13
GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI
Definicja
Przestrzeń
3
R
– zbiór wszystkich uporządkowanych trójek
, ,
x y z liczb rzeczywistych, tj.:
R
z
y
x
z
y
x
,
,
:
,
,
3
R
.
Definicja (działania na wektorach)
Niech
1
1
1
2
2
2
,
x, y,z
x , y ,z
x , y ,z
u =
w =
,v =
oraz niech
R
.
1. Suma wektorów:
1
2
1
2
1
2
,
,
+
x
x y
y z
z
w v =
2. Różnica wektorów:
1
2
1
2
1
2
,
,
-
x
x y
y z
z
w v =
3. Iloczyn wektora
u
przez liczbę rzeczywistą
:
,
,
x
y
z
u =
W
ŁASNOŚCI DZIAŁAŃ NA WEKTORACH
Niech
,
u v,w
będą dowolnymi wektorami w
3
R oraz niech
R
,
. Wtedy:
1.
u v = v + u
2.
+
u
v
w = u + v
w
3.
0
u
u
4.
+ -
0
u
u
5.
1
u = u
6.
u =
u
7.
u = u
u
8.
u v = u
v
Definicja
Wektory
1, 0, 0 ,
0,1, 0 ,
0, 0,1
i
j
k
nazywamy wersorami odpowiednio na osiach
0 , 0 , 0
x
y
z
.
Definicja
Długość wektora
= x, y,z
u
jest określona wzorem:
2
2
2
=
x + y + z
u
Długość wektora
= x, y,z
u
jest równa odległości punktu
, ,
P
x y z
od początku układu
współrzędnych.
Każdy wektor o długości 1 nazywamy wersorem.
W
ŁASNOŚCI DŁUGOŚCI WEKTORA
Niech
,
u v
będą wektorami w
3
R oraz niech
R
. Wtedy:
1.
0
u
, przy czym
0
0
u
u
2.
u
u
3.
+
u v
u
v
4.
-
u
v
u v
14
Definicja
Niech
,
u v
będą dowolnymi wektorami w
3
R
. Iloczyn skalarny wektorów
u
i
v
określamy
wzorem:
cos
u v
u v
gdzie
jest miarą kąta pomiędzy wektorami
u
i
v
.
W
ZÓR DO OBLICZANIA ILOCZYNU SKALARNEGO
Niech
1
1
1
2
2
2
x , y ,z
x , y ,z
u =
,v =
będą wektorami w
3
R
. Wtedy:
1 2
1
2
1 2
x x
y y
z z
u v
W
ŁASNOŚCI ILOCZYNU SKALARNEGO
Niech ,
u v,w będą dowolnymi wektorami w
3
R
oraz niech
R
. Wtedy:
1.
u v = v u
2.
u
v =
u v
3.
2
u u
u
4.
u v
w = u w v w
5.
u v
u v
6. wektory
u
i
v
są prostopadłe
0
u v =
Definicja
Niech
u
i
v
będą niewspółliniowymi i niezerowymi wektorami w
3
R
. Iloczynem
wektorowym uporządkowanej pary wektorów
u
i
v
nazywamy wektor
w
, który spełnia
warunki:
1. jest prostopadły do płaszczyzny rozpiętej na wektorach
u
i
v
,
2. jego długość jest równa polu równoległoboku rozpiętego na wektorach
u
i
v
, tj. równa:
sin
u v
gdzie
jest kątem między wektorami
u
i
v
,
3. orientacja trójki wektorów u, v, w jest zgodna z orientacją układu współrzędnych
0xyz
.
Iloczyn wektorowy pary wektorów
u
i
v
oznaczamy przez
u v
.
Jeżeli jeden z wektorów u, v jest wektorem zerowym lub jeżeli wektory te są współliniowe, to
przyjmujemy, że
0
u v = .
W
ZÓR DO OBLICZANIA ILOCZYNU WEKTOROWEGO
Niech
1
1
1
2
2
2
x , y ,z
x , y ,z
u =
,v =
będą wektorami w
3
R
. Wtedy:
1
1
1
2
2
2
x
y
z
x
y
z
i
j
k
u v
,
gdzie
i, j, k
oznaczają wersory odpowiednio na osiach
0 , 0 , 0
x
y
z
.
z
0
u
x
y
v
w = u v
15
W
ŁASNOŚCI ILOCZYNU WEKTOROWEGO
Niech
,
u v,w
będą dowolnymi wektorami w
3
R
oraz niech
R
. Wtedy:
1.
-
u v =
v u
2.
u
v = u
v =
u v
3.
u v
w = u w v w
4.
+
u
v
w = u v
u w
5.
u v
u v
6. wektory
u
i
v
są równoległe
0
u v =
Definicja
Niech
,
u v, w będą wektorami w
3
R
. Iloczyn mieszany uporządkowanej trójki wektorów
,
u v, w określamy wzorem:
,
u v, w
u v
w
Geometrycznie: Iloczyn mieszany wektorów
,
u v, w
jest równy (z dokładnością do znaku)
objętości równoległościanu
V
rozpiętego na wektorach
,
u v, w
:
,
V
u v, w
W
ZÓR DO OBLICZANIA ILOCZYNU MIESZANEGO
Niech
1
1
1
2
2
2
3
3
3
,
x , y ,z
x , y ,z
x , y ,z
u =
,v =
w =
będą wektorami w
3
R
. Wtedy:
1
1
1
2
2
2
3
3
3
x
y
z
x
y
z
x
y
z
u,v, w
W
ŁASNOŚCI ILOCZYNU MIESZANEGO
Niech
,
u v,w, r
będą wektorami w
3
R
oraz niech
R
. Wtedy:
1.
,
u v, w
v, w, u
2.
,
u v, w
v, u, w
3.
,
,
u v, w
u v, w
4.
,
,
,
+
u r v, w
u v, w
r v, w
5.
,
u v,w
u v
w
6. wektory
,
u v,w
leżą w jednej płaszczyźnie
,
0
u v,w
R
ÓWNANIE NORMALNE PŁASZCZYZNY
Równanie płaszczyzny H przechodzącej przez punkt
0
0
0
0
,
,
P
x y z
i prostopadłej do
wektora
, ,
A B C
0
n
ma postać:
0
0
0
:
0
H A x
x
B y
y
C z
z
n
0
z
x
y
0
P
H
u
v
w
V
16
R
ÓWNANIE OGÓLNE PŁASZCZYZNY
Każde równanie postaci:
:
0
H Ax
By Cz
D
gdzie
0
A
B
C
, przedstawia płaszczyznę. Płaszczyzna ta ma wektor normalny
, ,
A B C
n
i przecina oś
0z
w punkcie
D
z
C
, o ile
0
C
.
R
ÓWNANIE PARAMETRYCZNE PŁASZCZYZNY
Równanie płaszczyzny H przechodzącej przez punkt
0
0
0
0
,
,
P
x y z
oraz rozpiętej na
niewspółliniowych wektorach
1
1
1
, ,
a b c
u
i
2
2
2
,
,
a b c
v
ma postać:
0
1
2
0
1
2
0
1
2
:
x
x
sa
ta
H
y
y
sb
tb
z
z
sc
tc
, gdzie
R
t
s,
.
R
ÓWNANIE PŁASZCZYZNY PRZECHODZĄCEJ PRZEZ TRZY PUNKTY
Równanie płaszczyzny H przechodzącej przez trzy niewspółliniowe punkty
. ,
i
i
i
i
P
x y z
,
gdzie
1
3
i
, ma postać:
1
1
1
2
2
2
3
3
3
1
1
:
0
1
1
x
y
z
x
y
z
H
x
y
z
x
y
z
0
z
x
y
H
0
P
u
v
0
z
x
y
H
1
P
3
P
2
P
0
n
0
z
x
y
H
D
C
17
R
ÓWNANIE ODCINKOWE PŁASZCZYZNY
Równanie płaszczyzny H odcinającej na osiach
0 , 0 , 0
x
y
z
układu współrzędnych
odpowiednio odcinki (zorientowane)
, ,
0
a b c
ma postać:
:
1
x
y
z
H
a
b
c
.
R
ÓWNANIE PARAMETRYCZNE PROSTEJ
Równanie prostej
l
przechodzącej przez punkt
0
0
0
0
,
,
P
x y z
i wyznaczonej przez
niezerowy wektor kierunkowy
, ,
a b c
u
ma postać:
0
0
0
:
x
x
at
l
y
y
bt
z
z
ct
, gdzie
R
t
.
R
ÓWNANIE KIERUNKOWE PROSTEJ
Równanie prostej
l
przechodzącej przez punkt
0
0
0
0
,
,
P
x y z
i wyznaczonej przez
niezerowy wektor kierunkowy
, ,
a b c
u
ma postać:
0
0
0
:
x
x
y
y
z
z
l
a
b
c
.
0
z
x
y
l
0
P
u
0
z
x
y
l
0
P
u
z
x
y
b
c
a
0
H
18
R
ÓWNANIE KRAWĘDZIOWE PROSTEJ
Prostą
l
,
która
jest
częścią
wspólną
dwóch
nierównoległych
płaszczyzn
1
1
1
1
1
:
0
H A x
B y C z
D
,
2
2
2
2
2
:
0
H
A x
B y C z
D
można zapisać w postaci:
1
1
1
1
2
2
2
2
0
:
0
A x
B y C z
D
l
A x
B y C z
D
.
W
EKTOR KIERUNKOWY PROSTEJ W POSTACI KRAWĘDZIOWEJ
Wektor kierunkowy prostej
1
1
1
1
2
2
2
2
0
:
0
A x
B y C z
D
l
A x
B y C z
D
ma postać:
1
1
1
2
2
2
,
,
,
,
A B C
A B C
u
Literatura
1. T. Jurlewicz, Z. Skoczylas: Algebra liniowa 1. Definicje, twierdzenia, wzory.
2. T. Jurlewicz, Z. Skoczylas: Algebra liniowa 1. Przykłady i zadania.
0
z
x
y
l
1
H
2
H