Matematyka dyskretna – dr Marcin Raniszewski 

Matematyka Dyskretna – ćw. 1 

Dyskretna teoria prawdopodobieństwa 

Prawdopodobieństwo, prawdopodobieństwo warunkowe, 

niezależność zdarzeń, prawdopodobieństwo na nieskończonym Ω 

 

Niech:  



 

      

 

   

 

       

 

   –  skończona  przestrzeń  zdarzeń  elementarnych  (zbiór  wszystkich  możliwych 

wyników danego doświadczenia losowego), gdzie 

 

 

 oznacza zdarzenie elementarne, czyli pojedynczy 

wynik danego doświadczenia losowego, 



 

      – zdarzenie losowe. 

Definicja klasyczna prawdopodobieństwa: 

Jeśli  wszystkie  zdarzenia  elementarne  w 

   są  jednakowo  prawdopodobne,  to  prawdopodobieństwo  zajścia 

zdarzenia losowego A możemy liczyć ze wzoru: 

      

  
 

 

 

Zad. 1. W pudełku znajdują się trzy kule białe i osiem kul czarnych. Losowo wyciągamy dwie 
kule bez zwracania (ze zwracaniem). Znajdź prawdopodobieństwo tego, że: 

(a)  obie kule są białe 
(b) obie są czarne 
(c)  jedna z nich jest czarna, a druga biała 

Zad. 2. Ze zbioru liczb {1, 2, 5, 6, 7, 9} losujemy dwie różne cyfry i tworzymy z nich liczbę. 
Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujemy liczbę nieparzystą? 

Wzór na prawdopodobieństwo warunkowe: 

        

        

    

                 

Zad. 3. Rzucamy dwiema symetrycznymi kostkami, białą i szarą: 

(a)  jakie  jest  prawdopodobieństwo,  że  liczba  oczek  na  szarej  kostce  jest 

   5  pod 

warunkiem, że suma wartości na obu kostkach wynosi 9 

(b) jakie  jest  prawdopodobieństwo  tego  samego  zdarzenia  pod  warunkiem,  że  powyższa 

suma jest 

  9 

Niezależność dwóch zdarzeń losowych: 

Zdarzenia A i B nazywamy niezależnymi jeśli: 

              

Warunek ten możemy zapisać równoważnie jako: 

                       

Matematyka dyskretna – dr Marcin Raniszewski 

Zad. 4. Rzucamy cztery razy symetryczną monetą. Niech A oznacza zdarzenie „w pierwszych 
dwóch  rzutach  dokładnie  raz  wypadł  orzeł”,  B  oznacza  „w  czterech  rzutach  orzeł  wypadł 
dokładnie dwa razy”. Czy zdarzenia A i B są niezależne? Odpowiedź uzasadnij. 

Zad.  5.  Rzucamy  trzema  kostkami.  Jakie  jest  prawdopodobieństwo,  że  na  żadnej  kostce  nie 
wypadła szóstka, jeśli na każdej kostce wypadła inna liczba oczek? 

Własności prawdopodobieństwa: 



 

              



 

P(

       



 

P(

       



 

                                  



 

                                         



 

                           



 

   

 

                     

 

                                        

Zad.  6.  Mając  dane  niezależne  zdarzenia  A  i  B  o  prawdopodobieństwach  P(A)=0.4  i 
P(B)=0.6, znajdź: 

(a)  P(A|B) 
(b) P(A

 B) 

(c)  P(A’

 B) 

Zad. 7. Pewien program losuje milion razy liczbę całkowitą z przedziału [1, 1000000]. Jakie 
jest prawdopodobieństwo, że wylosuje co najmniej raz jedynkę? 

Definicja σ-ciała: 

Niech X będzie niepustym zbiorem. Powiemy, że rodzina M podzbiorów X stanowi σ-ciało jeśli: 



 

     , 



 

              , 



 

 

 

 

       

 

 

   

   

   

. 

Definicja prawdopodobieństwa dla nieskończonej przestrzeni zdarzeń Ω: 
 
Niech  M  będzie  σ-ciałem  na  Ω.  Prawdopodobieństwem  nazywamy  funkcję 

          spełniającą  następujące 

warunki:  



 

 

        

   

  



 

        , 



 

jeśli 

  

 

 

   

 jest dowolnym ciągiem podzbiorów M parami rozłącznych, to 

   

 

 

     

   

 

 

 

   

   

. 

Najczęściej będziemy przyjmować 

     

 

 (zbiór wszystkich podzbiorów 

 ). 

Zad.  8.  Rzucamy  symetryczną  kostką  aż  do  otrzymania  szóstki.  Jakie  jest 
prawdopodobieństwo, że rzucimy co najmniej trzy razy? Jakie jest prawdopodobieństwo, że 
zakończymy parzystym rzutem?