Matematyka dyskretna – dr Marcin Raniszewski

Matematyka Dyskretna – ćw. 2

Dyskretna teoria prawdopodobieństwa

Prawdopodobieństwo całkowite, wzór Bayesa,

rozkład prawdopodobieństwa dyskretnej zmiennej losowej

Jeśli zdarzenia losowe

spełniają następujące warunki:





(rozłączność)



to tworzą one tzw. układ zupełny zdarzeń.

Wzór na prawdopodobieństwo całkowite:

Niech

tworzą układ zupełny zdarzeń. Wtedy dla dowolnego zdarzenia :

Zad. 1. W pierwszej urnie są 3 kule białe i 2 czarne, a w drugiej urnie są 4 czarne i 1 biała.
Rzucamy kostką. Jeżeli wypadnie mniej niż 5 oczek, to losujemy kulę z pierwszej urny, jeżeli
wypadnie 5 lub 6 oczek, to losujemy kulę z drugiej urny. Jakie jest prawdopodobieństwo
wylosowania kuli białej?

Zad. 2. W urnie są trzy kule białe i dwie czarne. Wyciągnięto jedną kulę z urny i wyrzucono
bez oglądania, a potem wyciągnięto następną. Jaka jest szansa, że za drugim razem
wyciągnięto kulę białą?

Wzór Bayesa:

Zad. 3. W komodach A, B i C są po dwie szuflady. W każdej szufladzie jest jedna moneta,
przy czym w komodzie A są monety złote, w C – srebrne, a w B jest jedna moneta srebrna i
jedna moneta złota. Wylosowano komodę, następnie szufladę i znaleziono tam monetę złotą.
Jaka jest szansa, że w drugiej szufladzie jest moneta złota?

Zad. 4. W mieście działają dwa przedsiębiorstwa taksówkowe: Zielone Taxi (85%
samochodów) i Niebieskie Taxi (15%). Świadek nocnego wypadku zakończonego ucieczką
kierowcy twierdzi, że samochód był niebieski. Eksperymenty wykazały, że świadek
rozpoznaje kolor poprawnie w 80% przypadków, a myli się w 20% przypadków. Jaka jest
szansa, że w wypadku uczestniczyła niebieska taksówka?

Matematyka dyskretna – dr Marcin Raniszewski

Dowolną funkcję

będziemy nazywać zmienną losową na przestrzeni zdarzeń elementarnych. Zmienną

losową będziemy nazywać dyskretną jeśli zbiór wszystkich wartości, które przyjmuje z niezerowym
prawdopodobieństwem jest skończony lub przeliczalny. Symbolem

oznaczamy zbiór wartości zmiennej

losowej X.

Funkcją rozkładu prawdopodobieństwa (krótko: rozkładem prawdopodobieństwa) zmiennej losowej dyskretnej
X nazywamy funkcję f taką, że:

Zachodzi:

Zad. 5. Rozważmy następujące zmienne losowe na przestrzeni Ω złożonej z 36 jednakowo
prawdopodobnych wyników rzutu dwiema symetrycznymi kostkami:

oraz

.

(a) Znajdź zbiory wartości zmiennych D i M
(b) Podaj rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych D i M
(c) Oblicz

Zad. 6. Gracz wyciąga dwie karty spośród 52. Jeśli wyciągnie dwa asy, wygrywa 1000
złotych, jeśli wyciągnie tylko jednego asa wygrywa 10 złotych. Przy każdym innym układzie
nic nie wygrywa. Znajdź rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej W oznaczającej
wygraną kwotę, jeśli gracz za udział w grze płaci 5 złotych.