1

Badania

operacyjne

(#6)

dr inż. Marek Rabiński

Wyższa Szkoła Działalności Gospodarczej

2

Badania operacyjne (część 6)

z

Teoria gier

z

Pojęcia podstawowe

z

Historia teorii gier

z

Modele gier

z

Równowaga Nasha

z

Prezentacja różnych gier

3

Pojęcia podstawowe

z

Działanie (ang: course of action) – zmiana, transformacja stanu
systemu lub aktywność systemu podporządkowana osiągnięciu celu,
dążenie do osiągnięcia konkretnego rezultatu. Skutkiem działania są
wywołane przez nie zmiany stanów systemu.
Działanie może być świadome lub nieświadome, konstruktywne lub
destrukcyjne. Możliwość przewidzenia skutków działania pozwala
wybrać takie alternatywy działań, które spełnią zadane kryteria, np.
minimalizują jakiś wskaźnik jakości lub zwiększają skuteczność w
sensie prakseologicznym.
W miarę pojawiania się w działaniu coraz większej liczby elementów
nowatorskich, niepowtarzalnych – staje się ono coraz bardziej twórczym
i w niektórych dziedzinach nazywane bywa twórczością. Poczynając od
rzemiosła artystycznego, poprzez projektowanie, komponowanie –
działanie coraz bardziej twórcze.

4

Pojęcia podstawowe

z

Decyzja (ang: decision) – nielosowy wybór konkretnego wariantu

działania lub podzbioru ich alternatyw, świadome rozstrzygnięcie w

sytuacji wyboru między różnymi możliwościami działania. Podjęta

decyzja w istotny sposób wpływa na dalsze zachowanie systemu –

zmienia lub transformuje jego przyszłe stany. Wyboru wariantu

dokonuje się na podstawie kryterium decyzyjnego wśród znanych i

możliwych do osiągnięcia celów lub sposobów działania.
Przykład alternatywnych sposobów podzielenia pomarańczy – na

ćwiartki, cząstki równolegle do osi lub prostopadle (plasterki). Wybór

najwłaściwszego zależy od postawionego przed działaniem celu.
Przykład: decyzje związane z kierowaniem statkiem polegają na

dokonywaniu wyborów spośród repertuaru możliwych położeń steru

(kąta jego wychylenia i momentu zmiany kursu) oraz następujących

stanów silnika – cała naprzód, powoli naprzód, maszyny stop, powoli

wstecz, cała wstecz.

5

Pojęcia podstawowe

z

Decydent (ang: decision maker) – osoba lub instytucja podejmująca
decyzję.

z

Kryterium decyzyjne (ang: criterion) – zdefiniowany przez decydenta
wskaźnik, pozwalający ocenić rozważane warianty pod względem
spełniania określonych celów.

z

Strategia (ang: strategy) – zasada nakazująca w sytuacji
podejmowania decyzji podjęcie określonego działania ze zbioru
dostępnych działań alternatywnych, przyporządkowująca wystąpieniu
konkretnej sytuacji podjęcie określonych działań. Wybór strategii zależy
od zasobu informacji posiadanych w chwili podejmowania decyzji. Np.
strategia marketingu – sposób prowadzenia działań na rynku, mający
na celu zachęcenie do nabywania towaru.
Określenie ‘strategia' pierwotnie było związane ze sztuką dowodzenia.

6

Pojęcia podstawowe

z

Walka, konflikt (ang: conflict) – świadome działania co najmniej dwóch
różnych podmiotów, dążących do niezgodnych ze sobą celów,
usiłujących przeszkadzać sobie nawzajem w realizacji swoich celów.
Pojęcie walki uogólnia wszelkie przypadki działań przeszkadzających
(utrudniających) innym w ich dążeniach, jest też uniezależnione od
specyficznych cech walki zbrojnej jako takiej. Obejmuje nie tylko
przypadki działań militarnych ale także rywalizację gatunków,
wszelkiego rodzaju współzawodnictwo, konkurencję handlową, debaty
parlamentarne, spory prawne, dyskusje, starania o rękę lub względy
wybranki, grę w szachy, zawody sportowe. Działania walki mogą
obejmować fizyczne zniszczenie drugiej jednostki, fizyczne lub
psychiczne obezwładnienie, podporządkowanie sobie, pozbawienie
narzędzi działania, dostępu do określonych miejsc w przestrzeni lub
zasobów (między innymi informacji), możliwości wykonywania
skutecznych działań przez stronę przeciwną.

2

7

Pojęcia podstawowe

z

Teoria gier (ang: game theory) – matematyczna metoda analizy
zachowań racjonalnych przez niezależnego decydenta, w sytuacjach
gdy najlepsza strategia uczestnika zależy od przewidywań posunięć
przeciwnika. Badania zachowań racjonalnych w sytuacjach gdy wybór
decydenta wpływa na innych a wybory dokonywane przez innych
wpływają na niego.

8

Historia teorii gier

z

I–VI wiek – wykształcenie się formy Talmudu babilońskiego ze zbiorem

utrwalonych tradycją rozwiązań prawa karnego, cywilnego oraz norm życia

społecznego. Jednym z omawianych zagadnień był następujący problem

kontraktu małżeńskiego. Mężczyzna ma trzy żony, których kontrakty małżeńskie

gwarantują w przypadku jego śmierci odpowiednio 100, 200 i 300 jednostek

pieniężnych. Jeśli mąż umiera pozostawiając majątek w wysokości 100

jednostek – Talmud poleca równy podział majątku między wdowy, jeśli wynosi

on 300 – podział proporcjonalny 50, 100 i 150. Natomiast w przypadku 200 –

podział 50, 75 i 75. W 1985 roku odkryto, że sugerowane proporcje wynikają z

rozwiązania zagadnienia zgodne z teorią gier kooperacyjnych.

z

1713 – James Waldegrave podaje rozwiązanie mieszanej strategii minimaksu

dla dwuosobowej gry w karty.

z

1838 – Augustin Cournot opisuje w jednym z rozdziałów swojej książki

przypadek konkurencji producentów duopolu, wykorzystując koncepcję

nazwaną później równowagą Nasha.

z

1881 – Francis Ysidro Edgeworth przedstawia esej na temat krzywej

rozwiązania zagadnienia handlu między poszczególnymi osobami.

9

Historia teorii gier

z

1925 – polski matematyk Hugo Dionizy Steinhaus publikuje po niemiecku

pierwsze prace z teorii gier.

z

1928 – John von Neumann przeprowadza dowód zagadnienia minimax w

artykule „Zur Theorie der Gesellschaftsspiele”. Zgodnie z nim każda

dwuosobowa gra o sumie zerowej ze skończoną liczbą czystych strategii dla

każdego gracza jest zdeterminowana, to znaczy po dopuszczeniu strategii

mieszanych cała różnorodność gry ma dokładnie jeden wektor indywidualnie

racjonalnych wypłat.

z

1944 – wydanie książki „Teoria gier i zachowań ekonomicznych” (Theory of

Games and Economic Behavior) przez Johna von Neumanna i Oskara

Morgensterna. Książka zostaje uznana za punkt zwrotny rozwoju teorii gier.

z

1950 – Melvin Dresher i Merrill Flood z Rand Corporation przedstawiają

modelową sytuację znaną w teorii gier jako ‘dylemat więźnia’.

z

1981 – R. J. Aumann wprowadza koncepcję gier powtarzalnych, rozgrywanych

przez automat.

z

1982 – publikacja „Evolution and the Theory of Games” Johna Maynarda

Smitha.

10

Hugo Dionizy Steinhaus (1887–1972)

z

Polski matematyk ze Szkoły Lwowsko–
Warszawskiej.
Znany z niezwykle ciętych określeń i
specyficznego humoru.

11

John von Neumann (1903–1957)

z

Amerykański matematyk pochodzenia
węgierskiego, uznawany za ojca
informatyki i techniki komputerowej.
Współautor „Theory of Games and
Economic Behavior” (1944).

12

Oskar Morgenstern (1902–1976)

z

Amerykański matematyk pochodzenia
austriackiego (urodzony w Zgorzelcu).
Współautor „Theory of Games and Economic
Behavior” (1944).

3

13

John Forbes Nash, jr. (1928–)

z

Matematyk amerykański, twórca
podstaw teorii gier ekonomicznych.
Od 1958 roku popadł w schizofrenię
maniakalną. Zaczął z niej wychodzić
dopiero w latach 1990-tych. Na jego
biografii oparto film „Piękny umysł”.
1994 rok – laureat nagrody Nobla w
dziedzinie ekonomii.

14

Zasada minimaks

z

Metoda rozwiązywania zagadnień decyzyjnych polegająca na
minimalizowaniu maksymalnych możliwych strat. Zainicjowana została
dla gier dwuosobowych o sumie zero, obejmując przypadki gdy obaj
gracze podejmują na przemian decyzje lub jednocześnie. Obecnie
teoria obejmuje również zagadnienia z niepełną informacją.

15

Modele gier

z

Normalna postać gry w formie ustalonej listy graczy, zbioru strategii
każdego gracza i macierzy wygranych. O decyzji przeciwnika gracz jest
informowany po podjęciu przez siebie swojej decyzji.

z

Ekstensywna (rozwinięta) forma zapisu gry, w formie drzewa
decyzyjnego – spójnego grafu z wyróżnionym wierzchołkiem początku.

z

Diagramy przepływu do przedstawienia skomplikowanych gier
wieloosobowych.

16

Racjonalność i strategia dominująca

z

Racjonalność wymaga wybierania strategii dominującej, bez względu na
to, czy pozostali są racjonalni.

z

Racjonalność i strategie dominujące wyznaczają równowagę Nasha.

z

Nie jest wymagana wiedza o poczynaniach przeciwnika ani prawidłowe
przekonania co do oceny sytuacji.

17

Równowaga Nasha

z

Równowaga Nasha jest profilem strategii dla każdego z graczy, w której
każda jest najlepszą odpowiedzią na jakąkolwiek inną strategię
rozgrywania gry przez przeciwnika (nie istnieje jakakolwiek inna
strategia, której wykorzystanie mogłoby doprowadzić do wyższych
wypłat, w każdej sytuacji zastosowania przez przeciwnika jakiejkolwiek
innej strategii).

z

Jest zbiorem takich strategii (po jednej dla każdego gracza), że żaden z
graczy nie jest w stanie osiągnąć zysku na jednostronnej zmianie swojej
strategii dopóki pozostali pozostają przy strategiach równowagi. Dla
szerokiego zakresu gier równowaga zawsze istnieje.

z

Koncepcja równowagi Nasha jest zbiorem strategii, które są najlepszymi
odpowiedziami na strategie przeciwników – uwzględnia więc ich
działania (w odróżnieniu od strategii dominującej).

18

Równowaga Nasha

z

Gry o sumie niezerowej są związane z konfliktem interesów graczy.

z

Niekooperacyjne gry polegają na braku współpracy graczy.

z

Każda gra macierzowa ma rozwiązanie w strategiach mieszanych.

z

Równowaga punktu siodłowego gry dwuosobowej o sumie stałej –
optymalne strategie prowadzące do punktu siodłowego są dla każdego
z graczy optymalne. Odejście od tej optymalnej strategii może tylko
pogorszyć wynik gracza.

z

Wyznaczanie strategii mieszanych następuje na drodze rozwiązania
odpowiednio sformułowanego zagadnienia programowania liniowego.

z

Podstawa równowagi Nasha żartobliwie bywa określana jako – „myślę,
że przeciwnik zrobi ruch X, ponieważ myśli, że zrobię Y, więc
powinienem zrobić ruch Z.”

4

19

Równowaga Nasha

9, 7

4, 5

6, 6

G

12, 3

5, 4

2, 2

F

6, 4

3, 0

4, 5

E

10, 2

2, 3

3, 1

D

Drugi
gracz

C

B

A

Pierwszy gracz

20

Paraboloida hiperboliczna

21

Paraboloida hiperboliczna

z

Punkt siodłowy

22

Gry symetryczne/asymetryczne

z

Gry symetryczne (wypłaty dla konkretnego gracza zależą od
zastosowanych przez drugą stronę strategii, a nie od tego przez kogo
są rozgrywane)

z

‘Dylemat więźnia’

z

‘Cykor’

z

‘Walka płci’

z

‘Polowanie na jelenia’

z

Gry asymetryczne (strategie dla graczy są różne lub pomimo
identycznych strategii wypłaty powodują asymetrię), o asymetryczności
może przesądzać rodzaj sytuacji generowanej przez zasady gry i/lub
kolejność podejmowania decyzji

z

Gra w ultimatum

z

Gra w dyktatora

23

Gry z naturą

z

Przeciwnik (natura) nie stosuje złośliwych strategii wymierzonych w
grającego. W naturze np. deszcz pada z pewnym
prawdopodobieństwem a nie dlatego by zniweczyć wysiłek zasiania
plonów przez rolnika (przeciwnika natury w tej grze).

24

Gry o sumie zerowej/niezerowej

z

Gry o sumie zerowej (wypłata jednego gracza jest stratą
drugiego/drugich)

z

Poker

z

Gra w ultimatum

z

Pasujące monety

z

Go

z

Szachy

z

Gry o sumie niezerowej

z

Dylemat więźnia

5

25

Gry jednoczesne/sekwencyjne

z

Gry jednoczesne (obaj gracze wykonują swój ruch jednocześnie lub
wykonujący ruch jako drugi nie uwzględnia posunięcia poprzedniego
gracza)

z

Gry sekwencyjne/dynamiczne (gracz posiada pewną wiedzę, choć nie
zawsze pełną, o poprzednim posunięciu przeciwnika)

z

Gra w ultimatum (pełna wiedza)

z

‘Stonoga’ (pełna wiedza)

26

Dylemat więźnia

z

Żadna kolumna ani wiersz nie dominują nad pozostałymi – rozwiązanie
może istnieć tylko w strategiach mieszanych. Temptation(pokusa)
>Reward(nagroda)>Punishment(kara)>Sucker(frajer),
T>R>P>=S lub T>=R>P>S

P, P
-0.5, -0.5

S, T
-10, 0

odmowa

T, S
0, -10

R, R
-2, -2

współpraca

Drugi
więzień

odmowa

współpraca

Pierwszy więzień

‘Dylemat więźnia’

27

Dylemat więźnia (sekwencyjny)

z

T+S<2R

28

Warianty ‘dylematu więźnia’

z

Wyścig zbrojeń – zimna wojna w latach 1950–1980

z

Wymiana typu ‘kot w worku’ (obie strony wymieniają się
nieprzezroczystymi torbami; zakładając, że w jednej są pieniądze a w
drugiej towar)

z

Podkładanie sobie agentów szpiegowskich przez hackerów
komputerowych

z

Dylemat rowerzystów z peletonu

z

Beczka z wódką przynoszoną przez gości na wesele

29

Rywalizacja koncernów tytoniowych

z

Gracze: firmy Reynolds i Philip Morris

z

Strategie: reklamować papierosy, nie reklamować

z

Wygrane: dochody firm (w milionach dolarów)

z

Każda z firm zarabiała 50 mln USD

z

Reklama każdej firmy kosztowała 20 mln USD

z

Reklama pozwalała przechwycić 30 mln USD od konkurenta

50, 50

60, 20

bez reklam

20, 60

30, 30

reklamować

Philip Morris

bez reklam

reklamować

Reynolds

30

Rywalizacja koncernów tytoniowych

z

W 1964 roku naczelny lekarz USA wydał oficjalne ostrzeżenie o ryzyku

palenia, pojawiło się realne zagrożenie prawną odpowiedzialnością firm.

z

1970 rok – porozumienie firm o wprowadzeniu napisów ostrzegawczych

na pudełkach i ograniczeniu reklam telewizyjnych. Tym samym

pozostało jedynie rozwiązanie o wygranych (50, 50) – znacznie

korzystniejsze dla firm niż ‘dylemat więźnia’ w warunkach rywalizacji.

z

Po wprowadzeniu w 1970 roku zakazu reklamy wydatki firm na

ogłoszenia spadły o 63 mln USD a ich zyski wzrosły o 91 mln USD.

z

Rezultat: wprowadzenie napisów ostrzegających o szkodliwości palenia

i zakaz reklamy papierosów doprowadziły do znacznego wzrostu

zysków koncernów tytoniowych.

z

Analogiczna sytuacja: w 1637 roku japońscy władcy uzgodnili zakaz

używania w walkach między sobą europejskiej broni palnej (obowiązywał

ponad 200 lat).

6

31

Reklama – ‘dylemat więźnia’

z

Rywalizacja dwóch sieci telekomunikacyjnych Telstra i Optus

z

Silna reklama obu firm prowadzi do uzyskania dochodów rzędu 70 mln
USD (Telstra) i 50 mln USD (Optus).

z

Silna reklama jednaj z firm przy średniej reklamie drugiej prowadzi do
podziału dochodów 140 mln USD (silniej reklamowany) do 25 mln USD.

z

Średni poziom reklamy obu prowadzi do dochodów 120 mln USD
(Telstra) / 90 mln USD (Optus).

120, 90

25, 140

Średni poziom reklamy

140, 25

70, 50

Silna reklama

Optus

Średni poziom reklamy

Silna reklama

Telstra

32

Warianty ‘dylematu więźnia’

z

Dwa elektrony starają się osiągnąć stan
minimalizujący ich energię. Każdy elektron
stara się zająć miejsce jak najbliżej jądra,
ale jednocześnie nie chce doświadczać
elektrostatycznego odpychania od
jednoimiennie naładowanego drugiego
elektronu. Kompromisowym rozwiązaniem
okazuje się wspólne zajęcie orbity dalszej
od jądra atomu, na której przyciąganie od
jądra jest mniejsze ale także mniejsze jest
odpychanie od drugiego elektronu.

33

Propozycja Warrena Buffetta

(2000 r.)

z

Ekscentryczny miliarder przedstawia następującą propozycję:

z

Jeśli ustawa zostanie odrzucona – partia, której większa liczba posłów

głosowała za jej przyjęciem otrzyma miliard dolarów.

z

Jest jeden demokrata i jeden republikanin zainteresowani przejściem

ustawy.

z

Zyski partii z wyniku głosowania:

-, -

+, -

tak

- , +

0, 0

nie

Republikanie

tak

nie

Demokraci

34

‘Dylemat uczestników kolacji’

z

Ang: diners dilemma – wieloosobowa gra typu ‘dylematu więźnia’

z

Grupa osób idzie do restauracji, obowiązuje zasada podziału rachunku

na równe części. Każda z osób może wybrać tanie danie, oszczędzając

(na korzyść innych) na wysokości rachunku lub wybrać drogie danie, za

które zapłacą inni oszczędni.

z

g oznacza przyjemność ze zjedzenia drogiego dania, b radość z

zamówienia taniego, h jest kosztem drogiego dania, l kosztem taniego,

n liczbą gości. Zachodzi nierówność h>g>b>l. Każdy z uczestników

stara się zamówić drogie danie na kosz innych
g – (1/n)*h > b – (1/n)*l

z

Strategie pozostałych graczy wynikają z ceny x dań pozostałych graczy.

Koszt zamówienia taniego dania wynosi (1/n)*x + (1/n)*l a drogiego

odpowiednio (1/n)*x + (1/n)*h. Zadowolenie z drogiego dania wynosi g

– (1/n)*x – (1/n)*h a z taniego b – (1/n)*x – (1/n)*l. Wybór drogiego

dania jest oczywisty. Jeśli wszyscy zamówią drogie danie każdy zapłaci

h i uzyska zadowolenie g – h > 0. Gdyby wszyscy wybrali najtańsze

byłoby to b – l > 0. Sytuacja wyboru jest analogiczna do dylematu

więźnia.

z

Analogiczna sytuacja – wspólny licznik gazu w dużym budynku.

35

‘Wspólne pastwisko’

z

Każdy z m wypasających owce na wspólnym pastwisku stara się
zwiększyć zysk zwiększając swoje stado. Powoduje to zmniejszanie
ilości paszy.

z

Jeśli s jest średnią liczebnością stada nie powodującą degradacji
pastwiska a N całkowitą liczbą owiec to N=ms. Wartość zysku z
pojedynczej sztuki w takiej sytuacji jest 1, strata z dodania nowej sztuki
wynosi b, x jest liczbą dodanych sztuk, spadek zysku każdej sztuki z
nadmiernej ilości owiec wynosi 1-bx, całkowita wartość stada wynosi
(N+x)(1-bx). Jeśli b>1/N dochodzi do załamania dochodów wywołanego
nadmierną eksploatacją pastwiska.

z

Gra rozgrywa się między konkretnym pastuchem a resztą wypasających
swoje stada.

36

‘Wspólne pastwisko’

z

W rezultacie takiego postawienia zagadnienia każdy dodaje kolejne
owce do swojego stada, powodując katastrofalny spadek dochodów na
skutek nadmiernego wyeksploatowania pastwiska (wspólnych
zasobów).

z

Model nastawienia każdej jednostki w komunizmie (nakraść wspólnego
dobra by nie dać się przegonić pozostałym w ilości łupów).

s

s[1-b(m-1)]

utrzymanie
liczebności stada

(s+1)(1-b)

(s+1)(1-bm)

dodanie owcy

Pojedynczy
właściciel stada

utrzymuje
liczebność stad

dodaje owcę

Reszta właścicieli stad

Macierz wygranych pojedynczego
właściciela stada

7

37

Zależności macierzy wypłat

z

‘Dylemat więźnia’ – T>R>P>S

z

‘Cykor’ – T>R>S>P

z

‘Gra w bohatera’ – S>T>R>P

z

‘Gra w lidera’ (w tym ‘walka płci’) – T>S>R>P

z

‘Polowanie na jelenia’ – R>T>P>S

z

Temptation (pokusa)

z

Reward (nagroda)

z

Punishment (kara)

z

Sucker (frajer)

38

‘Cykor’ (jastrząb i gołąb)

z

Dylemat więźnia – T>R>P>S

z

‘Cykor’ – T>R>S>P (obopólna konfrontacja jest gorsza niż utrata twarzy

– uznanie za tchórza)

P, P
-20, -20

T, S
1, -1

konfrontacja

S, T
-1, 1

R, R
0, 0

unik

Drugi gracz

konfrontacja

unik

Pierwszy gracz

‘Cykor’

39

‘Cykor’ (jastrząb i gołąb)

z

Ang: chicken, nuclear chicken, hawk-dove.

z

T>R>S>P (obopólna konfrontacja jest znacznie gorsza niż utrata twarzy
– uznanie za tchórza)

z

Zalety uniku są tak oczywiste, że w praktyce by uniknąć liczenia przez
przeciwnika na wykonanie uniku należy blefować postawę gotowego na
wszystko szaleńca. Tylko taka postawa może zmusić drugą stronę do
poważnego wzięcia pod uwagę konieczności wykonania uniku.

z

W praktyce odpowiednią strategią jest blefowanie postawy
nieprzewidywalnego ryzykanta.

40

Kryzys kubański

z

Stan zagrożenia konfliktem między ZSRR a USA (dwoma
supermocarstwami dysponującymi ogromnymi arsenałami broni
jądrowej i środkami jej przenoszenia), który mógł się przekształcić w
wojnę globalną (III wojnę światową). Był wywołany rozmieszczeniem na
Kubie przez ZSRR rakiet średniego zasięgu i dostawami kolejnych na
statkach morskich.

z

Prawdopodobieństwo wybuchu wojny jądrowej w dniach 15–28
października 1962 roku osiągało według J.F.Kennedy’ego poziom 1/3 –
1/2.

z

Kryzys zakończył się zawróceniem przez sekretarza generalnego KC
KPZR Nikitę Chruszczowa statków w zamian za gwarancje nieagresji
na Kubę i wycofanie amerykańskich rakiet z terytorium Turcji.

z

Ogromną rolę w podejmowaniu decyzji odegrał sekretarz obrony Robert
McNamara – prekursor wprowadzania badań operacyjnych.

41

Kryzys kubański

z

Możliwości działań USA

z

Blokada morska, zapobiegająca instalacji nowych wyrzutni, połączona z

silnymi naciskami na ZSRR by zdemontować istniejące rakiety

z

Chirurgiczne uderzenia lotnictwa na zainstalowane wyrzutnie radzieckich

rakiet z głowicami jądrowymi, połączone ewentualnie z inwazją na Kubę.

z

Możliwości działań ZSRR

z

Wycofanie rakiet z Kuby

z

Utrzymanie wyrzutni pocisków jądrowych.

Wojna jądrowa
1, 1

Wygrana USA
4, 2

uderzenie
lotnictwa

Wygrana ZSRR
2, 4

Kompromis
3, 3

blokada

USA
(John Kennedy)

utrzymanie

wycofanie

ZSRR (Nikita Chruszczow)

Kryzys kubański

42

‘Walka płci’

z

Oboje preferują wspólne spędzenie czasu pomimo skrajnie różnych
gustów.

z

Dwie równowagi czystych strategii Nasha – razem do opery lub razem

na mecz, przypadkowy wybór wariantu przez rzut monetą.

z

Dwa punkty równowagi dla strategii mieszanych gdy każda ze stron

uczęszcza na ulubione przez przedstawienie z prawdopodobieństwem

2/3.

1, 2

-1, -1

mecz

-1, -1

2, 1

opera

On

mecz

opera

Ona

‘Walka płci’

8

43

‘Walka płci’ (wariant #2)

z

Istnieje nierównowaga preferencji obu stron.

1, 2

-1, -1

mecz

0, 0

2, 1

opera

On

mecz

opera

Ona

‘Walka płci #2’

44

Polowanie na jelenia

z

Indywidualnie każdy myśliwy może sam upolować zająca, ale jest on

mniej wart niż udział we wspólnym polowaniu na jelenia.

z

Gra jest analogiem współpracy jednostek w ramach społeczeństwa.

z

R>T>=P>S. (P, P) pozostaje równowagą Nasha, ale nie jest związane z

dominującym ryzykiem.

z

Wprowadzenie kary za brak współpracy w ‘dylemacie więźnia’ może

przekształcić tę grę w ‘polowanie na jelenia’.

P, P
3, 3

T, S
3, 0

zając

S, T
0, 3

R, R
4, 4

jeleń

Drugi
myśliwy

zając

jeleń

Pierwszy myśliwy

‘Polowanie na jelenia’

45

Gra w ubezpieczenie

z

Dylemat więźnia – T>R>P>S

z

Cykor – T>R>S>P (obopólna odmowa jest gorsza niż utrata twarzy)

z

Ubezpieczenie – R>T>S>P (nagroda za współpracę jest wyższa od

nagrody za odmowę)

P, P
3, 3

T, S
1, 5

odmowa

S, T
5, 1

R, R
10, 10

współpraca

Drugi

odmowa

współpraca

Pierwszy

‘Ubezpieczenie’

46

Przyjaciel czy wróg

z

Ang: FoE, Friend or Enemy

z

W konkursie wygrywają trzy pary zawodników, w miarę eliminowania
każdej pary rozgrywają grę typu ‘dylematu więźnia’, przy przyjęciu
postawy przyjacielskiej w zależności od wyboru drugiej osoby mogą
zdobyć całą nagrodę (jeśli drugi uznał go za wroga), lub podzielić się
nagrodą po połowie (obaj przyjęli postawę przyjaciół), jeśli jednak obaj
traktują się jak wrogowie – żaden nie dostaje nic.

z

W podtekście propozycja: „Jeśli uznam cię za wroga to wygrywasz
wszystko, jeśli obaj sobie zaufamy to dzielimy się nagrodą. Jeśli uznasz
mnie za wroga to zawsze przegrasz, bo albo ja biorę wszystko, albo
żaden z nas nie bierze nic. Dlatego tylko współpraca ze mną może ci
cokolwiek dać.”

z

Macierz wygranych jest przypadkiem pośrednim między ‘dylematem
więźnia’ a grą w ‘cykora’ gdy P=S.

47

Przyjaciel czy wróg

z

‘Dylemat więźnia’ – T>R>P>S

z

‘Cykor’ – T>R>S>P

z

‘Przyjaciel czy wróg’ – P=S

P, P
0, 0

T, S
2, 0

odmowa

S, T
0, 2

R, R
1, 1

współpraca

Drugi

odmowa

współpraca

Pierwszy

‘Przyjaciel czy wróg’

48

Gra we współpracę

z

Wspólne interesy ale niezależna warianty rozwiązań.

z

Dwa rozwiązania równowagi Nasha powodują konieczność współpracy.

z

Bez środków porozumiewania się między graczami uzyskanie
rozwiązania jest praktycznie niemożliwe.

1, 1

0, 0

wariant B

0, 0

1, 1

wariant A

Drugi gracz

wariant B

wariant A

Pierwszy gracz

‘Współpraca’

9

49

Gra we współpracę

z

Nowy produkt wprowadzany na rynek przez dwie firmy może być
wytwarzany dwiema technologiami. Jeśli firmy uzgodnią wybór
rozwiązania, które stanie się powszechnym standardem, uzyskają duże
zyski. Jeśli tego nie zrobią – ich zyski będą minimalne.

z

Przykłady: VHS / Betamax Sony; standardy telewizji wysokiej
rozdzielczości.

100, 100

0, 0

technologia #2

0, 0

100, 100

technologia #1

Firma B

technologia #2

technologia #1

Firma A

‘Współpraca’

50

Gra we współpracę

z

Inny wariant gry – ustalenie kierunku ruchu samochodów (prawostronny
lub lewostronny). Przy nieuzgodnionym wyborze następuje kolizja
(koszt: –100). Dwiema czystymi strategiami równowagi są (prawa,
prawa) i (lewa, lewa).

z

Istnieje paradoksalna mieszana strategia równowagi – kierunek ruchu
jest zmieniany na średnio połowę czasu jazdy.

0, 0

-100, -100

lewa

-100, -100

0, 0

prawa

Kierowca B

lewa

prawa

Kierowca A

‘Współpraca’

51

Ścigający i ścigany

z

Żadna kolumna ani wiersz nie dominują nad pozostałymi – rozwiązanie
może istnieć tylko w strategiach mieszanych.

z

Uciekinier może zginąć na skałach lub od ukąszenia grzechotnika
nawet gdy w tych miejscach nie ma ścigającego go policjanta.

0, 1

0.8, 0.2

0.8, 0.2

Pustynia
(grzechotniki)

0.9, 0.1

0, 1

0.9, 0.1

Skały

1, 0

1, 0

0, 1

Most

Ścigany
uciekinier
(wybiera
drogę
ucieczki)

Pustynia
(grzechotniki)

Skały

Most

Ścigający policjant (zastawia pułapkę)

52

Ustalenie poziomu produkcji

z

Każda z dwóch firm ma trzy strategie

z

nie zwiększać produkcji

z

niewielki wzrost produkcji

z

silna ekspansja.

z

Większa produkcja > większa sprzedaż > niższe ceny > niższe
dochody.

0, 0

12, 8

18, 9

silny wzrost

8, 12

16, 16

20, 15

niewielki wzrost

9, 18

15, 20

18, 18

obecny poziom

Firma B

silny wzrost

niewielki wzrost

obecny poziom

Firma A

53

Ustalenie poziomu produkcji

z

Przewaga wykonującego pierwszy ruch w grze sekwencyjnej

firma A

firma B

firma B

firma B

obecny poziom produkcji

niewielki wzrost

silny wzrost

obecny poziom

obecny poziom

obecny poziom

silny wzrost

silny
wzrost

18
18

15
20

9
18

20
15

16
16

8
12

18
9

12
8

0
0

54

Budżet rządowy / polityka finansowa

z

Gracze:

z

rząd – polityka fiskalna (podatki, akcyzy, wydatki budżetowe)

z

Rada Polityki Pieniężnej – polityka monetarna (bilans interesów)

z

Działania:

z

rząd – budżet zbilansowany lub deficyt budżetowy

z

Rada – wysokie lub niskie oprocentowanie kapitału.

z

Strategie:

z

strategia Rady zależy od wyboru wariantu wybieranego przez rząd

z

rząd dąży do wysokich wydatków i deficytu budżetowego

z

wariant zbilansowanego budżetu i niskiego oprocentowania jest

najlepszy ale praktycznie niemożliwy do zrealizowania.

2, 2

4, 1

deficyt

1, 3

3, 4

zbilansowany budżet

Rząd

wysokie %

niskie %

Rada

10

55

Ultimatum (gra asymetryczna)

z

Pierwszy gracz proponuje drugiemu udział p w wygranej (zyskach z rynku,
podziale tortu, łupu) w przedziale [0,1]. Jeśli druga strona przystaje na
propozycję – dokonują podziału w przyjętej do wiadomości proporcji. Jeśli
drugi odrzuci propozycję, żaden nie bierze nic (pierwszy nie może bowiem
bez udziału drugiego niczego zyskać). Drugi gracz dokonuje wyboru
pewnej funkcji profilu strategii (p, f), gdzie p jest składaną propozycją a f
funkcją odpowiedzi, przybierającą wartość f(p) = ‘tak’ lub ‘nie’.

z

Pierwszy gracz chce zwiększyć swój udział w wygranej wykorzystując
sytuację, że drugi gracz nie jest zainteresowany odrzuceniem nawet
nieproporcjonalnie niskich propozycji by nie dostać niczego.

A

B

pA

pA

0,0

56

Ultimatum (gra asymetryczna)

z

Czynnik socjologiczny. W praktyce propozycje podziału 50:50 między
A:B są uznawane za sprawiedliwe, najczęściej proponowane mieszczą się
w przedziale od 70:30 do 50:50, podczas gdy mniejsze od 20% są w
połowie przypadków odrzucane. Wykazano, że Mongołowie dążą do
proponowania równego podziału – nawet wiedząc, że nieproporcjonalny
podział jest też z reguły akceptowany przez drugą stronę. Oznacza to, że
reputacja kontrahenta w tym społeczeństwie jest równie ważna co zysk
ekonomiczny. Z drugiej strony wysokość wygranej też odgrywa swoją rolę
– mało kto odrzuci niesprawiedliwy podział 90:10 z 10 milionów dolarów.
Jednak oferty 70:30 ze 100 dolarów są równie często odrzucane w
Indonezji (średni dochód 670 USD) co w USA.

57

Ultimatum (gra asymetryczna)

58

Gra w dyktatora (gra asymetryczna)

z

Pierwszy gracz proponuje drugiemu udział p w wygranej (zyskach z rynku,
podziale tortu, łupu) w przedziale [0,1]. W odróżnieniu od ‘ultimatum’ drugi
gracz nie ma możliwości odrzucenia propozycji. Doświadczalnie
wyznaczone udziały proponowane w tej grze są rzędu 20%, 1/3
‘dyktatorów’ nie daje niczego, 1/5 daje połowę.

z

Pełna anonimowość zmniejsza o połowę proponowany udział,
zmniejszenie anonimowości zwiększa udział (przedstawienie się
obdarowywanego, listy potwierdzające otrzymanie darowizny).

A

B

pA

59

‘Pasujące monety’

z

Ang: matching pennies

z

Każdy z graczy kładzie swoją monetę orłem lub reszką do góry. Jeśli

monety pasują do siebie – pierwszy gracz wygrywa i przejmuje monetę

drugiego, jeśli nie – wygrywa drugi.

z

Gra nie posiada strategii punktu równowagi Nasha, ponieważ taka

strategia (wybór orła lub reszki) nie istnieje. Jedyną strategią równowagi

Nasha jest strategia mieszana – każdy gracz dokonuje wyboru strony

monety z równym prawdopodobieństwem. Jeśli kieruje się jakimiś

innymi zasadami i możliwe jest przewidzenie jego wyboru – przegrywa.

1, -1

-1, 1

reszka

-1, 1

1, -1

orzeł

Drugi gracz

reszka

orzeł

Pierwszy gracz

‘Pasujące monety’

60

‘Kamień, papier, nożyczki’

z

Gracze jednocześnie pokazują dłonie zwinięte w pięść (kamień), płaskie

(papier) lub z rozwartymi palcami (nożyczki). Wygrane określają zasady

logiki nieprzechodniej:

z

Papier zakrywa kamień

z

Kamień tępi nożyczki

z

Nożyczki tną papier.

z

W grze nie istnieje jakakolwiek strategia prowadząca do wygranej.

Jedynym optymalnym wyborem jest całkowicie przypadkowy. Jeśli

jednak którykolwiek z graczy stosuje nieprzypadkową strategię dającą

się przewidzieć – przegrywa.

0, 0

1, -1

-1, 1

nożyczki

-1, 1

0, 0

1, -1

papier

1, -1

-1, 1

0, 0

kamień

Drugi gracz

nożyczki

papier

kamień

Pierwszy gracz

‘Kamień, papier, nożyczki’

11

61

Gra w ‘stonogę’ (sekwencyjna)

z

Gra sekwencyjna o 100 etapach. Każdy z graczy ma na zmianę
możliwość zatrzymania gry i zagarnięcia znacząco w danej chwili
większej części wolno rosnącej puli nagrody, lub zaryzykować chwilową
małą przegraną w stosunku do przeciwnika. Po przekazaniu kolejki
drugiej stronie i zagarnięciu przez nią wygranej jest ona nieco mniejsza.
Jedynym punktem równowagi Nasha jest dla pierwszego gracza
przejęcie puli w początkowym stadium gry, jednak w praktyce gracze
rzadko wybierają to rozwiązanie.

62

Bar ‘El Farol’

z

Nazwa gry pochodzi od nazwy baru w Santa Fe w stanie Nowy Meksyk.

W lokalu tym w czwartkowe wieczory grano muzykę irlandzką.

Zagadnienie zdefiniował irlandzki ekonomista W.Brian Arthur w 1994 r.

z

Wszyscy zainteresowani chcą pójść do baru, który jest jednak zbyt mały

by pomieścić wszystkich chętnych a przebywanie w nadmiernie

zatłoczonym lokalu psuje wszystkim zabawę.

z

Jeśli 60% mieszkańców pójdzie do baru – będą z tego bardziej

zadowoleni, niż gdyby pozostali w domu.

z

Jeśli do baru pójdzie ponad 60% – wszyscy będą bardziej

niezadowoleni, niż gdyby zostali w domu.

z

Korzystanie przez wszystkich z tej samej strategii prowadzi do sytuacji

absurdalnej – bar albo stoi pusty, albo jest ponad miarę zatłoczony.

z

W jednym z wariantów gry dopuszczalną jest wzajemna wymiana

informacji o swych zamierzeniach. Nie jest jednak wymagane mówienie

innym prawdy. Stąd w praktyce można przyjąć strategię

dezinformowania pozostałych by nie przyszli do baru i nie przeszkadzali

nam w zabawie.

63

Odgadywanie 2/3 średniej

z

Dowolna liczba graczy podaje liczby od 0 do 100.

z

Wygrywa osoba, której liczba będzie najbliższą 2/3 średniej ze
wszystkich ocen.

z

Jedyną czystą strategią Nasha jest wartość 0. Podanie dowolnej liczby
większej niż 66 jest strategią zdominowaną przez pozostałych, nie jest
bowiem możliwym określenie 2/3 średniej. Analogicznie rozumując
oszacowanie powyżej 40 bo żaden gracz nie powinien zaryzykować
ponad 2/3 z 66, co wynosi ponad 40. Kontynuacja tego toku myślenia
prowadzi do wyeliminowania wszystkich liczb powyżej 0.

z

Biorący udział w grze muszą jednak uwzględniać, że wśród pozostałych
graczy wielu będzie zbyt mało inteligentnych by przeprowadzić takie
rozumowanie. Eksperymentalne rozegranie gry w Danii przy ponad 19
tysiącach graczy i nagrodzie 5 tysięcy koron dało średnią ocen 21.6.

64

‘Turyści i tubylcy’

z

Konkurencja dwóch barów, które mogą ustalić cenę na poziomie 2, 4

lub 5 jednostek monetarnych.

z

6000 turystów wybiera bar przypadkowo

z

4000 miejscowych wybiera tańszy bar.

z

Dochody barów (w tysiącach jednostek monetarnych)

25, 25

15, 28

15, 14

cena: 5

28, 15

20, 20

12, 14

cena: 4

14, 15

14, 12

10, 10

cena: 2

Bar B

cena: 5

cena: 4

cena: 2

Bar A

‘Turyści i tubylcy’

65

Negocjacje

z

Sprzedawca używanych samochodów twierdzi, że najniższą możliwą

ceną jest 20 000 (naprawdę jest to 17 000)

z

Kupujący twierdzi, że może zapłacić najwyżej 18 000 (aktualna cena to

21 000)

z

Każda ze stron ma dwie możliwości: zaakceptować, odrzucić.

z

Dwie równowagi czystych strategii: (tak, nie) i (nie, tak); równowaga

strategii mieszanej przy prawdopodobieństwie decyzji każdej ze stron

50% – szansa zgody wynosi 25%.

z

Zyski stron w tysiącach:

0, 0

3, 1

odrzucenie

1, 3

2, 2

akceptacja

Kupujący

odrzucenie

akceptacja

Sprzedawca

‘Negocjacje’

66

‘Leniwy mąż’

z

Oboje małżonków pracuje, nie stać ich jednak na sprzątaczkę.

z

Żona jest skłonna wykonać prace domowe jeśli mąż jej pomaga,

odmawia ich wykonania jeśli mąż odmawia pomocy.

z

Dominującą strategią męża jest unikanie sprzątania.

z

Oboje bardziej cenią wspólne sprzątanie niż mieszkanie w brudzie.

z

Wynik: mąż musi się pogodzić z nieunikaniem prac domowych.

-2, -2

-1, 0

odmowa

3, -1

-1, 1

sprzątanie

Żona

lenistwo

sprzątanie

Mąż

‘Leniwy mąż’

12

67

Wymuszanie wyboru menu

z

Dziecko decyduje czy jeść szpinak, nie lubi go ale bardzo lubi desery.

z

Rodzice decydują o podaniu deseru, chcą by dziecko było zadowolone,

bardzo chcą też by jadło szpinak.

z

Przy jednoczesnym podejmowaniu decyzji obie strony mają dominujące

strategie: bez szpinaku i deser. Jeśli dziecko pierwsze podejmuje

decyzję w grze sekwencyjnej – równowagą podgry jest rozwiązanie bez

szpinaku i z deserem.

-1, 0

2, -1

bez szpinaku

-2, 1

0, 1

szpinak

Rodzice

bez deseru

deser

Dziecko

68

Wymuszanie wyboru menu

z

Dla rodziców rozwiązaniem jest stawianie ultimatum po przekształceniu
gry w grę sekwencyjną: „nie dostaniesz deseru dopóki nie zjesz
szpinaku”.

z

Rodzice mogą przechylić szanse rozwiązania na swą korzyść przez
wprowadzenie zasady odpowiedzi. ‘Groźbą’ jest reguła odpowiedzi,
która karze przeciwników w grze jeśli nie podejmują współpracy, w
sposób obracający się przeciw intencjom danej strony. ‘Obietnicą’ jest
reguła odpowiedzi nagradzająca innych gdy podejmują współpracę, w
sposób niezgodny z własnymi intencjami.

69

Rozbieżności z sytuacjami realnymi

z

Istotność sposobu podania informacji o wygranych.

z

Grupie ludzi przedstawiono możliwość dokonania wyboru strategii

zapobiegającej rozprzestrzenianiu zarazy w grupie 600 osób:

z

Strategia A ocali życie 200 ludziom, strategia B daje szansę 1/3

ocalenia wszystkich i 2/3 ocalenia nikogo. (Uwaga: obie strategie mają

te same wartości średnie). 72% ludzi wybrało strategię A.

z

Przy stwierdzeniu, że strategia A doprowadzi do śmierci 400 osób –

zaledwie 22% decydentów dokonało jej wyboru. Tymczasem jeśli

poprzednio stwierdzono, że z 600 osób ma ocaleć 200 – oznaczało to,

że 400 umrze. Czyli dokładnie to samo w obu przypadkach, tylko

inaczej podane.

z

Wniosek: unikanie ryzyka przez podejmujących decyzje nawet gdy daje

ono większe szanse wygranej niż zapewniony każdemu poziom

pewności. W sytuacji perspektywy pewnej straty – postępowanie staje

się odwrotne.

70

Kierunki rozwoju teorii gier

z

Gry sekwencyjne (np. drapieżnik i ofiara), w których kolejność
podejmowania decyzji lub naprzemienne wykonywanie ruchów staje się
istotnym czynnikiem.

z

Gry sekwencyjne rozgrywane przez automaty (agentów) jako strategie
reagowania na sytuacje w swoim otoczeniu.

z

Gry z niepełną informacją o działaniach przeciwnika, gry z
dezinformacją.

z

Ewolucja jako gra, gry ewolucyjne.

z

Gry w gry (hipergry), w których elementami macierzy wypłat są rezultaty
optymalnego rozegrania podgier. (wybory Jimmy Carter/Ronald Regan
jako hipergra z ZSRR o zaufanie)

z

Gry, w których każda ze stron gra w inną grę (inaczej interpretuje
sytuację).

71