Matematyka dyskretna – dr Marcin Raniszewski

Matematyka Dyskretna – ćw. 8

Dyskretna teoria prawdopodobieństwa

Prawdopodobieństwo całkowite, wzór Bayesa,

rozkład prawdopodobieństwa dyskretnej zmiennej losowej,

niezależność zmiennych losowych

Zdarzenia losowe

tworzą układ zupełny zdarzeń, jeśli spełniają następujące warunki:





(rozłączność)



Prawdopodobieństwo całkowite:

Niech

tworzą układ zupełny zdarzeń. Wtedy dla dowolnego zdarzenia :

Zad. 1. W pierwszej urnie są 3 kule białe i 2 czarne, a w drugiej urnie są 4 czarne i 1 biała.
Rzucamy kostką. Jeżeli wypadnie mniej niż 5 oczek, to losujemy kulę z pierwszej urny, jeżeli
wypadnie 5 lub 6 oczek, to losujemy kulę z drugiej urny. Jakie jest prawdopodobieństwo
wylosowania kuli białej?

Zad. 2. W urnie są trzy kule białe i dwie czarne. Wyciągnięto jedną kulę z urny i wyrzucono
bez oglądania, a potem wyciągnięto następną. Jaka jest szansa, że za drugim razem
wyciągnięto kulę białą?

Wzór Bayesa:

Niech

tworzą układ zupełny zdarzeń. Wtedy dla dowolnego zdarzenia :

Zad. 3. W komodach A, B i C są po dwie szuflady. W każdej szufladzie jest jedna moneta,
przy czym w komodzie A są monety złote, w C – srebrne, a w B jest jedna moneta srebrna i
jedna moneta złota. Wylosowano komodę, następnie szufladę i znaleziono tam monetę złotą.
Jaka jest szansa, że w drugiej szufladzie jest moneta złota?

Zad. 4. W mieście działają dwa przedsiębiorstwa taksówkowe: Zielone Taxi (85%
samochodów) i Niebieskie Taxi (15%). Świadek nocnego wypadku zakończonego ucieczką
kierowcy twierdzi, że samochód był niebieski. Eksperymenty wykazały, że świadek
rozpoznaje kolor poprawnie w 80% przypadków, a myli się w 20% przypadków. Jaka jest
szansa, że w wypadku uczestniczyła niebieska taksówka?

Matematyka dyskretna – dr Marcin Raniszewski

Dowolną funkcję

nazywamy zmienną losową określoną na przestrzeni zdarzeń elementarnych .

Symbolem

oznaczamy zbiór wartości zmiennej losowej :

Zmienną losową nazywamy dyskretną jeśli

jest przeliczalny.

Funkcją rozkładu prawdopodobieństwa (krótko: rozkładem prawdopodobieństwa) zmiennej losowej dyskretnej
nazywamy funkcję

taką, że:

Dla dowolnej funkcji rozkładu prawdopodobieństwa zachodzi:

Dyskretne zmienne losowe

i są niezależne jeśli:

Zad. 5. Rozważmy następujące zmienne losowe na przestrzeni

złożonej z 36 jednakowo

prawdopodobnych wyników rzutu dwiema symetrycznymi kostkami:

oraz

.

(a) Znajdź zbiory wartości zmiennych

i

(b) Podaj rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych

i

(c) Oblicz

, , , , ,

(d) Czy zmienne losowe

i są niezależne?

Zad. 6. Gracz wyciąga dwie karty spośród 52. Jeśli wyciągnie dwa asy, wygrywa 1000
złotych, jeśli wyciągnie tylko jednego asa wygrywa 10 złotych. Przy każdym innym układzie
nic nie wygrywa. Znajdź rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej

oznaczającej

wygraną kwotę, jeśli gracz za udział w grze płaci 5 złotych.

Zad.7. Uzupełnij poniższą tabelę i stwierdź czy zmienne losowe

i są niezależne:

1

2

4

-1

0,08

0,4

1

0,42

0,12

0,1