Matematyka dyskretna – dr Marcin Raniszewski

Matematyka Dyskretna – ćw. 1

Dyskretna teoria prawdopodobieństwa

Prawdopodobieństwo, prawdopodobieństwo warunkowe,

niezależność zdarzeń, prawdopodobieństwo na nieskończonym Ω

Niech:



– skończona przestrzeń zdarzeń elementarnych (zbiór wszystkich możliwych

wyników danego doświadczenia losowego), gdzie

oznacza zdarzenie elementarne, czyli pojedynczy

wynik danego doświadczenia losowego,



– zdarzenie losowe.

Definicja klasyczna prawdopodobieństwa:

Jeśli wszystkie zdarzenia elementarne w

są jednakowo prawdopodobne, to prawdopodobieństwo zajścia

zdarzenia losowego A możemy liczyć ze wzoru:

Zad. 1. W pudełku znajdują się trzy kule białe i osiem kul czarnych. Losowo wyciągamy dwie
kule bez zwracania (ze zwracaniem). Znajdź prawdopodobieństwo tego, że:

(a) obie kule są białe
(b) obie są czarne
(c) jedna z nich jest czarna, a druga biała

Zad. 2. Ze zbioru liczb {1, 2, 5, 6, 7, 9} losujemy dwie różne cyfry i tworzymy z nich liczbę.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujemy liczbę nieparzystą?

Wzór na prawdopodobieństwo warunkowe:

Zad. 3. Rzucamy dwiema symetrycznymi kostkami, białą i szarą:

(a) jakie jest prawdopodobieństwo, że liczba oczek na szarej kostce jest

5 pod

warunkiem, że suma wartości na obu kostkach wynosi 9

(b) jakie jest prawdopodobieństwo tego samego zdarzenia pod warunkiem, że powyższa

suma jest

9

Niezależność dwóch zdarzeń losowych:

Zdarzenia A i B nazywamy niezależnymi jeśli:

Warunek ten możemy zapisać równoważnie jako:

Matematyka dyskretna – dr Marcin Raniszewski

Zad. 4. Rzucamy cztery razy symetryczną monetą. Niech A oznacza zdarzenie „w pierwszych
dwóch rzutach dokładnie raz wypadł orzeł”, B oznacza „w czterech rzutach orzeł wypadł
dokładnie dwa razy”. Czy zdarzenia A i B są niezależne? Odpowiedź uzasadnij.

Zad. 5. Rzucamy trzema kostkami. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na żadnej kostce nie
wypadła szóstka, jeśli na każdej kostce wypadła inna liczba oczek?

Własności prawdopodobieństwa:





P(



P(









Zad. 6. Mając dane niezależne zdarzenia A i B o prawdopodobieństwach P(A)=0.4 i
P(B)=0.6, znajdź:

(a) P(A|B)
(b) P(A

B)

(c) P(A’

B)

Zad. 7. Pewien program losuje milion razy liczbę całkowitą z przedziału [1, 1000000]. Jakie
jest prawdopodobieństwo, że wylosuje co najmniej raz jedynkę?

Definicja σ-ciała:

Niech X będzie niepustym zbiorem. Powiemy, że rodzina M podzbiorów X stanowi σ-ciało jeśli:



,



,



.

Definicja prawdopodobieństwa dla nieskończonej przestrzeni zdarzeń Ω:

Niech M będzie σ-ciałem na Ω. Prawdopodobieństwem nazywamy funkcję

spełniającą następujące

warunki:





,



jeśli

jest dowolnym ciągiem podzbiorów M parami rozłącznych, to

.

Najczęściej będziemy przyjmować

(zbiór wszystkich podzbiorów

).

Zad. 8. Rzucamy symetryczną kostką aż do otrzymania szóstki. Jakie jest
prawdopodobieństwo, że rzucimy co najmniej trzy razy? Jakie jest prawdopodobieństwo, że
zakończymy parzystym rzutem?