http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/

fizyka1.html

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Wykład FIZYKA I

8. Grawitacja

CIĄŻENIE POWSZECHNE (GRAWITACJA)



Wzajemne

przyciąganie się

ciał jest źródłem jednej z podstawowych

sił w fizyce – sił przyciągania, które podlegają prawu powszechnego

ciążenia (grawitacji). Prawo to podał Isaac Newton (1687; pierwsze
obserwacje

już od 1655):

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Między każdymi dwoma punktami materialnymi działa siła wzajemnego

przyciągania

,

wprost proporcjonalna do iloczynu mas tych punktów (m

1

i m

2

) a odwrotnie proporcjonalna

do kwadratu odległości r między nimi.

2

2

1

r

m

m

G

F





W postaci wektorowej prawo to można zapisać jako:

to siła, z jaką punkt „2” działa na punkt „1”,

to promień

wodzący, łączący punkt drugi z pierwszym.

12

3

12

2

1

12

r

r

m

m

G

F









m

1

m

2

12

F



12

r



12

F



12

r



CIĄŻENIE POWSZECHNE (GRAWITACJA)



Współczynnik

to

stała

grawitacji,

wyznaczona po raz pierwszy doświadczalnie w 1797 r. przez Henry`ego
Cavendisha przy użyciu tzw. wagi skręceń.

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

2

2

11

10

672

,

6

kg

Nm

G







(długie, cienkie włókno kwarcowe, ołowiane kule)



Pomiar Richardsa z 1898r

CIĄŻENIE POWSZECHNE (GRAWITACJA)



Ciężar ciała (inaczej: siła ciążenia) – siła przyciągania, jaka działa na

dane ciało ze strony innego ciała. W pobliżu Ziemi będzie ona równa:

gdzie g oznacza tzw. przyspieszenie ziemskie

równe:

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

mg

P



2

Z

Z

R

M

G

g



M

Z

to masa Ziemi, R

Z

to jej

promień.



Ciężar pozorny to wskazanie wagi sprężynowej, na której ważymy ciało (miara

siły, która na niego działa, a którą ono z kolei działa na wagę). W przypadku ciał
poruszających się z pewnym przyspieszeniem, ciężar pozorny to wypadkowa suma
sił wynikających z przyciągania przez inną masę (np. Ziemię) i sił bezwładności,
wynikających z ruchu z tym przyspieszeniem.



Ciężar fizjologiczny jest proporcjonalny do siły, jaką działa ciecz na zakończeniu

nerwów w półkolistych kanałach ucha wewnętrznego... (ile wysiłku trzeba włożyć
w uniesienie np. głowy lub ramienia).

Oznaczmy masę grawitacyjną ciała przez

a jego masę bezładną przez

.

Wtedy masa bezwładna, spadająca swobodnie w pobliżu Ziemi osiągnie
przyspieszenie

:

CIĄŻENIE POWSZECHNE (GRAWITACJA)



Siła grawitacji jest proporcjonalna do masy ciała jako miary liczebności

materii (np. liczby nukleonów w jądrze) i moglibyśmy ją wobec tego nazwać

masą grawitacyjną. Czy jest to ta sama masa, która występuje w zasadach

dynamiki, a którą nazwijmy masą bezwładną?

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

'

1

m

1

m

1

a

2

1

1

1

'

'

Z

Z

R

m

M

G

a

m



Podobne

równanie możemy napisać dla innego ciała o masie

.

Dzieląc

równania stronami, otrzymamy:

Czyli:

jeśli wszystkie ciała spadają z jednakowym przyspieszeniem, to oba

pojęcia mas są równoważne (obie masy są równe).

2

m

'

'

2

1

2

2

1

1

m

m

a

m

a

m



CIĄŻENIE POWSZECHNE (GRAWITACJA)



Próby zbadania zależności między masą bezwładną a grawitacyjną:

-

Newton stwierdził równość przyspieszeń z dokładnością do 1/1000;

-

1901 r. Roland Eötvös stwierdził to z dokładnością do 10

8

;

- 1964 r. R. Dicke (University of Princeton, USA): 10

300

.

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak



Wyniki tych pomiarów sugerują, że dla wszystkich substancji masa

grawitacyjna jest równa masie bezwładnej –> zasada równoważności –
podstawowe prawo przyrody, opierające się na wynikach doświadczeń.



Konsekwencją tej zasady jest niemożność rozróżnienia przyspieszenia

grawitacyjnego od przyspieszenia np. całego laboratorium, w którym
odbywałyby się pomiary – punkt wyjścia do ogólnej teorii względności
Einsteina.



Również kwestia wykładnika w potędze odległości (R

-2

) jest zagadnieniem,

które stanowi stały przedmiot pomiarów.

CIĄŻENIE POWSZECHNE (GRAWITACJA)



Zagadnienie obliczenia

sił wzajemnego przyciągania dwóch ciał o dowolnych

rozmiarach i

kształtach (o dowolnym rozkładzie masy):

-

„rozbijamy” ciała na wielką liczbę cząsteczek tak małych, aby można je było

potraktować jako punkty materialne;
- sumujemy (wektorowo!) wszystkie

siły przyciągania, działające na dany punkt

jednego

ciała ze strony punktów drugiego ciała;

- sumujemy

siły działające na każdy punkt danego ciała aby otrzymać

wypadkową siłę, działającą na całe ciało.

W przypadku

ciał o ciągłym rozkładzie masy, należy zastosować oczywiście całkowanie

zamiast sumowania.

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

 









n

i

N

k

ik

ik

k

i

r

r

m

m

G

F

1

1

3







Newton w swych

rozważaniach zakładał, że Ziemię można potraktować tak,

jakby

cała masa była skupiona w jej środku, ale udowodnił to dopiero 20 lat

później (stąd rozbieżności w podawanych datach odkrycia prawa powszechnego
ciążenia i stąd opracowanie przez niego podstaw rachunku całkowego!).

CIĄŻENIE POWSZECHNE (GRAWITACJA)



Pole grawitacyjne to

próba opisu wzajemnego oddziaływania ciał (na wskutek

istnienia

sił wzajemnego przyciągania) poprzez pewną wielkość wektorową,

„niezależną” od ciała, które to pole wytwarza. Jest to inaczej przyspieszenie
grawitacyjne w funkcji

położenia. Można wtedy obliczyć siłę F, działającą na

daną masę m, jako:

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

g

m

F







gdzie g jest

natężeniem pola grawitacyjnego, charakteryzującym siły pola grawitacyjnego.



Pole nazywamy jednorodnym, jeśli natężenie we wszystkich jego punktach jest

jednakowe.



Pole nazywamy centralnym, jeżeli we wszystkich jego punktach wektory

natężenia skierowane są wzdłuż prostych, przecinających się w jednym punkcie,
nieruchomym względem dowolnego układu inercjalnego (punkt ten nazywamy
środkiem sił).



Pole centralne nazywamy kulisto-symetrycznym, jeśli liczbowa wartość wektora

natężenia pola zależy tylko od odległości od środka sił.

CIĄŻENIE POWSZECHNE (GRAWITACJA)



Zasada superpozycji

pól (nakładania się pól): przy nałożeniu się kilku

pól (np. ciążenia), natężenie pola wypadkowego równa się sumie
wektorowej

natężeń wszystkich tych pól.

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak



Pola charakteryzuje się również pewną wielkością skalarną, zwaną

potencjałem pola. Równy jest on stosunkowi energii potencjalnej punktu
materialnego do jego masy:

W przypadku pola grawitacyjnego pojedynczego punktu materialnego o masie m,
potencjał tego pola wyraża się wzorem:

m

E

V

p



r

Gm

V

g







Związek pomiędzy natężeniem pola i jego potencjałem:

 

g

V

grad

g







CIĄŻENIE POWSZECHNE (GRAWITACJA)



Pole grawitacyjne wewnątrz i na zewnątrz jednorodnej kuli:

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

- pole grawitacyjne na zewnątrz pustej czaszy kulistej
(bądź pełnej kuli) o masie M i promieniu R:

- pole wewnątrz tejże czaszy:

2

R

GM

g



0



g

- pole wewnątrz jednorodnej kuli o gęstości :



 

R

r

R

M

G

Gr

r

g

















2

3

4



Przykład: pole grawitacyjne Ziemi

PRAWA KEPLERA



Nauki Arystotelesa i Ptolemeusza: wszystkie planety i gwiazdy

poruszają się

wokół Ziemi po skomplikowanych torach (będących superpozycjami ruchów po
okręgach);

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak



Mikołaj Kopernik (1540): planety krążą

wokół Słońca, Księżyc wokół Ziemi.



Giordano

Bruno

-

zwolennik

teorii

heliocentrycznej Kopernika ->

stos

(1600).



Galileusz

(również przełom XVI i XVII

wieku):

odwołał publicznie swoje teorie w

obawie przed stosem.

PRAWA KEPLERA



Johannes Kepler

(korzystając z obserwacji Tycho Brache)

podał wyprowadzone empirycznie prawa ruchu planet – prawa te
można wyprowadzić z prawa powszechnego ciążenia Newtona.

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Johannes Kepler
(ur. 27 grudnia 1571 r. w Weil der Stadt,
zm. 15 listopada 1630 r. w Ratyzbonie)

Tycho Brahe

(właśc. Tyge Ottesen Brahe, także

(mylnie) Tycho de Brahe; ur. 14 grudnia 1546 r. w
zamku Knutstorp w Skanii

– zm. 24 października

1601 r. w Pradze)

PRAWA KEPLERA



Pierwsze prawo Keplera:

Każda planeta krąży po orbicie eliptycznej,
ze

Słońcem w jednym z ognisk tej elipsy.

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak



Drugie prawo Keplera (prawo

równych

pól):
Linia

łącząca Słońce i planetę zakreśla

równe pola w równych odstępach czasu.



Trzecie prawo Keplera:

Sześciany półosi wielkich orbit jakichkolwiek
dwóch planet mają się tak do siebie, jak
kwadraty ich

okresów obiegu:

2

2

2

1

3

2

3

1

T

T

a

a



PRAWA KEPLERA



Rozpatrzmy

ruch ciała w polu sił centralnych:

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

r

r

F

F

r







Moment

siły F względem środka pola jest równy zeru:

dlatego moment

pędu tego ciała względem środka

pola jest zachowany:

0























r

r

F

r

F

r

M

r











 

const

v

m

r

K













Stąd z kolei wynika, że w centralnym polu sił tor ruchu tego ciała jest
krzywą płaską (płaszczyzna, zawierająca wektory położenia r i prędkości v nie
zmienia swej orientacji

względem środka pola).

PRAWA KEPLERA



Skoro krzywa ruchu jest

krzywą płaską, położenie punktu w

przestrzeni

określimy we współrzędnych biegunowych , , a prędkość

rozłożymy na prostopadłe składowe: radialną

i

transwersalną

(poprzeczną)

:

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

r



r

v



v



v

v

v

r











dt

dr

v

r



dt

d

r

v









Moment pędu układu zależy tylko od prędkości poprzecznej:

 

const

v

m

r

K

















Wartość momentu pędu jest równa:

const

dt

d

mr

K







2

PRAWA KEPLERA



Promień wodzący zakreśla przy swoim obrocie o mały kąt w czasie

wycinek kołowy, którego pole jest równe:

stąd wielkość :

nazywamy

prędkością polową (wycinkową).

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak



d

r

dA

2

2

1



r





d

dt

p

v

dt

d

r

dt

dA

v

p



2

2

1







Biorąc pod uwagę powyższą definicję i zasadę zachowania momentu pędu,

otrzymujemy:

const

m

K

v

p





2

Przy ruchu ciała w polu siły centralnej jego prędkość polowa
(rozumiana jako pole zakreślane przez promień wodzący w
jednostce czasu) jest stała. (II prawo Keplera)

PRAWA KEPLERA



Aby

wyprowadzić I i III prawo Keplera, skorzystajmy z zasady

zachowania momentu

pędu (była) i zasady zachowania energii:

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

const

E

E

E

p

k

























































































2

2

2

2

2

2

2

2

mr

K

dt

dr

m

dt

d

r

dt

dr

m

mv

E

k



skąd otrzymujemy:





2

2



















mr

K

E

E

m

dt

dr

p

a

ponieważ:

2

mr

K

dt

d





więc ostatecznie:









dr

r

K

E

E

m

r

K

d

p

2

2

2









PRAWA KEPLERA



Aby

rozwiązać podane równanie trajektorii ruchu, musimy podstawić

konkretne wyrażenie na energię potencjalną, która w przypadku pola

grawitacyjnego ma postać:

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

r

E

p





GMm







gdzie:



Ostateczne rozwiązanie można przedstawić w postaci:

 





cos

1 e

p

r





gdzie:



m

K

p

2



1

2

2

2







m

EK

e

PRAWA KEPLERA



Tor ruchu (orbita), jest

krzywą drugiego stopnia (krzywą stożkową),

przy czym p jest jej parametrem ogniskowym a e -

mimośrodem.

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

 





cos

1 e

p

r







W zależności od tego, jaka jest energia całkowita ciała, możliwe są

następujące rozwiązania równania toru (trajektorii):
•dla E<0 (czyli e<1) jest to orbita eliptyczna;
•dla E=0 (e=1) jest to orbita paraboliczna;
•dla E>0 (e>1) jest to orbita hiperboliczna;
•dla K=0 (e=1, p=0) jest to tor prostoliniowy, przechodzący przez
środek pola.

1

2

2

2







m

EK

e



m

K

p

2



PRAWA KEPLERA



Dla planet, poruszających się w polu grawitacyjnym Słońca:

a więc torami ruchu planet są elipsy (I prawo Keplera).

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

0



E



Wtedy

również można wyprowadzić wzór na okres T obiegu

planety po tej elipsie:

gdzie a jest dużą osią elipsy. Stąd otrzymujemy III prawo Keplera.

3

2

2

4

a

GM

T





PRĘDKOŚCI KOSMICZNE

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak



Pierwszą prędkością kosmiczną (prędkością kołową) dla Ziemi

nazywamy prędkość, którą powinien mieć satelita Ziemi, obiegający ją
po orbicie kołowej.

Znajdziemy ją z zasady zachowania energii:

- całkowita energia satelity na orbicie kołowej (e=0):

- energia kinetyczna satelity:

- energia potencjalna satelity:

r

E

2





2

2

mv

E

k



r

E

p





GMm







r

GM

v

I



s

km

R

g

v

Z

Z

I

/

9

,

7





stąd:

przy powierzchni Ziemi:

PRĘDKOŚCI KOSMICZNE

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak



Drugą prędkością kosmiczną (prędkością paraboliczną) dla Ziemi

nazywamy prędkość, którą trzeba nadać ciału, aby jego orbita w polu
grawitacyjnym stała się paraboliczna – to znaczy, aby ciało mogło
pokonać przyciąganie ziemskie i stać się satelitą Słońca (lot na inne
planety).

Znajdziemy ją z zasady zachowania energii:

- całkowita energia satelity na orbicie kołowej (e=1):

- energia kinetyczna i potencjalna: jak poprzednio

0



E

2

2

mv

E

k



r

E

p





I

II

v

r

GM

v

2

2





a stąd:

przy powierzchni Ziemi:

s

km

R

g

v

Z

Z

II

/

2

,

11

2



