I

fl

J

l

w

l ,

II

I

N

I"

I

\

!1

"

.

I"

q

~

lI"I

'

~

"

.

ll

b o

d pow

l

C

l

t

I

II

I

I

1'1/

1/

,,

1

W

/",

'

/

1

,

1

11

1

I

.

0

1

1

<

It

l

,

,

,

.

l

i

It

,b,(·

.

1

)""1

,

1

t

1

.I

I

Y

III

.

I

y

II'''

1I11

,

11

\

I

I1

Y

w

l

,

y

"l

~(

\d

l

\

.

"i

I

j

)

ruw

a

d

z

l

L

d

)

IIld

"

du

r

6

wn

a

n

{a

+

2b

+

2c

=

6

0

2a

+

b

+

c=

6

0

a

+

b

+

3c

=

70

.

a

+

2b

+

4c

=

9

0

W

y

~n

acze

ni

e

wag poszczeg6lnych

detali

bc

<d

zi

e mo

z

liw

e

,

gdy

roz

w

azany

uklad

1

'6

1'11

1

11

11

h

y

d

z

i

c

mi

a

l

j

e

dnoznac

z

ne

rozwi1

:

j

,

zanie,

Stosuj!

j,

C metod

c

<

e

l

iminac

ji

Gaussa

-

Jordn

'

"

1

1

I

l

l

,

l

'

~

ym

a

my

[1 0

0

20]

~

01

0

5.

o

0 1 15

f:::

::::::::::

41

::

~~tt!i

.

D

la jakich wartosci parametru

p

E

JR

poda

n

e

uk

l

a

d

y

r6

w

naii

s

~ uklad

a

mi

Cr

a

mera:

) {

(

p

+

l

)

x

-

py

=

1

a

.

2x

+

(

p

-

l

)

y

=

3p

1

{

2

p

x

+

4y - pz

= 4

b)

2x

+

Y

+

pz

=

1

(

4

+

2p

)

x

+

6y

+

pz

=

3

{

px

+

3y

+

pz

=

0

c)

-

px

+

2z

= 3

x

+

2y

+

pz

=

p

{X

-

y

-

z -

t

=

px

d)

-

x

+

Y

-

z -

t

=

py

?

-

x

-

y

+

z

-

t

=

pz

-

x

-

y

-

z

+

t

=

pt

~

:~~::.::::

4. 2

Korzy

s

taj~c

ze wzoru Crame

r

a zna

l

eic

rozwi~

z

a

ni

a

p

odany

1

1 II

kl

l1

d

6

w r6wnaii:

a) { 5x

-

2y

=

6 .

3x

+

Y

=

4 '

{X

+

2y

+

3z

=

1

b)

2x

+

3y

+

z

=

3 ;

3x

+

Y

+

2z

=

2

{

X

i

'21

/

I

3z

=

14

c)

4x

1

:l

y

-

z

=

7

.

:

/;

-

1/

1

z=

2

1

,

I

I

1

71

/ I

2

z

+

4

t

=

0

{

x

+

3y

+

3

z

+

3t

=

1

)

21

/

1

-

z

=

0

.

b)

3x

+

Y

+

3z

+

3t

=

1

.

,

I

:

I

'

11J

-

I

-

z

=

1 '

3x

+

3y

+

z

+

3t

=

1

'

I

t

.

l

:

1

:3

y

+

2

z

=

0

3x

+

3y

+

3z

+

t

=

1

1

1

2

11

-

'

.

l:

=

3y

+

4z

-

6

=

5z

+

68

=

7

8

+

8t

=

x

+

Y

+

z

+

8

+

t -

2

=

O

.

4

.

4

-

,

1

Ill'

,

whl

:

~ac

podane

uklady

r6wnaii metod~

mac

i

erzy

odw

rot

nej

:

{

2

:

1

;

-

y

=

3 .

)

:

3

:

r

;

+

y

=

2 '

{

x+

y

+

z

=

5

b)

2x

+

2

y

+

z

=

3

3x

+

2y

+

z

=

1

{

y

+

z

+t=

4

d)

x

+

z

+

t

=

-1

x+y

+

t

=

2

x

+

Y

+

z

=

-

2

{

x

+

y

+

z

=

4

I )

2x

-

3y

+

5z

=

-

5

-

x

+

2y -

z

=

2

~

II

I

LI

ic

rZ<tdy

po

danych

macierzy wskazu

j

~c niezerowe m

i

nory

m

ak

sym

a

l

n

y

ch

stopni:

b)

[

;;

~

]

-1 0

3

d)

[

;

i-;

]

4 5

4

1

3

4

[

;~

_

i

~~]

f)

4 3

3

0 0

0007

5

00

0

1

6

3

-

1

2

0

4 -

2

~

]

;

-

3

o

1

5

1

o

1

8 1

o

1

:;::

;:;

:

::

-

:

'J

;:

::

::::

4.6

Wy

konuj~c ope

r

acj

e

e

l

ementar

n

e

na wier

sz

ach

l

ub

k

o

lu

mnach

podanych

ma

c

ier

zy

o

b

li

c

zyc ich

r

Z<tdy:

a) [;

-

~

-

i

~i

]

4

-5

3

5

6

[-

2

1 -

3

1 -

5

]

b)

45

1

5 3

0 -

6

0

75

5

3

2

-

8

7

[31621]

2 1 422

c

)

3 1 3 1 3

2

1

214

d)

[ ~

Ii 1~

j

]

1

3

14 15 1

6

1 1

1

0 000

3

2 2

1

00

0

5 3 2

2 1

00

52

1

2

110

3

1 0

1

010

1

00000

1

-

Li : :

]

;

1

1 -4

1

1

1

1-

4

4.7

S

pr

owa

dz

a

j~c

podane

macierze

do postaci

sc

ho

dk

o

we

j

wyznaczye

ich rz~dy:

4

1

2

5

o

1

3

4

4

4

7

13

4

1 -

2

1

8

5

5

14

-

4

-1

2

-

1

u

) [

~

~

1

2

-

1 -2

~

]

;

-

3

3 1
7 1
3 4

-

3 5

(

)

A

=

[

a

ij

]

j

e

st maci

e

rz~ wymiaru

5 x 7, gdz

i

e

a

i

j

=

i

+ j

d

l

a 1 ~ i ~ 5, 1

~

j ~7;

«

I)

/

3

=

[

bij

]

j

e

st m

ac

i

e

rz

~

wymiaru

6 x 6, g

d

z

i

e

bij

=

i

2

j

dl

a 1 ~ i,j

~

6.

4.8

y

"l

I

d

dc rz~d

y podanych

macierzy

w

z

alezn

osc

i

od par

ametro

rzeczywistego

p

:

'

)[

~

~~]

b)

[

~

!

2

7~P

]

;

2p 2 2

1 2

+

2p

-

3

-

p

1

1

-

]

p

-

1

1

1

]

[

11

1

P

]

( )

I

p2 -

IIp

-lId)

IIp

P

I

p

-

1p-1

1

p

p

p

()

i

-

~-

~

-

~]

.

f*)

[~

~

2~

::

4444

]

:

1

p

3

p

,

p

2

2

p

2

1

p

l

4

11

I

P

1

p2 2p

2

1

p

l

2

P

W

Pl

l

d

l

l

l

\

yc

h ul

da

d

ac

b

r

ow

n

an

liniowych

o

kr

cs

l

i

f:

(

ni

n

m

v,

wi

l

l

~

I

I

.

i

'

I'

·

i

,

-

II

)

li

(

:

~

by r

o~

w

i

l

l

~

1

I1\

Il

r

l

l

~

p

nn

UI1

tr

ow

:

{

.

"

I

1

1

z

,

)

.

.

;

:

I

'1

1

:1

I

:

1

/

1

I

I

1

:

"

I

'

I

I

I

:

1

h) {

"

:

I

:~

I,

I

I

,

I

I

{

5

x

-

3y

-

z

=

3

2x

+

y

-

z

=

1

c)

3x

-

2y

+

2z

=

-

4

x

-

Y -

2z

=

-

2

{X

-

3

y

+

2

z

=

7

e)

x

-

t

=

2

-

x

-

3y

+

2z

+

2t

=

3

{X

-

y

+

2z

-

t

=

1

d)

2x -

3y

-

z

+

t

=

:

-

1

x

+

7y

-

t

=

4

4

.10

Wskazae

w

sz

y

s

tk

i

e

mozliwe

zbiory n

i

ewiadomych

,

ktore mog~ by

e p

ara

me

trami

o

kreslaj~cy

m

i

r

o

zw

i

~zania

p

o

danych

ukladow

rownan

l

iniowych

:

{X

-

y

+

z

=

-

1

{

x

+

2y

+

3z

+

4t

=

-1

a

)

2x

+

2y

-

2z

=

3;

b)

-

x

+

8y

+

llz

+

1

2

t

=

5;

3x

+

y -

z

=

2

2x -

y

-

z

=

-

4

{X

-

3

y

+

z

-

2s

+

t

=

-5

c

)

2x

-

6

y

-

4s

+

t

=

-1

0

2z

+

t

=

0

,.::~:~

:::::

:

4 11

::::

t~

:

•

O

kr

e

Slie

l

ic

z

by rozw

i

~

z

an

podanych

ukladow

rownan

li

n

iowych

w

zal

ezno

s

ci

od

p

~l

r

a

metru

r

z

e

czyw

i

stego

p

:

){

(p

+

1

)

x

+(

2

-

p

)

y=

P

.

1

(

1

_

3

p)x

+

(

p -

l

)

y

=

-6 ;

{ px

+

Y

+

2z

=

1

(

)

x

+

py

+

2z

=

1

;

x

+

Y

+

2

p

z

=

1

{X

+

(p -

2

)

y

-

2pz

= 4

c)

px

+(

3

-

p

)y+

4z=1

(L

-

I

-

p

)

x

-

l

-

y

-

l

-

2

(

2

-p

)z=7

{

(

p

-

I

-

l

)

x

-

Y

-

I

-

p

z =

1

b)

(

3

-

p

)

x

-

I

-

4

y - pz =-

4

px

+

3

y

=

-

3

{ 2x

-

I

-

p

y

-

I

-

p

z

+

pt

=

1

d)

2x

+

2

y

-

I

-

p

z

-

I

-

pt

=

2

2x

-

I

-

2y

+

2z

-

I

-

pt

=

3

2x

-

I

-

2

y

-

I

-

2z

+

2

t

=

4

4

.

12

W

wy

Lw

6

rn

i

montuj

e

R

i

l

(

wyroby

A, B,

C,

D, E

z czterech

ty

pow

detali

a,

b

,

c,

d.

1

,

1

,

·

~

h

y

.

d

da

-

l

i w h

o

:

l~

~

l

~

(

:

y

c

h

w

H

kl

ni

! p

os

z

c

z

eg

olnych

wyrobow p

od

ane

s

~

w

tabe

l

i

1/

(

,

'

f

F

"

I

,

;

1,

:

.

II

I

I

I