Trójkąt sferyczny 

 
 
Definicje 

a) Sferą o środku M i promieniu r (r > 0) nazywamy zbiór wszystkich punktów przestrzeni, 

których odległość od punktu M jest równa r. Sferę tę oznaczmy S(M, r). 

b) Okręgiem wielkim sfery S(M, r) nazywamy przekrój tej sfery płaszczyzna przechodzącą 

przez punkt M. 

c) Niech punkty P, Q naleŜą do sfery S(M, r). Łukiem okręgu wielkiego o końcach P, Q 

nazywamy kaŜdą z części okręgu wielkiego tej sfery, które wyznaczyły punkty P, Q.  

 

Definicja 

Niech punkty P, Q, R naleŜą do sfery S(M, r), przy czym punkty te nie naleŜą do Ŝadnego 

okręgu wielkiego tej sfery. Trójkątem sferycznym o wierzchołkach P, Q, R nazywamy tę 

część sfery S(M, r), którą wyznaczyły łuki PQ, PR, QR trzech okręgów wielkich.  

Łuki PQ, PR, QR nazywamy bokami trójkąta sferycznego. 

 
 

 

 
 

Definicja  

a) Niech O

1

(M, r) i O

2

 (M, r) będą dwoma okręgami wielkimi sfery S(M, r). KaŜdą z czterech     

    części sfery S(M, r), na które te okręgi podzieliły sferę S(M, r) nazywamy dwukątem tej  

     sfery.  

b) Kątem dwukąta nazywamy kąt dwuścienny 

wyznaczony przez płaszczyzny okręgów  

O

1

(M, r) i O

2

 (M, r). 

 

 

 

 

 

Twierdzenie 

Pole P dwukąta sfery S(M, r) jest równe 2 r

2

 

α

, gdzie r jest długością promienia sfery S(M, r), 

α

 - miarą łukową kąta tego dwukątna; P = 2 r

2

 

α

. 

 

Twierdzenia  

Niech PQR będzie trójkątem sferycznym.  

•

 

suma długości dwóch boków (łuków) trójkąta jest większa od długości trzeciego boku, 

•

 

suma kątów wewnętrznych wynosi od π do 3π,  

•

 

obwód nie moŜe być większy niŜ 2πr (r – promień sfery), 

•

 

pole powierzchni nie moŜe być większe niŜ 2πr

2

 (r – promień sfery), 

•

 

naprzeciw większego (mniejszego) boku leŜy większy (mniejszy) kąt i odwrotnie – 

naprzeciw mniejszego (większego) kąta leŜy mniejszy (większy) bok. 

 

Definicja 

Nadmiarem sferycznym (ekscesem sferycznym) nazywamy nadwyŜkę sumy kątów trójkąta 

sferycznego ponad π  ( 180°) i oznaczamy ją grecką literą ε. 

A + B + C − 180° = ε 

 

Twierdzenie 

Między polem P powierzchni trójkąta sferycznego i jego ekscesem istnieje zaleŜność: 

P = r

2

 · ε 

 

ZaleŜności między długościami boków (łuków) a, b, c i miarami  A, B, C kątów trójkąta 

sferycznego wyraŜają poniŜsze wzory.  

 

Twierdzenie 

Przyjmijmy, Ŝe naprzeciw łuku a mamy kąt A, łuku b – kąt B, łuku c – kąt C. Wtedy: 

a)     

A

a

sin

sin

 = 

B

b

sin

sin

 = 

C

c

sin

sin

 

b)  
     cos a = cos b 

⋅

 cos c + sin b 

⋅

  sin c 

⋅

 cos A, 

     cos b = cos a 

⋅

 cos c + sin a  

⋅

 sin c 

⋅

 cos B, 

     cos c = cos a 

⋅

 cos b + sin a  

⋅

 sin b 

⋅

 cos C.