EWR 2010 drgania tłumione i wymuszone /
1
DRGANIA TŁUMIONE
rysunki z ksi
ążki Halliday,
Resnick, Walker, Podstawy fizyki,
tom 2, PWN 2003
EWR 2010 drgania tłumione i wymuszone /
1
DRGANIA TŁUMIONE
rysunki z ksi
ążki Halliday,
Resnick, Walker, Podstawy fizyki,
tom 2, PWN 2003
EWR 2010 drgania tłumione i wymuszone /
2
DRGANIA TŁUMIONE
Równanie ruchu
2
2
d x
dx
m
kx C
dt
dt
= − −
po uporz
ądkowaniu
2
2
0
2
0
d x
dx
x
dt
dt
γ
ω
+
+
=
γ
= C/m
rozwi
ązanie w postaci
t
x
A e
α
=
Sprawdzenie:
2
2
0
0
x
x
x
α
αγ
ω
+
+
=
2
2
0
(
)
0
x
α
αγ ω
+
+
=
po podzieleniu przez
x
otrzymuje si
ę
równanie kwadratowe na
α
:
2
2
0
0
α αγ ω
+
+
=
którego rozwi
ązanie jest postaci:
2
2
0
1
4
2
2
γ
α
γ
ω
= − ±
−
Mo
żliwe są dwa przypadki:
2
2
0
1
4
ω
γ
>
lub
2
2
0
1
4
ω
γ
≤
EWR 2010 drgania tłumione i wymuszone /
3
1 DRGANIA GASNĄCE
2
2
0
1
4
ω
γ
>
Rozwi
ązanie:
1
2
0
0
cos(
)
t
x
A e
t
γ
γ
ω
ϕ
− ⋅
=
+
opisuje oscylacje o cz
ęstości
1 / 2
2
2
0
1
4
γ
ω
ω
γ
=
−
i amplitudzie
1
2
0
( )
t
A t
A e
γ
−
⋅
=
A
0
i
ϕ
0
wyznacza si
ę
z warunków pocz
ątkowych
ω
ωω
ω
γ γ γ γ
≠
ω
ωω
ω
0
2
2
0
1
4
γ
ω
ω
γ
=
−
EWR 2010 drgania tłumione i wymuszone /
4
2 RUCH APERIODYCZNY
2
2
0
1
4
ω
γ
≤
2
2
0
1
1
2
4
α
γ
γ
ω
= −
±
−
jest liczb
ą rzeczywistą
1
2
1
2
t
t
x
A e
A e
α
α
=
+
2
2
1
0
1
1
2
4
α
γ
γ
ω
= −
+
−
2
2
2
0
1
1
2
4
α
γ
γ
ω
= −
−
−
Rozwi
ązanie jest rzeczywiste i aperiodyczne.
typ (a) gdy v
0
║
−
s
0
oraz
0
1
0
s
v
α
>
EWR 2010 drgania tłumione i wymuszone /
5
DRGANIA WYMUSZONE
w przypadku harmonicznej siły wymuszaj
ącej:
0
( )
cos(
)
F t
F
t
ω
=
⋅
wychylenie z poło
żenia równowagi:
)
cos(
)
(
0
θ
ω
+
⋅
=
t
x
t
x
b
–
współczynnik
tłumienia
ω
/
ω
0
rysunek z ksi
ążki Halliday,
Resnick, Walker, Podstawy fizyki,
tom 2, PWN 2003
EWR 2010 drgania tłumione i wymuszone /
6
DRGANIA WYMUSZONE
Równanie ruchu układu drgaj
ącego z siłą wymuszającą
F
(t) i sił
ą oporu
F
T
=
−
C v
2
2
( )
d x
dx
m
kx
C
F t
dt
dt
= −
−
+
po uporz
ądkowaniu:
2
2
0
2
( )
d x
dx
F t
x
dt
m
dt
γ ω
+
+
=
gdzie
m
C
=
γ
Dla harmonicznej siły wymuszaj
ącej:
)
cos(
)
(
0
t
F
t
F
ω
⋅
=
rozwi
ązaniem równania jest:
)
cos(
)
(
0
θ
ω
+
⋅
=
t
x
t
x
(
)
[
]
2
1
2
2
2
2
2
0
0
0
/
ω
γ
ω
ω
+
−
=
m
F
x
2
2
0
tg
ω
ω
γω
θ
−
−
=
EWR 2010 drgania tłumione i wymuszone /
7
AMPLITUDA i FAZA
DRGAŃ WYMUSZONYCH
(
)
0
0
2
2
2
2
2
0
F
x
m
ω ω
γ ω
=
⋅
−
+
2
2
0
tg
ω
ω
γω
θ
−
−
=
x
0
θ
ω
ω
0
F
k
γ
0
= 0
γ
1
<
γ
2
<
γ
3
γ
3
>
γ
2
>
γ
1
>
γ
0
=
0
rysunki z ksi
ążki: Jaworski Dietłaf,
Fizyka poradnik
encyklopedyczny,
PWN 2000
EWR 2010 drgania tłumione i wymuszone /
8
ROZWIĄZANIE OGÓLNE
i ROZWIĄZANIE SZCZEGÓLNE
Równanie niejednorodne:
2
2
0
2
/
d x
dx
x
F m
dt
dt
γ
ω
+
+
=
Rozwiązanie szczególne tego równania dla F=F
0
cos
ω
t:
( )
0
( )
cos(
)
s
x
t
x
t
ω θ
=
+
Je
żeli do
x
(s)
dodamy funkcj
ę będącą rozwiązaniem
równania jednorodnego:
2
2
0
2
0
d x
dx
x
dt
dt
γ
ω
+
+
=
czyli:
1
2
( )
0
0
( )
c o s(
)
t
o
x
t
A e
t
γ
γ
ω
ϕ
−
⋅
=
+
lub
1
2
( )
1
2
( )
a t
a t
o
x
t
A e
A e
=
+
nazywan
ą rozwiązaniem ogólnym równania
niejednorodnego, to suma tych rozwi
ązań też będzie
rozwi
ązaniem równania niejednorodnego.
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
t
x
t
x
t
x
s
o
+
=