Zadania  z  oryginalną  numeracją  pochodzą  z   Informatora  o  egzaminie  maturalnym  od  2010  roku 
z matematyki (zdawanej jako przedmiot obowiązkowy) – Zbiór przykładowych zadań maturalnych. 

 
Tydzień 5. 
 
Przed  przystąpieniem  do  rozwiązywania  zadań  skorzystaj  z 

tablic

  matematycznych  9.  Geometria 

analityczna oraz podstawowe własności figur płaskich  
 

 

 
Proste o równaniach kierunkowych są równoległe, gdy ich współczynniki kierunkowe są równe. 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Odp. D 

 

 

 

Warunek prostopadłości dla prostych o równaniach kierunkowych to a

1

a

2

 = –1. 

Możemy rozwiązać proste równanie  
4a

2

 = –1 

a

2

 = 

 

Albo sprawdzić warunek dla poszczególnych współczynników. 
4   (–4) = –16 

4 

 = –1 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Odp. B 

 

 

 

Promień okręgu opisanego na prostokącie jest równy połowie przekątnej np. AC  
Skorzystamy ze wzoru na długość odcinka. 

|AC| = 

 

|AC| = 

 

|AC| = 

 

|AC| =10 
Promień, zatem jest równy 5. 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Odp. C 

 
 

 

 

Jest  to  równanie  okręgu  o  środku  w  punkcie  (–3,1)  i  promieniu  2.  Możemy  narysować  ten  okrąg 
w układzie współrzędnych. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Odp. C 

 

 

 

Możemy skorzystać ze wzoru x

2

 + y

2

 – 2ax – 2by + c =0 (tablice). Wtedy otrzymujemy dwa warunki: 

–2a = 4, stąd a = –2 
–b = –6, stąd b = 3 
Albo dane równanie doprowadzić do postaci (x – a)

2

 + (y – b)

2

 = r

2

. 

x

2

 + y

2

 +4x –6y – 221 =0 

(x + 2)

2

 – 4 + (y – 3)

2

 – 9 – 221 = 0 

(x + 2)

2

 + (y – 3)

2

 = 234 

Zatem S(–2,3) 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Odp. A 

 

 

 

Niech prosta o równaniu A

2

x + B

2

y + C = 0 będzie prostą równoległą do danej prostej. Równanie danej 

prostej jest równaniem ogólnym. W związku z tym skorzystamy z warunku  równoległości dla prostych 
o równaniu ogólnym. 
A

1

B

2

 – B

1

A

2

 = 0 

2B

2

 – (–1)A

2

 = 0 

A

2

 = –2B

2

 

y 

0 

x 

1 

1 

•S

 

A

2

x + B

2

y + C = 0 

–2B

2

x + B

2

y + C = 0 

 
Teraz skorzystamy z faktu, że do prostej należy punkt P. 
–2B

2

 + 2B

2

 + C = 0 

C = 0 
–2B

2

x + B

2

y = 0  /: B

2

 

–2x + y = 0 

lub po pomnożeniu obu stron równania przez (–1) otrzymujemy równanie 2x – y = 0 

 

 

 

Okrąg o środku w punkcie S jest styczny do osi Oy, jeśli odległość środka od osi jest równa promieniowi. 
W tym przypadku równa się 3. Zatem równanie okręgu spełniającego warunki zadania ma postać: 
(x – 3)

2

 + (y + 5) = 9 

 

 

 

(x – 3)

2

 + (y + 5) = r

2

 

Skoro okrąg ma przechodzić przez początek układu współrzędnych musi być spełniony warunek: 
(0 – 3)

2

 + (0 + 5)

2

 = r

2

 

34 = r

2

 

lub 
Możemy obliczyć długość promienia SO. 

|SO| = 

 

|SO| = 

 

 
Równanie okręgu spełniającego warunki zadania ma postać: 
(x – 3)

2

 + (y + 5)

2

 = 34 

 

 

 

Środkowa  trójkąta  to  odcinek  łączący  wierzchołek  tego  trójkąta  ze  środkiem  przeciwległego  boku. 
Wyznaczamy współrzędne środka D boku AB. 
 

D = 

 

D = (2 , 0) oraz C = (7 , 10) 
 
Korzystamy z równania prostej przechodzącej przez dwa punkty otrzymujemy: 
(x – 7)(0 – 10) – (y – 10)(2 – 7) = 0 
–10(x – 7) + 5(y – 10) = 0 
–10x + 70 + 5y – 50 = 0 
–10x + 5y + 20 = 0 
–2x + y + 4 = 0  postać ogólna 

y = 2x – 4  postać kierunkowa 
Jest to równanie prostej zawierającej środkową CD trójkąta ABC. 
 

 

Przykład rozwiązania. 
Na  rysunku  można  zaznaczyć  kąty  zgodnie  z  warunkami  zadania.  Po  wprowadzeniu  oznaczeń  należy 
udowodnić, że δ = 5β. 

  (ΔABC jest równoramienny) 

  (ΔABD jest równoramienny) 

  (ΔABC jest równoramienny) 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z tego wynika, że δ = 5β, a to należało udowodnić. 

α 

β

 

δ

 

β

 

γ

 

γ