Oscylacje neutrin w materii

Tomasz Golan

June 5, 2007

1

Wst¸

ep

Zjawisko oscylacji neutrin zaproponowano, aby wyja´sni´c tzw. “problem neutrin
s lonecznych”, czyli rozbie˙zno´s´c mi¸edzy oczekiwan¸a a zmierzon¸a liczb¸a neutrin
docieraj¸acych do Ziemi ze S lo´

nca. Polega ono na tym, ˙ze kaz ˙dy typ neut-

rina mo˙ze przechodzi´c cyklicznie w inne typy. Detektor Homestake rejestruje
tylko neutrina elektronowe, zatem te neutrina, kt´

ore po drodze zmieni ly swoj¸a

to˙zsamo´s´c, s¸a “niewidoczne” i obserwowana liczba neutrin jest mniejsza.

Aby oscylacje by ly mo˙zliwe, neutrina musz¸a posiada´c mas¸e. Poniewa˙z ist-

niej¸a 3 typy neutrin, istniej¸a r´

ownie˙z 3 stany masowe. Ka˙zdy stan zapachowy

(czyli ten, kt´

ory oddzia luje) jest superpozycj¸a stan´

ow masowych (czyli stan´

ow

w lasnych hamiltonianiu).

Oscylacje s¸a efektem zmiany r´

o˙znicy faz mi¸edzy

stanami masowymi, kt´

ora z kolei wynika z tego, ˙ze l˙zejsze stany masowe poruszaj¸a

si¸e szybciej i wyprzedzaj¸a ci¸e˙zsze. Dlatego kluczow¸a rol¸e w teorii oscylacji
odgrywa r´

o˙znica mas (a ´sci´slej m´owi¸ac r´

o˙znica kwadrat´

ow mas).

Gdy neutrina poruszaj¸a si¸e w materii, s¸a rozpraszane na elektronach i nuk-

leonach, czyli oddzia luje na nie pewien efektywny potencja l, co mo˙ze mie´c wp lyw
na oscylacje neutrin. Jako pierwszy zwr´

oci l na to uwag¸e Wolfenstein, a Mikheyev

i Smirnov pokazali, ˙ze ten efekt mo˙ze by´c bardzo du˙zy (nawet rezonansowy).
Dlatego wp lyw oddzia lywania neutrin z materi¸a na oscylacje nazywamy efektem
MSW.

W naszych rozwa˙zaniach ograniczymy si¸e do przypadku dw´

och neutrin.

Takie uproszczenie doskonale pokazuje mechanizm oscylacji, a pozwala w du˙zym
stopniu upro´sci´c rachunki. Poza tym jest to przybli˙zenie, do kt´

orego sprowadza

si¸e analiza wielu eksperyment´

ow.

2

Oscylacje w pr´

o˙zni

W pr´o˙zni stany masowe, kt´

ore b¸edziemy oznacza´c ν

1

i ν

2

, s¸a stanami w lasnymi

Hamiltonianu:

H

ν

1

ν

2



=

E

1

0

0

E

2

 ν

1

ν

2



≈

p +

m

2
1

2

E

0

0

p +

m

2
2

2

E

!

ν

1

ν

2



(1)

gdzie skorzystano z ultrarelatywistycznego przybli˙zenia E

i

=

pp

2

+ m

2
i

≈ p +

m

2
i

2

p

≈ p +

m

2
i

2

E

.

Mo˙zemy przekszta lci´c Hamiltonian, rozbijaj¸ac go na cz¸e´s´c proporcjonaln¸a

do macierzy jednostkowej i na cz¸e´s´c proporcjonaln¸a do σ

3

:

1

H

=

pI +

1

2E

m

2
1

0

0

m

2
2



=

pI +

1

2E

 m

2
1

+ m

2
2

2

I +

m

2
1

− m

2
2

2

1

0

0 −1



=



p +

m

2
1

+ m

2
2

4E



I

−

∆m

2

4E

1

0

0 −1



= H

diag

+ H

0

p

(2)

Wszystkie cz lony, kt´

ore s¸a wielokrotno´sci¸a macierzy jednostkowej, nie s¸a is-

totne w naszych rozwa˙zaniach, poniewa˙z nie zmieniaj¸a r´

o˙znicy mi¸edzy warto´sciami

w lasnymi Hamiltonianu (nie produkuj¸a r´

o˙znicy faz). Zawsze mog¸a zosta´c do-

dane do czynnik´

ow normuj¸acych funkcje falowe neutrin, dlatego w dalszych

rozwa˙zaniach mo˙zemy je pomin¸a´c.

Stany zapachowe, kt´

ore b¸edziemy oznacza´c ν

e

i ν

a

(gdzie a = µ lub τ ), s¸a

zwi¸azane ze stanami masowymi relacj¸a:

ν

e

ν

a



= U

ν

1

ν

2



(3)

gdzie U =

 cosθ

sinθ

−sinθ cosθ



jest macierz¸a mieszania.

Korzystaj¸ac z (2) i (3), mo˙zemy wyprowadzi´c efektywny Hamiltonian w bazie

zapachowej:

H

0

p

U

−1

ν

e

ν

a



= −

∆m

2

4E

1

0

0

−1



U

−1

ν

e

ν

a



(4)

po przemno˙zeniu z prawej strony przez U :

U H

0

p

U

−1

=

−

∆m

2

4E

U

1

0

0

−1



U

−1

=

−

∆m

2

4E

 cosθ

sinθ

−sinθ cosθ

 1

0

0 −1

 cosθ −sinθ

sinθ

cosθ



=

−

∆m

2

4E

 cos2θ

−sin2θ

−sin2θ −cos2θ



(5)

Ostatecznie Hamiltonian w pr´o˙zni w bazie zapachowej ma posta´c:

H

0

=

∆m

2

4E

−cos2θ sin2θ

sin2θ

cos2θ



(6)

Jawna posta´c H

0

b¸edzie potrzebna przy wprowadzaniu efekt´

ow materialnych,

poniewa˙z to stany zapachowe oddzia luj¸a.

Ewolucja stan´

ow masowych jest opisana przez:

|ν

i

(t)i = e

−

m2

i

2

E

t

|ν

i

(0)i

(7)

Wykorzystuj¸ac (3) i (7), mo˙zemy wyliczy´c prawdopodobie´

nstwo znalezienia neu-

trina w stanie zapachowym ν

a

po przebyciu drogi L, je´sli pocz¸atkowo mieli´smy

ν

e

:

P (ν

e

→ ν

a

, L) = sin

2

(2θ) sin

2



1.27∆m

2

L

E



(8)

gdzie L jest wyra˙zona w km, E w GeV , a ∆m

2

w eV

2

.

2

3

Oddzia lywanie neutrin z materi¸

a

Zgodnie z modelem standardowym neutrina mog¸a oddzia lywa´c z elektronami
przez pr¸ad na ladowany (CC), czyli przez wymian¸e bozonu W

±

(tylko neutrina

elektronowe) lub przez pr¸ad neutralny (NC), czyli przez wymian¸e bozonu Z

0

(wszystkie neutrina).

Figure 1: Diagramy oddzia lywania neutrin

Oddzia lywanie przez pr¸ad neutralny mo˙zemy pomin¸a´c, poniewa˙z jest ono

takie samo dla wszystkich zapach´

ow i nie wp lywa na r´

o˙znic¸e mas. Oddzia lywanie

neutrin elektronowych z elektronami przez pr¸ad na ladowany jest dobrze opisy-
wane przez teori¸e Fermiego, w kt´

orej wymian¸e bozonu W

±

zast¸epuje si¸e przez

wprowadzenie efektywnego Hamiltonianu:

H

CC

=

G

F

√

2

J

letp

+

µ

J

µ

lept

=

G

F

√

2

[e(k

′

)γ

µ

(1 − γ

5

)ν

e

(k)] [ν

e

(p

′

)γ

µ

(1 − γ

5

)e(p)] (9)

gdzie G

F

- sta la Fermiego, a e, ν - bispinory Diraca.

Figure 2: Oddzia lywanie w teorii Fermiego

Korzystaj¸ac z transformacji Fierza (patrz dodatek), mo˙zna pokaza´c, ˙ze za-

chodzi:

[γ

µ

(1 − γ

5

)]

ρδ

[γ

µ

(1 − γ

5

)]

νβ

= − [γ

µ

(1 − γ

5

)]

ρβ

[γ

µ

(1 − γ

5

)]

νδ

(10)

Uwzgl¸edniaj¸ac dodatkowo fakt, ˙ze w teorii kwantowej bispinory antykomutuj¸a
ze sob¸a, mo˙zemy H

CC

zapisa´c w postaci:

H

CC

=

G

F

√

2

[e(k

′

)γ

µ

(1 − γ

5

)e(p)] [ν

e

(p

′

)γ

µ

(1 − γ

5

)ν

e

(k)]

(11)

3

Obliczamy efektywny potencja l dla neutrin poruszaj¸acych si¸e z niezmienionym

p¸edem i spinem w o´srodku materialnym. Taki potencja l zmienia mas¸e cz¸astki
m → m

ef f

i jest oczywiste, ˙ze mo˙ze mie´c wp lyw na oscylacje.

W zjawisku oscylacji znaczenie ma r´

o˙znica mas. Istotne jest zatem odd-

zia lywanie z materi¸a, kt´

ore jest r´

o˙zne dla r´

o˙znych typ´

ow neutrin. Takim odd-

zia lywaniem jest reakcja CC z elektronami.

Mo˙zemy przyj¸a´c, ˙ze elektrony spoczywaj¸a i s¸a niespolaryzowane. Elektron

opisujemy przez spinor Diraca:

e =

χ

s

0



gdzie χ

1

=

1

0



χ

2

=

0

1



(12)

Najpierw wyliczymy pierwszy cz lon H

CC

dla µ = j:

eγ

j

(1 − γ

5

)e

=

eγ

j

e − eγ

j

γ

5

e

=

e

†

γ

0

γ

j

e − e

†

γ

0

γ

j

γ

5

e

(13)

Musimy teraz dokona´c u´srednienia po spinie elektronu. Dostajemy

eγ

j

(1 − γ

5

)e

=

1
2

2

X

s=1

(χ

†

s

0)

 I

0

0

−I

  0

−σ

j

σ

j

0

 χ

s

0



−

1
2

2

X

s=1

(χ

†

s

0)

 I

0

0

−I

  0

−σ

j

σ

j

0

 0 I

I

0

 χ

s

0



=

1
2

2

X

s=1

(χ

†

s

0)



0

−σ

j

χ

s



−

1
2

2

X

s=1

(χ

†

s

0)

−σ

j

χ

s

0



=

1
2

2

X

s=1

χ

†

s

σ

j

χ

s

(14)

dla j = 1:

1
2



(1 0)

0 1

1

0

 1

0



+ (0 1)

0 1

1 0

 0

1



= 0

(15)

dla j = 2:

1
2



(1 0)

0 −i

i

0

 1

0



+ (0 1)

0 −i

i

0

 0

1



= 0

(16)

dla j = 3:

1
2



(1 0)

1

0

0

−1

 1

0



+ (0 1)

1

0

0

−1

 0

1



=

1
2

(1 − 1) = 0

(17)

Jedyny nieznikaj¸acy cz lon H

CC

mamy, gdy µ = 0:

H

CC

=

G

F

√

2

[eγ

0

(1 − γ

5

)e] [ν

e

γ

0

(1 − γ

5

)ν

e

]

=

G

F

√

2

e

†

γ

0

γ

0

(1 − γ

5

)e

 ν

†

e

γ

0

γ

0

(1 − γ

5

)ν

e



=

G

F

√

2

e

†

e − e

†

γ

5

e

 2ν

†

e

ν

e



=

2

G

F

√

2



1 − (χ

†

s

0)

0 I

I

0

 χ

s

0



=

√

2G

F

(18)

4

gdzie skorzystali´smy z faktu, ˙ze

1−γ

5

2

jest operatorem rzutowania na stany o

okre´slonej skr¸etno´sci (a neutrina s¸a tylko lewoskr¸etne) oraz z to˙zsamo´sci (γ

0

)

2

=

I.

Powy˙zsze rachunki by ly robione dla jednego elektronu. Je˙zeli w materii

mamy N

e

elektron´ow na jednostk¸e obj¸eto´sci, to na neutrina elektronowe odd-

zia luje potencja l:

V =

√

2G

F

N

e

(19)

Alternatywne, bardziej fizyczne, wyprowadzenie wzoru na efekt MSW opiera

si¸e na analizie koherentnego rozpraszania do przodu. Podr¸ecznikowa analiza
prowadzi do wyra˙zenia na wsp´o lczynnik za lamania, kt´

orego wielko´s´c zale˙zy od

energii poruszaj¸acych si¸e cz¸astek (patrz J. D. Jackson “Elektrodynamika klasy-
czna”).

4

Oscylacje w materii

Poniewa˙z stany zapachowe s¸a tymi, kt´

ore oddzia luj¸a z materi¸a, potencja l (19)

musimy wprowadzi´c w bazie zapachowej, zatem efektywny Hamiltonian (cz¸e´s´c
odpowiadaj¸aca za oscylacje) w materii ma posta´c:

H

M

=

H

0

+ V

1 0

0

0



=

H

0

+

V

2

1

0

0

−1



+

V

2

I

=

∆m

2

4E

−cos2θ sin2θ

sin2θ

cos2θ



+

V

2

1

0

0 −1



+

V

2

I

=

∆m

2

4E

−(cos2θ −

V /2

∆

m

2

/4E

)

sin2θ

sin2θ

(cos2θ −

V /2

∆

m

2

/4E

)

!

+

V

2

I

(20)

Tak jak poprzednio cz lon proporcjonalny do jedynki mo˙zemy pomin¸a´c. Do-
datkowo wprowadzimy zmienn¸a x =

V /2

∆

m

2

/4E

=

2

√

2

G

F

N

e

E

∆

m

2

:

H

M

=

∆m

2

4E

−(cos2θ − x)

sin2θ

sin2θ

cos2θ − x



(21)

Je˙zeli teraz wprowadzimy nowe parametry: efektywn¸a r´

o˙znic¸e kwadrat´ow mas

w materii

∆m

2
M

≡ ∆m

2

q

sin

2

2θ + (cos2θ − x)

2

(22)

oraz k¸at mieszania w materii

sin2θ

M

≡

sin 2θ

q

sin

2

2θ + (cos2θ − x)

2

(23)

wtedy

cos2θ

M

=

p

1 − sin

2

2θ

M

=

cos2θ − x

q

sin

2

2θ + (cos2θ − x)

2

(24)

5

i nasz Hamiltonian przyjmuje posta´c:

H

M

=

∆m

2
M

4E

−cos2θ

M

sin2θ

M

sin2θ

M

cos2θ

M



(25)

Por´

ownuj¸ac otrzymany wynik z (6), widzimy, ˙ze oddzia lywanie z materi¸a nie

zmienia struktury Hamiltonianu, a jedynie zamienia parametry ∆m

2

→ ∆m

2
M

i θ → θ

M

, zatem (z (8)) mo˙zemy zapisa´c wz´

or na prawdopodobie´

nstwo oscylacji

w materii:

P

M

(ν

e

→ ν

a

, L) = sin

2

(2θ

M

) sin

2



1.27∆m

2
M

L

E



(26)

Zjawisko oscylacji b¸edzie zatem opisywane zmodyfikowanymi parametrami.

5

Podsumowanie

Teraz mo˙zemy si¸e zastanowi´c, czy oddzia lywanie neutrin z materi¸a mo˙ze mie´c
istotny wp lyw na oscylacje. Ca la informacja o efektach materialnych znajduje
si¸e w zmiennej x. Patrz¸ac na (22) i (23), widzimy, ˙ze je˙zeli x = 0, to ∆m

2
M

=

∆m

2

a θ

M

= θ, ale je´sli x = cos2θ, to sin

2
M

2θ = 1, zatem k¸at mieszania

θ

M

= 45

0

bez wzgl¸edu na warto´s´c θ (rezonans).

Koncentracje elektron´ow w materii jest r´

owna N

e

= N

A

Y

e

ρ, gdzie N

A

-

liczba Avogadro, Y

e

- liczba elektron´ow przypadaj¸aca na nukleon, ρ - g¸esto´s´c

materii. Je˙zeli przyjmiemy Y

e

= 1/2 (tzn., ˙ze j¸adra zawieraj¸a r´

own¸a ilo´s´c pro-

ton´ow i neutron´

ow), to warto´s´c liczbowa zmienna x wynosi:

x =

0, 76 · 10

−13

ρ · E

∆m

2

(27)

gdzie ρ jest w g/cm

3

, E w eV , a ∆m

2

w eV

2

. W przypadku neutrin s lonecznych

∆m

2

≈ 8.0·10

−5

eV

2

, ´srednia g¸esto´s´c Ziemi tu˙z przy powierzchni ρ ≈ 2, 8g/cm

3

,

zatem

x ≈

E

0.4 · 10

9

(28)

energia neutrin s lonecznych dochodzi do 12M eV , w takim przypadku:

x ≈ 0.03

(29)

K¸at mieszania w pr´o˙zni dla neutrin s lonecznych szacuje si¸e na θ ≈ 34

0

, wi¸ec z

(23) mo˙zemy wyznaczy´c k¸at mieszania przy powierzchni Ziemii θ

M

≈ 35

0

.

G¸esto´s´c w ´srodku S lo´

nca wynosi 100g/cm

3

. Przeprowadzaj¸ac takie same

rachunki, otrzymamy k¸at mieszania w ´srodku S lo´

nca θ

M

≈ 20

0

.

Jak wida´c na przyk ladzie neutrin s lonecznych, wp lyw efekt´

ow materialnych

na oscylacje mo˙ze mie´c bardzo du˙ze znaczenie (przy odpowiednio du˙zych ener-
giach i g¸esto´sciach materii).

Nale˙zy r´

ownie˙z zwr´

oci´c uwag¸e na fakt, ˙ze gdy E → ∞ ⇒ θ

M

→ 0 (z (23) i

oscylacje zanikaj¸a.

6

Konwencje

g

µν

=







1

0

0

0

0

−1

0

0

0

0

−1

0

0

0

0

−1







(30)

γ

µ

γ

ν

+ γ

ν

γ

µ

= 2g

µν

(31)

γ

0

=

 I

0

0

−I



(32)

γ

j

=



0

σ

j

−σ

j

0



(33)

gdzie

σ

1

=

0 1

1

0



σ

2

=

0 −i

i

0



σ

3

=

1

0

0 −1



(34)

σ

µν

=

i

2

[γ

µ

, γ

ν

]

(35)

γ

5

= γ

5

= iγ

0

γ

1

γ

2

γ

3

=

0 I

I

0



(36)

Transformacja Fierza

Niech Γ =

1
4

P

A

C

A

Γ

A

, gdzie Γ

A

= I, γ

µ

, σ

µν

, γ

5

, γ

5

γ

µ

, wtedy

ΓΓ

B

=

1
4

X

A

C

A

Γ

A

Γ

B

(37)

zatem

T r (ΓΓ

B

) = T r

1
4

X

A

C

A

Γ

A

Γ

B

!

=

1
4

X

A

C

A

T r (Γ

A

Γ

B

)

(38)

W przypadku, gdy A 6= B, T r (Γ

A

Γ

B

) = 0, co mo˙zna pokaza´c bezpo´srednim

rachunkiem (macierze Γ

A

albo antykomutuj¸a ze sob¸a, a T r (AB) =

1
2

T r ({A, B}),

albo ich iloczyn jest proporcjonalny do jednej z nich, a wszystkie (opr´

ocz je-

dynki) s¸a bez´sladowe).

Je´sli A = B, to mamy

T r (I)

2

= T r γ

0

2

= T r γ

5

2

= T r γ

5

γ

j

2

= T r σ

ij

2

= 4

(39)

T r γ

j

2

= T r γ

5

γ

0

2

= T r σ

0

i

= −4

(40)

Je˙zeli wprowadzimy

∆

A

=



1 gdy Γ

A

= I, γ

0

, γ

5

, γ

5

γ

j

, σ

ij

−1 gdy Γ

A

= γ

j

, γ

5

γ

0

, σ

0

i

(41)

7

to (38) mo˙zemy zapisa´c w postaci

T r (ΓΓ

B

) =

1
4

X

A

C

A

T r (Γ

A

Γ

B

) =

1
4

X

A

C

A

4δ

AB

∆

A

= C

B

∆

B

(42)

gdy przemno˙zymy obie strony przez ∆

B

C

B

= ∆

B

T r (ΓΓ

B

)

(43)

zatem

Γ =

1
4

X

A

C

A

Γ

A

=

1
4

X

A

∆

A

T r (ΓΓ

A

) Γ

A

(44)

elementy macierzowe spe lniaj¸a wi¸ec

(Γ)

ab

=

1
4

X

A

∆

A

(Γ)

kl

(Γ

A

)

lk

(Γ

A

)

ab

(45)

czyli

1
4

X

A

∆

A

(Γ

A

)

lk

(Γ

A

)

ab

= δ

ak

δ

bl

(46)

i ostatecznie dla dowolnych macierzy F i G mo˙zemy zapisa´c

F

lb

G

ak

=

1
4

X

A

(F Γ

A

G)

lk

(Γ

A

)

ab

∆

A

(47)

Rozwa˙zmy macierze F = γ

µ

(I − γ

5

) oraz G = γ

µ

(I − γ

5

):

[γ

µ

(I − γ

5

)]

lb

γ

µ

I

− γ

5



ak

=

1
4

[γ

µ

(I − γ

5

) γ

µ

(I − γ

5

)]

lk

[I]

ab

∆

I

(48)

+

1
4

γ

µ

(I − γ

5

) γ

λ

γ

µ

(I − γ

5

)



lk

γ

λ



ab

∆

γ

λ

+

1
4

γ

µ

(I − γ

5

) σ

χλ

γ

µ

(I − γ

5

)



lk

σ

χλ



ab

∆

σ

χλ

+

1
4

[γ

µ

(I − γ

5

) γ

5

γ

µ

(I − γ

5

)]

lk

[γ

5

]

ab

∆

γ

5

+

1
4

γ

µ

(I − γ

5

) γ

5

γ

λ

γ

µ

(I − γ

5

)



lk

γ

5

γ

λ



ab

∆

γ

5

γ

λ

Najpierw przyjrzyjmy si¸e pierwszemu sk ladnikowi:

1
4

[γ

µ

(I − γ

5

) γ

µ

(I − γ

5

)] =

1
4

[γ

µ

γ

µ

(I + γ

5

) (I − γ

5

)]

= (I + γ

5

) (I − γ

5

) = I − γ

5

+ γ

5

− (γ

5

)

2

= 0

(49)

gdzie skorzystano z w lasno´sci: {γ

µ

, γ

5

} = 0, γ

µ

γ

µ

= 4 oraz (γ

5

)

2

= I.

Czwarty sk ladnik sumy znika w podobny spos´

ob, a trzeci znika na mocy

w lasno´sci γ

λ

σ

µν

γ

λ

= 0.

Po uporz¸adkowaniu pozosta lych wyraz´

ow, uwzgl¸edniaj¸ac fakt, ˙ze (I − γ

5

) (I − γ

5

) =

2 (I − γ

5

), (48) pyrzjmie posta´c:

8

[γ

µ

(I − γ

5

)]

lb

γ

µ

I

− γ

5



ak

=

1
4

∆

γ

λ

γ

µ

γ

λ

γ

µ

2 (I − γ

5

)



lk

γ

λ



ab

(50)

+

1
4

∆

γ

5

γ

λ

γ

µ

γ

λ

γ

µ

γ

5

2 (I − γ

5

)



lk

γ

5

γ

λ



ab

Gdy λ = 0, to γ

λ

= γ

λ

, ∆

γ

λ

= 1 a ∆

γ

5

γ

λ

= −1.

Gdy λ = j, to γ

λ

= −γ

λ

, ∆

γ

λ

= −1 a ∆

γ

5

γ

λ

= 1, zatem

[γ

µ

(I − γ

5

)]

lb

γ

µ

I

− γ

5



ak

=

1
2

[γ

µ

γ

λ

γ

µ

(I − γ

5

)]

lk

γ

λ



ab

−

1
2

[γ

µ

γ

λ

γ

µ

γ

5

(I − γ

5

)]

lk

γ

5

γ

λ



ab

=

1
2

[γ

µ

γ

λ

γ

µ

(I − γ

5

)]

lk

γ

λ



ab

−

1
2

[γ

µ

γ

λ

γ

µ

(−I + γ

5

)]

lk

γ

5

γ

λ



ab

=

1
2

[γ

µ

γ

λ

γ

µ

(I − γ

5

)]

lk

γ

λ



ab

−

1
2

[γ

µ

γ

λ

γ

µ

(I − γ

5

)]

lk

γ

λ

γ

5



ab

(51)

Teraz mo˙zemy skorzysta´c z w lasno´sci γ

µ

γ

λ

γ

µ

= −2γ

λ

[γ

µ

(I − γ

5

)]

lb

γ

µ

I

− γ

5



ak

= − [γ

λ

(I − γ

5

)]

lk

γ

λ



ab

+ [γ

λ

(I − γ

5

)]

lk

γ

λ

γ

5



ab

= − [γ

λ

(I − γ

5

)]

lk

γ

λ

(I − γ

5

)



ab

(52)

Bibliografia

1. Boris Kayser “Neutrino Physics”, arXiv:hep-ph/0506165v1
2. A. Yu. Smirnov “Recent Developments in Neutrino Phenomenology”, arXiv:hep-
ph/0702061v1
3. H. A. Bethe “Possible Explanation of the Solar-Neutrino Puzzle”, Physical
Review Letters vol 56 nr 12

9