Trójkąt sferyczny

Definicje

a) Sferą o środku M i promieniu r (r > 0) nazywamy zbiór wszystkich punktów przestrzeni,

których odległość od punktu M jest równa r. Sferę tę oznaczmy S(M, r).

b) Okręgiem wielkim sfery S(M, r) nazywamy przekrój tej sfery płaszczyzna przechodzącą

przez punkt M.

c) Niech punkty P, Q należą do sfery S(M, r). Łukiem okręgu wielkiego o końcach P, Q

nazywamy każdą z części okręgu wielkiego tej sfery, które wyznaczyły punkty P, Q.

Definicja

Niech punkty P, Q, R należą do sfery S(M, r), przy czym punkty te nie należą do żadnego

okręgu wielkiego tej sfery. Trójkątem sferycznym o wierzchołkach P, Q, R nazywamy tę

część sfery S(M, r), którą wyznaczyły łuki PQ, PR, QR trzech okręgów wielkich.

Łuki PQ, PR, QR nazywamy bokami trójkąta sferycznego.

Definicja

a) Niech O

1

(M, r) i O

2

(M, r) będą dwoma okręgami wielkimi sfery S(M, r). Każdą z czterech

części sfery S(M, r), na które te okręgi podzieliły sferę S(M, r) nazywamy dwukątem tej

sfery.

b) Kątem dwukąta nazywamy kąt dwuścienny

wyznaczony przez płaszczyzny okręgów

O

1

(M, r) i O

2

(M, r).

Twierdzenie

Pole P dwukąta sfery S(M, r) jest równe 2 r

2

α

, gdzie r jest długością promienia sfery S(M, r),

α

- miarą łukową kąta tego dwukątna; P = 2 r

2

α

.

Twierdzenia

Niech PQR będzie trójkątem sferycznym.

•

suma długości dwóch boków (łuków) trójkąta jest większa od długości trzeciego boku,

•

suma kątów wewnętrznych wynosi od π do 3π,

•

obwód nie może być większy niż 2πr (r – promień sfery),

•

pole powierzchni nie może być większe niż 2πr

2

(r – promień sfery),

•

naprzeciw większego (mniejszego) boku leży większy (mniejszy) kąt i odwrotnie –

naprzeciw mniejszego (większego) kąta leży mniejszy (większy) bok.

Definicja

Nadmiarem sferycznym (ekscesem sferycznym) nazywamy nadwyżkę sumy kątów trójkąta

sferycznego ponad π ( 180°) i oznaczamy ją grecką literą ε.

A + B + C − 180° = ε

Twierdzenie

Między polem P powierzchni trójkąta sferycznego i jego ekscesem istnieje zależność:

P = r

2

· ε

Zależności między długościami boków (łuków) a, b, c i miarami A, B, C kątów trójkąta

sferycznego wyrażają poniższe wzory.

Twierdzenie

Przyjmijmy, że naprzeciw łuku a mamy kąt A, łuku b – kąt B, łuku c – kąt C. Wtedy:

a)

A

a

sin

sin

=

B

b

sin

sin

=

C

c

sin

sin

b)
cos a = cos b

⋅

cos c + sin b

⋅

sin c

⋅

cos A,

cos b = cos a

⋅

cos c + sin a

⋅

sin c

⋅

cos B,

cos c = cos a

⋅

cos b + sin a

⋅

sin b

⋅

cos C.