5
.
1
Ob
l
iczy
c
dlu
gosci poda
n
ych
we
kt
orow
:
a)
a
=
(
3
,
-4
,
12
)
;
b)
b
=
(
~
,
-
J5,
2J
2) ;
c)
c
=
(
gcos<p,
gsi
n
<p
,
h
)
,
gdz
i
e
g ~
°
o
r
a
z
<p,
h
E
l
R
;
d)
d
=
(gcos<pcos
'
l
jJ,
g
si
n<pcos
'
ljJ, gs
i
n
'
l
jJ
)
,
g
dzie
g ~
°
oraz
<p,
'
l
jJ
E
R
5.2
We
k
tory
a
,
b
tworz
,
,! dwa s¥iednie
bold trojk
"
!ta
.
Wyrazic
s
rod
k
owe teg
o tr
o
j
l
{/
II
,
I
przez wektory
a,
b
.
5.3
Znalezc w
er
so
r
ii,
ktory:
a
)
lezy w plaszczyznie
xOy
i tworzy k"!t a z do
d
atni
,,
! cz~sc
i
,,! osi
Ox;
b)
tworzy z dodatnim
i
cz~sciami osi
Ox, Oy, O
z
odpow
i
ed
n
io
k
,
,!ty
a,
(3, ,
;
c
)
tworzy jednakowe
k,,!ty z wektorami
a
=
(
0,3, -4),
b
=
(
8,6
,
0)
i jest polov
,
ll
ll
w plaszczyznie
wyznaczonej
przez te
w
ektory
.
::::':
i
:
::
:::
5.7
O
b
l
j
?,y
c
ilo
C
I'
,
y
l
ly
w
(
'
kLnrowC
'
JlI
Id
l
\
.
lI
Y
I
'
h
1
"11
w
l
·
1
1
11
1
1
1\
\
1
.1)
Ii
,
(:
1
,
'
J,
()
),
/;
(1
"
'
1
'
J)
.
1
i
),1
1
/
,
,
1
5.4
Ob
l
iczyc iloczyny skalarne
podanych
par
w
ektor6w:
a)
a=(1
,
-2
,
5),
b=(3,
-
1,0);
b)
ii=3i-2k,
v=
-
i+3j
+
7k;
c)
x = p
+
2q -
r
,
Y
= 3p - q
+
2r
,
g
d
zie
p, q
,
r
s
"!
w
e
rso
rami
par
a
mi
p
l
'
f
' I
I
padlymi
.
5
.
5
Korzysta
j
,
,
!
c
z iloczynu
skalarnego
obliczyc miary k
"
!
t6w m
i~
dzy:
a
)
wektor
a
mi
a
=
(-3,0,4)
,
b
=
(
0,1
,
-
2
)
;
b
)
dwusie
c
znymi
k
"
!t6w utworzonych
p
r
ze
z osi
e
Ox, Oy
o
r
a
z osi
e
Oy, 0
.
::
Oxyz;
c
)
przek,
,!
tnymi
r6wnoleglos
cia
nu
rozpi~
t
ego
na wektorach
ii
=
(1
,2,
:1
),
,1
(-
1,0,2),
w=
(
3,1,5
)
.
5.6
O
b
l
i
czyc
dlugosc
rz
u
tu
pro
s
to~tnego
w
ektora
a
=
(
J2, v'
3,
-
Ii»
11
1
1
\
\I
I I
b
=
(-vts,
0,
J5)
.
c
.
:
)
X
= 2
p
+
q
+ r,
y= p
+
3q
+
4r
,
gdzi
e
p
,
q,
r
s"
!
param
i
p
ros
topadlymi
we
r
sorami
0
orientacji
zgodn
e
j
z orientacj,
,
! u
k
l
a
d
u
wsp6l
r
z~dnych.
:I
:
:i.
5
.
8
()b
liczyc pol
a
pod
an
ych
powi
e
rzchn
i
:
I)
r6wnol
e
globok
rozpi~ty na w
e
ktora
c
h
a
=
(1
,
2
,
3),
b
=
(0, -2, 5);
I
I
) tr
6jk
"
!
t
0
wi
e
rz
c
holkach
A
=
(1,
-
1,3),
B
=
(0,2, -
3
), C
=
(2,
2
,1);
1
,
)
c
z
worosci
a
n rozpi~ty
na w
e
ktor
a
ch
i
i,
V,
w.
,;:I
5
.
9
-
4
-
4
'
1
\
'
6
jk,
,
!
t
A
B
C
r
ozpi~ty jest na w
e
kt
o
r
a
ch
AB= (1
,
5, -3),
A
C
=
(-1,0,
4
)
.
O
bliczy
c
wy
s
o
kos
c
t
eg
o tr6jk
"!
ta
op
u
sz
c
zon,
,
! z
wi
erz
cholk
a
C
.
!':::
510
::;:;
.
I
lh
li
c
zy
c
i
l
ocz
y
n
y mieszan
e
po
d
any
c
h
t
r6jek w
ekt
or
o
w
:
I)
it
=
(-
3
,
2,
1)
,
b
=
(0,1
,
-
5),
c
=
(2,3,
-
4
)
;
I
t
)
i1
=
1
+
j
,
v
=
2
1
-
3
j
+
k
, w
=
-
1
+
2
j -
5k,
5
.
11
( l
I
J
li
cz
yc o
b
j~t
os
c
i
podanych
wi
elos
c
i
an6w:
r
wno
l
e
g
l
os
c
ian
rozpi~ty
na
w
e
ktorach
a
=
(
0,
0
,1
)
,
b
=
(-1
,
2,
3
)
,
c
=
(2,5
,
-
1
)
;
I)
c1
-
w
o
rosc
i
an
0
wierzcholk
ac
h
A
=
(
1
,1,1),
B
=
(1,
2
,3), C
=
(2
,
3,
-
1),
D
=
(
-
1
,
3,5
)
;
I
)
I
'o
w
no
l
e
glosci
an
0
prz
e
k,
,
!tny
c
h
ii
,
v
,
w
.
5.
12
'1
1
1
I
'
I
I
,
wd
<:
i
c,
c
z
y
)
w
i
:
kt
ory
a
=
(-1,
3
, -5),
b
=
(1
,
-1
,
1),
c
=
(
4,
-
2
,0)
s"! wsp6
l
pl
as
z
c
zy
z
no
w
;
I
t
)
P
l
ll
l
kty
P
=
(
0
,
0,0)
,
Q
=
(-
1,2,3
),
R
=
(
2,3
,-4),
S
=
(
2,-1
,5
)
s"
!
wsp
6
1
p
I
I
I
K
1-
'
zyz
n
o
we
.
!d3
ll
ipi
r
ll
l
,
{'
r wn
a
nia
og
6ln
e
i p
a
r
ame
tryczne
pl
a
szczy
z
n
sp
e
lniaj,,!cy
c
h
p
o
d
a
n
e
W
I
I
IIld
I
p
l
l
l
rl
1-c1-
,
y1
-
na
p
rz
e
ch
odzi
pr
z
ez
p
u
nkt
P
=
(1, -
2
,
0
)
i jest prosto
pad
l
a
d
o
w<:
k
111
1
11
,
'
II
.
(
0,
-
3
,2
)
;
'I
1
'
1
I
I
I
1I
'
,
C
'I
'
,
y1-
1
l
1
1
,
p
rzec
hodzi
przez
p
unkty
P
I
=
(0
,
0
,
0)
,
P
2
=
(1
,2,3
)
,
P
:
!
(
I
,
:
1
,
II);
I
I
I
I
I
II
'
(,
'
'''
'
Y1-
I
I
I
1
,
pr
l'
,
(
'(
:
lI
oc
!
lI
i
pr
ll
(
l1-
I
l
I
lld
d
,
y
"I
(
I
,
:
1
,
1
1
)
,
P
'
j
,
(
2,
0
,
-
1
)
1
l
I
'
lW,
j
l
l
r
d
,
I
I
I
II
li
t
II
l
'lI
d I
I
I d
l,
1
'
1
1
I
1l1
-
1
'1
-y'I
,
lI
y
"
,
,
