Dynamika Budowli

Drgania układów dyskretnych

o skończonej liczbie stopni

swobody

swobody

wykład 4

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o ,   s e m e s t r   5 ,   r o k   a k a d e m i c k i   2 0 1 1 / 1 2

Magdalena Rucka

Krzysztof Wilde

Dynamika Budowli

Drgania układów o skończonej liczbie stopni swobody

Dyskretyzacja układów

y

y

j

Stan przemieszczenia punktów materialnych należących do rozpatrywanej konstrukcji 
można opisać zbiorem wielkości, które nazywamy 

współrzędnymi uogólnionymi

.

Liczba dynamicznych stopni swobody (DSS) –

liczba niezależnych współrzędnych 

uogólnionych niezbędnych do określenia położenia wszystkich punktów materialnych 

g

y

ę

y

p

y

p

y

w każdej chwili, względem stanu równowagi statycznej.

Z uwagi na DSS modele obliczeniowe dzielimy na

Z uwagi na DSS, modele obliczeniowe dzielimy na:

• Układy o jednym stopniu swobody
• Układy o skończonej liczbie stopni swobody (układy dyskretne)
• Układy o nieskończonej liczbie stopni swobody (układy ciągłe)

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o ,   s e m e s t r   5 ,   r o k   a k a d e m i c k i   2 0 1 1 / 1 2

Magdalena Rucka

Krzysztof Wilde

2

Dynamika Budowli

Równanie ruchu

Drgania układów o skończonej liczbie stopni swobody

( )

j j

j j

j j

j

m u

c u

k u

p t

+

+

=





( )

ij

dj

sj

j

f

f

f

p t

+

+

=

j j

j j

j j

j

1

1

1

1

2

2

2

2

( )

( )

i

d

s

i

d

s

f

f

f

p t

f

f

f

p t

⎧

⎫ ⎧

⎫ ⎧

⎫ ⎧

⎫

+

+

=

⎨

⎬ ⎨

⎬ ⎨

⎬ ⎨

⎬

⎩

⎭

⎩

⎭ ⎩

⎭ ⎩

⎭

1

1 1

i

f

m u

f

m u

= 



1

1 1

2

1

2

(

)

s

f

k u

k u

u

=

+

−

2

2 2

i

f

m u

=

2

2

1

2

(

)

s

f

k u

u

= −

−

(

)

f

c u

c u

u

=

+

−







1

1 1

2

1

2

2

2

2

1

2

1

2

(

)

(

)

(

)

d

d

f

c u

c u

u

f

c u

u

c u

u

=

+

−

=

−

= −

−









1

1

1

2

2

1

1

2

2

1

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

0

( )

0

( )

m

u

c

c

c

u

k

k

k

u

p t

m

u

c

c

u

k

k

u

p t

+

−

+

−

⎡

⎤ ⎧ ⎫ ⎡

⎤ ⎧ ⎫ ⎡

⎤ ⎧ ⎫ ⎧

⎫

+

+

=

⎨ ⎬

⎨ ⎬

⎨ ⎬ ⎨

⎬

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

−

−

⎣

⎦ ⎩ ⎭ ⎣

⎦ ⎩ ⎭ ⎣

⎦ ⎩ ⎭ ⎩

⎭









Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o ,   s e m e s t r   5 ,   r o k   a k a d e m i c k i   2 0 1 1 / 1 2

Magdalena Rucka

Krzysztof Wilde

3

( )

( )

( )

( )

t

t

t

t

+

+

=

Mu

Cu

Ku

p





Dynamika Budowli

Drgania układów o skończonej liczbie stopni swobody

Drgania swobodne nietłumione

g

+

=

Mu Ku 0



(0)

=

u

u

0

0

(0)

(0)

=
=

u

u

u

u





)

ś i i

i d

ń ł

h

← warunki początkowe

( )

( )

n

n

t

q t

=

u

1

a) częstości i postacie drgań własnych

( )

cos

sin

n

n

n

n

n

q t

A

t B

t

ω

ω

=

+

2

2

(

cos

sin

)

(

cos

sin

)

n n

n

n n

n

n

n

n

n

n

n

A

t B

t

A

t B

t

ω

ω

ω

ω

ω

ω

−

−

+

+

=

M

K

0

1

1

(

)

2

n

n

ω

−

=

K

M

0

1

(

)

n

n

1

(

)

2

d t

0

K

M

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o ,   s e m e s t r   5 ,   r o k   a k a d e m i c k i   2 0 1 1 / 1 2

Magdalena Rucka

Krzysztof Wilde

4

(

)

2

det

0

n

ω

−

=

K

M

Dynamika Budowli

Drgania układów o skończonej liczbie stopni swobody

(

)

2

2

n

ω

wartości własne

(

)

2

n

n

ω

−

=

K

M

0

1

2

⎡

⎤

n

n

1

wartości własne

wektory własne

2

1

2

2

2

0

0

0

0

ω

ω

⎡

⎤

⎢

⎥

⎢

⎥

= ⎢

⎥

Ω

"

"

#

#

%

#

← macierz widmowa

2

0

0

N

ω

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

#

#

%

#

"

11

12

1N

φ

φ

φ

φ

φ

φ

⎡

⎤

⎢

⎥

"

21

22

2

1

2

N

jn

N

N

NN

φ

φ

φ

φ

φ

φ

φ

⎢

⎥

⎢

⎥

⎡

⎤

=

=

=

⎣

⎦ ⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

Φ

"

#

#

%

#

"

← macierz modalna (własna)

[

]

1

2

1

2

N

N

NN

N

φ

φ

φ

⎣

⎦

=

"

1

1

1

2

n

n

n

ω

=

K

M

1

1

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o ,   s e m e s t r   5 ,   r o k   a k a d e m i c k i   2 0 1 1 / 1 2

Magdalena Rucka

Krzysztof Wilde

5

2

=

KΦ MΦΩ

Dynamika Budowli

Drgania układów o skończonej liczbie stopni swobody

1

1

−

=

F K

+ =

FMu u 0



+

=

Mu Ku 0



(

)

2

n

n

ω

−

=

I

FM

0

1

2

n

ω

1

wartości własne

wektory własne

(

)

2

det

0

n

ω

−

=

I

FM

n

1

wektory własne

(

)

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o ,   s e m e s t r   5 ,   r o k   a k a d e m i c k i   2 0 1 1 / 1 2

Magdalena Rucka

Krzysztof Wilde

6

Dynamika Budowli

Drgania układów o skończonej liczbie stopni swobody

b) ortogonalność i normalizacja postaci drgań

)

g

j p

g

Jeżeli wszystkie wartości własne 

ω

n

są rzeczywiste, to wektory własne odpowiadające 

różnym częstościom drgań własnych 

ω

n

≠

ω

n

są ortogonalne z wagą macierzy 

0

T

=

K

1

1

0

T

=

M

1

1

sztywności i z wagą macierzy bezwładności

0

n

r

K

1

1

0

n

r

M

1

1

Ortogonalność postaci drgań zapewnia, że następujące macierze są diagonalne

T

=

K Φ KΦ

T

M = Φ MΦ



1

Normalizacja wektorów własnych

max

n

n

n

=





1

1

1

n

n

T

n

n

=

M





1

1

1

1

T

=

Φ MΦ I

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o ,   s e m e s t r   5 ,   r o k   a k a d e m i c k i   2 0 1 1 / 1 2

Magdalena Rucka

Krzysztof Wilde

7

2

T

=

Φ KΦ Ω

Dynamika Budowli

Drgania układów o skończonej liczbie stopni swobody

(

)

2

Przykład 1

[mode,vale] = eig(K,M)

(

)

2

n

n

ω

−

=

K

M

0

1

y

vale =

1301.7 0

0 7587.1

macierz
widmowa

macierz
modalna

mode =

-0.7071 -0.7071

val=diag(vale);

w=sqrt(val);

-1.0000 1.0000

w sqrt(val);

f=w/2/pi;

1

1

2

1

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o ,   s e m e s t r   5 ,   r o k   a k a d e m i c k i   2 0 1 1 / 1 2

Magdalena Rucka

Krzysztof Wilde

8

Dynamika Budowli

Drgania układów o skończonej liczbie stopni swobody

Przykład 2

Macierz sztywności:

y

Macierz sztywności:

a) metoda jednostkowych stanów przemieszczeń

u

u

φ

φ

3

3

2

192

96

24

0

96

96

24

24

EI

EI

EI

L

L

L

EI

EI

EI

EI

−

⎡

⎤

⎢

⎥

⎢

⎥

−

−

−

⎢

⎥

⎢

⎥

u

1

u

2

φ

3

φ

4

3

3

2

2

2

24

16

4

0

24

24

4

8

L

L

L

L

EI

EI

EI

L

L

L

EI

EI

EI

EI

⎢

⎥

= ⎢

⎥

−

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

−

⎢

⎥

K

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o ,   s e m e s t r   5 ,   r o k   a k a d e m i c k i   2 0 1 1 / 1 2

Magdalena Rucka

Krzysztof Wilde

9

2

2

L

L

L

L

⎢

⎥

⎣

⎦

Dynamika Budowli

Drgania układów o skończonej liczbie stopni swobody

Przykład 2

Macierz sztywności:

y

Macierz sztywności:

b) metoda agregacji elementowych macierzy sztywności

0

0

1

3

1

3

2

4

3

2

3

2

1

1

1

1

12

6

12

6

6

4

6

2

EI

EI

EI

EI

L

L

L

L

EI

EI

EI

EI

−

⎡

⎤

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

−

3

2

3

2

2

2

2

2

12

6

12

6

6

4

6

2

EI

EI

EI

EI

L

L

L

L

EI

EI

EI

EI

−

⎡

⎤

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

−

0           0        1        3

1           3         2        4

0    

1    

3

2

2

1

1

1

1

1

3

2

3

2

1

1

1

1

6

4

6

2

12

6

12

6

e

EI

EI

EI

EI

L

L

L

L

EI

EI

EI

EI

L

L

L

L

⎢

⎥

−

⎢

⎥

⎢

⎥

= ⎢

⎥

−

−

−

⎢

⎥

⎢

⎥

k

2

2

2

2

2

2

2

3

2

3

2

2

2

2

2

6

4

6

2

12

6

12

6

e

EI

EI

EI

EI

L

L

L

L

EI

EI

EI

EI

L

L

L

L

⎢

⎥

−

⎢

⎥

⎢

⎥

= ⎢

⎥

−

−

−

⎢

⎥

⎢

⎥

k

0        

1        

3      

2      

1

1

1

1

2

2

1

1

1

1

6

2

6

4

EI

EI

EI

EI

L

L

L

L

⎢

⎥

⎢

⎥

−

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

6

2

6

4

EI

EI

EI

EI

L

L

L

L

⎢

⎥

⎢

⎥

−

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

3

4

1

L

2

L

1           2         3        4

3

3

2

3

3

2

2

192

96

24

0

96

96

24

24

EI

EI

EI

L

L

L

EI

EI

EI

EI

−

⎡

⎤

⎢

⎥

⎢

⎥

−

−

−

⎢

⎥

⎢

⎥

1   

2

3

3

2

2

2

24

16

4

0

24

24

4

8

L

L

L

L

EI

EI

EI

L

L

L

EI

EI

EI

EI

⎢

⎥

= ⎢

⎥

−

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

−

⎢

⎥

K

2   

3   

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o ,   s e m e s t r   5 ,   r o k   a k a d e m i c k i   2 0 1 1 / 1 2

Magdalena Rucka

Krzysztof Wilde

10

2

2

L

L

L

L

⎢

⎥

⎣

⎦

4

Dynamika Budowli

Drgania układów o skończonej liczbie stopni swobody

Przykład 2

Macierz mas:

y

Macierz mas:

a) metoda mas skupionych

11

K

12

K

u

1

u

2

φ

3

φ

4

0

2

mL

mL

⎡

⎤

⎢

⎥

= ⎢

⎥

⎢

⎥

M

3

3

2

192

96

24

0

96

96

24

24

EI

EI

EI

L

L

L

EI

EI

EI

EI

−

⎡

⎤

⎢

⎥

⎢

⎥

−

−

−

⎢

⎥

0

4

mL

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

3

3

2

2

2

24

16

4

0

24

24

4

8

L

L

L

L

EI

EI

EI

L

L

L

EI

EI

EI

EI

⎢

⎥

⎢

⎥

= ⎢

⎥

−

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

−

⎢

⎥

K

2

2

24

24

4

8

EI

EI

EI

EI

L

L

L

L

⎢

⎥

⎣

⎦

22

K

21

K

1

11

12

22

21

'

−

=

−

K

K

K K K

768

240

7

7

EI

−

⎡

⎤

⎢

⎥

⎢

⎥

3

7

7

'

240

96

7

7

EI

L

= ⎢

⎥

−

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

K

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o ,   s e m e s t r   5 ,   r o k   a k a d e m i c k i   2 0 1 1 / 1 2

Magdalena Rucka

Krzysztof Wilde

11

Dynamika Budowli

Drgania układów o skończonej liczbie stopni swobody

Przykład 2

Macierz mas:

y

Macierz mas:

b) metoda mas rozłożonych                                                         
(metoda agregacji elementowych macierzy bezwładności)

(metoda agregacji elementowych macierzy bezwładności)

1

1

2

2

156

22

54

13

L

L

−

⎡

⎤

⎢

⎥

2

2

2

2

156

22

54

13

22

4

13

3

L

L

L

L

L

L

L

−

⎡

⎤

⎢

⎥

⎢

⎥

0        0       1       3

1       3        2        4

0    
0

1 
3

2

2

1

1

1

1

1

1

1

1

2

2

1

1

1

1

22

4

13

3

54

13

156

22

420

13

3

22

4

el

L

L

L

L

L

L

L

L

L

L

L

μ

⎢

⎥

−

⎢

⎥

=

⎢

⎥

−

⎢

⎥

−

−

−

⎢

⎥

⎣

⎦

m

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

4

13

3

54

13

156

22

420

13

3

22

4

el

L

L

L

L

L

L

L

L

L

L

L

μ

−

⎢

⎥

=

⎢

⎥

−

⎢

⎥

−

−

−

⎢

⎥

⎣

⎦

m

0        
1        
3

3 
2 
4

3

3

2

3

3

2

2

192

96

24

0

96

96

24

24

EI

EI

EI

L

L

L

EI

EI

EI

EI

L

L

L

L

−

⎡

⎤

⎢

⎥

⎢

⎥

−

−

−

⎢

⎥

⎢

⎥

312

54

0

6.5L

−

⎡

⎤

⎢

⎥

1        2        3        4

1    
2

2

2

2

24

16

4

0

24

24

4

8

L

L

L

L

EI

EI

EI

L

L

L

EI

EI

EI

EI

⎢

⎥

= ⎢

⎥

−

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

−

⎢

⎥

⎣

⎦

K

2

2

2

2

54

156

6.5

11

0

6.5

2

0.75

840

6.5

11

0.75

L

L

L

L

L

L

L

L

L

L

μ

⎢

⎥

−

⎢

⎥

=

⎢

⎥

−

⎢

⎥

−

−

−

⎣

⎦

M

2    
3    
4

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o ,   s e m e s t r   5 ,   r o k   a k a d e m i c k i   2 0 1 1 / 1 2

Magdalena Rucka

Krzysztof Wilde

12

2

2

L

L

L

L

⎣

⎦

Dynamika Budowli

Drgania układów o skończonej liczbie stopni swobody

Przykład 2

y

0

2

0

4

mL

mL

⎡

⎤

⎢

⎥

= ⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

M

3

768

240

7

7

240

96

7

7

EI

L

−

⎡

⎤

⎢

⎥

= ⎢

⎥

−

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

K

4

⎢

⎥

⎣

⎦

7

7

⎢

⎥

⎣

⎦

[mode,vale] = eig(K,M)

[mode,vale] eig(K,M)

val = diag(vale)

omega = sqrt(val)

f=omega/2/pi

mode =

0 3274

1 0000

-0.3274 -1.0000

-1.0000 0.6547

f =

6.3178

32.5434

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o ,   s e m e s t r   5 ,   r o k   a k a d e m i c k i   2 0 1 1 / 1 2

Magdalena Rucka

Krzysztof Wilde

13

Dynamika Budowli

Drgania układów o skończonej liczbie stopni swobody

Drgania swobodne tłumione

g

+

+

=

Mu Cu Ku 0





N

r r

q

=

=

∑

u

Φq

1

Wektor przemieszczenia wyrażony we współrzędnych modalnych

1

r r

r

q

=

∑

q

1

a

a

=

+

C

M

K

Macierz tłumienia proporcjonalnego

0

1

a

a

=

+

C

M

K

Macierz tłumienia proporcjonalnego

T

T

T

C = Φ CΦ

Równanie ruchu we współrzędnych modalnych

T

=

K Φ KΦ

T

M = Φ MΦ

+

+

=

Mq Cq Kq 0





Równanie ruchu we współrzędnych modalnych

0

M q

C q

K q

+

+

=





n

C

ξ

N równań różniczkowych

Liczba tłumienia każdej postaci

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o ,   s e m e s t r   5 ,   r o k   a k a d e m i c k i   2 0 1 1 / 1 2

Magdalena Rucka

Krzysztof Wilde

14

0

n n

n n

n n

M q

C q

K q

+

+

=

2

n

n

n n

M

ξ

ω

=

Dynamika Budowli

Drgania układów o skończonej liczbie stopni swobody

Wyznaczanie macierzy tłumienia proporcjonalnego

0

a

=

C

M

1

a

=

C

K

Wyznaczanie macierzy tłumienia proporcjonalnego

0

n

n

C

a M

=

2

1

1

n

n

n

n

C

a K

a

M

ω

=

=

0

0

2

2

2

n

n

n

C

a M

a

M

M

ξ

ω

ω

ω

=

=

=

1

1

n

n

n

n

2

1

1

n

n

n

n

C

a

M

a

ω

ω

ξ

=

=

=

2

2

2

n n

n n

n

M

M

ω

ω

ω

2

2

2

n

n n

n n

M

M

ξ

ω

ω

0

1

1

a

a

ξ

0

1

1

2

2

n

n

n

a

a

ξ

ω

ω

=

⋅

+

0

1

1

2

2

i

i

a

a

ξ

ω

=

⋅

+

1

ω

⎡

⎤

⎢

⎥

0

1

2

2

1

2

2

i

i

i

j

j

a

a

ξ

ω

ξ

ω

ω

=

⋅

+

0

1

1

1

2

i

i

i

j

j

a

a

ω

ω

ξ

ξ

ω

⎢

⎥

⎧ ⎫

⎡ ⎤

⎢

⎥

= ⎨ ⎬

⎢ ⎥

⎢

⎥ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭

⎢

⎥

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o ,   s e m e s t r   5 ,   r o k   a k a d e m i c k i   2 0 1 1 / 1 2

Magdalena Rucka

Krzysztof Wilde

15

2

2

j

ω

j

j

ω

⎢

⎥

⎣

⎦

Dynamika Budowli

Drgania układów o skończonej liczbie stopni swobody

Drgania wymuszone siłą harmoniczną

g

y

ą

ą

sin

o

t

ω

+

=

Mu Ku p



( )

sin

o

t

t

ω

=

u

u

(

)

2

d

o

o

ω

−

=

K

K

M u

p

 

p

z

– zastępcza siła statyczna

2

ω

=

+

Ku

p

Mu

K

d

– dynamiczna macierz sztywności

u – amplituda drgań wymuszonych harmonicznie

z

o

o

o

ω

+

p

Ku

p

Mu

 

u

o

amplituda drgań wymuszonych harmonicznie

1

o

d

o

−

=

u

K p

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o ,   s e m e s t r   5 ,   r o k   a k a d e m i c k i   2 0 1 1 / 1 2

Magdalena Rucka

Krzysztof Wilde

16

Dynamika Budowli

Drgania układów o skończonej liczbie stopni swobody

Drgania wywołane dowolnym obciążeniem

g

y

y

ą

wymuszającym

( )

t

+

+

=

Mu Cu Ku p





Całkowanie numeryczne równań ruchu:

Ca o a e u e yc e ó

a

uc u

• metoda różnic centralnych
• metoda Newmarka

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o ,   s e m e s t r   5 ,   r o k   a k a d e m i c k i   2 0 1 1 / 1 2

Magdalena Rucka

Krzysztof Wilde

17

Dynamika Budowli

Drgania układów o skończonej liczbie stopni swobody

Metoda różnic centralnych

i

i

i

i

+

+

=

Mu

Cu

Ku

p





Metoda różnic centralnych

( )

1

1

1

1

2

2

,

2

i

i

i

i

i

i

i

t

t

+

−

+

−

−

−

+

=

=

Δ

Δ

u

u

u

u

u

u

u





( )

t

Δ

( )

1

1

1

1

2

2

2

i

i

i

i

i

i

i

c

k

t

+

−

+

−

−

+

−

+

+

=

Δ

Δ

u

u

u

u

u

M

u

p

( )

2

2 t

t

Δ

Δ

⎡

⎤

⎡

⎤

⎡

⎤

( )

( )

( )

1

1

2

2

2

2

2

2

i

i

i

i

t

t

t

t

t

+

−

⎡

⎤

⎡

⎤

⎡

⎤

+

=

−

−

−

−

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

Δ

Δ

Δ

Δ

Δ

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

⎣

⎦

⎣

⎦

M

C

M

C

M

u

p

u

K

u

 

 

1

1

ˆ

ˆ

i

i

−

+

=

u

K p

ˆ

ˆ

i

p

K

 

 

2

kr

t

t

Δ ≤ Δ =

Warunek stabilności

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o ,   s e m e s t r   5 ,   r o k   a k a d e m i c k i   2 0 1 1 / 1 2

Magdalena Rucka

Krzysztof Wilde

18

max

kr

ω

Dynamika Budowli

Drgania układów o skończonej liczbie stopni swobody

[u,v,a]=mrc(M,C,K,P,t,u0,v0)

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% funkcja calkowania rownan ruchu metoda roznic centralnych

% funkcja calkowania rownan ruchu metoda roznic centralnych

% [u,v,a]=mrc(M,C,K,P,t,u0,v0)

%---------------------------------------------------------

% WEJSCIE:

% M - macierz mas (n x n)

% C - macierz tlumienia

(n x n)

% K - macierz sztywnosci

(n x n)

%

P

- wektor obciazen zewnetrznych

(n x nt)

% P

wektor obciazen zewnetrznych

(n x nt)

% t - wektor czasu (1 x nt)

% u0 - wektor przemieszczen poczatkowych (1 x n)

% v0 - wektor predkosci poczatkowych

(1 x n)

%----------------------------------------------------------

% WYJSCIE:

% u - wektor przemieszczen

(n x nt)

% v - wektor predkosci

(n x nt)

%

e to

p ed osc

(

t)

% a - wektor przyspieszen

(n x nt)

%----------------------------------------------------------

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o ,   s e m e s t r   5 ,   r o k   a k a d e m i c k i   2 0 1 1 / 1 2

Magdalena Rucka

Krzysztof Wilde

19