

2

2

=

+

−

=

+

=

DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO

15.X.2011

14

Zasada superpozycji sił

Przykład 2
Jaka musi by

ć

warto

ść

siły F aby składowa równoległa do rampy

wypadkowej siły działaj

ą

cej na skrzyni

ę

o masie m wynosiła 60N? Ile

wtedy wynosi składowa prostopadła do rampy?

20

o

F

┴

F

II

Q

Q

II

Q

┴

F

W kierunku równoległym do rampy „x”:

o

o

wx

Q

F

Q

F

F

20

sin

30

cos

II

II

−

=

−

=

r

W kierunku prostopadłym do rampy „y”:

o

o

wy

F

Q

F

Q

F

30

sin

20

cos

−

=

−

=

⊥

⊥

r

DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO

15.X.2011

15

Kilka wa

ż

nych sił

Siła ci

ęż

ko

ś

ci (grawitacji)

Jest to siła jak

ą

dane ciało jest przyci

ą

gane przez inne ciało.

Najcz

ęś

ciej rozpatrywane przypadki to gdy tym drugim

ciałem jest Ziemia. W tym przypadku siła
ci

ęż

ko

ś

ci F

g

jest to siła skierowana do

ś

rodka Ziemi – czyli pionowo w dół.

Zakłada si

ę

równie

ż

,

ż

e układ odniesienia

zwi

ą

zany z Ziemi

ą

jest inercjalny.

W postaci wektorowej:

gdzie g – wektor przyspieszenia ziemskiego (9,81m/s

2

)

mg

F

g

=

g

m

j

mg

j

F

F

g

g

v

v

=

−

=

−

=

ˆ

ˆ

DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO

15.X.2011

16

Kilka wa

ż

nych sił

Ci

ęż

ar

Ci

ęż

ar ciała Q nazywa si

ę

warto

ść

bezwzgl

ę

dn

ą

siły

potrzebnej do zapobie

ż

enia spadkowi ciała, mierzonej

przez obserwatora na Ziemi.
Na ciało, którego przyspieszenie wzgl

ę

dem Ziemi wynosi

zero (układ inercjalny), działaj

ą

dwie siły: skierowana w

dół siła ci

ęż

ko

ś

ci F

g

i równowa

żą

ca j

ą

siła o warto

ś

ci Q,

skierowana pionowo w gór

ę

.

)

0

(

)

0

(

m

F

Q

m

F

Q

g

g

=

=

⇒

=

−

Ci

ęż

ar Q ciała jest równy warto

ś

ci bezwzgl

ę

dnej sił ci

ęż

ko

ś

ci F

g

działaj

ą

cej

na to ciało.

mg

Q

=

DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO

15.X.2011

17

Kilka wa

ż

nych sił

Ci

ęż

ar

Pomiar ci

ęż

aru ciała Q musi by

ć

wykonywany wtedy, gdy

ciało nie porusza si

ę

z przyspieszeniem pionowym w

stosunku do Ziemi.

Ci

ęż

ar Q ciała to inna wielko

ść

fizyczna ni

ż

jego masa!

Ci

ęż

ar to warto

ść

siły a jego zwi

ą

zek z mas

ą

okre

ś

la

druga zasada dynamiki Newtona.

Ci

ęż

ar kuli do kr

ę

gli o masie 7.2kg wynosi 71N na Ziemi, lecz tylko 12N na

Ksi

ęż

ycu. Masa tej kuli jest taka sama na Ziemi i na Ksi

ęż

ycu, lecz na

Ksi

ęż

ycu przyspieszenie wynosi jedyne 1.7m/s

2

.

DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO

15.X.2011

18

Kilka wa

ż

nych sił

N

r

Siła normalna

Nazwa pochodzi od terminu matematycznego normalny, co znaczy prostopadły.

Gdy ciało naciska na powierzchni

ę

, cho

ć

by

pozornie bardzo sztywn

ą

, powierzchnia ta

ulega deformacji i działa na ciało sił

ą

normaln

ą

N, prostopadł

ą

do powierzchni.

Q

r

N

r

Q

r

y

x

y

y

ma

mg

N

ma

Q

N

=

−

=

−

)

(

y

y

a

g

m

ma

mg

N

+

=

+

=

Warto

ść

siły normalnej dla dowolnej warto

ś

ci

przyspieszenia a

y

w kierunku pionowym wynosi:

Gdy a

y

= 0 wtedy

mg

N

=

DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO

15.X.2011

19

Kilka wa

ż

nych sił

Napr

ęż

enia

DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO

15.X.2011

20

Kilka wa

ż

nych sił

Tarcie

DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO

15.X.2011

N

r

Q

r

S

iła

ta

rc

ia

Ciała zaczyna si

ę

rusza

ć

k

f

s

f

F

s

s

f

r

N

r

Q

r

F

s

k

f

r



←

a

r

21

Kilka wa

ż

nych sił

Tarcie

• Je

ś

li ciała si

ę

nie porusza, to siła tarcia statycznego f

s

oraz składowa siły F

równoległa do powierzchni, si

ę

równowa

żą

.

•Maksymalna warto

ść

siły f

smax

dana jest wzorem:

DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO

15.X.2011

N

f

k

k

r

r

µ

=

przy czym

µ

s

jest współczynnikiem tarcia statycznego.

• Je

ś

li ciało zaczyna si

ę ś

lizga

ć

po powierzchni, to warto

ść

siły gwałtownie

maleje do warto

ś

ci f

k

równej:

przy czym

µ

k

jest współczynnikiem tarcia kinetycznego.

N

f

s

s

r

r

µ

=

max

22

Kilka wa

ż

nych sił

Siła do

ś

rodkowa

Ruch jednostajny po okr

ę

gu z punktu widzenia dynamiki.

Zgodnie z I zasad

ą

dynamiki tylko ruch jednostajny prostoliniowy mo

ż

e

istnie

ć

bez działania sił. Ruch jednostajny po okr

ę

gu wymaga istnienia

dodatkowej siły. Według II zasady dynamiki warto

ść

liczbowa tej siły wyra

ż

a

si

ę

zale

ż

no

ś

ci

ą

:

DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO

15.X.2011

a

m

F

r

r

=

Przyspieszenie a w ruchu jednostajnym po okr

ę

gu:

R

R

V

a

n

2

2

ω

=

=

r

St

ą

d

R

T

R

m

R

mV

F

doś

2

2

2

2

4

π

ω

=

=

=

r

23

Kilka wa

ż

nych sił

Siła od

ś

rodkowa

Zgodnie z trzeci

ą

zasad

ą

dynamiki działaniu siły do

ś

rodkowej, na ciało

kr

ążą

ce po okr

ę

gu, musi towarzyszy

ć

działanie siły od

ś

rodkowej na tzw.

„wi

ę

zy”. Przez wi

ę

zy rozumiemy te ciała, które wymuszaj

ą

ruch po okr

ę

gu.

W naszych przykładach takimi wi

ę

zami b

ę

d

ą

: r

ę

ka wprawiaj

ą

ca kamie

ń

w

ruch za po

ś

rednictwem sznurka, szyna kolejowa, Ziemia i j

ą

dro atomowe.

Siła od

ś

rodkowa F

od

ś

jest równa co do warto

ś

ci sile do

ś

rodkowej F

do

ś

lecz

ma zwrot przeciwny

Siła do

ś

rodkowa (działaj

ą

ca na ciało) nie równowa

ż

y si

ę

z sił

ą

od

ś

rodkow

ą

(działaj

ą

c

ą

na wi

ę

zy), gdy

ż

obie siły działaj

ą

na ró

ż

ne ciała.

DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO

15.X.2011

odś

doś

F

F

r

r

−

=

24

Zdarzenie

Oddziaływanie

Siła A

Siła B

Zderzenie kul
Bilardowych

Cios bokserski

Uderzenie piłki
rakiet

ą

III zasada dynamiki Newtona

Gdy dwa ciała oddziałuj

ą

ze sob

ą

, siły z jakimi działaj

ą

one na siebie maj

ą

tak

ą

sam

ą

warto

ść

bezwzgl

ę

dn

ą

i przeciwne kierunki. Siły te nazywamy

siłami akcji i reakcji.

A

na

B

B

na

A

F

F

r

r

−

=

DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO

15.X.2011

25

Zastosowanie praw dynamiki Newtona

Przykład 3.

Blok marmuru, którego ci

ęż

ar wynosi 2

x

10

4

N jest

zawieszony za pomoc

ą

liny do d

ź

wigu (Rys). Ci

ęż

ar liny

wynosi 4

x

10

2

N.

(A) Znajd

ź

napr

ęż

enie w górnej i dolnej cz

ęś

ci liny, gdy

blok i lina s

ą

w spoczynku.

(B) Znajd

ź

napr

ęż

enie w górnej i dolnej cz

ęś

ci liny, kiedy

blok porusza si

ę

w dół z przyspieszeniem 2.50 m/s

2

.

(A) Gdy układ si

ę

nie porusza

∑

=

0

y

F

0

1

=

−

−

b

l

Q

Q

T

DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO

15.X.2011

N

N

N

Q

Q

T

b

l

4

2

4

1

10

04

.

2

10

4

10

2

⋅

=

⋅

+

⋅

=

+

=

Napr

ęż

enie u góry liny T

1

(rys) wynosi:

l

Q

b

Q

1

T

26

Zastosowanie praw dynamiki Newtona

∑

=

0

y

F

Napr

ęż

enie przy bloku T

2

(rys) wynosi:

DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO

15.X.2011

0

2

=

−

b

Q

T

N

Q

T

b

4

2

10

2

⋅

=

=

(B) Blok i lina poruszaj

ą

si

ę

z przyspieszeniem a

y

= 2.5 m/s

2

.

Korzystaj

ą

c z II zasady dynamiki Newtona mo

ż

na wyznaczy

ć

masy liny i bloku

b

Q

2

T

kg

s

m

N

g

Q

m

b

b

2040

/

81

.

9

10

2

2

4

=

⋅

=

=

kg

s

m

N

g

Q

m

l

l

8

.

40

/

81

.

9

10

4

2

2

=

⋅

=

=

y

b

l

l

b

a

m

m

Q

Q

T

)

(

2

+

=

−

−

N

a

m

m

Q

Q

T

y

b

l

l

b

4

2

4

2

10

52

.

1

)

5

.

2

(

)

2040

8

.

40

(

10

4

10

2

)

(

⋅

=

−

⋅

+

+

⋅

+

⋅

=

=

+

+

+

=

27

Zastosowanie praw dynamiki Newtona

DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO

15.X.2011

Przykład 4.

Bloczek o ci

ęż

arze 10N jest zawieszony na nierozci

ą

gliwej, niewa

ż

kiej lince jak

przedstawiono na rysunku. Jakie s

ą

warto

ś

ci napr

ęż

e

ń

?

Q

45

o

30

o

y

x

T

1

T

2

45

o

30

o

T

3

=10N

∑

=

=

0

x

x

ma

F

0

45

cos

30

cos

1

2

=

°

−

°

T

T

x:

y:

∑

=

=

0

y

y

ma

F

0

30

sin

45

sin

3

2

1

=

−

°

+

°

T

T

T

28

Zastosowanie praw dynamiki Newtona

DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO

15.X.2011

Przykład 4.

Q

y

x

T

1

T

2

45

o

30

o

T

3

=10N

N

N

T

T

N

tg

T

tg

T

T

32

.

7

30

cos

45

cos

97

.

8

30

cos

45

cos

97

.

8

30

45

cos

45

sin

30

45

cos

45

sin

1

2

3

3

1

=

°

°

⋅

=

=

°

°

=

=

°

°

+

°

=

=

°

°

+

°

=

29

Zastosowanie praw dynamiki Newtona

DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO

15.X.2011

Przykład 5.

Jak du

ż

a jest siła podczas kopni

ę

cia?

Masa piłki wynosi około 0.4 kg.
Potrzebujemy oszacowa

ć

przyspieszenie

piłki, które jest zmian

ą

pr

ę

dko

ś

ci piłki w

okre

ś

lonym czasie. Na pocz

ą

tku piłka nie

porusza si

ę

a tu

ż

po kopni

ę

ciu w czasie

0.01s ma pr

ę

dko

ść

około 30m/s. St

ą

d









=

=

−

=

2

/

3000

01

.

0

0

30

s

m

s

s

m

a

A siła wynosi









=

⋅

=

=

=

N

s

m

kg

ma

F

2

1200

3000

*

4

.

0

kg

m

122

=

⇒

30

Siła oporu i pr

ę

dko

ść

graniczna

DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO

15.X.2011

Zale

ż

no

ść

warto

ś

ci siły oporu D od pr

ę

dko

ś

ci wzgl

ę

dnej V :

2

2

1

SV

C

D

ρ

=

r

przy czym C jest wyznaczonym do

ś

wiadczalnie współczynnikiem oporu

aerodynamicznego,

ρ

g

ę

sto

ś

ci

ą

płynu, S polem przekroju poprzecznego

ciała.

• Je

ś

li ciało spada wystarczaj

ą

co długo, to w pewnej chwili siły D i Q si

ę

równowa

żą

, czyli a = 0 - ciało spada ze stał

ą

pr

ę

dko

ś

ci

ą

tzw. Graniczn

ą

.

S

C

Q

V

Q

SV

C

t

t

ρ

ρ

2

0

2

1

2

=

⇓

=

−