Zestaw I

1. Więzy, rodzaje więzów, zasady uwalniania od więzów(definicje, przykłady)

Więzy – ograniczenia ruchu ciała nakładane na nie przez inne ciała.



Przegub walcowy – ciało osadzone na walcowym sworzniu przechodzącym przez kołowy otwór wykonany w
tym ciele.



Przegub kulisty – zakończenie ciała(głównie pręta) w kształcie kuli osadzone w kulistym łożysku



Podpora przesuwna(rolkowa)



Podpora przegubowa stała



Cięgna



Pręty przegubowe

Każde ciało nieswobodne można myślowo oswobodzić od więzów, zastępując przy tym ich działanie
odpowiednimi reakcjami. Dalej można rozpatrywać ciało tak jak ciało swobodne, podlegające działaniu sił
czynnych oraz sił reakcji więzów.

2. Chwilowy środek obrotu, chwilowy środek przyspieszeń(definicje, przykłady, rysunki).

Wiedząc, że ruch rozpatrywanej figury nie jest w danej chwili ruchem postępowym, możemy znaleźć taki punkt C,
którego prędkość jest równa zeru. Gdy znamy położenie takiego punktu, możemy wyznaczyć prędkość
dowolnego punktu rozpatrywanej figury płaskiej. W rozpatrywanej chwili punkty badanej figury płaskiej mają
więc takie same prędkości, jakie miałyby w ruchu obrotowym tej figury wokół punktu C. Punkt ten nazwiemy
dlatego środkiem chwilowego obrotu.

Punkt o zerowym przyspieszeniu istnieje, jeżeli ω i ε nie są jednocześnie równe zeru, czyli gdy ruch figury płaskiej
nie jest ruchem postępowym. Taki punkt nazywamy chwilowym środkiem przyspieszeń.

3. Opisać zasadę zachowania krętu dla układu punktów materialnych (wzory i rysunki).

W przypadku gdy momenty wszystkich sił zewnętrznych układu punktów materialnych względem pewnego
nieruchomego bieguna O są równe zeru, wówczas kręt układu
względem tego bieguna nie ulega zmianie.

∑

Kręt układu tuż przed uderzeniem masy m

2

w szalkę i tuż po tym

uderzeniu są sobie równe(masa m

2

spada swobodnie)

4. Płaski układ sił zbieżnych – warunki równowagi(rysunki i wzory).

Aby siły zbieżne P

1

, P

2

, …, P

n

działające w jednej płaszczyźnie znajdowały się w równowadze, wielobok z nich

zbudowany, czyli wielobok sił, musi być wielobokiem zamkniętym. (wypadkowa sił R ma być równa zeru).

∑

5. Prędkość bezwzględna i przyspieszenie bezwzględne w ruchu złożonym(wzory, rysunki)

Prędkość punktu względem nieruchomego układu odniesienia nazywamy prędkością bezwzględną. Skierowana
jest wzdłuż stycznej do toru bezwględnego rozpatrywanego punktu.

Prędkość bezwzględna v równa jest sumie geometrycznej prędkości unoszenia v

u

oraz prędkości względnej v

w

.

⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

Przyspieszeniem bezwzględnym punktu A nazywamy przyspieszenie wyznaczone względem układu
nieruchomego. Przyspieszenie bezwzględne równe jest sumie geometrycznej przyspieszenia unoszenia a

u

,

przyspieszenia względnego a

w

i przyspieszenia Coriolisa a

c

.

⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

6. Zasada zachowania pędu dla układu punktów materialnych i bryły(przykłady).

Pęd izolowanego układu punktów materialnych jest wielkością stałą (gdy na punkty należące do rozpatrywanego
układu nie działają żadne siły zewnętrzne)

Przyrównanie momentów
względem osi y

𝑥

𝑐

𝑃

𝑖

𝑥

𝑖

𝑛

𝑖

𝑃

𝑖

𝑛

𝑖

Przyrównanie momentów
względem osi x

𝑦

𝑐

𝑃

𝑖

𝑦

𝑖

𝑛

𝑖

𝑃

𝑖

𝑛

𝑖



Wszystkie siły obrócone tak, aby były
równoległe do osi x, bez zmiany punktów
przyłożenia



Porównanie momentów względem osi z

𝑧

𝑐

𝑃

𝑖

𝑧

𝑖

𝑛

𝑖

𝑃

𝑖

𝑛

𝑖

Zestaw II

1. Środek siły równoległych – definicja, określić pojęcie środka masy, środka ciężkości(wzory, rysunki).

Punkt C mający tę własność, że przechodzi przez niego stale wypadkowa danego układu siły równoległych
niezależnie od kierunku tych sił(przy niezmiennych punktach przyłożenia i wartościach sił), nazywa się środkiem
sił równoległych.

.

Środek sił równoległych w odniesieniu do sił ciężkości nazywany jest środkiem ciężkości.
Środek masy to środek ciężkości, którego współrzędne wyraża się wzorami:

∫

∫

∫

∫

∫

∫

2. Metody analityczne wyznaczania toru, prędkości i przyśpieszenia punktu(przykłady).

̇

̈

3. Czym się charakteryzują równania Lagrange’a II rodzaju(współrzędne uogólnione, opis, przykład).

̇

̇ ̇

̇ ̇

̇

̇

(

̇

̇

̇

̇ )

(

̇

)

(

̇

)

̈

̈

̈

̈

̈

̈

̈ ̈

̈

̈

4. Moment siły względem osi, podać przypadki zerowania się tego momentu(rys, wzory).

Moment siły względem osi równy jest rzutowi na tę oś momentu danej siły względem dowolnego punktu
leżącego na tejże osi.

Moment siły względem osi równy jest zeru, gdy rzut siły na płaszczyznę prostopadłą do osi jest równy zeru lub też
gdy ramię tego rzutu względem punktu O jest równe zeru(siła P jest równoległa do osi bądź jej linia działania
przecina oś)

5. Jaki ruch bryły nazywamy płaskim? Prędkość i przyspieszenie w ruchu płaskim(rysunki, wzory).

Ruchem płaskim ciała sztywnego nazywamy ruch, podczas którego wszystkie punkty ciała poruszają się w
płaszczyznach równoległych do pewnej nieruchomej płaszczyzny zwanej płaszczyzną kierującą. Prędkość
dowolnego punktu B figury płaskiej, poruszającej się w swej płaszczyźnie, równa jest sumie geometrycznej
prędkości dowolnie obranego punktu A tej figury, zwanego biegunem, oraz prędkości punktu B względem
bieguna A, czyli prędkości punktu B w ruchu obrotowym figury wokół bieguna. Prędkość kątowa tego ruchu
obrotowego nie zależy przy tym od wyboru bieguna A.

Przyspieszenie dowolnego punktu figury płaskiej poruszającej się w swojej płaszczyźnie równe jest sumie
geometrycznej przyspieszenie dowolnie obranego bieguna A oraz przyspieszenia punktu B względem bieguna A.

6. Opisać zasadę zachowania krętu dla układu punktów materialnych i bryły(wzory i rysunki).

@zestaw I pytanie 3

Zestaw III

1. Co to są stopnie swobody ciała sztywnego(przykłady)?

Stopień swobody to liczba niezależnych ruchów, jakie ciało jest w stanie realizować w przestrzeni(żaden z tych
ruchów nie może być uzyskany poprzez superpozycję pozostałych). Przykładem ruchu o jednym stopniu swobody
jest winda. Maksymalna liczba stopni swobody dla ciała sztywnego całkowicie swobodnego wynosi 6 (trzy ruchy
w stosunki do osi układu współrzędnych i trzy obroty względem osi równoległych do osi układu współrzędnych)

2. Opisać metody wyznaczania prędkości punktów ciała sztywnego w ruchu płaskim(przykłady)



Analityczna

⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗



Metoda rzutów

w przestrzeni punkty A i B są zawsze w tej samej odległości od siebie



Metoda chwilowego środka obrotu



Metoda prędkości i przyspieszeń względnych

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Najczęściej rozpatruje się względem osi x i y, więc rozkłada się te wektory na składowe równoległe do tych osi.

3. Podać przykład ilustrujący zasadę zachowania energii mechanicznej(rysunki, wzory)

gdy działają tylko siły zachowawcze

+zestaw IV pyt 6

4. Prędkość i przyspieszenie punktu we współrzędnych prostokątnych i biegunowych

⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

̇

̇

Analogicznie przy przyśpieszeniach:

Prostokątne:

5. Ruch obrotowy wokół stałej osi – określić prędkość, pochodną wektora prędkości, przyspieszenie styczne i

normalne.

̇ ̈

6. Masowe momenty względem osi, punktu; momenty dewiacyjne – podać ich definicje(wzory)

Moment bezwładności rozpatrywanego ciała sztywnego względem dowolnej osi nazywamy granicę, do której
dąży suma iloczynów mas(na które podzieliliśmy ciało) przez kwadraty odległości tych elementów od
wspomnianej osi, gdy liczba elementów dąży do nieskończoności, przy jednoczesnym dążeniu do zera wszystkich
ich wymiarów.

∫

∫

∫

Momentem statycznym układu punktów materialnych względem dowolnego punktu O nazywamy sumę
iloczynów mas tych punktów i ich promieni – wektorów.

⃗⃗⃗⃗ ∑

⃗⃗⃗ ∫

⃗⃗⃗

⃗⃗⃗

Momentem dewiacji(zboczenia) w płaszczyźnie dwóch osi układu współrzędnych kartezjańskich jest całka
iloczynów mas i ich odległości od płaszczyzn. Jest on zależy od rozkładu mas i kierunku osi trzeciej.

∫

∫

∫

Zestaw IV

1. Jaka jest różnica pomiędzy współczynnikiem tarcia tocznego, a współczynnikiem tarcia ślizgowego?

2. Co to jest chwilowy środek obrotu i jak go znajdujemy(rysunek)?

Chwilowy środek obrotu to punkt w ruchu płaskim danego ciała, którego prędkość równa jest zeru. W
rozpatrywanej chwili punkty badanej figury płaskiej mają takie same prędkości, jakie miałyby w ruchu
obrotowym tej figury wokół punktu C. Znajdywanie chwilowego środka obrotu polega na wyprowadzeniu
prostych prostopadłych do wektorów prędkości punktów, dla których szukamy chwilowego środka obrotu. Punkt
przecięcia się tych prostych jest poszukiwanym przez nas punktem.

3. Zilustrować i opisać charakterystykę amplitudową drgań układu o jednym stopniu swobody(rysunki,

wzory)

⁄

√(

)

(

)

(

)

4. Dowolny układ sił, warunki równowagi dowolnego układu sił(układ płaski i przestrzenny – przykłady).

Aby dowolny układ sił o liniach działania leżących w jednej płaszczyźnie był w równowadze, suma geometryczna
tych sił oraz suma algebraiczna ich momentów względem dowolnie obranego punktu tej płaszczyzny muszą być
równe zeru.

∑

∑

∑

Dla najogólniejszego przypadku sił działających na ciało sztywne mamy sześć równań równowagi, które wyrażają,
że sumy rzutów siły na trzy osie układu współrzędnych oraz sumy momentów sił względem tych osi są równe
zeru.

∑

∑

∑

∑

∑

∑

5. Opisać przypadki występowania przyspieszenie Coriolisa – skąd ono wynika(wzory, rysunki)

6. Opisać zasadę zachowania energii mechanicznej dla układu punktów materialnych, podać przykłady.

Gdy na układ punktów materialnych działają siły zachowawcze, wówczas suma energii kinetycznej i potencjalnej
tego układu jest wielkością stałą.

(

)

√

Zestaw V

1. Moment pary sił jako wektor swobodny, równoległe przesunięcie siły.

Moment pary siły jest niezależny od punktu względem którego go wyznaczono

⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Moment pary sił – P i P, przyłożonych odpowiednio w punktach O i A,
równy jest momentowi względem punktu O danej siły P przyłożonej do punktu A.

2. Co nazywamy ruchem kulistym i jakie są jego cechy(rysunek – współrzędne Eulera)?

Ruch kulisty to ruch ciała sztywnego, którego jeden punkt, zwany środkiem ruchu kulistego, jest unieruchomiony.

kąt nutacji, kąt między osią układu związanego z ciałem, a
osią OZ nieruchomego układu współrzędnych.
kąt precesji, zawarty między osią OX, a prostą ON będącą
śladem płaszczyzny na nieruchomej płaszczyźnie OXY
kąt obrotu własnego, zawarty między osią , a linią węzłów
ON.

3. Opisać szczególny przypadek ruchu kulistego – precesję regularną(rysunki, wzory).

Istnieje szczególny przypadek ruchu kulistego ciała sztywnego, który
charakteryzuje się tym, że kąt nutacji jest stały, a prędkość kątowa
obrotu własnego i prędkość kątowa precesji mają stałe wartości.

̇

̇

Ponieważ ̇ , więc prędkość kątowa nutacji jest równa zeru i
chwilowa prędkość kątowa ciała

⃗⃗⃗ równa jest sumie geometrycznej

prędkości kątowej obrotu własnego i prędkości kątowej precesji,
czyli:

⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Chwilowa prędkość kątowa

⃗⃗⃗ ma więc stałą wartość bezwzględną, a

oprócz tego jest nachylona pod stałymi kątami do osi OZ i osi

4. Środek siły równoległych – definicja; określić pojęcie środka masy, środka ciężkości(wzory, rysunki).

@Zestaw 2 pytanie 1

5. Prędkość, przyspieszenie kątowe i liniowe w ruchu kulistym(wzory, przykłady).

⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗

⃗

⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗

(

⃗⃗⃗⃗

)

⃗⃗⃗

⃗⃗⃗ ⃗

⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗

⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗

⃗⃗⃗

⃗⃗⃗

⃗⃗⃗

⃗⃗⃗

6. Na czym polega analityczna metoda obliczania prędkości i przyśpieszeń w ruchu płaskim(przykład)?

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

{

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⁄

⁄

⁄

⁄

√(

⁄

)

(

⁄

)

√

(

)

Zestaw VI

1. Przedstawić ruch kulisty jako chwilowy ruch obrotowy(rysunki, wzory).

Ruch kulisty jest chwilowym ruchem obrotowym wokół osi chwilowej, przechodzącej przez środek ruchu
kulistego O(wyznaczenie polega na poprowadzeniu prostej łączącej środek ruchu kulistego O z punktem bądź
punktami bryły, które w danej chwili mają zerową prędkość).

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗

⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

2. Zasada zachowania krętu dla układu punktów materialnych i bryły(przykład, rysunek, określić pochodną

wektora krętu).

@ Zestaw 1 pytanie 3

3. Energia kinetyczna układu punktów materialnych(twierdzenia energetyczne, przykład, wzory)



Przyrost energii kinetycznej układu punktów materialnych w skończonym przedziale czasu równy jest sumie
prac, które wykonały w tym samym czasie wszystkie siły zewnętrzne i wszystkie siły wewnętrzne działające
na dany układ.



Praca sił wewnętrznych w ciele sztywnym przy dowolnym przemieszczeniu tego ciała jest równa zeru.



Przyrost energii kinetycznej ciała stycznego w skończonym przedziale czasu równy jest sumie prac, które
wykonały w tym samym czasie wszystkie siły zewnętrzne działające na to ciało.

(

)

4. Opisać zagadnienie tarcia tocznego(rysunki)

5. Przyśpieszenie kątowe ciała sztywnego w ruchu kulistym o precesji regularnej(rys, wzory)

⃗

⃗⃗⃗⃗

⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗

6. Co to jest stożek tarcia, kąt tarcia, podać przykład.

Kąt tarcia to maksymalny kąt, na jaki może być odchylona linia działania całkowitej reakcji R od powierzchni
normalnej do powierzchni styku.

Dla dowolnej płaszczyzny normalnej do powierzchni styku linia działania siły P musi leżeć wewnątrz lub co
najwyżej na powierzchni kołowego stożka, którego tworzące tworzą z normalną ON kąty równe kątowi tarcia .
Stożek ten nazywany jest stożkiem tarcia.