Metody numeryczne

Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych

Wydział Elektrotechniki, Informatyki i Telekomunikacji

Uniwersytet Zielonogórski

Elektrotechnika stacjonarne-dzienne pierwszego stopnia z tyt. inżyniera

Informatyka stacjonarne-dzienne drugiego stopnia z tyt. magistra inżyniera

Aproksymacja

Laboratorium, prowadzący: mgr inż. Błażej Cichy

Rok akademicki 2010/2011

1

Nieco teorii

1.1

Definicje norm

Istnieje wiele definicji norm dla błędów. Oto trzy najszerzej stosowane:

Błąd maksymalny: E

∞

(f ) = max

1≤k≤N

{|f (x

k

) − y

k

|}

(1)

Błąd średni: E

1

(f ) =

1

N

N

X

k=1

|f (x

k

) − y

k

|

(2)

Błąd średniokwadratowy: E

2

(f ) =

1

N

N

X

k=1

|f (x

k

) − y

k

|

2

(3)

1.2

Wielomian aproksymacyjny stopnia pierwszego

Gdy mamy n węzłów szukamy funkcji liniowej o następującej postaci:

y = ax + b

(4)

Współczynniki a i b można wyznaczyć rozwiązując następujący układ dwóch równań (tzw.
układ normalny):

n

X

k=1

x

2
k

!

a +

n

X

k=1

x

k

!

b =

n

X

k=1

x

k

y

k

n

X

k=1

x

k

!

a + nb =

n

X

k=1

y

k

(5)

1.3

Aproksymacja wielomianem dowolnego stopnia

Uogólniony wzór na układ normalny z którego można wyznaczyć współczynniki wielo-

mianu aproksymacyjnego dowolnego stopnia dla zbioru (x

j

, y

j

) o n elementach prezentuje

1

Aproksymacja

2

się następująco:

m

X

i=0

a

i

n

X

j=0

x

i+k
j

!

=

n

X

j=0

y

j

x

k
j

,

k = 0, 1, 2, ..., m

(6)

1.4

Aproksymacja wielomianem tygonometrycznym

Poniższe zależności są określone dla parzystej liczby węzłów. Wielomian interpolacyjny

rzędu m dla n węzłów jest dany następującym wzorem:

T

m

(x) =

a

0

2

+

m

X

j=1

(a

j

cos(jx) + b

j

sin(jx))

(7)

Współczynniki a

j

oraz b

j

(zwane także współczynnikami Fouriera) wyznaczamy według

następujących wzorów:

a

j

=

2

n

n

X

k=1

f (x

k

) cos(jx

k

), j = 0, 1, 2, ..., m

b

j

=

2

n

n

X

k=1

f (x

k

) sin(jx

k

), j = 1, 2, ..., m

(8)

1.5

Ortogonalny wielomian aproksymacyjny – wielomiany Gra-
ma

Wielomiany tego typu oferują najlepszy w sensie aproksymacji średnikwadratowej wie-

lomian przybliżający daną funkcję. Wielomian aproksymacyjny dla m równo odległych
węzłów ma następującą postać:

P

m

(x) =

m

X

k=0

c

k

s

k

ˆ

F

(n)

k

 x − x

0

h



(9)

Oznaczenie ˆ

F określa wielomiany Grama:

ˆ

F

(¯

n)

k

(q) =

k

X

s=0

(−1)

s

 k

s

  k + s

s



q(q − 1) . . . (q − s + 1)

n(n − 1) . . . (n − ¯

n + 1)

(10)

Działają one na n+1 węzłach a zmienna k przyjmuje następujące wartości: k = 0, 1, 2, ..., m
Współczynniki s

k

i c

k

określamy następująco:

c

k

=

n

X

i=0

y

i

ˆ

F

(n)

k

(x

i

),

s

k

=

n

X

q=0

[ ˆ

F

(n)

k

(q)]

2

(11)

1.6

Aproksymacja wielomianem Chebyszewa

Wielomian aproksymujący Czebyszewa stopnia n na przedziale h−1, 1i jest określony

jako następująca suma:

P

N

(x) =

n

X

j=0

c

j

T

j

(x)

(12)

Aproksymacja

3

Oznaczeniu T

j

(x) oznacza odpowiedni wielomian Chebyszewa (definicja znajduje się w

wykładzie dot. interpolacji). Współczynniki c

j

są określone w następujący sposób dla

wyznaczenia wartości c

0

korzystamy z poniżej relacji :

c

0

=

1

n + 1

n

X

k=0

f (x

k

)

(13)

Pozostałe wartości współczynników wyznaczamy w następujący sposób:

c

j

=

2

n + 1

n

X

k=0

f (x

k

) cos

 jπ(2k + 1)

2n + 2



j = 1, 2, 3, . . . , n

(14)

Naturalnie aproksymacji dokonuje się na ściśle określonych węzłach wyznaczanych według
wzoru:

x

k

= cos

 π(2k + 1)

8



(15)

1.7

Dopasowanie funkcji y = Ax

M

Podobnie jak w poprzednim przypadku dysponujemy zbiorem N par {x

i

, y

i

}. Dla

krzywej aproksymacyjnej w postaci:

y = Ax

M

(16)

Dla arbitralnie wybranej wartości M współczynnik A wyznaczamy według następującego
wzoru:

A =

P

N
k=1

x

M
k

y

k

P

N
k=1

x

2M
k

(17)

1.8

Dopasowanie funkcji y = Ce

Ax

Dopasowanie danych do następującej funkcji wykładniczej:

y = Ce

Ax

(18)

Wymaga pewnym elementarnych przekształceń. W pierwszej kolejności należy z logaryt-
mować obydwie strony:

ln(y) = Ax + ln(C)

Po wprowadzenie dodatkowych oznaczeń: Y = ln(y), X = x, B = ln(C). Otrzymamy
liniową relację pomiędzy zmiennymi X i Y :

Y = AX + B

(19)

Współczynniki A, B wyznaczamy za pomocą układu (??). Natomiast współczynnik C
obliczamy następująco: C = e

B

.

Aproksymacja

4

2

Zadania

1. Wyznaczyć wielomian aproksymacyjny pierwszego stopnia (funkcja liniowa) dla na-

stępujących danych:

x

i

−1 0 1 2 3 4 5

6

y

i

10

9 7 5 4 3 0 −1

Narysować powyższe punkty oraz wykres wielomianu aproksymacyjnego. Wyzna-
czyć błędy dla otrzymanej funkcji.

2. Znaleźć wielomian aproksymujący stopnia drugiego dla następujących danych:

x

i

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

y

i

1.026 0.768 0.648 0.401 0.272 0.193

3. Dokonać interpolacji wielomianem trygonometrycznym następujące dane:

x

i

π

3

π

2

2π

3

π

4π

3

3π

2

y

i

−1 1 −1 1 −1

1

Dla jakiego rzędu n = 1, 2, 3, 4 otrzymamy najlepsze przybliżenie.

4. Wyznaczyć wielomian aproksymacyjny stopnia drugiego dla następujących danych:

x

i

1

1.5

2

2.5

3

y

i

3 4.75 7 9.75 13

Następnie wyznaczyć ortogonalny wielomian aproksymacyjny stopnia drugiego z
wykorzystaniem wielomianów Grama. Porównać obydwa otrzymane wielomiany.

5. W tabeli zostały zebrane dane z pewnego eksperymentu:

Czas w [s] Odlego w [m]

0.200

0.1960

0.400

0.7850

0.600

1.7665

0.800

3.1405

1.000

4.9075

Okazuje się, że dane z tabeli są opisane za pomocą następującej relacji: d =

1
2

gt

2

,

gdzie d jest odległością w metrach a t to czas mierzony w sekundach. Wyznaczyć
wartość przyspieszenia ziemskiego g.

6. Wyznaczyć krzywą typu e

x

dla następujących danych.

x

i

0

1

2

3

4

y

i

1.5 2.5 3.5 5.0 7.5

7. Wyznaczyć wielomian aproksymujący stopnia co najwyżej drugiego dla następującej

funkcji f (x) = sin(x) na przedziale h0, π/2i.

8. Znaleźć postać wielomianu Czebyszewa dla funkcji e

x

na przedziale h−1, 1i. Zasto-

sować cztery węzły.

Aproksymacja

5

Literatura

[1] Bj¨

arck Ake i Dahlquist Germund. Metody numeryczne. PWN, Warszawa, 1987.

[2] Jerzy Brzózka i Lech Dorobczyński.

Programowanie w MATLAB.

Warszawa,

Wydanie I, 1998.

[3] Zenon Fortuna, Bohdan Macukow i Janusz Wąsowski. Metody numeryczne. WNT,

Warszawa, 1995.

[4] Jerzy Klamka i in. Metody numeryczne. Politechnika Śląska, Gliwice, 1998.

[5] David Kincaid i Ward Cheney. Analiza numeryczna. WNT, Warszawa, 2006.

[6] Anna Kamińska i Beata Pańczyk. Matlab. Ćwiczenia z . . . , Przykłady i zadania.

Warszawa, Wydanie I, 2002.

[7] Wanat Kazimierz. Algorytmy numeryczne. Helion, Gliwice, 1994.

[8] Bogumiła Mrozek i Zbigniew Mrozek. MATLAB i Simulink. Poradnik użytkownika.

Wydanie II, 2004.

[9] Jurij Povstenko.

Wprowadzenie do metod numerycznych.

Akademicka Oficyna

Wydawnicza EXIT, Warszawa, Wydanie drugie poprawione i uzupełnione, 2005.

[10] Rudra Pratap. MATLAB 7 dla naukowców i inżynierów. PWN, 2007.

[11] Wiesława Regel. Wykresy i obiekty graficzne w MATLAB. Warszawa, Wydanie I,

2003.

[12] Marcin Stachurski. Metody numeryczne w programie Matlab. Warszawa, Wydanie I,

2003.