EWR 2010 drgania tłumione i wymuszone /

1

DRGANIA TŁUMIONE

rysunki z ksi

ążki Halliday,

Resnick, Walker, Podstawy fizyki,
tom 2, PWN 2003

EWR 2010 drgania tłumione i wymuszone /

2

DRGANIA TŁUMIONE

Równanie ruchu

2

2

d x

dx

m

kx C

dt

dt

= − −

po uporz

ądkowaniu

2

2

0

2

0

d x

dx

x

dt

dt

γ

ω

+

+

=

γ

= C/m

rozwi

ązanie w postaci

t

x

A e

α

=

Sprawdzenie:

2

2

0

0

x

x

x

α

αγ

ω

+

+

=

2

2

0

(

)

0

x

α

αγ ω

+

+

=

po podzieleniu przez

x

otrzymuje si

ę

równanie kwadratowe na

α

:

2

2

0

0

α αγ ω

+

+

=

którego rozwi

ązanie jest postaci:

2

2

0

1

4

2

2

γ

α

γ

ω

= − ±

−

Mo

żliwe są dwa przypadki:

2

2

0

1

4

ω

γ

>

lub

2

2

0

1

4

ω

γ

≤

EWR 2010 drgania tłumione i wymuszone /

3

1 DRGANIA GASNĄCE

2

2

0

1

4

ω

γ

>

Rozwi

ązanie:

1
2

0

0

cos(

)

t

x

A e

t

γ

γ

ω

ϕ

− ⋅

=

+

opisuje oscylacje o cz

ęstości

1 / 2

2

2

0

1

4

γ

ω

ω

γ





=

−









i amplitudzie

1
2

0

( )

t

A t

A e

γ

−

⋅

=

A

0

i

ϕ

0

wyznacza si

ę

z warunków pocz

ątkowych

ω

ωω

ω

γ γ γ γ

≠

ω

ωω

ω

0

2

2

0

1

4

γ

ω

ω

γ

=

−

EWR 2010 drgania tłumione i wymuszone /

4

2 RUCH APERIODYCZNY

2

2

0

1

4

ω

γ

≤

2

2

0

1

1

2

4

α

γ

γ

ω

= −

±

−

jest liczb

ą rzeczywistą

1

2

1

2

t

t

x

A e

A e

α

α

=

+

2

2

1

0

1

1

2

4

α

γ

γ

ω

= −

+

−

2

2

2

0

1

1

2

4

α

γ

γ

ω

= −

−

−

Rozwi

ązanie jest rzeczywiste i aperiodyczne.

typ (a) gdy v

0

║

−

s

0

oraz

0

1

0

s

v

α

>

EWR 2010 drgania tłumione i wymuszone /

5

DRGANIA WYMUSZONE

w przypadku harmonicznej siły wymuszaj

ącej:

0

( )

cos(

)

F t

F

t

ω

=

⋅

wychylenie z poło

żenia równowagi:

)

cos(

)

(

0

θ

ω

+

⋅

=

t

x

t

x

b

–

współczynnik
tłumienia

ω

/

ω

0

rysunek z ksi

ążki Halliday,

Resnick, Walker, Podstawy fizyki,
tom 2, PWN 2003

EWR 2010 drgania tłumione i wymuszone /

6

DRGANIA WYMUSZONE

Równanie ruchu układu drgaj

ącego z siłą wymuszającą

F

(t) i sił

ą oporu

F

T

=

−

C v

2

2

( )

d x

dx

m

kx

C

F t

dt

dt

= −

−

+

po uporz

ądkowaniu:

2

2

0

2

( )

d x

dx

F t

x

dt

m

dt

γ ω

+

+

=

gdzie

m

C

=

γ

Dla harmonicznej siły wymuszaj

ącej:

)

cos(

)

(

0

t

F

t

F

ω

⋅

=

rozwi

ązaniem równania jest:

)

cos(

)

(

0

θ

ω

+

⋅

=

t

x

t

x

(

)

[

]

2

1

2

2

2

2

2

0

0

0

/

ω

γ

ω

ω

+

−

=

m

F

x

2

2

0

tg

ω

ω

γω

θ

−

−

=

EWR 2010 drgania tłumione i wymuszone /

7

AMPLITUDA i FAZA

DRGAŃ WYMUSZONYCH

(

)

0

0

2

2

2

2

2

0

F

x

m

ω ω

γ ω

=

⋅

−

+

2

2

0

tg

ω

ω

γω

θ

−

−

=

x

0

θ

ω

ω

0

F

k

γ

0

= 0

γ

1

<

γ

2

<

γ

3

γ

3

>

γ

2

>

γ

1

>

γ

0

=

0

rysunki z ksi

ążki: Jaworski Dietłaf,

Fizyka poradnik

encyklopedyczny,

PWN 2000

EWR 2010 drgania tłumione i wymuszone /

8

ROZWIĄZANIE OGÓLNE

i ROZWIĄZANIE SZCZEGÓLNE

Równanie niejednorodne:

2

2

0

2

/

d x

dx

x

F m

dt

dt

γ

ω

+

+

=

Rozwiązanie szczególne tego równania dla F=F

0

cos

ω

t:

( )

0

( )

cos(

)

s

x

t

x

t

ω θ

=

+

Je

żeli do

x

(s)

dodamy funkcj

ę będącą rozwiązaniem

równania jednorodnego:

2

2

0

2

0

d x

dx

x

dt

dt

γ

ω

+

+

=

czyli:

1
2

( )

0

0

( )

c o s(

)

t

o

x

t

A e

t

γ

γ

ω

ϕ

−

⋅

=

+

lub

1

2

( )

1

2

( )

a t

a t

o

x

t

A e

A e

=

+

nazywan

ą rozwiązaniem ogólnym równania

niejednorodnego, to suma tych rozwi

ązań też będzie

rozwi

ązaniem równania niejednorodnego.

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

t

x

t

x

t

x

s

o

+

=