1
Wykład 3
Dynamika punktu
Dynamika punktu
materialnego
materialnego
Wrocław University of Technology
15-X-2011
1
Wykład 3
Dynamika punktu
Dynamika punktu
materialnego
materialnego
Wrocław University of Technology
15-X-2011
2
Isaac Newton
„If I have seen farther than other men, it is because I have stood on
the shoulders of giants.”
„
Je
ś
li widz
ę
dalej, to dlatego,
Ŝ
e stałem na ramionach olbrzymów
”
Kogo miał na my
ś
li?: Tycho Brahe, Jan Kepler, Galileo Galilei.
„What we know is a drop, what we don't know is an
ocean.”
„
Co my wiemy, to tylko kropelka. Czego nie wiemy, to cały ocean.
”
„I was like a boy playing on the sea-shore, and diverting myself now
and then finding a smoother pebble or a prettier shell than ordinary,
whilst the great ocean of truth lay all undiscovered before me.”
„
Nie wiem, jak wygl
ą
dam w oczach
ś
wiata, lecz dla siebie jestem tylko chłopcem bawi
ą
cym si
ę
na morskim brzegu, pochylaj
ą
cym si
ę
i znajduj
ą
cym gładszy kamie
ń
lub pi
ę
kniejsz
ą
muszelk
ę
ni
Ŝ
inne, podczas gdy wielki ocean prawdy jest ci
ą
gle zakryty przede mn
ą
.
”
DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO
15.X.2011
3
Zasady dynamiki Newtona
Dynamika to dział mechaniki, w którym bada si
ę
zwi
ą
zki mi
ę
dzy
wzajemnymi oddziaływaniami ciał i zmianami ich ruchu. Dynamika
zajmuje si
ę
siłami działaj
ą
cymi na ciała i
ź
ródłami tych sił.
Siła to wielko
ść
wektorowa, która jest miar
ą
oddziaływania mechanicznego
innych ciał (otoczenia) na dane ciało. Jest to oddziaływanie, które mo
Ŝ
e
nada
ć
ciału przyspieszenie.
Masa ciała to wielko
ść
fizyczna, charakteryzuj
ą
ca ciało:
- miara „liczebno
ś
ci” materii (st
ą
d definicje wzorca masy w Sèvres pod
Pary
Ŝ
em);
- miara bezwładno
ś
ci ciała, czyli jego reakcja na działaj
ą
c
ą
na
ń
sił
ę
oraz
pr
ę
dko
ść
, osi
ą
gana pod działaniem tej siły.
Jest to wielko
ść
skalarna.
DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO
15.X.2011
4
I zasada dynamiki Newtona
Ka
Ŝ
de ciało pozostaje w spoczynku lub porusza si
ę
ruchem jednostajnym
prostoliniowym, dopóki działanie innych ciał nie zmusi go do zmiany tego
stanu.
Ciało, na które nie działaj
ą Ŝ
adne siły zewn
ę
trzne, lub działaj
ą
ce siły si
ę
równowa
Ŝą
, pozostaje w spoczynku lub porusza si
ę
ruchem jednostajnym
prostoliniowym:
0
0
=
⇒
=
a
F
wyp
r
r
Inaczej nazywana zasad
ą
bezwładno
ś
ci.
•
obalenie nauki Arystotelesa: gdy nie ma sił zewn
ę
trznych, ciała musz
ą
si
ę
zatrzyma
ć
!
•
istnienie inercjalnego układu odniesienia – czyli wła
ś
nie takiego, w
którym ciało spoczywa je
ś
li nie działaj
ą
na niego siły.
DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO
15.X.2011
5
I zasada dynamiki Newtona
moneta
DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO
15.X.2011
6
∑
∑
=
=
=
=
=
N
i
i
i
N
i
i
v
m
p
p
v
m
p
1
1
v
v
v
v
v
II zasada dynamiki Newtona
P
ę
d
( )
a
m
dt
v
d
m
v
m
dt
d
F
m
dt
p
d
F
r
r
v
r
r
v
=
=
=
⇒
=
=
const
,
Dla punktu materialnego
Dla układu punktów materialnych
II zasada dynamiki dla ruchu post
ę
powego
F jest wypadkow
ą
sił zewn
ę
trznych (wypadkowa sił wewn
ę
trznych,
działaj
ą
cych mi
ę
dzy cz
ęś
ciami składowymi układu, wynosi zero, gdy
Ŝ
znosz
ą
si
ę
one na mocy III zasady dynamiki)
DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO
15.X.2011
7
II zasada dynamiki Newtona
Jednostką siły w układzie SI jest jeden
Niuton [1N].
2
1
1
1
s
m
kg
N
⋅
=
JeŜeli cząstka porusza się z przyśpieszeniem
a
w układzie
inercjalnym, to działa na nią siła równa iloczynowi masy
bezwładnej cząstki i jej przyśpieszenia.
2
2
dt
r
d
m
dt
v
d
m
a
m
F
v
v
r
r
=
=
=
Gdy masa jest stała:
DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO
15.X.2011
8
II zasada dynamiki Newtona
Jeśli na dwie róŜne masy podziałamy tą samą siłą, to moŜemy
napisać:
2
2
1
1
a
m
F
a
m
F
r
r
r
r
=
=
stąd wynika, Ŝe
Widać więc, Ŝe pod wpływem tej samej siły większa masa ulega
mniejszemu przyśpieszeniu, a mniejsza większemu.
Masa bezwładna jest miarą oporu jaki cząstka stawia przyśpieszeniom.
1
2
2
1
m
a
m
a
=
DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO
15.X.2011
9
II zasada dynamiki Newtona
)
,
,
(
t
dt
r
d
r
F
F
r
r
r
r
=
Ruch cząstki znajdujemy rozwiązując równanie:
)
,
,
(
)
(
2
2
t
dt
r
d
r
F
dt
t
r
d
m
r
r
r
r
=
Równaniem ruchu Newtona
.
Jest ono równowaŜne trzem równaniom dla poszczególnych składowych.
)
,
,
,
,
,
,
(
)
(
)
,
,
,
,
,
,
(
)
(
)
,
,
,
,
,
,
(
)
(
2
2
2
2
2
2
t
dt
dz
dt
dy
dt
dx
z
y
x
F
dt
t
z
d
m
t
dt
dz
dt
dy
dt
dx
z
y
x
F
dt
t
y
d
m
t
dt
dz
dt
dy
dt
dx
z
y
x
F
dt
t
x
d
m
z
y
x
=
=
=
DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO
15.X.2011
10
II zasada dynamiki Newtona
v
v
v
t
t
t
1 blok = m
C
1 blok
2 bloki
1 cięŜar =F
g
1 cięŜar
2 cięŜary
Przyspieszenie = a
Przyspieszenie = 2a
Przyspieszenie = 1/2a
Prosta weryfikacja eksperymentalna
DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO
15.X.2011
11
II zasada dynamiki Newtona
g
a
F
∝
r
r
C
1
a
m
∝
r
0.169
5.9
2
1
0.235
4.125
2
2
0.32
3.125
1
2
0.219
4.275
1
1
a
t
m
F
Wyniki doświadczenia, da się zapisać jako:
a
m
F
m
F
a
C
C
g
r
r
r
r
=
=
lub
Masa m pokonywała w kaŜdym
przypadku drogę 2 m.
Widać, Ŝe
oraz
DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO
15.X.2011
12
Zasada superpozycji sił
Je
ś
li na dany punkt działa kilka sił, to siła wypadkowa jest sum
ą
wektorow
ą
sił składowych.
A
F
r
B
F
r
W
F
r
∑
=
=
+
+
+
=
N
i
i
N
W
F
F
F
F
F
1
2
1
...
v
r
r
r
r
DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO
15.X.2011
13
Zasada superpozycji sił
Przykład 1
y
x
45
o
53
o
30
o
300N
150N
200N
F
1
F
2
F
3
N
N
F
N
N
F
o
y
o
x
100
30
sin
)
200
(
173
30
cos
)
200
(
1
1
=
=
=
=
r
r
N
N
F
N
N
F
o
y
o
x
212
135
sin
)
300
(
212
135
cos
)
300
(
2
2
=
=
−
=
=
r
r
N
N
F
N
N
F
o
y
o
x
124
233
sin
)
155
(
93
233
cos
)
155
(
3
3
−
=
=
−
=
=
r
r
Siła wypadkowa:
N
N
N
N
F
F
F
F
F
N
N
N
N
F
F
F
F
F
y
y
y
iy
Wy
x
x
x
ix
Wx
188
)
124
(
212
100
132
)
93
(
)
212
(
173
3
2
1
3
2
1
=
−
+
+
=
+
+
=
=
−
=
−
+
−
+
=
+
+
=
=
∑
∑
r
r
N
N
N
F
F
F
y
x
W
230
)
188
(
)
132
(
2
2
2
2
=
+
−
=
+
=
DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO
15.X.2011
14
Zasada superpozycji sił
Przykład 2
Jaka musi by
ć
warto
ść
siły F aby składowa równoległa do rampy
wypadkowej siły działaj
ą
cej na skrzyni
ę
o masie m wynosiła 60N? Ile
wtedy wynosi składowa prostopadła do rampy?
20
o
F
┴
F
II
Q
Q
II
Q
┴
F
W kierunku równoległym do rampy „x”:
o
o
wx
Q
F
Q
F
F
20
sin
30
cos
II
II
−
=
−
=
r
W kierunku prostopadłym do rampy „y”:
o
o
wy
F
Q
F
Q
F
30
sin
20
cos
−
=
−
=
⊥
⊥
r
DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO
15.X.2011
15
Kilka wa
Ŝ
nych sił
Siła ci
ęŜ
ko
ś
ci (grawitacji)
Jest to siła jak
ą
dane ciało jest przyci
ą
gane przez inne ciało.
Najcz
ęś
ciej rozpatrywane przypadki to gdy tym drugim
ciałem jest Ziemia. W tym przypadku siła
ci
ęŜ
ko
ś
ci F
g
jest to siła skierowana do
ś
rodka Ziemi – czyli pionowo w dół.
Zakłada si
ę
równie
Ŝ
,
Ŝ
e układ odniesienia
zwi
ą
zany z Ziemi
ą
jest inercjalny.
W postaci wektorowej:
gdzie g – wektor przyspieszenia ziemskiego (9,81m/s
2
)
mg
F
g
=
g
m
j
mg
j
F
F
g
g
v
v
=
−
=
−
=
ˆ
ˆ
DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO
15.X.2011
16
Kilka wa
Ŝ
nych sił
Ci
ęŜ
ar
Ci
ęŜ
ar ciała Q nazywa si
ę
warto
ść
bezwzgl
ę
dn
ą
siły
potrzebnej do zapobie
Ŝ
enia spadkowi ciała, mierzonej
przez obserwatora na Ziemi.
Na ciało, którego przyspieszenie wzgl
ę
dem Ziemi wynosi
zero (układ inercjalny), działaj
ą
dwie siły: skierowana w
dół siła ci
ęŜ
ko
ś
ci F
g
i równowa
Ŝą
ca j
ą
siła o warto
ś
ci Q,
skierowana pionowo w gór
ę
.
)
0
(
)
0
(
m
F
Q
m
F
Q
g
g
=
=
⇒
=
−
Ci
ęŜ
ar Q ciała jest równy warto
ś
ci bezwzgl
ę
dnej sił ci
ęŜ
ko
ś
ci F
g
działaj
ą
cej
na to ciało.
mg
Q
=
DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO
15.X.2011
17
Kilka wa
Ŝ
nych sił
Ci
ęŜ
ar
Pomiar ci
ęŜ
aru ciała Q musi by
ć
wykonywany wtedy, gdy
ciało nie porusza si
ę
z przyspieszeniem pionowym w
stosunku do Ziemi.
Ci
ęŜ
ar Q ciała to inna wielko
ść
fizyczna ni
Ŝ
jego masa!
Ci
ęŜ
ar to warto
ść
siły a jego zwi
ą
zek z mas
ą
okre
ś
la
druga zasada dynamiki Newtona.
Ci
ęŜ
ar kuli do kr
ę
gli o masie 7.2kg wynosi 71N na Ziemi, lecz tylko 12N na
Ksi
ęŜ
ycu. Masa tej kuli jest taka sama na Ziemi i na Ksi
ęŜ
ycu, lecz na
Ksi
ęŜ
ycu przyspieszenie wynosi jedyne 1.7m/s
2
.
DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO
15.X.2011
18
Kilka wa
Ŝ
nych sił
N
r
Siła normalna
Nazwa pochodzi od terminu matematycznego normalny, co znaczy prostopadły.
Gdy ciało naciska na powierzchni
ę
, cho
ć
by
pozornie bardzo sztywn
ą
, powierzchnia ta
ulega deformacji i działa na ciało sił
ą
normaln
ą
N, prostopadł
ą
do powierzchni.
Q
r
N
r
Q
r
y
x
y
y
ma
mg
N
ma
Q
N
=
−
=
−
)
(
y
y
a
g
m
ma
mg
N
+
=
+
=
Warto
ść
siły normalnej dla dowolnej warto
ś
ci
przyspieszenia a
y
w kierunku pionowym wynosi:
Gdy a
y
= 0 wtedy
mg
N
=
DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO
15.X.2011
19
Kilka wa
Ŝ
nych sił
Napr
ęŜ
enia
DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO
15.X.2011
20
Kilka wa
Ŝ
nych sił
Tarcie
DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO
15.X.2011
N
r
Q
r
S
iła
ta
rc
ia
Ciała zaczyna si
ę
rusza
ć
k
f
s
f
F
s
s
f
r
N
r
Q
r
F
s
k
f
r
←
a
r
21
Kilka wa
Ŝ
nych sił
Tarcie
• Je
ś
li ciała si
ę
nie porusza, to siła tarcia statycznego f
s
oraz składowa siły F
równoległa do powierzchni, si
ę
równowa
Ŝą
.
•Maksymalna warto
ść
siły f
smax
dana jest wzorem:
DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO
15.X.2011
N
f
k
k
r
r
µ
=
przy czym
µ
s
jest współczynnikiem tarcia statycznego.
• Je
ś
li ciało zaczyna si
ę ś
lizga
ć
po powierzchni, to warto
ść
siły gwałtownie
maleje do warto
ś
ci f
k
równej:
przy czym
µ
k
jest współczynnikiem tarcia kinetycznego.
N
f
s
s
r
r
µ
=
max
22
Kilka wa
Ŝ
nych sił
Siła do
ś
rodkowa
Ruch jednostajny po okr
ę
gu z punktu widzenia dynamiki.
Zgodnie z I zasad
ą
dynamiki tylko ruch jednostajny prostoliniowy mo
Ŝ
e
istnie
ć
bez działania sił. Ruch jednostajny po okr
ę
gu wymaga istnienia
dodatkowej siły. Według II zasady dynamiki warto
ść
liczbowa tej siły wyra
Ŝ
a
si
ę
zale
Ŝ
no
ś
ci
ą
:
DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO
15.X.2011
a
m
F
r
r
=
Przyspieszenie a w ruchu jednostajnym po okr
ę
gu:
R
R
V
a
n
2
2
ω
=
=
r
St
ą
d
R
T
R
m
R
mV
F
doś
2
2
2
2
4
π
ω
=
=
=
r
23
Kilka wa
Ŝ
nych sił
Siła od
ś
rodkowa
Zgodnie z trzeci
ą
zasad
ą
dynamiki działaniu siły do
ś
rodkowej, na ciało
kr
ąŜą
ce po okr
ę
gu, musi towarzyszy
ć
działanie siły od
ś
rodkowej na tzw.
„wi
ę
zy”. Przez wi
ę
zy rozumiemy te ciała, które wymuszaj
ą
ruch po okr
ę
gu.
W naszych przykładach takimi wi
ę
zami b
ę
d
ą
: r
ę
ka wprawiaj
ą
ca kamie
ń
w
ruch za po
ś
rednictwem sznurka, szyna kolejowa, Ziemia i j
ą
dro atomowe.
Siła od
ś
rodkowa F
od
ś
jest równa co do warto
ś
ci sile do
ś
rodkowej F
do
ś
lecz
ma zwrot przeciwny
Siła do
ś
rodkowa (działaj
ą
ca na ciało) nie równowa
Ŝ
y si
ę
z sił
ą
od
ś
rodkow
ą
(działaj
ą
c
ą
na wi
ę
zy), gdy
Ŝ
obie siły działaj
ą
na ró
Ŝ
ne ciała.
DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO
15.X.2011
odś
doś
F
F
r
r
−
=
24
Zdarzenie
Oddziaływanie
Siła A
Siła B
Zderzenie kul
Bilardowych
Cios bokserski
Uderzenie piłki
rakiet
ą
III zasada dynamiki Newtona
Gdy dwa ciała oddziałuj
ą
ze sob
ą
, siły z jakimi działaj
ą
one na siebie maj
ą
tak
ą
sam
ą
warto
ść
bezwzgl
ę
dn
ą
i przeciwne kierunki. Siły te nazywamy
siłami akcji i reakcji.
A
na
B
B
na
A
F
F
r
r
−
=
DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO
15.X.2011
25
Zastosowanie praw dynamiki Newtona
Przykład 3.
Blok marmuru, którego ci
ęŜ
ar wynosi 2
x
10
4
N jest
zawieszony za pomoc
ą
liny do d
ź
wigu (Rys). Ci
ęŜ
ar liny
wynosi 4
x
10
2
N.
(A) Znajd
ź
napr
ęŜ
enie w górnej i dolnej cz
ęś
ci liny, gdy
blok i lina s
ą
w spoczynku.
(B) Znajd
ź
napr
ęŜ
enie w górnej i dolnej cz
ęś
ci liny, kiedy
blok porusza si
ę
w dół z przyspieszeniem 2.50 m/s
2
.
(A) Gdy układ si
ę
nie porusza
∑
=
0
y
F
0
1
=
−
−
b
l
Q
Q
T
DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO
15.X.2011
N
N
N
Q
Q
T
b
l
4
2
4
1
10
04
.
2
10
4
10
2
⋅
=
⋅
+
⋅
=
+
=
Napr
ęŜ
enie u góry liny T
1
(rys) wynosi:
l
Q
b
Q
1
T
26
Zastosowanie praw dynamiki Newtona
∑
=
0
y
F
Napr
ęŜ
enie przy bloku T
2
(rys) wynosi:
DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO
15.X.2011
0
2
=
−
b
Q
T
N
Q
T
b
4
2
10
2
⋅
=
=
(B) Blok i lina poruszaj
ą
si
ę
z przyspieszeniem a
y
= 2.5 m/s
2
.
Korzystaj
ą
c z II zasady dynamiki Newtona mo
Ŝ
na wyznaczy
ć
masy liny i bloku
b
Q
2
T
kg
s
m
N
g
Q
m
b
b
2040
/
81
.
9
10
2
2
4
=
⋅
=
=
kg
s
m
N
g
Q
m
l
l
8
.
40
/
81
.
9
10
4
2
2
=
⋅
=
=
y
b
l
l
b
a
m
m
Q
Q
T
)
(
2
+
=
−
−
N
a
m
m
Q
Q
T
y
b
l
l
b
4
2
4
2
10
52
.
1
)
5
.
2
(
)
2040
8
.
40
(
10
4
10
2
)
(
⋅
=
−
⋅
+
+
⋅
+
⋅
=
=
+
+
+
=
27
Zastosowanie praw dynamiki Newtona
DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO
15.X.2011
Przykład 4.
Bloczek o ci
ęŜ
arze 10N jest zawieszony na nierozci
ą
gliwej, niewa
Ŝ
kiej lince jak
przedstawiono na rysunku. Jakie s
ą
warto
ś
ci napr
ęŜ
e
ń
?
Q
45
o
30
o
y
x
T
1
T
2
45
o
30
o
T
3
=10N
∑
=
=
0
x
x
ma
F
0
45
cos
30
cos
1
2
=
°
−
°
T
T
x:
y:
∑
=
=
0
y
y
ma
F
0
30
sin
45
sin
3
2
1
=
−
°
+
°
T
T
T
28
Zastosowanie praw dynamiki Newtona
DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO
15.X.2011
Przykład 4.
Q
y
x
T
1
T
2
45
o
30
o
T
3
=10N
N
N
T
T
N
tg
T
tg
T
T
32
.
7
30
cos
45
cos
97
.
8
30
cos
45
cos
97
.
8
30
45
cos
45
sin
30
45
cos
45
sin
1
2
3
3
1
=
°
°
⋅
=
=
°
°
=
=
°
°
+
°
=
=
°
°
+
°
=
29
Zastosowanie praw dynamiki Newtona
DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO
15.X.2011
Przykład 5.
Jak du
Ŝ
a jest siła podczas kopni
ę
cia?
Masa piłki wynosi około 0.4 kg.
Potrzebujemy oszacowa
ć
przyspieszenie
piłki, które jest zmian
ą
pr
ę
dko
ś
ci piłki w
okre
ś
lonym czasie. Na pocz
ą
tku piłka nie
porusza si
ę
a tu
Ŝ
po kopni
ę
ciu w czasie
0.01s ma pr
ę
dko
ść
około 30m/s. St
ą
d
=
=
−
=
2
/
3000
01
.
0
0
30
s
m
s
s
m
a
A siła wynosi
=
⋅
=
=
=
N
s
m
kg
ma
F
2
1200
3000
*
4
.
0
kg
m
122
=
⇒
30
Siła oporu i pr
ę
dko
ść
graniczna
DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO
15.X.2011
Zale
Ŝ
no
ść
warto
ś
ci siły oporu D od pr
ę
dko
ś
ci wzgl
ę
dnej V :
2
2
1
SV
C
D
ρ
=
r
przy czym C jest wyznaczonym do
ś
wiadczalnie współczynnikiem oporu
aerodynamicznego,
ρ
g
ę
sto
ś
ci
ą
płynu, S polem przekroju poprzecznego
ciała.
• Je
ś
li ciało spada wystarczaj
ą
co długo, to w pewnej chwili siły D i Q si
ę
równowa
Ŝą
, czyli a = 0 - ciało spada ze stał
ą
pr
ę
dko
ś
ci
ą
tzw. Graniczn
ą
.
S
C
Q
V
Q
SV
C
t
t
ρ
ρ
2
0
2
1
2
=
⇓
=
−