www.zadania-projekty.pl

Miary przeciętne - wzory

Średnia arytmetyczna:

N

x

x

N

i

i







1

_

N

n

x

x

k

i

i

i







1

_

N

n

x

x

k

i

i

i







1

^

_

100

1

^

_







k

i

i

i

w

x

x

Średnia arytmetyczna dla wszystkich grup łącznie (w przypadku, gdy znane są średnie

arytmetyczne dla poszczególnych grup):

N

n

x

x

k

i

i

i









1

_

100

1

_









k

i

i

i

w

x

x

Suma odchyleń poszczególnych wartości zmiennej od średniej arytmetycznej jest równa

zeru:

0

1

_





















N

i

i

x

x

0

1

_























i

k

i

i

n

x

x

0

1

_

^























i

k

i

i

n

x

x

Średnia harmoniczna:







N

i

i

x

N

H

1

1







k

i

i

i

n

x

N

H

1

1







k

i

i

i

n

x

N

H

1

^

1

Dominanta:



 



D

D

D

D

D

D

D

D

i

n

n

n

n

n

n

x

D

1

1

1



















Kwartyle:

dla szeregu wyliczającego:

4

1

1





N

x

Q

2

1

2







N

x

Me

Q

4

)

1

(

3

3





N

x

Q

dla szeregu rozdzielczego przedziałowego:

1

1

1

1

1

1

4

Q

Q

k

i

i

Q

i

n

n

N

x

Q













Me

Me

k

i

i

Me

i

n

n

N

x

Me

Q















1

1

2

2

3

3

3

1

1

3

4

3

Q

Q

k

i

i

Q

i

n

n

N

x

Q













Wzór Pearsona

Związek pomiędzy średnią arytmetyczną, medianą i modalną w przypadku rozkładu co najwyżej

umiarkowanie asymetrycznego:



















Me

x

D

x

_

_

3

www.zadania-projekty.pl

Miary zmienności (zróżnicowania) - wzory

Odchylenie przeciętne:

N

x

x

d

N

i

i









1

_

N

n

x

x

d

k

i

i

i











1

_

N

n

x

x

d

k

i

i

i











1

_

^

Wariancja:

N

x

x

s

N

i

i





















1

2

_

2

N

n

x

x

s

k

i

i

i























1

2

_

2

N

n

x

x

s

k

i

i

i























1

2

_

^

2

Wariancja wartości zmiennej jest różnicą pomiędzy średnią arytmetyczną kwadratów

wartości zmiennej a kwadratem średniej arytmetycznej tej zmiennej, czyli:

2

_

1

2

2























x

N

n

x

s

k

i

i

i

Właściwość ta jest matematycznym przekształceniem wzoru definicyjnego na wariancję, a jej

znajomość znacznie ułatwia obliczenia.

Równość wariancyjna:

Jeżeli badaną zbiorowość podzielimy według określonego kryterium na k grup, to wariancja dla

całej zbiorowości (wariancja ogólna) będzie sumą dwóch składników: średniej arytmetycznej

z wariancji obliczonych dla populacji cząstkowych (wariancji wewnątrzgrupowych) oraz wariancji

średnich grupowych (wariancji międzygrupowej), co można zapisać w następujący sposób:

N

n

x

x

N

n

s

x

s

s

s

k

i

i

i

k

i

i

i

i

i















































1

2

_

_

1

2

_

2

_

2

2

Odchylenie standardowe:

2

s

s 

Odchylenie ćwiartkowe:

2

1

3

Q

Q

Q





Współczynnik zmienności:

%

100

_





x

s

V

s

%

100

_





x

d

V

d

%

100





Me

Q

V

Q

Typowy obszar zmienności:

s

x

x

s

x

typ













Q

Me

x

Q

Me

typ









www.zadania-projekty.pl

Miary asymetrii i koncentracji - wzory

Miary asymetrii

Wskaźnik asymetrii (skośności):

D

x

W

s





_

)

(

)

(

1

2

2

3

Q

Q

Q

Q

W

s









Trzeci moment centralny:

N

x

x

N

i

i





















1

3

_

3



N

n

x

x

k

i

i

i























1

3

_

3



N

n

x

x

k

i

i

i























1

3

_

^

3



Współczynnik asymetrii:

s

D

x

A

s





_

d

D

x

A

s





_

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

A

s

2

2

)

(

)

(

)

(

)

(

1

2

3

1

2

2

3

1

2

2

3





















3

3

s

A

s





Miary koncentracji

Czwarty moment centralny:

N

x

x

N

i

i





















1

4

_

4



N

n

x

x

k

i

i

i























1

4

_

4



N

n

x

x

k

i

i

i























1

4

_

^

4



Współczynnik skupienia (kurtoza):

2

2

4

4

4











s

K

1

3

1

9

Q

Q

D

D

K







Decyle:

dla szeregu wyliczającego:

10

1

1





N

x

D

10

)

1

(

9

9





N

x

D

dla szeregu rozdzielczego przedziałowego:

1

1

1

1

1

1

10

D

D

k

i

i

D

i

n

n

N

x

D













9

9

9

1

1

9

10

9

D

D

k

i

i

D

i

n

n

N

x

D













Eksces:

3

'

4

4





s

K



Współczynnik koncentracji Lorenza:

5000

lub

5

,

0

a

K

a

K

L

L





a – pole zawarte między linią równomiernego rozdziału a krzywą koncentracji Lorenza