ARKUSZ 1. Działania na liczbach wymiernych i niewymiernych.
Działania na zbiorach
1. Uprościć:
a)
q
x
3
√
y :
3
q
x
−2
√
y,
b)
3
q
1
9
a
−1
b
−2
:
3
√
81b
−
2
3
a
−2
−2
0,25
,
c)
"
x
−
1
2
r
a
−
3
4
x
3
a
1
4
x
−
1
2
1
3
#
1
2
:
"
x
−1
3
r
a
−1
x
−
3
2
a
−1
x
−
3
4
1
2
#
1
3
,
2. Obliczyć:
a)
q
x(1 − x) +
x
√
x
√
1−x
:
1
1+
√
x
+
√
x
1−x
, x ∈ (0, 1),
b)
q
x − 2
√
x + 1
√
x − 2
4
√
x + 1
:
4
√
x + 1
4
√
x − 1
+ 1, x ∈ (1, +∞).
3. Która z następujących liczb jest wymierna:
√
6,
q
3 + 2
√
2 −
√
2,
q
3 − 2
√
2 −
√
2,
q
11 + 6
√
2
3 +
√
2
,
q
11 − 6
√
2
3 −
√
2
.
4. Wykazać, że:
a)
3
q
√
5 + 2 −
3
q
√
5 − 2 = 1,
b)
s
a +
√
a
2
− b
2
2
+
s
a −
√
a
2
− b
2
2
=
√
a + b,
c)
s
a +
√
a
2
− b
2
2
−
s
a −
√
a
2
− b
2
2
=
√
a − b,
a > b,
d)
q
a + b + 2
√
ab +
q
a + b − 2
√
ab
2
= 4a, a b 0,
e) ∀
a,b6=0
a
6
b
2
+
b
6
a
2
a
4
+ b
4
.
5. Rozłożyć na czynniki następujące wyrażenia
a) x
4
− y
4
,
b) x
2
− 2xy + y
2
− 16,
c) x
4
+ x
2
+ 1,
d) x
8
+ x
4
+ 1,
e) (x − y)
3
+ (y − z)
3
+ (z − x)
3
,
f ) (x + y + z)
3
− x
3
− y
3
− z
3
.
1
