Arkusz 1

Zadanie 1 W poniższych doświadczeniach losowych określ zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych, zapisz
moc PZE oraz oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń:

(a) Trzykrotny rzut monetą. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na wyrzuceniu trzech

orłów.

(b) Dwukrotny rzut kostką. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia B polegającego na wyrzuceniu sumy

oczek większej niż 7.

(c) Losowanie jednej kuli z pojemnika, w którym znajdują się cztery kule: biała, czerwona, czarna i żółta.

Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia C polegającego na wylosowaniu kuli białej.

(d) Ustawienie trzech osób Tomka, Kasi i Marcina w kolejce. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia D

polegającego na tym, aby Kasia stała obok Marcina.

Zadanie 2 Z tali 52 kart losujemy jedną kartę. Znaleźć prawdopodobieństwo, że wylosowana karta będzie:

(a) koloru pikowego,

(b) asem,

(c) asem pik,

(d) figurą lub kartą czerwoną (wykorzystaj wzór P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)).

Zadanie 3 Rzucamy jeden raz trzema kostkami do gry. Znaleźć prawdopodobieństwo wyrzucenia sumy oczek
mniejszej od 18 (wykorzystaj zdarzenie przeciwne).

Niech A, B będą dowolnymi zdarzeniami z przestrzeni Ω jakiegoś doświadczenia losowego. Powiemy, że

zdarzenia A i B są niezależne, jeśli spełniony jest warunek:

P (A ∩ B) = P (A) · P (B).

Zadanie 4 Rzucamy dwa razy symetryczną monetą. Niech A- w pierwszym rzucie wypadnie orzeł, i B - w
drugim rzucie wypadnie reszka. Sprawdzić czy zdarzenia A i B są niezależne.

Zadanie 5 Rzucamy dwa razy symetryczną kostka do gry. Sprawdź czy zdarzenia A i B są niezależne, gdy
A- w pierwszym rzucie otrzymamy dwa oczka, B- suma otrzymanych oczek będzie równa siedem.

Zadanie 6 Wiemy, że P (A) = P (B) = P (A ∩ B) =

1
4

. Obliczyć: P (A ∪ B) i P (A\B).

Zadanie 7 Zdarzenia A i B są niezależne oraz P (A) = 0, 2, P (B) = 0, 5. Obliczyć: P (A ∩ B), P (A ∪ B),
P (A\B).

Zadanie 8 Strzelec trafia do celu w pojedynczym strzale z prawdopodobieństwem 0, 8. Strzelec strzela trzy
razy. Oblicz prawdopodobieństwo

(a) strzelec trafi trzy razy,

(b) strzelec trafi dwa razy,

(c) strzelec trafi jeden razy,

(d) strzelec nie trafi ani razu do celu,

(a) strzelec trafi co najmniej raz.

Zadanie 9 W długotrwałym badaniu stwierdzono, że pewien lek miał skuteczność 30%. Lekarz zapikował
ten lek 4 pacjentom. Oblicz jakie jest prawdopodobieństwo, że

(a) lek będzie skuteczny dla jednej osoby,

(b) lek będzie skuteczny dla dwóch osób,

(c) lek będzie skuteczny dla trzech osób,

(d) lek będzie skuteczny dla czterech osób,

(e) lek będzie nieskuteczny u wszystkich pacjentów.

Zmienna losowa

Zadanie 10 W klatce są cztery króliki białe i jeden czarny. Losujemy ze zwracaniem trzy razy jedno zwie-
rzątko. Podaj rozkład prawdopodobieństwa ZL liczby wylosowanych białych królików. Wyznaczyć: a) wykres
i histogram funkcji prawdopodobieństwa, b) dystrybuantę i jej wykres, c) prawdopodobieństwa P (X = 2),
P (X > 3), P (|X − 2| < 1), d) obliczyć parametry tego rozkładu.

Zadanie 11 Dla zadania 8 podaj rozkład prawdopodobieństwa ZL liczby celnych strzałów. Wyznaczyć: a)
wykres i histogram funkcji prawdopodobieństwa, b) dystrybuantę i jej wykres, c) prawdopodobieństwa P (X ­
1), P (X < 3) d) obliczyć parametry tego rozkładu.

Zadanie 12 Dla zadania 9 podaj rozkład prawdopodobieństwa ZL X oznaczającą liczbę pacjentów, na któ-
rych podziałał lek. Wyznaczyć: a) wykres i histogram funkcji prawdopodobieństwa, b) dystrybuantę i jej
wykres, c) prawdopodobieństwa P (1 ¬ X < 3), P (X < 4), P (2 < X < 4) d) obliczyć parametry tego
rozkładu.

Zadanie 13 Na loterię ” Szczęście” przygotowano 200 losów, wśród których są dwa losy wygrywające po
1000zł, osiem po 500zł, dziesięć po 200zł, dwadzieścia po 100zł i sześćdziesiąt po 10zł. Pozostałe losy są
puste. Rozważmy zmienną losową X, która oznacza wygraną na loterii.

(a) Określić prawdopodobieństwa P (X = 1000), P (X = 500), P (X = 200), P (X = 100), P (X = 10),

P (X = 0).

(b) Przedstawić rozkład zmiennej losowej X w formie tabelarycznej.

(c) Określić dystrybuantę zmiennej losowej X oraz naszkicować jej wykres,

(d) Obliczyć EX oraz V arX.

Zadanie 1 str. 341 z podręcznika Matematyka 2
Zadanie 2 str. 342 z podręcznika Matematyka 2
Zadanie 9a) str. 342 z podręcznika Matematyka 2
Zadanie 13 str. 342 z podręcznika Matematyka 2