MECHANIKA I BUDOWA MASZYN

Ćw. 5. Estymacja punktowa i przedziałowa

1

1. Przeprowadzono eksperyment w celu zbadania jak ludzie rozróżniają punkty w „chmurze” punktów.

Poproszono siedem osób o obserwację kilku rysunków z wieloma punktami. Każdy rysunek
pokazywano każdej osobie cztery razy w losowym porządku przez 5 sekund za każdym razem. Każda
osoba była proszona o podanie (ocenę, odgadnięcie) liczby punktów na rysunku. Dla obrazka ze 161
punktami średnia dla czterech odpowiedzi była następująca:

Osoba

1

2

3

4

5

6

7

Średnia liczba punktów

146

182

152,5

165

139,5

132

155

Załóżmy, że odgadywane liczby mają rozkład normalny ze średnią 161 i odchyleniem
standardowym 16.

(a) Określ, jaki parametr jest interesujący w tym doświadczeniu. Jaka jest jego ocena?

153,143

(b) Oblicz 95% przedział ufności dla oczekiwanej liczby zauważonych punktów.

(141,288;164,992)

(c) Czy badani wykazują tendencję do przecenienia czy niedocenienia liczby punktów na rysunku?

(d) Badacz chce mieć przedział ufności o długości co najwyżej 10. Oblicz (w przybliżeniu), ile osób

powinno wziąć udział w eksperymencie

.

40

2. Zużycie wody w fabryce podlega losowym wahaniom w kolejnych dniach roku. Na podstawie 365

obserwacji stwierdzono, że średnie dzienne zużycie wynosi 102 hl, a wariancja 81 hl

2

.

(e) Przyjmując współczynnik ufności 0,98 oceń średnie dzienne zużycie wody w fabryce.

[(100,9;103,1)]

(f) W następnym roku cena wody ma wzrosnąć. Produkcja będzie musiała być ograniczona, jeżeli

średnie dzienne zużycie wyniesie co najmniej 122 hl. Czy na podstawie uzyskanego wyniku jest to
prawdopodobna sytuacja?

3. Badacz zajmujący się możliwością zastosowania wodorostów do karmienia zwierząt badał zawartość

białka w wodorostach. Na podstawie 18 pomiarów z 50-kilogramowych próbek wodorostów uzyskał
dla nich średnią 3,6 kg i odchylenie standardowe 0,8 kg. Przyjmijmy, że zawartość białka w
wodorostach ma rozkład normalny, ale parametry nie są znane.
(a) Podaj wartość estymatora punktowego średniej i wariancji populacji.

3,6;0,64

(b) Oceń metodą przedziałową prawdziwą średnią zawartość białka w 50-kilogramowych porcjach

wodorostów (przyjmij współczynnik ufności 0,95).

(3,202;3,998)

(c) Zbuduj 95% przedział ufności dla wariancji zawartości białka.

(0,36;1,438)

4. W badaniach nad czasem związania nowej mieszanki cementu inżynier chciał ustalić wielkość próby

(tzn. liczbę przeprowadzonych doświadczeń) wymaganą, żeby osiągnąć żądaną precyzję estymacji
średniej. Z innych doświadczeń inżynier wie, że wariancja badanej cechy wynosi 25.

(a) Jak wielką należy mieć próbę, żeby mieć 95% pewności, że błąd estymacji nie przekracza 1?

97

(b)

Jak zmieni się wielkość próby, jeżeli zmniejszymy wymagania (precyzja, ufność)?

5. W celu oceny nowego procesu produkcji syntetycznych diamentów sprawdzono wagę [karaty]

diamentów wyprodukowanych tą metodą uzyskując wyniki: 0,46 0,61, 0,52 0,48 0,57 0,54. Przyjmijmy,
że badana zmienna ma rozkład normalny.
(a) Wyznacz oceny punktowe średniej i wariancji wagi diamentów produkowanych tą metodą. Określ

populację i badaną zmienną.

0,53; 0,00312

(b) Oceń metodą przedziałową z ufnością 0,95 średnią badanej populacji. Uzasadnij wybór metody

budowy przedziału ufności.

(0,471; 0,589)

(c) Zwiększ ufność z jaką chcemy wnioskować i porównaj długości uzyskanych przedziałów ufności.
(d) Wybierz współczynnik ufności i oceń za pomocą przedziału ufności wariancję badanej populacji.

Uzasadnij wybór metody budowy przedziału ufności.

MECHANIKA I BUDOWA MASZYN

Ćw. 5. Estymacja punktowa i przedziałowa

2

6. W pewnej firmie badano liczbę wypijanych dziennie filiżanek kawy. Wśród przebadanych 120

pracowników uzyskano następujące odpowiedzi:

Liczba filiżanek kawy 0 1 2 3 4
Liczba osób

14 28 36 28 14

a) Przyjmując współczynnik ufności 0,95 wyznacz przedział ufności dla frakcji osób pracujących w tej

firmie, które:

(i) wypijają do 2 filiżanek kawy dziennie (włącznie);

(56,5%;73,5%)

(ii) wypijają do 3 filiżanek kawy dziennie (włącznie.

(82,6%;94%)

b) Oceń metodą przedziałową z ufnością 0,95 ile średnio filiżanek kawy wypija pracownik w badanej

firmie.

(1,787;2,213)

7. Przeprowadzano obserwacje dotyczące opóźnień pociągów. Stwierdzono, że spośród 1000 losowo

wybranych 160 przyjechało z opóźnieniem. Zakładając, że opóźnienia pociągów są niezależne od siebie
i jednakowo prawdopodobne, znajdź przedział ufności dla prawdopodobieństwa opóźnienia pociągu (z
ufnością 0,9).

(0,14;0,18)

Pani K zna ten wynik i pewnego dnia tak się złożyło, że wyszła zbyt późno i nie wie czy zdąży na
pociąg. Postanawia zaryzykować i spróbować. Czy podjęła słuszną decyzję?

8.

Na próbie 200 dorosłych Polaków przeprowadzono sondaż opinii dotyczącej uczestnictwa w wyborach
prezydenckich. Uzyskano 35% pozytywnych odpowiedzi. Ile osób należałoby wylosować do
następnego badania, aby na poziomie ufności 98% błąd oszacowania nie przekroczył 3%?

1368

9. Interesująca jest proporcja p osób, które mają problem ze wzrokiem w pewnej populacji. Ile osób należy

przebadać, aby błąd estymacji był ±0,05 i ufność dotycząca oceny 0,98, jeżeli:

a) nic nie wiadomo o wielkości p;

541

b) wiadomo z wcześniejszych badań, że p wynosi około 0,3?

454