9.06.2010

WydziaÃl Matematyczno Przyrodniczy.
SzkoÃla Nauk ´

ScisÃlych UKSW

dr hab. Krzysztof CheÃlmi´

nski

R´

ownania r´

o ˙zniczkowe zwyczajne - semestr letni 2010

Egzamin pisemny

Grupa A

Nazwisko i imi

,

e:...............................................................

Numer indeksu:....................................

Zadanie 1

Rozwa˙z nast

,

epuj

,

ace r´

ownanie Riccatiego

˙

x = x

2

+

1

4t

2

,

w zbiorze t > 0 .

(a) Wyka˙z, ˙ze za pomoc

,

a podstawienia tx = z r´

ownanie to sprowadza si

,

e do r´

ownania o zmiennych rozdzielonych.

(b) Znajd´

z rozwi

,

azanie wysycone tego r´

ownania speÃlniaj

,

ace warunek x(1) = 0.

Zadanie 2

Znajd´

z caÃlk

,

e og´

oln

,

a r´

ownania

³

2x +

1

(x + t)

2

´

dt +

³

3x + t +

1

(x + t)

2

´

dx = 0 ,

w zbiorze t + x > 0 .

Podaj rozwi

,

azanie szczeg´

olne speÃlniaj

,

ace warunek x(0) = 1.

Wskaz´

owka: szukaj czynnika caÃlkuj

,

acego zale˙znego od t + x.

Zadanie 3

Znajd´

z rozwi

,

azanie og´

olne ukÃladu r´

owna´

n liniowych

˙

x

1

=

x

1

− x

2

+ x

3

,

˙

x

2

=

−x

1

+ x

2

− x

3

,

˙

x

3

=

x

1

− x

2

+ x

3

.

Ponadto wyka˙z, ˙ze je˙zeli dane pocz

,

atkowe speÃlniaj

,

a warunek x

1

(0) + x

3

(0) = x

2

(0) to rozwi

,

azanie tego ukÃladu jest

ograniczone.

Zadanie 4

Znajd´

z wszystkie rozwi

,

azania wysycone r´

ownania

(t − t

2

)¨

x + (2t

2

− 1) ˙x + (2 − 4t)x = t −

1

2

w zbiorze t > 1

wiedz

,

ac, ˙ze r´

ownanie jednorodne ma rozwi

,

azanie szczeg´

olne w postaci x = e

αt

. Czy r´

ownanie to posiada rozwi

,

azania

stabilne? Odpowied´

z uzasadnij.

Wskaz´

owka: szukaj rozwi

,

azania szczeg´

olnego r´

ownania niejednorodnego w postaci wielomianu.

Zadanie 5

Rozwa˙z nast

,

epuj

,

ace zagadnienie pocz

,

atkowe

˙

x = −x

2011

+ tx ,

x(0) = x

0

.

(a) Wyka˙z, ˙ze rozwi

,

azania wysycone w prawo s

,

a zdefiniowane na caÃlej p´

oÃlprostej [0, ∞).

(b) Wyka˙z, ˙ze je˙zeli x

0

6= 0 to rozwi

,

azania wysycone w lewo wybuchaj

,

a w sko´

nczonym czasie i podaj oszacowanie

czasu wybuchu rozwi

,

azania w zale˙zno´

sci od x

0

.

Zadanie 6

Rozwa˙z nast

,

epuj

,

ace zagadnienie pocz

,

atkowe z parametrem λ ∈ R

˙

x

1

=

x

1

+ λx

2

+ sin(λx

1

) , x

1

(0) = 1 ,

˙

x

2

=

x

2

− λx

1

+ cos(λx

2

) , x

2

(0) = 0 .

Wyka˙z, ˙ze rozwi

,

azania wysycone tego zagadnienia s

,

a zdefiniowane dla wszystkich t ∈ R. Ponadto znajd´z funkcj

,

e

∂x
∂λ

(t)

dla λ = 0.

Zadanie 7

Znajd´

z rozwi

,

azanie nast

,

epuj

,

acego r´

ownania r´

o˙zniczkowego cz

,

astkowego pierwszego rz

,

edu

x

1

u

x

1

(x

1

, x

2

) − u(x

1

, x

2

)u

x

2

(x

1

, x

2

) = u(x

1

, x

2

) + x

1

speÃlniaj

,

ace warunek u(x

1

, 1) = x

1

− 1 dla dowolnego x

1

∈ R.

˙

Zyczymy powodzenia. Krzysztof CheÃlmi´

nski i SÃlawomir Michalik