Matematyka dyskretna – dr Marcin Raniszewski 

Matematyka Dyskretna – ćw. 7 

Dyskretna teoria prawdopodobieństwa 

Prawdopodobieństwo, prawdopodobieństwo warunkowe, 

niezależność zdarzeń, prawdopodobieństwo na nieskończonym Ω 

 

Definicja klasyczna prawdopodobieństwa: 

Jeśli  wszystkie  zdarzenia  elementarne  w 

   są  jednakowo  prawdopodobne,  to  prawdopodobieństwo  zajścia 

zdarzenia losowego A możemy liczyć ze wzoru: 

      

   
   

 

Wybrane własności prawdopodobieństwa: 



 

                                  



 

                         



 

   

 

                     

 

                                      

Zliczanie zdarzeń jednakowo prawdopodobnych: 

 

Zad. 1. W pudełku znajdują się trzy kule białe i osiem kul czarnych. Losowo wyciągamy dwie 
kule bez zwracania (ze zwracaniem). Znajdź prawdopodobieństwo tego, że: 

(a)  obie kule są białe 
(b) obie są czarne 
(c)  jedna z nich jest czarna, a druga biała 

Zad. 2. Ze zbioru liczb {1, 2, 5, 6, 7, 9} losujemy trzy różne cyfry i tworzymy z nich liczbę. 
Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujemy liczbę nieparzystą? 

Zad. 3. Pewien program losuje milion razy liczbę  całkowitą z przedziału [1, 1000000]. Jakie 
jest prawdopodobieństwo, że wylosuje co najmniej raz jedynkę? 

Czy są 

powtórzenia? 

Nie 

Czy liczy się 

kolejność? 

Nie 

Kombinacje 

bez powtórzeń 

Tak 

Wariacje bez 

powtórzeń 

Tak 

Wariacje z 

powtórzeniami 

Matematyka dyskretna – dr Marcin Raniszewski 

Niech X będzie niepustym zbiorem. Powiemy, że rodzina M podzbiorów X stanowi σ-ciało jeśli: 



 

     , 



 

              , 



 

 

 

 

       

 

 

   

   

   

. 

Definicja prawdopodobieństwa dla nieskończonej przestrzeni zdarzeń Ω: 
 
Niech 

   będzie  σ-ciałem na Ω.  Prawdopodobieństwem  nazywamy  funkcję            spełniającą następujące 

warunki:  



 

 

        

   

  



 

        , 



 

jeśli 

  

 

 

   

 jest dowolnym ciągiem podzbiorów M parami rozłącznych, to 

   

 

 

     

   

 

 

 

   

   

. 

Najczęściej będziemy przyjmować 

     

 

 (zbiór wszystkich podzbiorów 

 ). 

Zad. 4. Rzucamy symetryczną kostką aż do otrzymania szóstki: 

(a)  jakie jest prawdopodobieństwo, że rzucimy co najmniej trzy razy? 
(b) jakie jest prawdopodobieństwo, że zakończymy parzystym rzutem? 

Wzór na prawdopodobieństwo warunkowe: 

        

        

    

                 

Zad.  5.  Rzucamy  dwiema  symetrycznymi  kostkami,  białą  i  szarą.  Jakie  jest 
prawdopodobieństwo, że liczba oczek na szarej kostce jest 

  5 pod warunkiem, że: 

(a)  suma wartości na obu kostkach jest równa 9? 
(b) iloczyn wartości na obu kostkach jest 

  20? 

Zad.  6.  Rzucamy  trzema  symetrycznymi  kostkami.  Jakie  jest  prawdopodobieństwo,  że  na 
żadnej kostce nie wypadła szóstka, jeśli na każdej kostce wypadła inna liczba oczek? 

Zdarzenia 

   i     nazywamy  niezależnymi  jeśli:               .  Warunek  ten  możemy  zapisać  równoważnie 

jako: 

                      . 

Zad.  7.  Rzucamy  cztery  razy  symetryczną  monetą.  Niech 

   oznacza  zdarzenie: 

„w pierwszych dwóch rzutach dokładnie raz wypadł orzeł”, 

  oznacza: „w czterech rzutach 

orzeł wypadł dokładnie dwa razy”. Czy zdarzenia 

  i   są niezależne? Odpowiedź uzasadnij. 

Zad.  8.  Dane  są  dwa  niezależne  zdarzenia 

   i     o  prawdopodobieństwach             

i 

          . Znajdź: 

(a) 

       

(b) 

         

(c)