PODSTAWY INFORMATYKI
KWANTOWEJ
EDWARD KWA´SNIEWICZ
GLIWICE, 2011
PODSTAWY INFORMATYKI
KWANTOWEJ
EDWARD KWA´SNIEWICZ
GLIWICE, 2011
ii
Contents
Wst ¾
ep
v
ELEMENTY ALGEBRY LINIOWEJ
vii
0.1
LINIOWE PRZESTRZENIE WEKTOROWE . . . . . . . . . .
vii
0.1.1
Notacja i dodawanie wektorów . . . . . . . . . . . . . . .
vii
0.1.2
Liniowa kombinacja wektorów . . . . . . . . . . . . . . . . viii
0.1.3
Norma wektora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ix
0.1.4
Przestrze´n Hilberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ix
0.2
OPERATORY LINIOWE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xi
0.2.1
Okre´slenie operatorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xi
0.2.2
Relacja zupe÷
no´sci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xii
0.2.3
Macierzowa reprezentacja operatorów . . . . . . . . . . . xiii
0.2.4
Iloczyn zewn ¾
etrzny i reprezentacja macierzowa . . . . . . xiv
0.2.5
Macierze Pauliego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiv
0.2.6
Operatory rzutowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xv
0.2.7
Warto´sci w÷
asne i wektory w÷
asne . . . . . . . . . . . . . . xvi
0.2.8
Operatory hermitowskie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvii
0.2.9
Operator odwrotny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xix
0.2.10 Operatory unitarne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xix
0.2.11 Zmiana bazy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xix
0.2.12 Twierdzenie o diagonalizacji operatorów komutuj ¾
acych . .
xx
0.2.13
Rozk÷
ad spektralny operatora i twierdzenie spektralne . . xxi
0.2.14 ´Slad macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxii
0.2.15 Iloczyn tensorowy
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxiii
ELEMENTY MECHANIKI KWANTOWEJ
xxvii
0.2.16
Do´swiadczenie Sterna-Gerlacha
. . . . . . . . . . . . . . xxvii
0.2.17 Do´swiadczenie Younga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxix
0.2.18 Postulaty mechaniki kwantowej . . . . . . . . . . . . . . . xxx
0.2.19 Do´swiadczenie Sterna-Gerlacha w ´swietle postulatów mechanik
kwantowej
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxxvii
0.2.20 Stany spl ¾
atane. Paradoks EPR . . . . . . . . . . . . . . . xxxix
0.2.21 Nierówno´s´c Bella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xlii
iii
iv
CONTENTS
OPERATOR G ¾
ESTO´SCI
xlv
0.2.22 Operator g ¾
esto´sci dla stanu czystego . . . . . . . . . . . . xlvi
0.2.23 Ewolucja w czasie operatora g ¾
esto´sci . . . . . . . . . . . . xlvi
0.2.24 Operator g ¾
esto´sci dla stanów mieszanych
. . . . . . . . . xlvii
OBWODY KWANTOWE
li
0.2.25
Kubit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
li
0.2.26 Sfera Blocha
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
lii
0.2.27 Pomiar stanu kubitu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
liii
0.2.28 Obwodowy model oblicze´n kwantowych . . . . . . . . . .
liv
0.2.29 Bramki dzia÷
aj ¾
ace na pojedy´nczy kubit
. . . . . . . . . .
lvi
0.2.30 Obroty sfery Blocha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lvii
0.2.31 Bramki kontrolne i generowanie stanów spl ¾
atanych . . . . lviii
0.2.32 Baza Bella
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lxii
0.2.33 Uniwersalne bramki kwantowe
. . . . . . . . . . . . . . . lxii
Wst ¾
ep
Wyniki bada´n naukowych w ostatnich kilkudziesi ¾
eciu latach pokazuj ¾
a, ·
ze na-
jbardziej spektakularne osi ¾
agni ¾
ecia w nauce i technice pojawiaj ¾
a si ¾
e w obszarze
bada´n interdyscyplinarnych. Wybitnym tego przyk÷
adem s ¾
a obliczenia kwan-
towe i kwantowe przetwarzanie informacji, procesy oparte na prawach …zyki
kwantowej , które leg÷
y u podstaw nowej dyscypliny naukowej - informatyki
kwantowej.Drugim …larem informatyki kwantowej jest matematyka, której takie
dzia÷
y jak algebra, teoria liczb, rachunek prawdopodobie´nstwa dostarczaj ¾
a narz ¾
edzido
opisu algorytmów kwantowych. Wreszcie do skostruwania samego narz ¾
edzia
informatyki kwantowej - komputera kwanntowego - konieczny jest trzeci …lar
zaawansowanych technologii in·
zynierskich.
Obliczenia kwantowe wykonywane s ¾
a na komputerze kwantowym, w kórym
no´snikami informacji s ¾
a obiekty o dwóch bazowych stanach kwantowych, takie
jak na przyk÷
ad pojedy´ncze elektrony, atomy, nukleony, j ¾
adra atomowe, itp .
Uk÷
ady takich skorelowanych obiektów mikroskopowych mog ¾
a znajdowa´c si ¾
e
w stanach kwantowych, które zgodnie z podstawow ¾
a zasad ¾
a mechaniki kwan-
towej -zasad ¾
a superpozycji- s ¾
a superpozycj ¾
a stanów kwantowych poszczegónych
obiektów. Zgodnie z zasad ¾
a superpozycji takie uk÷
ady kwantowe, najogólniej
mówi ¾
ac komputery kwantowe, mog ¾
a przyjmowa´c ró·
zne stany równocze´snie. Za-
tem stan wej´sciowy komputera kwantowego mo·
ze by´c superpozycj ¾
a wielu mo·
zli-
wych danych wej´sciowych (reprezentowanych przez superpozycj ¾
e odpowiednich
stanów wej´sciowych), a stan wyj´sciowy superpozycj ¾
a wyników ró·
znych danych
wej´sciowych. Mo·
zna wi ¾
ec na komputerze kwantowym wykonywa´c równocze´snie
obliczenia zadane okre´slonym algorytmem dla wielu ró·
znych danych wej´sciowych.
Ten fakt wskazuje na ogromne, potencjalne mo·
zliwo´sci obliczeniowe komputerów
kwantowych, nieosi ¾
agalne na komputerach klasycznych.
Inn ¾
a cech ¾
a stanów kwantowych uk÷
adów z÷
o·
zonych z obiektów o dwóch
stanach jest ich spl ¾
atanie, które przejawia w tym, ·
ze indywidualne cechy poszczegónych
sk÷
adników uk÷
adu nie s ¾
a dok÷
adnie okre´slone. Stany spl ¾
atane wykazuj ¾
a nie spo-
tykane w …zyce klasycznej w÷
asno´sci, które podobnie jak superpozycja stanów,
s ¾
a podstaw ¾
a oblicze´n kwantowych i kwantowego przetwarzania informacji (za-
gadnienia teleportacji, kryptogra…i kwantowej, superg ¾
estego kodowania).
Obliczenia na komputerze kwantowym polegaj ¾
a na odpowiednim sterowa-
niu uk÷
adów z÷
o·
zonych z mikroskopowych obiektów o dwóch bazowych stanach
kwantowych. Najogólniej mowi ¾
ac sterowanie uk÷
adami kwantowyymi polega na
odpowienim przygotowaniu stanu wej´sciowego takiego ukladu (wprowadzeniu
v
vi
WST ¾
EP
danych wej´sciowych) oraz przekszta÷
ceniu go przy pomocy zadanego algorytmu
do stanu wyj´sciowego i w konsekwencji do otrzymania wyników oblicze´n. Jednak
od razu wida´c, ·
ze sterowanie uk÷
adami z÷
o·
zonymi z obiektów mikroskopowych
jest bardzo trudne bowiem mechanika kwantowa uczy, ·
ze ka·
zda ingerencja w
uk÷
ad mikroskopowy powodujeniepowtarzaln ¾
a zmian ¾
e jego stanu. Dlatego kom-
putery kwantowe nie wysz÷
y jeszcze poza stadium konstrukcji laboratoryjnych,
ale jak pokazuje historia bada´n naukowych powszechne u·
zytkowanie komput-
erów kwantowych jest tylko kwesti ¾
a czasu.
Dotychczasowe badania teoretyczne dowodz ¾
a, ·
ze obliczenia kwantowe s ¾
a
nieporównywalnie szybsze od oblicze´n na komputerze klasycznym. Wybitnym
tego przyk÷
adem jest kwantowy algorytm Shora faktoryzacji du·
zych liczb na
czynniki pierwsze. Jego implementacja na komputerze kwantowym, je´sli taki
powstanie, pozwoli÷
aby szybko z÷
ama´c powszechnie stosowane kody zabezpiecza-
j ¾
ace ró·
zne sekretne dane.
Równie·
z kwantowe systemy przetwarania danych
oparte na zjawisku teleportacji stanu kwantowego obiektu mikroskopowego umo·
zli-
wiaj ¾
a. tworzenie systemów kryptogra…cznych, które nie mo·
zna z÷
ama´c.
ELEMENTY ALGEBRY
LINIOWEJ
0.1
LINIOWE PRZESTRZENIE WEKTOROWE
0.1.1
Notacja i dodawanie wektorów
Podstawowym narz ¾
edziem opisu zagadnie´n z informatyki kwantowej s ¾
a sko´nc-
zone, zespolone liniowe przestrzenie wektorowe C
n
.
Wed÷
ug notacji zapro-
ponowanejj przez Diraca dowolny wektor nale·
zacy do przestrzeni C
n
zapisujemy
j i =
2
6
6
6
6
6
6
4
1
2
:
:
:
n
3
7
7
7
7
7
7
5
(1)
gdzie liczby
1
;
2
; :::;
n
2 C (C-zbiór liczb zespolonych) s ¾
a wspo÷
rz ¾
ednymi
wektora j i. Wektor j i nazywamy wektorem/stanem "ket". Dwa wektory
"ket" mo·
zna dodawa´c, tzn.wektor j i 2 C
n
jest sum ¾
a wektorów j i i j i 2 C
n
gdy
i
=
i
+
i
, i = 1; 2; :::; n
(2)
Dla dowolnych wektorów
j i ; j i ; j i 2 C
n
i dowolnych c; d 2 C dzia÷anie
dodawania wektorów posiada nast ¾
epuj ¾
ace w÷
asno´sci
j i + j i = j i + j i
(3)
j i + (j i + j i) = (j i + j i) + j i
(4)
c j i 2 C
n
(5)
c(j i + j i) = c j i + c j i
(6)
(c + d) j i = c j i + d j i
(7)
(cd) j i = c(d j i)
(8)
vii
viii
ELEMENTY ALGEBRY LINIOWEJ
Wektor zerowy 0 2 C
n
de…niujemy: dla dowolnego j i 2 C
n
j i + 0 = j i :
W tym miejscu zwracamy uwag ¾
e, ·
ze do oznaczenia wektora zerowego nie stosu-
jemy oznaczenia j0i gdy·
z jest ono zarezerwowane do oznaczania jednego z wek-
torów bazowych dwówymiarowej przestrzeni Hilberta C
2
(de…nicja przestrzeni
Hilberta podana jest w rozdziale....).
0.1.2
Liniowa kombinacja wektorów
Niech zbiór liczb c
1
; c
2
; :::; c
n
2 C; a zbiór wektorów j
1
i ; j
2
i ; :::; j
n
i 2 C
n
.
Wyra·
zenie
c
1
j
1
i + c
2
j
2
i + :::c
n
j
n
i =
n
X
i=1
c
i
j
i
i
(9)
nazywamy liniow ¾
a kombinacj ¾
a tych wektorów, która w ogólno´sci te·
z jest wek-
torem, elementem przestrzeni C
n
Gdy równanie
c
1
j
1
i + c
2
j
2
i + :::c
n
j
n
i = 0
(10)
zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy c
1
= c
2
= ::: = c
n
= 0 to wektory j
1
i ; j
2
i ; :::; j
n
i
2 C
n
s ¾
a liniowo niezale·
zne. W przeciwnym razie, gdy chocia·
z jede ze wspó÷
czyn-
ników c
i
6= 0 to wektory j
i
i s ¾
a liniowo zale·
zne. Wektory liniowo niezale·
zne
rozpinaj ¾
a przestrze´n C
n
poniewa·
z dowolny wektor z tej przestrzeni mo·
zna
wyrazi´c w postaci (9).
Iloczyn skalarny wektorów
Iloczyn skalarny dwóch wektorów j i, j i 2 C
n
jest liczb ¾
a zespolon ¾
a, któr ¾
a
zapisujemy h j i, spe÷niaj ¾
ac ¾
a nast ¾
epuj ¾
ace warunki:
h j i = h j i
gdzie znak ( ) oznacza zespolone sprz ¾
e·
zenie,
(11)
h j c + d i = c h j i + d h j i gdzie j i ; j i ; j i 2 C
n
; c; d 2 C
(12)
h j i
0 dla dowolnego j i 2 C
n
; równo´s´c zachodzi tylko wtedy gdy j i = 0
(13)
Na podstawie w÷
asno´sci (??) mo·
zna sprawdzi´c, ·
ze
hc j i = c h j i
(14)
Aby policzy´c iloczyn skalarny dwóch wektorów musimy zde…niowa´c co rozu-
miemy przez symbol h j :Otó·
z oznacza on hermitowskie sprz ¾
e·
zenie wektora j i,
tzn
h j = (j i)
y
=
2
6
6
6
6
6
6
4
1
2
:
:
:
n
3
7
7
7
7
7
7
5
y
=
1
2
:
:
:
n
(15)
0.1.
LINIOWE PRZESTRZENIE WEKTOROWE
ix
Wektor h j nazywamy dualnym wektorem do wektora j i albo cz ¾
e´sciej wektorem
"bra". Zgodnie z powy·
zsz ¾
a notacj ¾
a loczyn skalarny dwóch wektorów j i i j i
2 C
n
h j i =
1
2
:
:
:
n
2
6
6
6
6
6
6
4
1
2
:
:
:
n
3
7
7
7
7
7
7
5
=
n
X
i=1
i
i
(16)
0.1.3
Norma wektora
Norm ¾
e wektora
j i 2 C
n
de…niujemy
kj ik =
p
h j i =
v
u
u
t
n
X
i=1
i
i
=
v
u
u
t
n
X
i=1
j
i
j
2
(17)
Wektor j i jest unormowany gdy iloczyn skalarny h j i = 1
h j i = 1
(18)
Je´sli nie jest spe÷
niony warunek (18) to mówimy, ·
ze wektor j i = (
1
;
2
; :::;
n
)
T
jest wektorem nieunormowanym (górny indeks T
oznacza transponowanie).
Mo·
zna go zawsze unormowa´c dziel ¾
ac jego wspó÷
rz ¾
edne przez norm ¾
e (17) . Un-
ormowany wektor
j
0
i =
j i
kj ik
= (
1
kj ik
;
2
kj ik
; :::;
n
kj ik
)
T
= (
0
1
;
0
2
; :::;
0
n
)
T
(19)
0.1.4
Przestrze´
n Hilberta
Przed podaniem de…nicji przestrzeni Hilberta, zde…niujemy poj ¾
ecie przestrzeni
unitarnej i przestrzeni zupe÷
nej.
Liniow ¾
a , zespolon ¾
a przestrze´n wektorow ¾
a,
w której jest zde…niowany iloczyn skalarny nazywamy przestrzeni ¾
a unitarn ¾
a.
Natomiast przestrze´n jest zupe÷
na wtedy gdy dowolny ci ¾
ag o wyrazach nale·
z ¾
a-
cych do danej przestrzeni posiada granic ¾
e, która te·
z jest elementem tej przestrzeni
Pos÷
uguj ¾
ac si ¾
e poj ¾
eciami przestrzeni unitarnej i przestrzeni zupe÷
nej de…nicja
przestrzeni Hilberta jest nast ¾
epuj ¾
aca.
Przestrzeni ¾
a Hilberta nazywamy unitarn ¾
a przestrze´
n zupe÷
n ¾
a.
Przestrze´n Hilberta mo·
ze by´c sko´nczona, gdy wymiar przestrzeni jest sko´nc-
zony, lub nieskonczona gdy jej wymiar jest niesko´nczony. W drugim przypadku
musi by´c jednak przstrzeni ¾
a przeliczaln ¾
a tzn. zbiór wektorów bazowych rozpina-
j ¾
acych przestrze´n musi by´c przeliczalny.
x
ELEMENTY ALGEBRY LINIOWEJ
Nierowno´s´c Couchy’ego -Schwartza i nierówno´s´c trójk ¾
ata
Dla dowolnych dwóch wektorów j i, j i 2 C
n
spe÷
niona jest tzw. nierówno´s´c
Couchy’ego-Schwartza
jh j ij
2
h j i h j i
(20)
W szczególnym przypadku gdy iloczyn skalarny jest rzeczywisty nieróno´s´c Couchy’ego-
Schwartza ma prost ¾
a interpretacj ¾
e geometryczn ¾
a. Nierówno´s´c (20) upraszcza
si ¾
e do wyra·
zenia
1
h j i
kj ik kj ik
1
(21)
a sam iloczyn skalarny
h j i = kj ik kj ik cos #
(22)
gdzie # jest k ¾
atem mi ¾
edzy wektorami j i i j i.
Nierówno´s´c
p
h + j + i
p
h j i +
p
h j i
(23)
nazywamy nierówno´sci ¾
a trójk ¾
ata. Pos÷
uguj ¾
ac si ¾
e de…nicj ¾
a normy wektora (rów-
nanie (17)) mo·
zna j ¾
a zapisa´c nast ¾
epuj ¾
aco
kh + j + ik
kh j ik + kh j ik
(24)
co oznacza, ·
ze d÷
ugo´s´c sumy wektorów nie mo·
ze by´c wi ¾
eksza od sumy d÷
ugo´sci
tych wektorów podobnie jak w trójk ¾
acie suma d÷
ugo´sci boków przyleg÷
ych do
danego k ¾
ata nie mo·
ze by´c mniejsza od d÷
ugo´sci boku przeciwleg÷
ego do tego
k ¾
ata.
Ortonormalno´s´c stanów
Dwa wektory j i i j i s ¾
a ortogonalne gdy iloczyn skalarny
h j i = 0
(25)
Gdy dodatkowo s ¾
a one unormowane do jedno´s´ci tzn. gdy kj ik = 1 i kj ik = 1
to mówimy, ·
ze s ¾
a ortonormalne. Zbiór wektorów fj
1
i ; j
2
i ; :::; j
n
ig tworzy
zbiór wektorów ortonormalnych gdy
h
i
j
j
i =
ij
(i; j = 1; 2; :::; n)
(26)
Zgodnie z de…nicj ¾
a liniowej niezale·
zno´sci wektorów (wzór 10) wektory orto-
normalne s ¾
a liniowo niezale·
zne.
Wymiar n przestrzeni wektorowej V
n
jest
równy maksymalnej liczbie liniowo niezale·
znych wektorów fj
1
i ; j
2
i ; :::; j
n
ig
2 V
n
. Wektory te tworz ¾
a baz ¾
e przestrzeni V
n
:Dodatkowo, je´sli s ¾
a one ortonor-
malne to tworz ¾
a baz ¾
e ortonormaln ¾
a przestrzeni V
n
.
W ortonormalnej bazie
fj
1
i ; j
2
i ; :::; j
n
ig dowolny wektor j i 2 V
n
mo·
zna zapisa´c
j i =
n
X
i=1
a
i
j
i
i
(27)
0.2. OPERATORY LINIOWE
xi
Korzystaj ¾
ac z warunku (26) wspó÷
czynniki a
i
wyliczamy z wzoru
a
i
= h
i
j i
(28)
Je´sli przestrze´n V
n
jest przestrzeni ¾
a zepolon ¾
a tzn. gdy V
n
= C
n
to wspó÷
czyn-
niki a
i
( 28) s ¾
a zespolone. Mówimy te·
z, ·
ze ortonormlna baza fj
1
i ; j
2
i ; :::; j
n
ig
przestrzeni V
n
(C
n
) tworzy zupe÷
ny zbiór wektorów, a zbiór wspó÷
czynników
fa
1
; a
2
; :::; a
n
) stanowi reprezentacj ¾
e wektora j i w bazie fj
1
i ; j
2
i ; :::; j
n
ig.
Ortonormalizacja Grama-Schmidta
Ortonormalizacja Grama-Schmidta jest procedur ¾
a, która pozwala otrzyma´c baz ¾
e
ortonormaln ¾
a przestrzeni V
n
z bazy nieortogonalnej (czyli z dowolnego zbioru o
maksymalnej liczbie n wektorów liniowo niezale·
znych w przestrzeni V
n
). Niech
zbiór wektorów fj
1
i ; j
2
i ; :::; j
n
ig tworzy baz ¾
e n-wymiarowej przestrzeni
V
n
, niekoniecznie ortogonaln ¾
a
i unormowan ¾
a.
Utwórzmy z
tych wektorów now ¾
a baz ¾
e wektorów, które s ¾
a ortogonalne stosuj ¾
ac nast ¾
epuj ¾
ac ¾
a
procedur ¾
e Grama-Schmidta
j
1
i = j
1
i
(29)
j
2
i = j
2
i
h
1
j
2
i
h
1
j
1
i
j
1
i
(30)
:
(31)
:
(32)
:
(33)
j
n
i = j
2
i = j
n
i
h
1
j
n
i
h
1
j
1
i
j
1
i
h
2
j
n
i
h
2
j
2
i
j
2
i
:::
h
n 1
j
n
i
h
n 1
j
n 1
i
j
n 1
i
(34)
Normuj ¾
ac otrzymane wektory (34) otrzymujemy ortonormaln ¾
a baz ¾
e
fj
i
i =
j
i
i
kj
i
ik
g; i =; 2; :::; n
(35)
przestrzeni V
n
(lub C
n
). Dowolny wektor nale·
z ¾
acy do tej przestrzeni mo·
zna
rozwin ¾
a´c w bazie (35) wed÷
ug wzoru (27).
0.2
OPERATORY LINIOWE
0.2.1
Okre´slenie operatorów
Operator okre´sla matematyczne odwzorowanie, które przekszta÷
ca dan ¾
a funkcj ¾
e
w inn ¾
a funkcj ¾
e. Operatory cz ¾
esto oznaczane s ¾
a literami, nad którymi umieszcza
si ¾
e daszek. Na przyk÷
ad mo·
zemy zde…niowa´c operator ró·
zniczkowania
b
D =
d
dx
(36)
xii
ELEMENTY ALGEBRY LINIOWEJ
który owzorowuje funkcj ¾
e f (x) w jej pochodn ¾
a. Uogólniaj ¾
ac, mo·
zemy okre´sli´c
operatory w przestrzeniach wektorowych. Wówczas operator b
A okre´sla matem-
atyczn ¾
a regu÷¾
e, wed÷
ug której wektor ket j i jest przekszta÷cany w wektor ket
j i
b
A j i = j i
(37)
Operatory mog ¾
a równie·
z dzia÷
a´c na wektory bra
h j b
A = h j
(38)
Za÷
ó·
zmy, ze dany jest operator
b
A , który odwzorowuje dowolny wektor
j i 2 V
n
na inny wektor j i 2 V
n
tj. j i = b
A j i .
b
A
jest operatorem
liniowym je´sli dla dowolnych wektorów
j i ; j i i dowolnych liczb a; b 2 C
posiada w÷
asno´s´c
b
A(a j i + b j i) = a b
A j i + b b
A j i
(39)
W szczególno´sci operatorem liniowym jest operator identyczno´sci (b
I j i = j i).
Podobnie operatorem linowym jest operator b
N , który dowolny wektor odw-
zorowuje w wektor zerowy ( b
N j i = 0). Dwa operatory b
A; b
B s ¾
a równe, tzn
b
A = b
B gdy dla dowolnego wektora j i zachodzi równo´s´c
b
A j i = b
B j i
(40)
Sum ¾
e dwóch operatorów liniowych
b
C = b
A + b
B de…niujemy
b
C j i = ( b
A + b
B) j i = b
A j i + b
B j i
(41)
Produkt (z÷
o·
zenie) dwóch operatorów liniowych
b
D = b
A b
B de…niujemy przy
pomocy zwi ¾
azku
b
D j i = b
A b
B j i = b
A( b
B j i)
(42)
Zawsze b
A + b
B = b
B + b
A , ale nie zawsze b
A b
B = b
B b
A.
Je´sli b
A b
B = b
B b
A to
mówimy, ·
ze operatory b
A i b
B komutuj ¾
a.
0.2.2
Relacja zupe÷
no´sci
W iemy, ·
ze w ortonormalnej bazie fj
1
i ; j
2
i ; :::; j
n
ig dowolny wektor j i 2
V
n
mo·
zna zapisa´c j i =
P
n
i=1
a
i
j
i
i, gdzie a
i
= h
i
j i. Znaczy to, ·
ze
j i =
n
X
i=1
a
i
j
i
i =
n
X
i=1
j
i
i h
i
j i
(43)
Z wzoru (43) ÷
atwo wywnioskowa´c, ·
ze
P
n
i=1
j
i
i h
i
j jest operatorem poniewa·
z
zgodnie z (??) przekszta÷
ca on wektor w wektor. Ponaddto, relacja (43) jest
s÷
uszna dla dowolnego wektora j i 2 V
n
i przekszta÷
ca go w siebie, co oznacza
·
ze operator
P
n
i=1
j
i
i ha
i
j
jest operatorem identyczno´sci. Relacj ¾
e
b
I =
n
X
i=1
j
i
i h
i
j
(44)
0.2. OPERATORY LINIOWE
xiii
nazywamy relacj ¾
a zupe÷
no´sci dla przestrzeni V
n
.
0.2.3
Macierzowa reprezentacja operatorów
Niech operator b
A dzia÷
a na dowolny wektor j i 2 V
n
daj ¾
ac w wyniku wektor
j i 2 V
n
tj.
b
A j i = j i
(45)
Wektory j i i j i mo·
zna przedstawi´c jako kombinacja liniowa wektorów zu-
pe÷
nej, ortonormalnej bazy fj
1
i ; j
2
i ; :::; j
n
ig rozpinaj ¾
acej przestrze´n V
n
. Mamy
j i = b
I j i =
n
X
i=1
j
i
i h
i
j i =
n
X
i=1
a
i
j
i
i
(46)
oraz
j i = b
I j i =
n
X
i=1
j
i
i h
i
j i =
n
X
i=1
b
i
j
i
i
(47)
Z wzorów (45), (46) i (47) otrzymujemy b
i
= h
i
j i = h
i
j b
A j i =
P
n
j=1
h
i
j b
A
j
a
j
czyli
b
i
=
n
X
j=1
A
ij
a
j
gdzie A
ij
= h
i
j b
A
j
; i = 1; 2; :::; n
(48)
Uk÷
ad równa´n (48) mo·
zna zapisa´c w postaci macierzowej
2
6
6
6
6
6
6
4
b
1
b
2
:
:
:
b
n
3
7
7
7
7
7
7
5
=
2
6
6
6
6
6
6
4
A
11
A12
:
:
:
A
1n
A
21
A
22
:
:
:
A
2n
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
A
n1
A
n2
:
:
:
A
nn
3
7
7
7
7
7
7
5
2
6
6
6
6
6
6
4
a
1
a
2
:
.
:
a
n
3
7
7
7
7
7
7
5
(49)
gdzie zgodnie z notacj ¾
a wprowadzon ¾
a w rozdziale (0.1.2) wektor j i zapiszemy
jako wektor kolumnowy
j i =
2
6
6
6
6
6
6
4
a
1
a
2
:
:
.
a
n
3
7
7
7
7
7
7
5
(50)
a wektor h j = (j i)
y
zapiszemy w formie macierzy jednowierszowej, tj.
h j =
b
1
b
2
:
:
:
b
n
(51)
xiv
ELEMENTY ALGEBRY LINIOWEJ
Macierz
[A
ij
] nazywamy reprezentacj ¾
a macierzow ¾
a operatora b
A
w bazie
fj
1
i ; j
2
i ; :::; j
n
ig.
Korzystaj ¾
ac z operatora identyczno´sci (??) operator b
A
mo·
zna wyrazi´c nast ¾
epuj ¾
aco
b
A = b
I b
A b
I = (
n
X
i=1
j
i
i h
i
j) b
A(
n
X
i=1
j
i
i h
i
j) =
n
X
i=1
h
i
j b
A
j
j
i
i
j
(52)
Oczywi´scie, ten sam operator mo·
zna w identyczny sposób wyrazi´c w innej orto-
normalnej bazie, czyli reprezentacja macierzowa operatora zale·
zy od wyboru
bazy (patrz rozdzia÷(??)).
0.2.4
Iloczyn zewn ¾
etrzny i reprezentacja macierzowa
Iloczyn stanu ket j i ze stanem bra h j ; który zapisujemy jako j i h j nazy-
wamy iloczynem zewn ¾
etrznym. Wielko´s´c ta jest operatorem, bo je´sli zadzia÷
amy
na niego dowolnym stanem j i, tj.
(j i h j) j i = h j i j i
(53)
to otrzymamy stan ket j i pomno·
zony przez liczb ¾
e zespolon ¾
a h j i.
Je´sli
rozwiniemy stany j i i h j w ortonormalnej bazie fj
1
i ; j
2
i ; :::; j
n
ig wedlug
wzoru (43), a nast ¾
epnie skorzystamy z notacji macierzowej tych stanów, tj.
j i = [ a
1
a
2
:
:
:
a
n
]
T
(54)
oraz
h j = [ b
1
b
2
:
:
:
b
n
]
(55)
to w reprezentacji macierzowej
j i h j =
2
6
6
6
6
6
6
4
a
1
a
2
:
:
:
a
n
3
7
7
7
7
7
7
5
[ b
1
b
2
:
:
:
b
n
]
2
6
6
6
6
6
6
4
a
1
b
^
1
a
1
b
2
:
:
:
a
1
b
n
a
2
b
1
a
2
b
2
:
:
:
a
2
b
n
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
a
n
b
1
a
n
b
2
:
:
:
a
n
b
n
3
7
7
7
7
7
7
5
(56)
Znowu widzimy, ·
ze macierzowa reprezentacja iloczynu zewn ¾
etrznego j i h j za-
le·
zy o wyboru bazy, w ktorej rozwijamy stany h j i j i.
0.2.5
Macierze Pauliego
Macierze Pauliego w mechanice kwantowej maj ¾
a podstawowe znaczenie dla opisu
cz ¾
astek, których spin w jednostkach
h
jest równy
1
2
: Maj ¾
a one równie·
z funda-
mentalne znaczenie w kwantowych obliczeniach. S ¾
a one nast ¾
epuj ¾
ace
x
=
0
1
1
0
,
y
=
0
i
i
0
,
z
=
1
0
0
1
(57)
0.2. OPERATORY LINIOWE
xv
Jak ÷
atwo si ¾
e przekona´c stanom w÷
asnym macierzy
z
j0i =
1
0
i j1i =
0
1
(58)
odpowiadaj ¾
a warto´sci w÷
asne 1 i
1 (patrz rozdzia÷(0.2.7)) co mo·
zemy zapisa´c
tak
z
j0i = j0i ;
z
j1i =
j1i
(59)
Bezpo´srednio otrzymujemy, ·
ze dzia÷
anie operatorów
x
i
y
na stany (58) jest
nast ¾
epuj ¾
ace
x
j0i = j1i ;
x
j1i = j0i
(60)
y
j0i = i j1i ;
y j1i = i j0i
(61)
Operator
x
nazywany jest te·
z operatorem negacji NOT.
Macierze Pauliego spe÷
niaj ¾
a nast ¾
epuj ¾
ace zwi ¾
azki
2
x
=
2
y
=
2
z
= I gdzie I =
1
0
0
1
(62)
x
y
= i
z
,
y
z
= i
x
oraz
z
x
= i
y
(63)
0.2.6
Operatory rzutowe
Operatory rzutowe to klasa operatorów liniowych. Je´sli np. j i 2 V
n
jest
wektorem jednostkowym to rzut dowolnego wektora j i na kierunek wektora
j i jest wektorem, który mo·
zna zapisa´c
j i = b
P j i = j i h j i
(64)
Operator b
P = j i h j nazywamy operatorem rzutowym. Od razu otrzymujemy
b
P j i = j i oraz b
P j i = 0 gdy h j i = 0:Ponadto operator rzutowy spe÷nia
zwi ¾
azek
b
P = b
P
2
(65)
Operator (65) mo·
zna uogólni´c na operator rzutuj ¾
acy na podprzestrze´n V
m
przestrzeni V
n
(m < n) rozpinan ¾
a przez ortonormalny zbiór wektorów fj
1
i ; j
2
i ; :::; j
m
ig
b
P =
m
X
i=1
j
i
i h
i
j
(66)
Poniewa·
z h
i
j
j
i =
ij
otrzymujemy
b
P = b
P
2
(67)
Ka·
zdy operator, który spe÷
nia równanie (67) jest operatorem rzutowym.
xvi
ELEMENTY ALGEBRY LINIOWEJ
0.2.7
Warto´sci w÷
asne i wektory w÷
asne
Wektor j i (j i 6= 0) jest wektorem w÷asnym operatora liniowego b
A gdy
b
A j i = j i
(68)
Zespolon ¾
a liczb ¾
e
w równaniu (68) nazywamy waro´sci ¾
a w÷
asn ¾
a odpowiadaj ¾
ac ¾
a
wektorowi w÷
asnemu j i operatora b
A:Zagadnienie w÷
asne okre´slone równaniem
(68) ma zawsze rozwi ¾
azanie. Rzeczywi´scie, korzystaj ¾
ac z relacji zupe÷
no´sci( 44)
wektory j i i b
A j i mo·
zna rozwin ¾
a´c w ortonormalnej bazie fj
1
i ; j
2
i ; :::; j
n
ig
rozpinaj ¾
acej przestrze´n V
n
otrzymuj ¾
ac
j i = b
I j i =
n
X
i=1
j
i
i h
i
j i =
n
X
i=1
a
i
j
i
i gdzie a
i
= h
i
j i
(69)
oraz
b
A j i = b
I b
A j i =
n
X
i=1
j
i
i h
i
j b
A j i =
n
X
i=1
c
i
j
i
i gdzie c
i
= h
i
j b
A j i
(70)
Z drugiej strony
c
i
= h
i
j b
A b
I j i =
n
X
j=1
h
i
j b
A
j
h
j
j i =
n
X
j=1
A
ij
a
j
(71)
Wstawiaj ¾
ac (??) do (68) otrzymujemy równanie
n
X
i=1
(
n
X
j=1
A
ij
a
j
a
i
) j
i
i = 0
(72)
które jest spe÷
nione gdy
n
X
j=1
A
ij
a
j
a
i
=
n
X
j=1
(A
ij
ij
)a
j
= 0 dla i = 1; 2; :::; n
(73)
Uk÷
ad n jednorodnych linowych równa´n (73) ma rozwi ¾
azanie niezerowe je´sli
warto´sci w÷
asne
spe÷
niaj ¾
a równanie charakterystyczne
det(A
I) = det
A
11
A
12
:
:
A
1n
A
21
A
22
:
:
A
2n
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
A
n1
A
n2
:
:
A
nn
= 0
(74)
Wiemy, ·
ze det(A
I) jest wielomianem stopnia n ze wzgl ¾
edu na niewiadom ¾
a
. Fundamentalne twierdzenie algebry mówi, ·
ze równanie det(A
I) = 0
ma n zespolonych pierwiastków
1
;
2
; :::;
n
co oznacza, ·
ze równanie w÷
asne
(68) ma zawsze rozwi ¾
azanie. Mo·
zna pokaza´c, ·
ze równanie charakterystyczne
(74) zale·
zy tylko od operatora b
A, a nie zale·
zy od wyboru bazy (macierzowej
reprezentacji operatora A). Dlatego te·
z warto´sci w÷
asne nie zale·
z ¾
a od macier-
zowej reprezentacji operatora b
A .
0.2. OPERATORY LINIOWE
xvii
0.2.8
Operatory hermitowskie
Dla dowolnego operatora b
A dzia÷
aj ¾
acego w przestrzeni Hilberta H istnieje tylko
jeden operator A
y
(te·
z dzia÷
aj ¾
acy w przestrzeni H ) zwany operatorem sprz ¾
e·
zonym
po hermitowsku do operatora b
A , taki ·
ze dla wszystkich wektorów j i ; j i 2 H
h j b
A i = h b
A
y
j i
(75)
Z de…nicji (75) wynika, ·
ze
h b
A j i = h
b
A
y
E
(76)
Rzeczywi´scie, korzystaj ¾
ac z w÷
asno´sci iloczynu skalarnego (11) h b
A j i = h
b
A
E
=
h b
A
y
j i = h
b
A
y
E
.Równie·
z otrzymujemy, ·
ze ( b
A
y
)
y
= b
A .
Przy obliczaniu wyra·
ze´n sprz ¾
e·
zonych po hermitowsku post ¾
epujemy nast ¾
epu-
j ¾
aco; wszystkie sta÷
e wyst ¾
epuj ¾
ace w danym wyra·
zeniu zast ¾
epujemy ich zespolonym
sprz ¾
e·
zeniem, wszystkie stany ket zast ¾
epujemy ich stanami bra, a stany bra za-
st ¾
epujemy ich stanami ket, natomiast operatory zast ¾
epujemy ich sprz ¾
e·
zeniami
po hermitowsku. Gdy w wyra·
zeniu wyst ¾
epuje iloczyn operatorów to porz ¾
adek
ich sprz ¾
e·
ze´n po hermitowsku musi by´c odwrócony. Typowe przypadki sprz ¾
ega-
nia po hermitowsku wyra·
ze´n wyja´sniaj ¾
a nast ¾
epuj ¾
ace wzory
( b
A)
y
=
b
A
(77)
(j i)
y
= h j
(78)
(h j)
y
= j i
(79)
( b
Ac
B)
y
= b
B
y
b
A
y
(80)
( b
A j i)
y
= h j b
A
y
(81)
( b
A b
B j i)
y
= h j b
B
y
b
A
y
(82)
Szczególne znaczenie w mechanice kwantowej i informatyce kwantowej maj ¾
a
operatory hermitowskie (nazywane te·
z samosprz ¾
e·
zonymi) tj. takie , ·
ze
b
A
y
= b
A
(83)
Gdy spe÷
niony jest warunek (83) iloczyn skalarny h
b
A
E
jest liczb ¾
a rzeczy-
wist ¾
a.
Dowód jest nast ¾
epuj ¾
acy: h
b
A
E
= h b
A j i = h b
A
y
j i = h
b
A
E
.
Ta w÷
asno´s´c iloczynu skalarnego implikuje , ·
ze warto´sci w÷
asne operatora her-
mitowskiego s ¾
a rzeczywiste. Wynika to z nast ¾
epuj ¾
acego rozumowania. Je´sli
b
A j i = j i to h
b
A
E
= h j i, a poniewa·
z h
b
A
E
oraz h j i s ¾
a liczbami
rzeczywistymi to
musi by´c liczb ¾
a rzeczywist ¾
a.
Wektory w÷
asne nale·
z ¾
ace do
xviii
ELEMENTY ALGEBRY LINIOWEJ
ró·
znych warto´sci w÷
asnych s ¾
a ortogonalne.
Niech
i
6=
j
b ¾
ed ¾
a waro´sciami
w÷
asnymi wektorów w÷
asnych j
i
i i j
j
i operatora b
A. Mamy
h
j
j b
A
i
i =
i
h
j
j
i
i
(84)
oraz
h b
A
j
j
i
i =
j
h
j
j
i
i
(85)
Poniewa·
z operator b
A jest hermitowski(h
j
j b
A
i
i = h b
A
j
j
i
i) odejmuj ¾
ac stron-
ami od równania 84 równanie 85 otrzymujemy
h
j
j b
A
i
i
h
j
j b
A
i
i = 0 = (
i
j
)h
j
j
i
i
(86)
a poniewa·
z
i
6=
j
wnioskujemy, ·
ze wektory j
i
i i j
j
i s ¾
a ortogonalne. Z
za÷
o·
zenia przyjmujemy, ·
ze wektory w÷
asne operatora hermitowskiego s ¾
a unor-
mowane, je´sli nie to je normujemy. W przypadku degeneracji tzn. gdy tej
samej warto´sci w÷
asnej
odpowiada wi ¾
ecej ni·
z jeden liniowo niezale·
znych wek-
torów w÷
anych mo·
zna stosuj ¾
ac np. ortonormalizacj ¾
e Grama-Schmidta (patrz
rozdzia÷(0.1.4)) otrzyma´c zbiór ortonormalnych wektorów w÷
asnych odpowiada-
j ¾
acych tej samej warto´sci w÷
asnej. Reasumuj ¾
ac, dla dowolnego operatora hermi-
towskiego b
A mo·
zna zawsze skonstruowa´c ortonormaln ¾
a baz ¾
e wektorów w÷
asnych
rozpinaj ¾
acych przestrzen H tak ¾
a, ·
ze dowolny wektor nale·
z ¾
acy do przestrzeni
H mo·
zna wyrazi´c jako superpozycj ¾
e (kombinacj ¾
e liniow ¾
a) wektorów bazy (wek-
torów w÷
asnych operatora hermitowskiego). Zatem ortonormalne wektory w÷
asne
operatora hermitowskiego tworz ¾
a baze zupe÷
n ¾
a
Niech b ¾
edzie dany oprerator b
A sprz ¾
e·
zony po hermitowsku oraz zupe÷
na baza
fj
1
i ; j
2
i ; :::; j
n
ig rozpinaj ¾
aca przestrze´n H , Reprezentacj ¾
e operatora b
A w
bazie H tworzy macierz o elementach
A
ij
= h
i
A
j
(87)
Chcemy zna´c reprezentacj ¾
e macierzow ¾
a operatora A
y
. Z wzoru (76) wynika,
·
ze
hA
i
j
= h
i
A
y
j
(88)
Korzystaj ¾
ac z w÷
asno´sci (11) iloczynu skalarnego
h
j
jA
i
i = h
i
A
y
j
czyli A
ji
= A
y
ij
(89)
Oznacza to, ·
ze elementy macierzowe operatora b
A
y
sprz ¾
e·
zonego po hermitowsku
z operatorem b
A s ¾
a równe sprz ¾
e·
zonym, zespolonym elementom macierzy A
T
transponowanej do macierzy A:Inaczej mo·
zemy to zapisa´c nast ¾
epuj ¾
aco
A
ji
= A
y
ij
() A
y
= (A
T
)
(90)
Je´sli operator b
A jest operatorem hermitowskim (samosprz ¾
e·
zonym) tzn. gdy
b
A = b
A
y
=) A = (A
T
)
(91)
czyli elementy macierzowe operatora hermitowskiego b
A spe÷
niaj ¾
a zwi ¾
azek A
ji
=
A
ij
, a w szczególno´sci elementy diagonalne macierzy A s ¾
a rzeczywiste (A
ii
=
A
ii
).
0.2. OPERATORY LINIOWE
xix
0.2.9
Operator odwrotny
Niech b
A b ¾
edzie operatorem liniowym. Je´sli istnieje taki operator b
B, ·
ze
b
A b
B = b
B b
A = b
I
(92)
to b
B jest operatorem odwrotnym do operatora b
A i piszemy b
B = b
A
1
.
Je´sli
zatem j i = b
A j i to j i = b
A
1
j i . Mo·
zna pokaza´c, ·
ze operator b
B odwrotny do
operatora b
A istnieje wtedy i tylko wtedy gdy równanie b
A j i = 0 implikuje to,
·
ze j i jest wektorem zerowym. Mo·
zna te·
z pokaza´c, ·
ze macierzowa reprezentacja
operatora b
B odwrotnego do operatora b
A istnieje wtedy tylko gdy wyznacznik
macierzy A reprezentuj ¾
acej operator b
A jest ró·
zna od zera (det A 6= 0).
0.2.10
Operatory unitarne
Mówimy, ·
ze operator b
U jest unitarny gdy
b
U b
U
y
= b
U
y
b
U = b
I
(93)
Z de…nicji (92) wynika, ·
ze b
U
y
= b
U
1
oraz b
U
y
jest te·
z operatorem unitarnym.
Iloczyn dwóch operatorów unitarnych b
U i b
V jest operatorem unitarnym poniewa·
z
zgodnie (93)
b
U b
V ( b
U b
V )
y
= b
U b
V b
V
y
b
U
y
= b
I
(94)
W równaniu (94) skorzystali´smy z to·
zsamo´sci ( b
U b
V )
y
= b
V
y
b
U
y
, która wynika
z de…nicji operatora hermtowskiego. (w÷
asno´sci (??) operatora sprz ¾
e·
zonego po
hermitowsku). Operatory unitarne posiadaj ¾
a bardzo wa·
zn ¾
a z punktu widzenia
teorii kwantowej cech ¾
e - zachowuj ¾
a warto´s´c iloczynu skalarnego wektorów pod-
danych linowym operacjom unitarnym, a tym samym zachowuj ¾
a norm ¾
e wek-
tora. ×atwo mo·
zemy si ¾
e o tym przekona´c wykonuj ¾
ac nast ¾
epuj ¾
ace kroki. Niech
b ¾
ed ¾
a dane dwa wektory j i i j i. W wyniku dzia÷ania operatora unitarnego
b
U na te wektory otrzymujemy j i = b
U j i, j i = b
U j i. Iloczyn skalarny
h j i = h b
U
b
U
E
= h j b
U
y
b
U j i = h j i. Je´sli j i = j i.to od razu wida´c, ·
ze
h j b
U
y
b
U j i = h j i.
0.2.11
Zmiana bazy
Za÷
ó·
zmy, ·
ze chcemy przej´s´c z ortonormalnej bazy fj
1
i ; j
2
i ; :::; j
n
ig do orto-
normalnej bazy fj
;
1
i ; j
;
2
i ; :::; j
;
n
ig przy pomocy unitarnej transformacji
j
;
i
i =
n
X
j=1
S
ji
j
(i = 1; 1; :::; n)
(95)
xx
ELEMENTY ALGEBRY LINIOWEJ
Dowolny wektor
j i =
n
X
i=1
a
i
j
i
i
gdzie a
i
= h
i
j i
(96)
w nowej bazie mo·
zna zapisa´c nast ¾
epuj ¾
aco
j i =
n
X
j=1
a
;
j
;
j
=
n
X
i;j=1
a
;
j
S
ij
j
i
i
(97)
Z równa´n (??) otrzymujemy
a
i
=
n
X
j=1
S
ij
a
;
j
(98)
Mo·
zna pokaza´c, ·
ze macierzowe reprezentacja operatora b
A w bazach fj
1
i ; j
2
i ; :::; j
n
ig
i fj
;
1
i ; j
;
2
i ; :::; j
;
n
ig powi ¾
azane s ¾
a nast ¾
epuj ¾
acym zwi ¾
azkiem
A
0
= S
1
A S = S
y
AS
(99)
gdzie unitarn ¾
a macierz S nazywamy macierz ¾
a przej´scia z bazy nieprimowanej
do bazy primowanej.
0.2.12
Twierdzenie o diagonalizacji operatorów komutu-
j ¾
acych
Komutatorem operatorów b
A i b
B nazywamy wyra·
zenie
h
b
A; b
B
i
= b
A b
B
b
B b
A
(100)
Mówimy, ·
ze operatory komutuj ¾
a gdy ich komutator jest równy 0 .
Korzystaj ¾
ac
z de…nicji komutatora (100) bezpo´srednio otrzymujemy
h
b
A; b
B
i
=
h
b
B; b
A
i
(101)
oraz
h
b
A b
B; b
C
i
= b
A
h
b
B; b
C
i
+
h
b
A; b
C
i
b
B
(102)
Mo·
zna te·
z pokaza´c, ·
ze je´sli b
A i b
B s ¾
a operatorami hermitowskimi to równie·
z
i
h
c
A; b
B
i
jest operatorem hermitowskim. Zajmiemy si ¾
e teraz twierdzeniem o
równoczesnej diagonalizacji operatorów normalnych tj. takich, które spe÷
niaj ¾
a
nast ¾
epuj ¾
acy zwi ¾
azek
h
b
A; b
A
y
i
= 0
(103)
Twierdze-
nie
: Dwa normalne operatory b
A i b
B komutuj ¾
a wtedy i tylko wtedy gdy ist-
nieje ortonormalna baza, w której obydwa operatory mo·
zna wyrazi´c w formie
0.2. OPERATORY LINIOWE
xxi
macierzy diagonalnych. Dowód:
Niech fjiig b ¾
edzie ortonormaln ¾
a baz ¾
a dla
operatorów b
A i b
B, tzn.
b
A jii =
i
jii
(104)
b
B jii =
i
jii
(105)
Zatem
b
A b
B jii = b
A
i
jii =
i i
jii =
i i
jii = b
B b
A jii =)
h
b
A; b
B
i
= 0
(106)
Za÷
ó·
zmy teraz odwrotnie, ·
ze operatory b
A i b
B komutuj ¾
a oraz wektory w÷
asne
operatora b
A (104) tworz ¾
a ortonormaln ¾
a baz ¾
e fjiig i nie s ¾
a wektorami w÷
asnymi
operatora b
B . Przedstawmy operator b
B w bazie fjiig
b
B jii =
n
X
j=1
jji hjj b
B jii
(107)
Zgodnie z przyj ¾
etym za÷
o·
zeniem,·
ze operatory b
A i b
B komutuj ¾
a, posi÷
kuj ¾
ac si ¾
e
wzorem (107) oraz korzystaj ¾
ac z relacji zupe÷
no´sci (44) otrzymujemy
h
c
A; b
B
i
jii = b
A b
I b
B jii
b
I b
B b
A jii =
n
X
j=1
jji hjj b
B jii (
j
i
) = 0
(108)
Je´sli
i
6=
j
gdy i 6= j to hjj b
B jii = 0:Gdy natomiast przyjmiemy , ·
ze hjj b
B jji =
j
to
hjj b
B jii =
j ij
(109)
Podstawiaj ¾
ac 109 do107 otrzymujemy
b
B jii =
i
jii
(110)
co oznacza, ·
ze stan jii jest równie·
z wektorem w÷
asnym operatora b
B.
Dowód
mo·
zna rozszerzy´c na przypadek degeneracji warto´sci w÷
asnych
i
operatora
b
A.
0.2.13
Rozk÷
ad spektralny operatora i twierdzenie spek-
tralne
Operator normalny b
A (de…nicja (103)) mo·
zna przedstawi´c w formie
b
A =
n
X
i=1
j
i
i
i
h
i
j
(111)
gdzie
i
, j
i
i, i = 1; 2; :::; n s ¾
a warto´sciami i unormowanymi do jedno´sci wek-
torami w÷
asnymi operatora b
A.
×atwo si ¾
e przekona´c, ·
ze tak zapisany operator
spe÷
nia równanie w÷
asne
b
A j
i
i =
i
j
i
i.
Przedstawienie (111) nazywamy
xxii
ELEMENTY ALGEBRY LINIOWEJ
spektralnym rozk÷
adem operatora normalnego b
A: Korzystaj ¾
ac z warunku orto-
normalno´sci stanów w÷
asnych j
i
i otrzymujemy, ·
ze np.
( b
A)
N
= (
n
X
i=1
j
i
i
i
h
i
j)
N
=
n
X
i=1
j
i
i
N
i
h
i
j
(112)
Rozwa·
zmy dla przyk÷
adu funkcj ¾
e operatorow ¾
a f (a b
A) = exp( b
A),
2 C, któr ¾
a
mo·
zna formalnie rozwin ¾
a´c na szereg Maclaurina
exp( b
A) = b
I +
1
X
k=1
( b
A)
k
k!
(113)
Korzystaj ¾
ac z wzoru (112) otrzymujemy, ·
ze
exp( b
A) = b
I +
n
X
i=1
1
X
k=1
j
i
i
(
i
)
k
k!
h
i
j =
n
X
i=1
j
i
i exp(
i
) h
i
j
(114)
Uogólnieniem tego wyniku na funkcje operatorowe, które mo·
zna przedstawi´c
(lub przybli·
zy´c) w postaci wielomianu formalnej zmiennej
b
A jest nast ¾
epuj ¾
ace
twierdzenie.
Twierdzenie spektralne.
Funkcj ¾
e operatorow ¾
a f ( b
A) operatora normal-
nego b
A, którego rozk÷
ad spektralny okre´sla wzór (111) mo·
zna wyrazi´c nast ¾
epu-
j ¾
aco
f ( b
A) =
n
X
i=1
j
i
i f(
i
) h
i
j
(115)
gdzie funkcja f musi by´c dobrze okre´slona na zbiorze warto´s´ci w÷
asnych
i
operatora b
A.
0.2.14
´Slad macierzy
´Sladem macierzy kwadratowej o wymiarze (n
n) nazywamy wyra·
zenie
T r(A) =
n
X
i=1
A
ii
(116)
×atwo sprawdzi´c, ·
ze dla dowolnych dwóch macierzy kwadratowych A i B o tych
samych wymiarach
T r(A + B) = T r(A) + T r(B);
(117)
T r(cA) = cT r(A) gdzie c 2 C;
(118)
T r(AB) = T r(BA)
(119)
Z w÷
asno´sci (119) wynika,·
ze dla n operatorów b
A
1
; b
A
2
; :::; b
A
n
T r(A
1
A
2
; :::; A
n 1
A
n
) = T r(A
1
A
2
; :::; A
n
A
n 1
) = T r(A
n
A
1
A
2
; :::; A
n 2
A
n 1
)
(120)
0.2. OPERATORY LINIOWE
xxiii
´Slad macierzy nie zale·
zy od wyboru bazy, tzn.
´slad macierzy A, ktora jest
reprezentacj ¾
a operatora liniowego b
A w okre´slonej bazie nie zale·
zy od wyboru tej
bazy. Dowód tego faktu jest nast ¾
epuj ¾
acy. Rozwa·
zmy dwie ortonormalne bazy
fjiig i fjjig. Korzystaj ¾
ac z relacji zupe÷
no´sci (44) dla tych baz otrzymujemy
T r(A)
=
n
X
i=1
hij b
A jii =
n
X
i=1
hij b
I b
A b
I jii =
n
X
i;j;k=1
hi jji hjj b
A jki hk jii (121)
=
n
X
i;j;k=1
hk jii hi jji hjj b
A jki =
n
X
j;k=1
jk
hjj b
A jki
(122)
=
n
X
j
hjj b
A jji = T r(A)
(123)
Z w÷
asno´sci (119) bezpo´srednio otrzymujemy, ·
ze transformacje unitarne za-
chowuj ¾
a ´slad macierzy poniewa·
z
T r(U
y
AU ) = T r(U
y
U A) = T r(IA)T r(A)
(124)
´Slad macierzy podobnie jak iloczyn skalarny dwóch wektorów jest niezmien-
nikiem transformacji unitarnych.
0.2.15
Iloczyn tensorowy
W mechanice kwantowej, a tak·
ze w informatyce kwantowej, oprócz izolowanych
ukladów jednocz ¾
astkowych badamy uk÷
ady wielocz ¾
astkowe. Do opisu uk÷
adów
wielocz ¾
astkowych konstruujemy przestrzenie Hilberta H z przestrzeni opisuj ¾
a-
cych oddzielnie ka·
zd ¾
a pojedy´ncz ¾
a cz ¾
astk¾
e. Ta skomplikowana procedura tworzenia
przestrzeni H opiera si ¾
e na iloczynach tensorowych albo inaczej mówi ¾
ac na
iloczynach Kroneckera przetrzeni jednocz ¾
astkowych. Nasze rozwa·
zania ograniczymy
do przestrzeni H, które s ¾
a iloczynem tensorowym dwóch przestrzeni jednocz ¾
astkowych.
Rozwa·
zmy dwie przestrzenie Hilberta H
1
i H
2
o wymiarach m i n. Mówimy,
·
ze przestrze´n Hilberta H
jest iloczynem tensorowym przestrzeni H
1
i H
2
,
co zapisujemy H = H
1
H
2
, je´sli mo·
zemy ka·
zdej parze wektorów j i 2 H
1
i
j i 2 H
2
przypisa´c wektor nale·
z ¾
acy do H , który oznaczamy j i
j i i
nazywamy iloczynem tensorowym wektorów j i i j i : Z de…nicji ka·
zdy wek-
tor nale·
z ¾
acy do przestrzeni H jest liniow ¾
a superpozycj ¾
a (kombinacj ¾
a) wek-
torów j i
j i. Iloczyn tensorowy wektorów posiada nast ¾
epuj ¾
ace w÷
asno´sci;
1) dla dowolnych wektorów j i 2 H
1
, j i 2 H
2
i c 2 C
c(j i
j i) = (c j i)
j i = j i
(c j i)
(125)
2) dla dowolnych wektorów j
1
i i j
2
i 2 H
1
oraz j i 2 H
2
(j i + j
2
i)
j i) = j
1
i
j i + j
2
i
j i
(126)
xxiv
ELEMENTY ALGEBRY LINIOWEJ
( 3) dla dowolnych wektorów j i 2 H
1
i j
1
i ; j
2
i 2 H
2
j i
(j
1
i + j i) = j i
j
1
i + j i
j
2
i
(127)
Zamiast zapisu j i j i cz ¾
estostosuje si ¾
e skrócon ¾
a notacj ¾
e j i j i = j i j i =
j ; i = j
i .
Wymiar przestrzeni H = H
1
H
2
jest równy iloczynowi
wymiarów przestrzeni H
1
i H
2
(dim H = dim H
1
dim H
2
) . Je´sli fjiig i fjjig
s ¾
a ortonolmalnymi bazami przestrzeni H
1
i H
2
to ortonormaln ¾
a baz ¾
e przestrzeni
H = H
1
H
2
tworz ¾
a iloczyny jii jji (i = 1; 2; :::; dim H
1
; j = 1; 2; :::; dim H
2
) .
Np. je´sli ortonormalnymi bazami przestrzeni H
1
i H
2
s ¾
a wektory fj1 = 0i ; j1ig
to ortonormaln ¾
a baz ¾
e przestrzeni H = H
1
H
2
tworz ¾
a wektory
fj0i
j0i ; j0i
j1i ; j1i
j0i ; j1i
j1ig
(128)
Dowolny wektor j i 2 H mo·
zna w bazie (128) zapisa´c nast ¾
epuj ¾
aco
j i = c
00
j00i + c
01
j01i + c
10
j10i + c
11
j11i gdzie c
ij
= hij j i
(129)
Je´sli b
A i b
B s ¾
a liniowymi operatorami dzia÷
aj ¾
acymi odpowiednio w przestrzeniach
H
1
i H
2
to dzia÷
anie operatora b
A
b
B na dowolny wektor j i =
P
i;j
c
ij
jii
jji 2 H de…niuje si ¾
e nast ¾
epuj ¾
aco
( b
A
b
B) j i = ( b
A
b
B)(
X
i;j
c
ij
jii
jji) =
X
i;j
c
ij
b
A jii
b
B jji
(130)
Mo·
zna pokaza´c, ·
ze dowolny operator liniowy b
O dzia÷
aj ¾
acy w przestrzeni H
mo·
zna zapisa´c jako liniow ¾
a superpozycj ¾
e iloczynów tensorowych operatorów
liniowych b
A
i
dzia÷
aj ¾
acych w przestrzeni H
1
i operatorów b
B
j
dzia÷
aj ¾
acych w
przestrzeni H
2
, tj.
b
O =
X
i;j
ij
b
A
i
b
B
j
(131)
Iloczyn skalarny dwóch wektorów
j i =
X
i;j
c
ij
jiji
(132)
oraz
j i =
X
i;j
d
ij
jiji
(133)
nale·
z ¾
acych do przestrzeni H = H
1
H
2
( jii 2 H
1;
jji 2 H
2
) de…niuje si ¾
e
nast ¾
epuj ¾
aco
h j i =
X
i;j
c
ij
d
ij
(134)
Mo·
zna sprawdzi´c, ·
ze de…nicja (134) spe÷
nia wszystkie w÷
asno´sci (11)-(13) iloczynu
skalarnego.
Chc ¾
ac policzy´c iloczyn skalarny dwóch wektorów
h
1
j
2
i = (h
1
j
h
1
j) j(
2
i
j
2
i) = h
1
j
2
i h
1
j 2i
(135)
0.2. OPERATORY LINIOWE
xxv
Wzór ten, jak ÷
atwo si ¾
e przekona´c, jest konsystentny z wzorem (134), gdy ka·
zdy
z wektorów j
i
i oraz j
i
i mo·
zna rozwin ¾
a´c w odpowiednich bazach rozpinaj ¾
a-
cych przesytrzenie H
1
i H
2
. Rozwa·
zmy kolejny przypadek gdy operator b
A dzia÷
a
na wektor j i 2 H
1
, a operator b
B dzia÷
a na wektor j i 2 H
2
. Wynik dzia÷
ania
iloczynu tensorowego b
A
b
B na wektor j i = j i
j i jest nast ¾
epuj ¾
acy
( b
A
b
B) j i = ( b
A
b
B)(j i
j i) = ( b
A j i)
( b
B j i)
(136)
W obliczeniach cz ¾
esto operatory reprezentowabe s ¾
a przez macierze. Wówczas
iloczyn tensorowy operatorów zast ¾
epuje iloczyn tensorowy odpowiadaj ¾
acych im
macierzy.Macierzowa reprezentacja operatora b
A
b
B w bazie jki
jiji nu-
merowanej przez pojedy´nczy wska´znik k = 1; 2; :::; m n , gdzie k = (i
1)n + j;
i = 1; 2; :::; m , j = 1; 2; :::; n wyra·
za si ¾
e nast ¾
epuj ¾
aco
A
B =
2
6
6
6
6
4
A
11
B
A
12
B
:
:
A
1m
B
A
21
B
A
22
B
:
:
A
2m
B
:
:
:
:
:
:
:
:
.
:
A
m1
B
A
m2
B
:
:
A
mm
B
3
7
7
7
7
5
(137)
gdzie cz÷
ony A
ij
B okre´slaj ¾
a podmacierze o wymiarze n
n , a A i B s ¾
a macier-
zowymi reprezentacjami operatorów b
A i b
B o wymiarach odpowiednio m
m i
n
n . Jako przyk÷
ad policzmy iloczyn tensorowy macierzy Pauliego
x
z
.
Otrzymujemy
x
z
=
0
1
1
0
1
0
0
1
=
0
z
1
z
1
z
0
z
=
2
6
6
4
0
0
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
0
3
7
7
5
(138)
xxvi
ELEMENTY ALGEBRY LINIOWEJ
ELEMENTY MECHANIKI
KWANTOWEJ
0.2.16
Do´swiadczenie Sterna-Gerlacha
Do´swiadczenie Sterna-Gerlacha jest jednym z dobitnych przyk÷
adów, które pokazuj ¾
a
bezradno´s´c …zyki klasycznej przy opisie zjawisk zachodzacych w skali mikroskopowej,
a wi ¾
ec zjawisk zachodz ¾
acych w uk÷
adach atomowych, j ¾
adrowych, itp. Zjawiska
mikroskopowe zmuszaj ¾
a nas do porzucenia klasycznego, w duchu mechaniki
klasycznej opisu uk÷
adów o rozmiarach porównywalnych lub mniejszych od d÷
u-
go´sci fali ´swietlne j. Do´swiadczenie Sterna-Gerlacha pokazuje kwantowo-mechaniczne
w÷
a´sno´sci typowe dla uk÷
adów mikroskopowych.Schemat obrazuj ¾
acy do´swiad-
czenie Sterna-Gerlacha jest na rysunku 1
Rysunek1.
Wi ¾
azka atomów o momencie magnetycznym ! biegnie do obszaru, w którym
jest pole magnetyczne o indukcji B skierowane w kierunku osi z. Pole to nie jest
jednorodne, lecz posiada gradient
!
rB w kierunku osi z. Zgodnie z klasyczn ¾
a
elektrodynamik ¾
a na ka·
zdy atom dzia÷
a si÷
a
!
F skierowana wzdu·
z osi z o warto´sci
F
z
=
z
jrBj =
z
dB
dz
(139)
W wyniku dzia÷
ania si÷
y F
z
(139) tor lotu poszczegolnych atomów zanim os-
i ¾
agn ¾
a ekran S zostanie odchylony. Na ekranie S nale·
zy si ¾
e spodziewa´c plamki
obrazuj ¾
acej miejsce uderzenia poszczególnych atomow w ekran. Stopie´n za-
ciemnienia poszczególnych obszarów plamki powinie odzwierciedla´c nat ¾
e·
z ¾
enie
atomów
uderzaj ¾
acych w odpowiednie obszary ekranu. Poniewa·
z momenty
magnetyczne ! atomów w wi ¾
azce przchodz ¾
acej przez obszar dzialalania pola
magnetycznego zorientowane s ¾
a w ro·
znych kierunkach (rozk÷
ad orientacji mo-
mentow magnetycznych atomów wzgl ¾
edem osi z powinien zmienia´c si ¾
e w sposób
ci ¾
ag÷
y od warto´sci
z
= j!j do warto´sci
z
=
j!j) nale·
zy si ¾
e spodziewa´c, ·
ze
xxvii
xxviii
ELEMENTY MECHANIKI KWANTOWEJ
na ekranie S powstanie plamka o najwi ¾
ekszym zaciemnieniu w ´srodku i male-
j ¾
acym zaciemnieniu w sposob ci ¾
ag÷
y w miar ¾
e oddalania si ¾
e od ´srodka plamki.
Jednak·
ze wynik eksperymentu jest w drastycznej sprzeczno´sci z takim obrazem.
Na ekranie obserwujemy kilka równoleg÷
ych, równo odleg÷
ych ciemnych pasków.
Fakt ten oznacza, ·
ze rzut momentu magnetycznego
z
na kierunek osi z przyj-
muje tylko warto´sci dyskretne. W przypadku wi ¾
azki atomów srebra obserwu-
jemy dwa ciemne paski co oznacza, ·
ze
z
= + j!j lub
z
=
j!j.
W
przypadku innych atomów obserwujemy wi ¾
ecej ciemnych pasków na ekranie.
Zjawisko to znalaz÷
o wyt÷
umaczenie na gruncie mechaniki kwantowej i zwi ¾
azane
jest ca÷
kowitym kr ¾
etem atomu. W my´sl mechaniki kwantowej ca÷
kowity kr ¾
et
atomu (który jest sum ¾
a kr ¾
etów elektronów na orbitach i spinów w÷
asnych elek-
tronów) okre´slony jest liczb ¾
a kwantow ¾
a
j, a rzut kr ¾
etu ca÷
kowitego atomu na
wyró·
znion ¾
a o´s z
okre´slony jest liczb ¾
a kwantow ¾
a m, która mo·
ze przyjmowa´c
jedn ¾
a z waro´sci
j;
j + 1;
j + 2; :::; j
2; j
1; j: Zatem , je´sli na przyk÷
ad
kr ¾
et atomu jest okre´slony liczb ¾
a j = 2 to w do´swiadczeniu Sterna -Gerlacha
obserwujemy 5 ciemnych pasków.
Wi ¾
azk¾
e, w której
wszystkie atomy maj ¾
a tak ¾
a sam ¾
a liczb ¾
e kwantow ¾
a m
nazywamy wi ¾
azk ¾
a spolaryzowan ¾
a. Na przyk÷
ad wi ¾
azka atomów, których kr ¾
et
jest okre´slony liczb ¾
a kwatow ¾
a j =
1
2
mo·
ze by´c spolaryzowana na dwa sposoby;
pierwszy gdy m =
1
2
i drugi gdy m =
1
2
. Kolejne eksperymenty z z uk÷
adem
dwóch urz ¾
adze´n Sterna-Gerlacha pokazuj ¾
a efekty nie do wyobra·
zenia z punktu
widzenia …zyki klasycznej . Rozwa·
zmy uk÷
ad jak na rysunku 2
Rysunek 2
Niespolaryzowana wi ¾
azka atomów o spinie j =
1
2
przechodzi przez urz ¾
adzenie
Sterna =Gerlacha, w którym gradient indukcji pola magnetycznego jest zori-
entowany wzd÷
u·
z osi z . Wi ¾
azka ulega rozszczepieniu na dwie spolaryzowane
wi ¾
azki. W jednej wi ¾
azce atomy s ¾
a w stanie m
z
=
1
2
, a w drugiej wi ¾
azce w
stanie m
z
=
1
2
, któr ¾
a to wi ¾
azk¾
e wygaszamy przez ustawienie na jej drodze za
urz ¾
adzeniem Sterna-Gerlacha przes÷
ony. Nat ¾
epnie pierwsz ¾
a wi ¾
azk¾
e (m
z
=
1
2
)
przepuszczamy przez drugie urz ¾
adzenie Sterna-Gerlacha o identycznej orien-
tacji gradientu pola magnetycznego magnetycznego jak w pierwszym urz ¾
adze-
niu. Urz ¾
adzenie to przepuszcza ca÷¾
a wi ¾
azk¾
e w stanie m
z
=
1
2
.
Rozpatrzmy
teraz uk÷
ad jak na rysunku 3.
Rysunek 3.
W drugim urz ¾
adzeniu Sterna-Gerlacha gradient indukcji pola magnetycznego
jest zorientowany w kierunku osi y prostopad÷
ej do osi z.
Pomimo, i·
z do
xxix
drugiego urz ¾
adzenia dociera tylko wi ¾
azka atomów w stanie m
z
=
1
2
na jego
wyj´sciu obsrwujemy dwie wi ¾
azki, jedn ¾
a w stanie m
y
=
1
2
i
drug ¾
a w stanie
m
y
=
1
2
: Czy wobec tego mo·
zna uwa·
za´c, ·
ze 50% atomów dobiega do drugiego
urz ¾
adzenia równocze´snie w stanie m
z
=
1
2
i m
y
=
1
2
, a pozosta÷
e 50% atomów
rownocze´snie w stanie m
y
=
1
2
i m
y
=
1
2
?
To, ·
ze taka interpretacja jest
nieuzasadniona przekonuje nas do´swiadczenie, którego schemat jest narysunku
4. W tym do´swiadczeniu pierwsze dwa urz ¾
adzenia Sterna-Gerlacha spe÷
niaj ¾
a
rol ¾
e …ltrów, które zatrzymuj ¾
a wi ¾
azki atomów w stanie m
z
=
1
2
i w stanie
m
y
=
1
2
: Pomimo tego na wyj´sciu trzeciego urz ¾
adzenia Sterna-Gerlacha obser-
wujemy dwie wi ¾
azki, jedn ¾
a w stanie m
z
=
1
2
i drug ¾
a w stanie m
z
=
1
2
. Je´sli
tak jest to rozumowanie, ·
ze atomy dobiegaj ¾
a do trzeciego urz ¾
adzenia Sterna-
Gerlacha w stanie m
z
=
1
2
i m
y
=
1
2
jest b÷¾
edne. Co wi ¾
ecej, je´sli usuniemy
przes÷
on ¾
e, która absorbowa÷
a za drugim urz ¾
adzeniem Sterna-Gerlacha wi ¾
azk¾
e
atomów w stanie m
y
=
1
2
; to na wyj´sciu trzeciego urz ¾
adzenia Sterna Ger-
lacha zaobsewujemy tylko wi ¾
azk¾
e atomów w stanie m
z
=
1
2
.
Do´swiadczenie
przedstawione na rysunku 4 obrazuje fundamentaln ¾
a cech ¾
e mechaniki kwan-
towej: ko´ncowy stan uk÷
adu zale·
zy tylko od stanu atomów, które docieraj ¾
a
do ostatniego urz ¾
adzenia Sterna-Gerlacha i dzia÷
ania tego urz ¾
adzenia na atomy
niezale·
znie od ich wcze´sniejszej historii. W ogólno´sci wnioskujemy, ·
ze system
aparatura-cz ¾
astki nie posiada pami ¾
eci do przechowania swej wcze´sniejszej his-
torii.
0.2.17
Do´swiadczenie Younga
Zjawisko interferencji ´swiat÷
a przechodz ¾
acego przez dwie szczeliny o rozmiarach
rz ¾
edu d÷
ugo´sci fali ´swielnej i odleg÷
e od siebie te·
z rz ¾
edu kilka d÷
ugo´sci fali ´swielnej
jet kolenym przyk÷
adem ilustruj ¾
acym charakterystyczne w÷
asno´sci kwantowe
uk÷
adów mikroskopowych. Przez d÷
ugi okres czasu, poczynaj ¾
ac od Newtona,
uczonych nurtowa÷
o pytanie czy wi ¾
azka ´swiat÷
a jest strumieniem cz ¾
astek czy
jest wi ¾
azk ¾
a falow ¾
a? Do´swiaczenie Younga, w którym wi ¾
azka ´swiat÷
a monochro-
matycznego ( tj. wi ¾
azka ´swiat÷
a o jednej d÷
ugo´sci fali) i spójnego (tj, takiego,
·
ze na szczeliny padaj ¾
a fale ´swietne o tej samej fazie) przechodz ¾
ac przez uk÷
ad
dwóch szczelin (rysunek...) daje za szczelinami na ekranie obraz interferen-
cyjny. Charakterystyczn ¾
a cech ¾
a interferencji jest to, ·
ze nat ¾
e·
zenie ´swiat÷
a I(x)
na ekranie ró·
zni si ¾
e od algebraicznej sumy nat ¾
e·
ze´n I
1
(x) i I
2
(x) pochodz ¾
acych
z szczelin oddzielnie (gdy jedna z szczelin jest przes÷
oni ¾
eta) tzn.
I(x) 6= I
1
(x) + I
2
(x)
(140)
Rysunek...
Zjawisko interferencji ´swiat÷
a pokazuje , ·
ze ´swiat÷
o jest fal ¾
a , a równania
Maxwella , ·
ze ´swiat÷
o jest fal ¾
a elektromagnetyczn ¾
a. Z drugiej strony okaza÷
o si ¾
e,
·
ze rozk÷
ad energii (ilo´s´c energii emitowanej w jednostkowym przedziale energii
w ci ¾
agu jednej sekundy w zale·
zno´sci od energii fali) emitowanej przez cia÷
o
xxx
ELEMENTY MECHANIKI KWANTOWEJ
doskonale czarne nie da si ¾
e opisa´c na gruncie falowej teorii ´swiat÷
a. Trudno´s´c t ¾
a
mo·
zna pokona´c je´sli przyjmiemy zgodnie z postulatem Plancka, ·
ze ´swiat÷
o jest
emitowane lub absorbowane porcjami enegii, które s ¾
a ca÷
kowit ¾
a wielokrotno´sci ¾
a
jednostki energii zwanej kwantem energii okre´slonej wzorem
E = ~
(141)
gdzie
jest cz ¾
esto´sci ¾
a ´swiat÷
a a ~ sta÷¾
a …zyczn ¾
a zwan ¾
a sta÷¾
a Plancka.
Równie·
z Einstein by wyja´sni´c efekt fotoelektryczny musia÷odwo÷
a´c si ¾
e do
idei Plancka przyjmuj ¾
ac, ·
ze swiat÷
o jest wi ¾
azk ¾
a cz ¾
astek zwanych fotonami, z
których ka·
zda posiada energi ¾
e ~ i p ¾
ed p = ~ =c:Widzimy zatem, ·
ze istniej ¾
a
zjawiska, które wskazuj ¾
a na falow ¾
a natur ¾
e ´swiat÷
a (np. interferencja ´swiat÷
a)
i zjawiska, które przemawiaj ¾
a za kurpuskularn ¾
a (cz ¾
asteczkow ¾
a) natur ¾
a ´swiat÷
a
(np. wspomniane zjawisko fotoelektryczne).
Wyniki ni·
zej opisanych wariantów do´swiadzenia Younga prowadz ¾
a do wniosku,
·
ze ich pe÷
ny opis jest mo·
zliwy je´sli zakceptujemy podwójn ¾
a (dualn ¾
a) natur ¾
e
´swiat÷
a. Przez powójn ¾
a natur ¾
e ´swiat÷
a b ¾
edziemy rozumie´c sytuacj ¾
e kiedy ´swiat÷
o
w zale·
zno´sci od obsewowanego zjawiska przejawia natur ¾
e falow ¾
a b ¾
ad´z natur ¾
e
kurpuskularn ¾
a.
Wyobra´zmy sobie, ·
ze intensywno´sc wi ¾
azki ´swiat÷
a zosta÷
a tak zredukowana,
·
ze ´zród÷
o emituje pojedy´ncze fotony, jeden za drugim.
Je´sli ekspozycja fo-
tonów b ¾
edzie trwa÷
a bardzo krótko to na ´swiat÷
oczu÷
ej kliszy ekranu zaobser-
wujemy kilka pojedynczych punktów b ¾
ed ¾
acych ´sladami absorbcji fotonów w
kliszy. Nie ma wi ¾
ec efektu interferencyjnego, ´swiat÷
o zachowuje si ¾
e jak cz ¾
astki
Je´sli natomiast ekspozycja ´swiat÷
a b ¾
edzie trwa÷
a d÷
u·
zej to rozk÷
ad liczby fo-
tonów absorbowanych w poszczególnych miejscach kliszy (a wi ¾
ec intensywno´s´c
zaczernienia kliszy) b ¾
edzie typowym obrazem interferencyjnym jak na rysunku
.(....).Ten ostatni fakt mo·
zna wyja´sni´c przyjmuj ¾
ac, ·
ze ´swiat÷
o jest fal ¾
a.
Za-
tem musimy pogodzi´c si ¾
e z tym, ·
ze nie potra…my wyja´sni´c wszystkich zaob-
serwowanych wyników do´swiadcze´n przyjmuj ¾
ac tylko kurpuskularn ¾
a b ¾
ad´z tylko
falow ¾
a natur ¾
e ´swiat÷
a. Musimy porzuci´c rozumowanie, ·
ze teoria falowa i teo-
ria kurpuskularna ´swiatla s ¾
a wzajemnie wykluczaj ¾
acymi si ¾
e teoriami. Musimy
przyj ¾
a´c, ·
ze teoria kurpuskularna i teoria falowa s ¾
a komplementarnymi teoriami
´swiat÷
a. W pewnych warunkach ´swiat÷
o przejawia natur ¾
e kurpuskularn ¾
a, a w
innych natur ¾
e falow ¾
a
Wszystkie dotychcza przeprowadzone do´swiadczenia, nie tylko ze ´swiat÷
em
ale równie·
z z innymi obiektami jak np. elektrony, nukleony, atomy potwierdzaj ¾
a
, ·
ze obiekty te wykazuj ¾
a jednocze´snie podwojn ¾
a natur ¾
e; falow ¾
a i kurpuskularn ¾
a.
Ten fakt krótko nazywamy dualizmem falowo-kurpuskularnym.
0.2.18
Postulaty mechaniki kwantowej
W mechanice klasycznej stan dowolnego du·
zego (mówimy makroskopowego)
obiektu …zycznego mo·
zna w dowolnej chwili t
0
dok÷
adnie okre´sli´c podaj ¾
ac jego
po÷
o·
zenie
!
r (t
0
) oraz pr ¾
edko´s´c
!
V (t
0
) w wybranym uk÷
adzie wspó÷
rz ¾
ednych.
Znaj ¾
ac stan obiektu w chwili t
0
na podstawie zasad Newtona mo·
zna dok÷
adnie
xxxi
przewidzie´c stan uk÷
adu, tj.po÷
o·
zenie !
r (t) i pr ¾
edko´sc
!
V (t) w dowolnej chwili
t: Poniewa·
z zasadom Newtona podlegaj ¾
a wszystkie obiekty …zyczne, na pod-
stawie znajomo´sci stanu obiektów w chwili t
0
mo·
zna przewidzie´c ich przysz÷
o´s´c
w dowolnej chwili t:Mówimy, ·
ze mechanika klasyczna jest teori ¾
a deterministy-
czn ¾
a gdy·
z przysz÷
o´s´c dowolnego obiektu makroskopowego w chwili t jest uza-
le·
zniona od jego stanu w chwili t
0
.
W ´swiecie obiektów ma÷
ych, o rozmiarach rzedu d÷
ugo´sci fali ´swietlnej i
mniejszych, mechanistyczny opis zjawisk …zycznych zupe÷
nie zawodzi. Teoria
która opisuje zjawiska zachodz ¾
ace w mikro´swiecie opiera sie na zupe÷
nie innych
zasadach ni·
z mechanika klasyczna.
W oparciu o systematyk¾
e wyników eksperymentów oraz ich poprawnego
opisu przy pomocy odpowiedniego aparatu matematycznego mo·
zna sformu÷
owa´c
kilka podstawowy postulatów, na których opiera si ¾
e teoria kwantów powszechnie
zwana mechanik ¾
a kwantow ¾
a.
Postulat 1
. Stan …zycznego uk÷
adu S jest ca÷
kowicie opisany przez unor-
mowany do jedno´sci wektor j i, który nazywamy wektorem stanu lub funkcja
falow ¾
a, i który nale·
zy do przestrzeni Hilberta H
S
stowarzyszonej z uk÷
adem S.
Ewolucj ¾
a w czasie wektora stanu j i rz ¾
adzi równanie Schrödingera
i}
d
dt
j i = b
H j i
(142)
gdzie b
H jest operatorem hermitowskim zwanym hamiltonianem uk÷
adu, a sta÷
a
} zwana sta÷¾
a Plancka jest sta÷¾
a wyznaczon ¾
a eksperymentalnie (}
6:626
10
34
J ).
Równanie Schrödingera jest liniowym równaniem rózniczkowym pierwszego
rz ¾
edu wzgl ¾
edem czasu t. Dlatego, je´sli znamy stan pocz ¾
atkowy j (t
0
)i w chwili
t
0
to stan j (t)i w dowolnej chwili t jest jest jednoznacznie okre´slony przez
rozwi ¾
azanie rownania Schrödingera. Poniewa·
z równanie Schrödingera jest rów-
naniem liniowym to superpozycja dwóch
rozwi ¾
aza´n j
1
(t)i i j
2
(t)i, tzn.
j (t)i = j
1
(t)i + j
2
(t)i, gdzie
i
s ¾
a liczbami zespolonymi, jest równie·
z
rozwi ¾
azaniem równania Schrödingera.
Je´sli hamiltonian H nie zale·
zy w sposób jawny od czasu
to formalnym
rozwi ¾
azaniem równania Schrödingera jest funkcja falowa
j (t)i = exp[
i
}
b
H(t
t
0
)] j (t
0
)i
(143)
W przypadku gdy operator c
H jest jawn ¾
a funkcj ¾
a czasu to
j (t)i = b
T exp[
i
}
Z
t
0
b
H(t
t
0
)] j (t
0
)i
(144)
gdzie b
T
jest operatorem chronologicznym porz ¾
adkuj ¾
acym czas.
Ewolucj ¾
e w czasie wektora stanu j i opisuje operator b
U w sposób nast ¾
epu-
j ¾
acy
j (t)i = b
U (t; t
0
) j (t
0
)i
(145)
xxxii
ELEMENTY MECHANIKI KWANTOWEJ
Je´sli hamiltonian H nie zale·
zy jawnie od czasu to z równa´n
(143) i (145)
otrzymujemy, ·
ze w chwili t > t
0
U (t
t
0
) = exp[
i
}
b
H(t
t
0
)]
(146)
gdzie exponent ¾
e operatora
i
}
H(t
t
0
) de…niujemy nast ¾
epuj ¾
aco
exp[
i
}
b
H(t
t
0
)] =
1
X
n=0
1
n!
[
i
}
(t
t
0
)]
n
( b
H)
n
(147)
Pami ¾
etaj ¾
a´c, ·
ze H jest operatorem hermitowskim ÷
atwo jest pokaza´c, ·
ze operator
b
U jest operatorem unitarnym. Unitarno´s´c operatora gwarantuje, ·
ze norma stanu
j (t)i jest zachowana, tzn. h
(t) j (t)i = h (t
0
) b
U
y
(t; t
0
) b
U (t; t
0
) j (t
0
)i =
h (t
0
) j (t
0
)i = 1
Postulat 2
.
Ka·
zdej mierzalnej wielko´sci …zycznej A zwanej obserwabl ¾
a,
która jest odpowiednikiem jednej z dynamicznych wielko´sci w mechanice klasy-
cznej takich jak po÷
o·
zenie, p ¾
ed, moment p ¾
edu, energia, itp. przyporz ¾
adkowany
jest samosprz ¾
e·
zony operator b
A . Jedynymi mo·
zliwymi warto´sciami pomiaru ob-
serwabli A s ¾
a warto´sci w÷
asne operatora b
A tj warto´sci a
i
spe÷
niaj ¾
ace równanie
b
A jii = a
i
jii ; i = 1; 2; :::; N
(148)
Wektory jii zwane wektorami w÷asnymi tworz ¾
a zupe÷
n ¾
a ortonormaln ¾
a baze
przestrzeni Hilberta H
s
:Je´sli dowolny stan j (t)i rozwiniemy w ortonormalnej
bazie fjii ; i = 1; 2; :::; Ng wektorów w÷asnych operatora b
A
j (t)i =
N
X
i=1
c
i
(t) jii
(149)
to prawdopodobie´nswo, ·
ze w wyniku pomiaru obserwabli A w chwili t otrzy-
mamy warto´s´c a
i
wynosi
p
i
(t) = p(a = a
i
j t) =j hi j (t)i j
2
=j c
i
(t) j
2
(150)
Postulat ten dla przejrzysto´sci zosta÷sformu÷
owany dla przypadku gdy warto´sci
w÷
asne a
i
nie s ¾
a zdegenerowane. Interpretacja postulatu 2 w przypadku degen-
eracji tj. gdy tej samej warto´sci w÷
asnej a
i
odpowiada kilka wektorów w÷
asnych
zostanie podana po uwzgl ¾
ednieniu nast ¾
epuj ¾
acych uwag.
(i) Jak ju·
z podkre´slono w postulacie 2 obserwable s ¾
a odpowiednikami (analogami)
tylko dynamicznych wielko´sci w mechanice klasycznej (po÷
o·
zenie, p ¾
ed, moment
p ¾
edu, energia, itp). Natomiast takie wielko´sci charakteryzuj ¾
ace uk÷
ad jak masa,
÷
adunek elektryczny nie zaliczamy do klasy obserwabli lecz s ¾
a parametrami
opisuj ¾
acymi uk÷
ad kwantowy.
(ii) Poniewa·
z jedynymi mo·
zliwymi warto´sciami pomiaru obserwabli A s ¾
a
warto´sci w÷
asne operatora b
A, a mierzone wielko´sci s ¾
a rzeczywiste, to obserwable
xxxiii
musz ¾
a by´c reprezentowane przez operatory samosprz ¾
e·
zone (bo warto´sci w÷
asne
operatora samosprz ¾
e·
zonego s ¾
a rzeczywiste). Ponadto wektory w÷
asne operatora
b
A tworz ¾
a zupe÷
n ¾
a ortonormaln ¾
a baz ¾
e przestrzeni Hilberta H
s
, a stan j (t)i
posiada norm ¾
e równ ¾
a 1, onacza to ·
ze,
N
X
i=1
j c
i
(t) j
2
=
N
X
i=1
p
i
(t) = 1
(151)
czyli ca÷
kowite prawdopodobie´nstwo otrzymania wszystkich mo·
zliwych wyników
pomiaru obserwabli A jest równe 1. St ¾
ad te·
z wynika zawarty w postulacie 1
warunek normalizacji do jedno´sci wektora stanu j (t)i opisuj ¾
acego uk÷
ad S.
(iii) W szczególnym przypadku gdy wektor stanu j (t
0
)i w chwili t
0
pokrywa
si ¾
e z wektorem w÷
asnym jii operatora b
A , tzn. gdy
j (t
0
)i = jii
(152)
to pomiar obserwabli A w chwili t
0
daje w wyniku warto´s´c w÷
asn ¾
a a
i
z praw-
dopodobie´nstwem 1.
(iv) Je´sli j
1
i i j
2
i s ¾
a dwoma unormowanymi stanami w÷
asnymi operatora
b
A z warto´sciami w÷
asnymi a
1
i a
2
to z zasady superpozycji wynika, ·
ze stan
j i =
1
j
1
i +
2
j
2
i
(153)
jest równie·
z dozwolonym stanem uk÷
adu pod warunkiem, ·
ze stan ten jest un-
ormowany do jedno´sci, tzn j
1
j
2
+ j
2
j
2
= 1. Wówczas je´sli dokonamy pomi-
aru obserwabli A to zgodnie z wzorem (150) otrzymamy warto´s´c a
1
z praw-
dopodobie´nstwem j
1
j
2
=j h
1
j i j
2
oraz warto´s´c a
2
z prawdopodobie´nstwem
j
2
j
2
=j h
2
j i j
2
. Wynik ten jest s÷
uszny gdy stan
j i ewoluuje w czasie,
czyli gdy wspó÷
czynniki
1
=
1
(t) i
2
=
2
(t) oraz gdy stan ten nie zale·
zy od
czasu, tj. gdy wspó÷
czynniki
1
i
2
nie zale·
z ¾
a od czasu.
Je´sli hamiltonian b
H uk÷
adu S nie zale·
zy w sposób jawny od czasu to mówimy,
·
ze uk÷
ad S jest uk÷
adem zachowawczym b ¾
ad´z uk÷
adem konserwatywnym. Wów-
czas równanie Schrödingera (142) dla cz ¾
e´sci niezale·
znej od czasu sprowadza si ¾
e
do zagadnienia w÷
asnego operatora Hamiltona b
H
b
H jni = E
n
jni
(154)
Poniewa·
z b
H nie zale·
zy od czasu to równie·
z warto´sci w÷
asne E
n
i wektory w÷
asne
jni nie zale·
z ¾
a odczasu. Przyjmuj ¾
ac dla wygody, ·
ze widmo warto´sci w÷
asnych
E
n
jest niezdegerowane czyli E
m
6= E
n
gdy m 6= n, rozwi ¾
azanie równania
Schrödingera (142) mo·
zna rozwin ¾
a´c w bazie wektorów w÷
asnych fjnig operatora
b
H
j (t)i =
X
n
c
n
(t) jni
(155)
gdzie
c
n
(t) = hn j (t)i
(156)
xxxiv
ELEMENTY MECHANIKI KWANTOWEJ
Wektor stanu j (t)i jest jednoznacznie okre´slony przez warunek pocz ¾
atkowy
j (t
0
)i, mo·
zemy na przyk÷
ad przyj ¾
a´c t
0
= 0:Z kolei warunek pocz ¾
atkowy j (t
0
)i
jest okre´slony gdy wspó÷
czynnniki c
n
(t
0
) = hn j (t
0
)i s ¾
a jednoznacznie zadane.
Podstawiaj ¾
ac (155) do równania ( 142) otrzymamy równanie
i}
d
dt
c
n
= E
n
c
n
(157)
którego rozwi ¾
azaniem jest
c
n
(t) = c
n
(0) exp(
i
}
E
n
t)
(158)
a funkcja falowa j (t)i w chwili t
j (t)i =
X
n
c
n
(0) exp(
i
}
E
n
t) jni
(159)
W szczególnym przypadku kiedy w chwili t
0
= 0 stan j (0)i = jni rozwi ¾
azanie
(159) równania ( 142) redukuje si ¾
e do funkcji
j (t)i = exp(
i
}
E
n
t) jni
(160)
która ró·
zni si ¾
e od j (0)i = jni tylko nie maj ¾
acym praktycznego znaczenia glob-
alnym czynnikiem fazowym exp(
i
}
E
n
t). Dla ´scis÷
o´sci postulat 1 powinien
b´c uzupe÷
niony o stwierdzenie, ·
ze stan …zycznego uk÷
adu
kwantowego jest
ca÷
kowicie opisany przez ka·
zdy unormowany do jedno´sci wektor j i ze zbioru
wektorów ró·
zni ¾
acych sie czynnikem fazowym exp(i ): Stany w÷
asne niezale·
znego
od czasu hamiltonianu nazywamy stanami stacjonarnymi.
Rozwa·
zmy teraz problem; jak proces pomiaru wp÷
ywa na stan uk÷
adu? Za-
÷
ó·
zmy, ·
ze dokonujemy pomiaru oberwabli A. Poniewa·
z zgodnie z postulatem
2 obsrwabli tej odpowiada operator samosprz ¾
e·
zony b
A, a wynikiemi pomiaru
mo·
ze by´c tylko warto´s´c w÷
asna a
n
(na razie zak÷
adamy, ·
ze uk÷
ad nie jest zde-
generowany) tego operatora. z prawdopodobie´nstwem p
i
(t) =j hi j (t)i j
2
=j
c
i
(t) j
2
(równanie (150)). Je´sli pomiar nie zniszczy÷uk÷
adu i dokonamy kole-
jnego pomiaru obserwabli A to znowu otrzymamy warto´s´c a
n
lecz tym razem
z prawdopodobie´nstwem równym jedno´sci. Ten wynik t÷
umaczymy tak; je´sli
uk÷
ad bezpo´srednio przed pomiarem by÷w stanie j i to pomiar na tym stanie
powoduje jego rozpad na na stan w÷
asny jni odpowiadaj ¾
acy warto´sci w÷
asnej
a
n
.
W przypadku gdy widmo warto´sci w÷
asnych operatora b
A jest zdegerowane
to stan j i przed pomiarem mo·
zna zapisa´c nast ¾
epuj ¾
aco
j i =
X
n
r
n
X
j
c
n
j
jn
j
i
(161)
gdzie r
n
okre´sla krotno´s´c degeneracji warto´sci w÷
asnej a
n
; tj. rozmiar pod-
przestrzeni rozpinanej przez wektory w÷
asne odpowiadaj ¾
ace warto´sci w÷
asnej
xxxv
a
n
. Po pomiarze, w wyniku którego otrzymujemy warto´s´c w÷
asn ¾
a a
n
,
stan (
161 ) rozpada si ¾
e na
j
a
n
i =
1
qP
r
n
j=1
c
n
j
2
r
n
X
j
c
n
j
jn
j
i
(162)
Otrzymany stan jest rzutem stanu j i na podprzestrze´n odpowiadaj ¾
ac ¾
a zdegen-
erowanej warto´sci w÷
asnej a
n
:Mo·
zemy zatem sformu÷
owa´c nast ¾
epuj ¾
acy postulat.
Postulat 3.
Je´sli uk÷
ad jest opisany przez funkcj ¾
e falow ¾
a j i i w wyniku
pomiaru obserwabli A otrzymamy warto´s´c a
n
(waro´s´c w÷
asn ¾
a operatora samo-
sprz ¾
e·
zonego b
A odpowiadaj ¾
acego obserwabli A ) to bezpo´srednio po pomiarze
stan uk÷
adu jest dany przez funkcj ¾
e falow ¾
a
j
0
i =
b
P
n
j i
rD
b
P
n
E
(163)
gdzie b
P
n
jest operatorem rzutowym na podprzestrze´n odpowiadaj ¾
ac ¾
a warto´sci
w÷
asnej a
n
.
Zaua·
zmwy, ·
ze je´sli funkcja falowa j i jest dana równaniem (161) to operator
rzutowy
b
P
n
=
r
n
X
j=1
jn
j
i hn
j
j
(164)
Poniewa·
z wektory w÷
asne operatora b
A tworz ¾
a ortonormaln ¾
a baz ¾
e rozpinaj ¾
ac ¾
a
przestrze´n Hilberta H
s
(zwi ¾
azan ¾
a z opisywanym uk÷
adem) ÷
atwo mo·
zna si ¾
e
przekona´c, ·
ze operatory rzutowe b
P
n
spe÷
niaj ¾
a relacj ¾
e zupe÷
no´sci
X
n
b
P
n
= b
I
(165)
oraz warunek ortonormalno´sci
b
P
n
b
P
m
=
nm
b
P
m
(166)
W przypadku braku degeneracji r
n
= 1; zgodnie z równaniem (163) funkcja
falowa uk÷
adu j i (równanie 155) po pomiarze rozpada si ¾
e na stan
j
0
i =
c
n
jc
n
j
jni
(167)
który z dok÷
adno´sci ¾
a do nieistotnego dla pomiaru globalnego czynnika fazowego
jest równy stanowi jni odpowiadaj ¾
acemu warto´sci w÷
asnej a
n
.
W uk÷
adzie
xxxvi
ELEMENTY MECHANIKI KWANTOWEJ
opisanym przez funkcj ¾
e falow ¾
a (161) prawdopodobie´nstwo otrzymania podczas
pomiaru obserwabli A warto´sci a
n
wynosi
p
n
=
D
b
P
n
E
(168)
Znaj ¾
ac prawdopodobie´nstwa p
n
otrzymania w wyniku pomiaru warto´sci a
n
mo·
zemy wyliczy´c ´sredni ¾
a warto´sc obserwabli A
hAi =
X
n
a
n
p
n
=
X
n
a
n
D
b
P
n
E
=
*
X
n
a
n
b
P
n
+
=
D
b
A
E
(169)
gdzie skorzystali´smy ze spektralnego przedstawienia operatora
b
A =
X
n
a
n
b
P
n
(170)
Zasada nieoznaczono´sci Heisenberga
Zasada nieoznaczono´sci, sformu÷
owana przez Heinsenberga, podaje ograniczenia
zwi ¾
azane z jednoczesnym pomiarem kwantowych obserwabli …zycznych. Za-
÷
ó·
zmy, ·
ze obserwablom A i B odpowiadaj ¾
a samosprz ¾
e·
zone operatory b
A i b
B:
W stanie j i warto´s´c ´srednia ka·
zdej z tych obserwabli okre´slona jest wzorem
(169), a wariancja wzorem
V ar (A)
=
D
( b
A
hAi)
2
E
=
D
( b
A
hAi)( b
A
hAi)
E
= (171)
=
( b
A
hAi) j i
2
(172)
Zatem iloczyn wariancji obserwabli A i B w stanie j i
V ar (A)V ar (B) = ( b
A
hAi) j i
2
( b
B
hBi) j i
2
(173)
Poniewa·
z z nierówno´sci Couchy’ego-Schwartza
( b
A
hAi) j i
2
( b
B
hBi) j i
2
h j ( b
A
hAi)( b
B
hBi) j i
2
(174)
wprowadaj ¾
ac dla skrócenia zapisu oznaczenia b
A
1
= b
A
hAi i b
B
1
= b
B
hBi na
podstawie wzorów (173) i (174) mo·
zemy napisa´c, ·
ze
V ar (A)V ar (B)
h j b
A
1
b
B
1
j i
2
(175)
=
h j
1
2
( b
A
1
b
B
1
+ b
B
1
b
A
1
) +
1
2
( b
A
1
b
B
1
b
B
1
b
A
1
) j i
2
(176)
=
1
4
h j ( b
A
1
b
B
1
+ b
B
1
b
A
1
) + [ b
A; b
B] j i
2
(177)
=
1
4
h j ( b
A
1
b
B
1
+ b
B
1
b
A
1
) j i + i h j b
C j i
2
(178)
xxxvii
W ostatnim wzorze b
C =
i[ b
A; b
B] =
i( b
A b
B
b
B c
A) jest operatorem samo-
sprz ¾
e·
zonym poniewa·
z operatory b
A i b
B s ¾
a samosprz ¾
e·
zone. Ostatecznie otrzymu-
jemy, ·
ze
V ar (A)V ar (B)
1
4
h j ( b
A
1
b
B
1
+ b
B
1
b
A
1
) j i
2
+ h j b
C j i
2
1
4
h j b
C j i
2
(179)
Równanie (179) mo·
zna tak·
ze zapisa´c nast ¾
epuj ¾
aco
V ar (A)V ar (B)
1
4
jh [A; B] ij
2
(180)
Je´sli w komutatorze [ b
A; b
B] za operatory b
A i b
B podstawimy kartezja´nskie sk÷
ad-
owe operatorów po÷
o·
zenia b
X i p ¾
edu b
P to zgodnie z mechanik ¾
a kwantow ¾
a
[
b
x;
b
p
x
] =
i};
[
b
y;
b
p
y
] =
i}; [b
z;
b
p
z
] =
i}
(181)
Wstawiaj ¾
ac do wzoru (180) ka·
zdy z tych komutatorow za komutator [A; B],
otrzymamy s÷
ynne relacje nieoznaczono´sci Heisenberga dla po÷
o·
zenia i p ¾
edu
kwantowej cz ¾
astki
( x)
2
( p
x
)
2
1
4
}
2
, ( y)
2
( p
y
)
2
1
4
}
2
; ( z)
2
( p
z
)
2
1
4
}
2
(182)
0.2.19
Do´swiadczenie Sterna-Gerlacha w ´swietle postu-
latów mechanik kwantowej
Eksperyment Sterna-Gerlacha jest przyk÷
adem pokazuj ¾
acym przygotowanie stanu
kwantowego lub pomiaru warto´sci obserwabli w tym stanie.
Je´sli urz ¾
adze-
nie Sterna-Gerlacha (S-G) jest zorientowane wzd÷
u·
z osi z (to znaczy gradient
pola magnetycznego jest zorientowany wzd÷
u·
z osi z ) to mo·
zliwe s ¾
a na wyj´s-
ciu urz ¾
adzenia S-G dwa rozdzielone stany spinu j0i i j1i, ktore s ¾
a stanami
w÷
asnymi operatora (czyli obserwabli)
z
z warto´sciami w÷
asnymi
1, tj.
z
j0i = 1 j0i ;
z
j1i = 1 j1i
(183)
Je´sli przes÷
onimy na wyj´sciu urz ¾
adzenia S-G stan j0i to pozostanie stan j1i o
warto´sci w÷
asnej
1 i odwrotnie, je´sli przes÷
onimy stan j1i to pozostanie stan
j0i o warto´sci w÷asnej +1. Natomiast, je´sli urz ¾
adzenie S-G jest zorientowane
wzd÷
u·
z osi x to otrzymamy na wyj´sciu dwa rozdzielone stany
j+i
x
=
1
p
2
(j0i + j1i)
(184)
oraz
j i
x
=
1
p
2
(j0i
j1i)
(185)
xxxviii
ELEMENTY MECHANIKI KWANTOWEJ
b ¾
ed ¾
ace wektorami w÷
asnymi operatora
x
o warto´sciach w÷
asnych
1. Ogólnie,
dowolny stan spinu mo·
zna zapisa´c
j i = j0i + j1i gdzie j j
2
+ j j
2
= 1
(186)
Je´sli urz ¾
adzenie S-G jest zorientowane wzd÷
u·
z kierunku wektora jednostkowego
!
u = (u
x
; u
y
; u
z
) to jego sk÷
adowe w uk÷
adzie sferycznym wynosz ¾
a
u
x
= sin # cos ', u
y
= sin # sin ', u
z
= cos #
(187)
a operator spinu w kierunku wektora !
u
!
u
=
x
u
x
+
y
u
y
+
z
u
z
(188)
Macierzowa reprezentacja tego operatora w bazie wektorów w÷
asnych operatora
z
jest nast ¾
epuj ¾
aca
u
=
cos #
sin #e
i'
sin #e
i'
cos #
(189)
Wektory w÷
asne operatora (189) s ¾
a nast ¾
epuj ¾
ace
j+i
u
= cos
#
2
e
i
'
2
j0i + sin
#
2
e
i
2
j1i
(190)
j i
u
=
sin
#
2
e
i
'
2
j0i + sin
#
2
e
i
2
j1i
(191)
a warto´sci w÷
asne wynosz ¾
a odpowiednio +1 i
1.
Urz ¾
adzenie S-G mo·
ze by´c u·
zyte do przygotowania jakiego´s stanu lub jego
analizy.
W pierwszym przypadku urz ¾
adzenie S-G jest polaryzatorem, a w
drugim analizatorem. Za÷
ó·
zmy, ·
ze wi ¾
azka cz ¾
astek o spinie
1
2
biegn ¾
aca wzd÷
u·
z
osi y pada na urz ¾
adzenie S-G zorientowane wzd÷
u·
z osi x. Na wyj´sciu otrzy-
mujemy dwie wi ¾
azki j+i
x
i j i
x
. Je´sli przes÷
onimy wi ¾
azk¾
e j i
x
to pozostanie
tylko wi ¾
azka j+i
x
.
W tym przypadku urz ¾
adzenie S-G przygotowuje stan
j+i
x
, czyli dzia÷
a jako polaryzator. Je´sli tak przygowana wi ¾
azka przechodzi
przez urz ¾
adzenie S-G zorientowane wzd÷
u·
z osi z to pracuje ono jako analizator.
Na przyk÷
ad, je´sli przez tak zorientowane urz ¾
adzenie S-G przechodzi cz ¾
astka w
stanie j+i
x
=
1
p
2
(j0i + j1i) to jest on superpozycj ¾
a stanów w÷
asnych j0i i j1i
operatora
z
: Z drugiego postulatu wynika, ·
ze pomiar
z
daje w wyniku dwie
warto´sci: +1 i
1 z równymi prawdopodobie´nstwami p
+
= p
=
1
2
poniewa·
z
p
+
=
jh0j +i
x
j
2
= (h+j P
0
j+i)
x
=
1
2
(192)
p
=
jh1j +i
x
j
2
= (h j P
1
j i)
x
=
1
2
(193)
gdzie
P
0
= j0i h0j ; P
1
= j1i h1j ; P
0
+ P
1
= I,
P
0
P
1
= 0
(194)
xxxix
0.2.20
Stany spl ¾
atane. Paradoks EPR
Niech ortonormaln ¾
a baz ¾
e przestrzeni Hilberta H
1
tworz ¾
a wektory
fjii ; i =
1; 2; :::; N g, a ortonormaln ¾
a baz ¾
e przestrzeni H
2
wektory fj ji ; j = 1; 2; :::; Mg.
Przestrze´n H
rozpinan ¾
a przez
wektory f jii
jji
jiji , i = 1; 2; :::; n;
j = 1; 2; :::; mg nazywamy iloczynem tensorowym przestrzeni H
1
i H
2
i zapisu-
jemy H = H
1
H
2
.
Wymiar przestrzeni H jest równy iloczynowi wymiarów
przestrzeni H
1
i H
2
. Jako przyk÷
ad rozwa·
zmy dwie dwuwymiarowe przestrze-
nie H
1
i H
2
; których ortonormalne bazy s ¾
a odpowiednio B
1
: f j0i
1
; j1i
1
g oraz
B
2
: f j0i
2
, j1i
2
g. Baz ¾
e przestrzeni H = H
1
H
2
tworz ¾
a wektory f j0i
1
j0i
2
;
j0i
1
j1i
2
; j1i
1
j0i
2
; j1i
1
j1i
2
}.
Z zasady superpozycji wynika, ·
ze w przestrzeni H = H
1
H
2
najbardziej
ogólnym stanem jest stan
j i =
X
i;j
c
ij
jii
jji
X
i;j
c
ij
jiji
(195)
który jest superpozycj ¾
a stanów bazy B : f jiji, i = 1; 2; :::; N ; j = 1; 2; :::; M).
Mówimy, ·
ze stan j i 2 H = H
1
H
2
jest stanem spl ¾
atanym je´sli nie mo·
zna
zapisa´c go jako tensorowy produkt stanów
j
1
i =
N
X
i=1
c
1
i
jii 2 H
1
i j
2
i =
M
X
j=1
c
2
j
jji 2 H
2
(196)
to znaczy.
j i 6= j
1
i
j
2
i =
N
X
i=1
M
X
j=1
c
1
i
c
2
j
jii
jji
(197)
Na przyk÷
ad stan
j
1
i =
1
p
2
(j00i + j11i)
jest spl ¾
atany, a stan
j
2
i =
1
p
2
(j01i + j11i) nie jest spl ¾
atany, bo mo·
zna go zapisa´c j
2
i =
1
p
2
(j0i + j1i)
j1i.
Jednym z niezwyk÷
ych i intryguj ¾
acych aspektów mechaniki kwantowej jest
spl ¾
atanie cz ¾
astek lub uk÷
adów cz ¾
astek. Najprostszy spl ¾
atany uk÷
ad kwantowy
sk÷
ada si ¾
e z dwóch obiektów (np. atomów, elektronów, fotonów, itp.) nazwi-
jmy te obiekty literami A i B. W stanie spl ¾
atanym warto´sci pewnych wielko´sci
obiektu A s ¾
a skorelowane z warto´sciami tych samych wielko´sci obiektu B. Wielko´sci
te pozostaj ¾
a skorelowane nawet gdy te dwa obiekty s ¾
a przestrzennie rozdzielone.
Nieklasyczne w÷
asno´sci stanów spl ¾
atanych by÷
y rozwa·
zane przez Einsteina, Podol-
skiego i Rosena (EPR). Autorzy ci wykazali, ·
ze teoria kwantów prowadzi do
sprzeczno´sci ( paradoks EPR) je´sli przyjmiemy jako naturalne (s÷
uszne) nast ¾
epu-
j ¾
ace postulaty:
1.
Postulat raalno´sci
: Je´sli mo·
zemy przewidzie´c z pewno´sci ¾
a
(tj. z
prawdopodobiestwem równym 1) warto´s´c wielko´sci …zycznej to warto´sc ta jest
realno´sci ¾
a …zycznn ¾
a niezale·
znie od naszej obserwacji.Warto´s´c ta jest okre´slona
niezale·
znie od tego czy dokonujemy jej pomiaru czy te·
z nie. Na przyk÷
ad, je´sli
xl
ELEMENTY MECHANIKI KWANTOWEJ
funkcja falowa j i jest stanem w÷asnym operatora b
A reprezentuj ¾
acego wielko´s´c
…zyczn ¾
a A zwan ¾
a dalej obserwabl ¾
a , czyli b
A j i = a j i to warto´s´c a obserwabli
A jest elementem realno´sci …zycznej niezale·
znie od tego czy j ¾
a mierzymy czy
nie.
2.Postulat lokalno´sci: Je·
zeli dwa uk÷
ady …zyczne s ¾
a uk÷
adami nie b ¾
ed ¾
a-
cymi w zwi ¾
azku przyczynowym, albo inaczej uk÷
adami przyczynowo roz÷¾
acznymi,
to wynik dowolnego pomiaru przeprowadzonego na jednym uk÷
adzie nie ma
wp÷
ywu na wynik pomiaru wykonanego na drugim uk÷
adzie.
W my´sl szczególnej teorii wzgl ¾
edno´sci dwa zdarzenia pomiaru s ¾
a przyczynowo
roz÷¾
aczne (nie ma mi ¾
edzy nimi kontaktu ´swietlnego) gdy odleg÷
o´s´c przestrzenna
mi ¾
edzy nimi w inercjalnym uk÷
adzie odniesienia jest wi ¾
eksza od od÷
eg÷
o´sci ´swi-
etlnej, tj. gdy
(x
2
x
1
)
2
> c
2
(t
2
t
1
)
2
(198)
gdzie (x
1
; t
1
) i (x
2
; t
2
) s ¾
a wspó÷
rz ¾
enymi przestrzenno-czasowymi obu zdarze´n.
Z postulatu realno´sci od razu wynika,
·
ze w mechanice kwantowej dwie
wielko´sci …zyczne A i B, którym odpowiadaj ¾
a operatory b
A i b
B nie mog ¾
a równocze´snie
posiada´c realno´s´c …zyczn ¾
a gdy komutator
h
b
A; b
B
i
6= 0 poniewa·
z zgodnie z zasad ¾
a
nieoznaczono´sci Heisenberga ( 180) nie mo·
zemy równocze´snie zmierzy´c warto´s´c
obserwabli A i warto´s´c obserwabli B z prawdopodobie´nstwem 1. Dok÷
adny po-
miar warto´sci jednej wielko´sci niszczy informacj ¾
e o warto´sci drugiej wielko´sci.
.Paradoks EPR przeanalizujemy w wersji podanej przez Bohma (19....r.).
Schemat eksperymentu podany jest na rysunku ........
xli
Rysunek. Schemat do my´slowego eksperymentu EPR.
´Zród÷o S emituje par ¾
e cz ¾
astek, ka·
zda o spinie
1
2
, w stanie spl ¾
atanym
j i =
1
p
2
(j01i
j10i)
(199)
Stan ten jest spinowym stanem singletowym, to znaczy ·
ze wypadkowy spin
cz ¾
astek S = 0. Je´sli zatem rzut spinu jednej cz ¾
astki na o´s z wynosi
z
= +1
to rzut spinu drugiej cz ¾
astki na o´s z musi by´c równy
z
=
1:o Jedna cza-
stka jest wysy÷
ana do obserwatora A, a druga do obserwatora B. Odleg÷
o´s´c
mi ¾
edzy obserwatorami jest tak du·
za, ·
ze pomiar wykonywany przez obserwa-
tora A nie ma wp÷
ywu na wynik pomiaru obserwatora B i odwrotnie, pomiar
wykonywany przez obserwatora B nie wp÷
ywa na wynik pomiaru obsewatora
A. Innymi s÷
owy
eksperymenty wykonywane przez ka·
zdego z obserwatorów
s ¾
a przyczynowo roz÷¾
aczne, spe÷
niony jest postulat lokalno´sci. Je´sli obserwator
A rejestruje cz ¾
astk¾
e, której rzut na o´s z wynosi
A
z
= +1 (czyli cz ¾
astk¾
e w
stanie j0i) to zgodnie z trzecim postulatem mechaniki kwantowej stan (199)
rozpada si ¾
e na stan j01i i obserwator B zarejestruje cz ¾
astk¾
e w stanie
B
z
=
1
(czyli cz ¾
astk¾
e w stanie j1i) z prawdopodobie´nstwem równym 1. Podobnie, je´sli
obserwator A zmierzy cz ¾
astk¾
e w stanie
A
z
=
1 to wynik pomiaru obserwa-
tora B b ¾
edzie równy
B
z
= +1. Zatem wyniki pomiarów obu obserwatorów
s ¾
a
antyskorelowane. Jest on zgodny z nasz ¾
a intuicj ¾
a, poniewa·
z mo·
zna po-
da´c klasyczny opowiednik opisanego eksperymentu. Jako przyk÷
ad wyobra´zmy
sobie dwie kulki, jedn ¾
a czarn ¾
a i drug ¾
a bia÷¾
a. Ka·
zda z kulek jest zamkni ¾
eta
w pude÷
ku. Jedno pude÷
ko przesy÷
amy do obserwatora A, drugie do obserwa-
tora B. Je´sli obserwator A otworzy otrzymane pude÷
ko i znajdzie w nim kulk¾
e,
powiedzmy
bia÷¾
a, to obserwator B z pewno´sci ¾
a (z pradopodobie´nstwem 1)
znajdzie w pude÷
ku czarn ¾
a kulk¾
e.
Wracaj ¾
ac do naszego eksperymentu z obiektami kwantowymi, dochodzimy
do zaskakuj ¾
acych wniosków je´sli stan spl ¾
atany (199 ) zapiszemy w formie
j i =
1
p
2
(j+ i
j +i)
(200)
gdzie j+i =
1
p
2
(j0i + j1i) i j i =
1
p
2
(j0i
j1i) s ¾
a stanami w÷
asnymi operatora
x
z warto´sciami w÷
asnym odpowiednio +1 i
1:Je´sli obserwator A zmierzy
warto´s´c w÷
asn ¾
a operatora
A
x
i otrzyma warto´s´c
A
x
= +1 to zgodnie z postu-
latem 3
mechaniki kwantowej stan (200) rozpada si ¾
e na stan j+ i i obserwator
B z pomiaru warto´sci operatora
B
x
otrzyma ze 100% pewno´sci ¾
a , ·
ze
B
x
=
1.
Widzimy zatem, ·
ze stan jednej cz ¾
astki zale·
zy od rodzaju obserwabli mierzonej
na drugiej cz ¾
astce. Je´sli obserwator A mierzy warto´s´c obserwabli
A
z
to stan
cz ¾
astki obserwatora B rozpada si ¾
e na stan w÷
asny operatora
B
z
.
Je´sli nato-
miast obserwator A mierzy warto´s´c obserwabli
A
x
to stan cz ¾
astki obserwatora
B rozpada si ¾
e na stan w÷
asny operatora
B
x
. W pierwszym przypadku wi ¾
a·
zemy
element realno´sci …zycznej z obserwabl ¾
a
B
z
, w drugim z obserwabl ¾
a
B
x
. Nie
mo·
zemy jednak przypisa´c jednoczesn ¾
a realno´s´c …zyczn ¾
a obydwu obserwablom
poniewa·
z one nie komutuj ¾
a,
B
z
;
B
x
6= 0.
xlii
ELEMENTY MECHANIKI KWANTOWEJ
Nale·
zy jeszcze raz podkre´sli´c, istotn ¾
a cech ¾
a tego eksperymentu jest fakt, ·
ze
ka·
zdy z obserwatorów dokonuje pomiaru gdy cz ¾
astki s ¾
a daleko od siebie. Dlat-
ego, zgodnie z postulatem lokalno´sci dowolny pomiar wykonany przez obserwa-
tora A nie mo·
ze zmody…kowa´c stanu cz ¾
astki rejestrowanej przez obserwatora
B. Je´sli zatem uznamy
za s÷
uszne postulaty realno´sci i lokalno´sci to teoria
kwantowa prowadzi do sprzeczno´sci. Paradoksem jest znajomo´sc wyniku po-
miaru obserwatora B na podstawie wyniku pomiaru obserwatora A pomimo
braku jakiegokolwiek kontaktu mi ¾
edzy obserwatorami.
Zatem wniosek Ein-
steina, Rosena i Podolskiego by÷nast ¾
epuj ¾
acy: teoria kwantowa jest teori ¾
a
niekompletn ¾
a
.
0.2.21
Nierówno´s´c Bella
Mo·
zliwo´s´c odpowiedzi na pytanie czy teoria kwantowa jest teori ¾
a kompletn ¾
a po-
jawi÷
a si ¾
e w momencie sformu÷
owania przez Bella nierówno´sci (1964) (zwanych
od nazwiska ich autora nierówno´sciami Bella), które umo·
zliwiaj ¾
a eksperymen-
taln ¾
a wery…kacj ¾
e dylematu czy teoria kwantów jest teori ¾
a niekomletn ¾
a. Nierówno´sci
Bell wyprowadzi÷zak÷
adaj ¾
ac s÷
uszno´s´c postulatow realno´sci i lokalno´sci.
Z
drugiej strony je´sli wyprowadzimy takie nierówno´sci w oparciu o prawa mechaniki
kwantowej to nierówno´sci Bella zostan ¾
a z÷
amane. Zatem eksperymentalna wery-
…kacja nierówno´sci Bella z ich odpowiednikami wyprowadzonymi na podstawie
praw mechaniki kwantowej pozwala rozstrzygn ¾
a´c dylemat czy teoria kwantów
jest teori ¾
a kompletn ¾
a.
Wyobra´zmy sobie, ·
ze ´zród÷
o emituje parami du·
z ¾
a liczb ¾
e c·
z ¾
astek o spinie
ro·
znym od zera w singletowym stanie spl ¾
atanym(stan (199)). C·
z ¾
astki nale·
z ¾
ace
do danej pary biegn ¾
a w przeciwnych kierunkach, jedna do obserwatora A, a
druga do obserwatora B. Odleg÷
o´s´c mi ¾
edzy obserwatorami mo·
ze by´c dowolnie
du·
za. Pami ¾
etamy, ·
ze niezale·
znie od ich wzajemnej odleg÷
o´sci cz ¾
astki s ¾
a ca÷
y
czas w stanie spl ¾
atanym. Obserwatorzy rejestruj ¾
a cz ¾
astk¾
e-cz÷
onka ka·
zdej pary
i mierz ¾
a jej polaryzacj ¾
e ( orientacj ¾
e spinu) wzgl ¾
edem trzech wybranych osi a ,
b
, c . Rejestrowane cz ¾
astki dzielimy na grupy nast ¾
epuj ¾
aco. Je´sli na przyk÷
ad,
obserwator A zmierzy, ·
ze warto´sci w÷
asne obserwabli
A
a
,
A
b
i
A
c
wynosz ¾
a
odpowiednio +1; +1;
1 to zaznaczamy, ·
ze cz ¾
astka nale·
zy do grupy (a+,b+,c-
),
podobnie gdy warto´sci w÷
asne obserwabli
A
a
,
A
b
i
A
c
wynosz ¾
a odpowiednio
+1,
1;
1 to cz ¾
astk¾
e zaliczamy do grupy (a+,b-,c-), itd. W eksperymencie
nie zak÷
adamy, ·
ze
A
a
,
A
b
i
A
c
s ¾
a mierzone równocze´snie, je´sli obserwator
mierzy
A
a
to oznacza to, ·
ze nie mierzy
A
b
i
A
c
Jednak·
ze, zgodnie z postu-
latem realno´s´ci ka·
zda z warto´sci w÷
anych obserwabli
A
a
,
A
b
i
A
c
posiada
okre´slon ¾
a warto´s´c, czyli jest realno´sci ¾
a …zyczn ¾
a niezale·
znie od naszej obserwacji.
Ale wci ¾
a·
z pami ¾
etamy, ·
ze wyniki pomiarów obu obserwatorów s ¾
a silnie antysko-
relowane, je´sli na przyk÷
ad c·
z ¾
astka zmierzona przez obserwatora A nale·
zy do
grupy (a+,b+,c-) to cz ¾
astka zmierzona przez obserwatora B nale·
zy do grupy
(a-,b-,c+) . Wszystkie wzajemnie wykluczaj ¾
ace si ¾
e grupy cz ¾
astek zebrane s ¾
a
w Tabeli....
xliii
Tabela.... Podzia÷cz ¾
astek stanu singletowego na wzajemnie wykluczaj ¾
ace
si ¾
e grupy.
Populacja
cz ¾
astki obserwatora A
cz ¾
astki obserwatora B
N
1
N
2
N
3
N
4
N
5
N
6
N
7
N
8
(a+; b+; c+)
(a+; b+; c )
(a+; b ; c+)
(a+; b ; c )
(a ; b+; c+)
(a ; b+; c )
(a ; b ; c+)
(a ; b ; c )
(a ; b ; c )
(a ; b ; c+)
(a ; b+; c )
(a ; b+; c+)
(a+; b ; c )
(a+; b ; c+)
(a+; b+; c )
(a+; b+; c+)
Niech p(a+; b+) oznacza prawdopodobie´nstwo, ·
ze obserwator A otrzyma w
wyniku pomiaru
A
a
= +1, a obserwator B otrzyma
B
b
= +1.
Z Tabeli ...
wynika, ·
ze
p(a+; b+) =
N
3
+ N
4
N
t
gdzie N
t
=
8
X
i=1
N
i
(201)
Podobnie otrzymujemy
p(a+; c+) =
N
2
+ N
4
N
t
oraz p(c+; b+) =
N
3
+ N
7
N
t
(202)
Poniewa·
z N
i
0, mamy
N
3
+ N
4
(N
2
+ N
4
) + (N
3
+ N
7
)
(203)
sk ¾
ad bezpo´srednio dostajemy nierówno´s´c Bella
p(a+; b+)
p(a+; c+)+ p(c+; b+)
(204)
Zwró´cmy uwag ¾
e, ·
ze nierówno´s´c (204) zosta÷
a wyprowadzona
zak÷
adaj ¾
ac, ·
ze
spe÷
niony jest postulat lokalno´sci. Je´sli na przyk÷
ad para nale·
zy do grupy 1 (pa-
trz tabela....) i obserwator A wybierze do pomiaru obserwabl ¾
e
A
a
to otrzyma ze
100% prawdpodobie´nstwem warto´s´c równ ¾
a 1 niezale·
znie od tego czy obserwator
B wybierze do pomiaru polaryzacji swojej cz ¾
astki o´s a , b czy c:
Policzmy prawdopodobie´nstwa wyst ¾
epuj ¾
ace we wzorze (204) wed÷
ug teorii
kwantowej. Zacznijmy od p(a+; b+). Je´sli obserwator A zmierzy
A
a
= 1 (co
oznacza, ·
ze cz ¾
astka obsewatora A jest w stanie w÷
asnym j+i
a
operatora
A
a
)
to stan cz ¾
astki obserwatora B rozpadnie si ¾
e na stan w÷
asny j i
a
operatora
B
a
o warto´sci w÷
asnej
1. Zatem, je´sli
A
a
= +1 to ÷
atwo mo·
zna sprawdzi´c,·
ze
obserwator B otrzyma
B
b
= +1 z
prawdopodobie´nstwem
j
b
h+j i
a
j
2
=
sin
2
(
ab
=2) gdzie
ab
jest k ¾
atem mi ¾
edzy osiami a i b. (patrz wzory (190) i (191)).
Poniewa·
z obserwator A otrzymuje wynik
A
a
= +1 z prawdopodobie´nstwem
1
2
(bo cz ¾
astki s ¾
a w stanie (199)) otrzymujemy, ·
ze
p(a+; b+) =
1
2
sin
2
(
ab
=2)
(205)
xliv
ELEMENTY MECHANIKI KWANTOWEJ
W taki sam sposób mo·
zna wyliczy´c
p(a+; c+)
i
p(c+; b+): Ostatecznie,
nierówno´s´c Bella (204) w wersji kwantowej jest nast ¾
epuj ¾
aca
sin
2
(
ab
=2)
sin
2
(
ac
=2) + sin
2
(
cb
=2)
(206)
Je´sli zorientujemy osie a , b i c w taki sposób; ·
ze
ab
= 2 ,
ac
=
cb
=
to nierówno´s´c ( 206) b ¾
edzie ÷
amana dla
0 <
<
2
. Czy tak jest naprawd ¾
e
rozstrzyga eksperyment. Z po´sród wielu eksperymentów , których celem by÷
o
zwery…kowanie nierówno´sci Bella, najbardziej spektakularne by÷
o do´swiadczenie
Aspekta i wspó÷
pracowników (1982r.) . Wynik tego eksperymentu oraz wyniki
eksperymentów wykonanych pó´zniej przez innych autorów (....) potwierdzaj ¾
a
niezbicie ÷
amanie nierówno´sci (204). Ten fakt utwierdza nas w przekonaniu,
·
ze mechanika kwantowa jest teori ¾
a nielokaln ¾
a, a w mikro´swiecie postulaty Ein-
steina, Rosena i Podolskiego nie obowi ¾
azuj ¾
a. Ko´ncz ¾
ac ten rozdzia÷nale·
zy pod-
kre´sli´c, ·
ze nierówno´sci Bella by÷
y podstaw ¾
a do´swiadczalnych dowodów potwierdza-
j ¾
acych, ·
ze mechanika kwantowa jest teori ¾
a kompletn ¾
a.
OPERATOR G ¾
ESTO´SCI
W wielu przypadkach badamy nie pojedy´ncze uk÷
ady kwantowe lecz
raczej
zespo÷
y uk÷
adów kwantowych. Zespó÷kwantowy mo·
ze znajdowa´c si ¾
e w wielu
ro·
znych stanach kwantowych, wyst ¾
epowanie ka·
zdego z tych stanów okre´slone
jest pewnym prawdopodobie´nstwem. Jako przyk÷
ad rozwa·
zmy przestrze´n Hilberta
rozpinan ¾
a przez dwa wektory bazowe fj i ; j ig. Za÷ó·
zmy, ·
ze przygotowali´smy
uk÷
ad gdzie ka·
zdy cz÷
onek uk÷
adu jest w jednym z unormowanych do jedno´sci
(ja
i
j
2
+ jb
i
j
2
= 1; i = 1; 2) stanów
j i = a
1
j i + b
1
j i ;
j i = a
2
j i + b
2
j i
(207)
Prawdopodobie´nstwo zaobserwowania, ·
ze stan j i jest stanem j i jest równe
ja
1
j
2
, a prawdopodobie´nstwo stanu j i wynosi jb
1
j
2
(regu÷
a Borna). Podobne
wyniki otrzymamy w przypadku stanu j i Rozwa·
zmy teraz sytuacj ¾
e gdy przy-
gowali´smy n uk÷
adów (207) w stanie j i i n uk÷adów w stanie j i . Ca÷kowita
liczna uk÷
adów w zespole N = n + n , sk ¾
ad
n
N
+
n
N
= 1
(208)
co oznacza, ·
ze je´sli przypadkowo wybierzemy cz÷
onka zespo÷
u to z prawdopodobie´nst-
wem p = n =N b ¾
edzie to stan j i ; a z prawdopodobie´nstwem 1
p = n =N
stan j i.
W przytoczonym przyk÷
adzie poj ¾
ecie prawdopodobie´nstwa
wyst ¾
epuje w dwóch znaczeniach; 1) prawopodobie´nstwo zaobserwowania okre´slonego
stanu bazowego w jednym z cz÷
onków uk÷
adu (207) obliczane wed÷
ug obow-
i ¾
azuj ¾
acej w mechanice kwantowej regu÷
y Borna 2) prawdopodobie´nstwo wys-
t ¾
epowania jednego ze stanów (207) w zespole kwantowym, które ma charakter
klasyczny.
Charakter prawdopodobie´nstwa 2) oznacza ·
ze zespó÷kwantowy jest statysty-
czn ¾
a mieszanin ¾
a stanów kwantowych. Pojawia si ¾
e zatem pytanie jak opisy-
wa´c systemy, które s ¾
a miesznin ¾
a
stanów kwantowych z okre´slonymi praw-
dopodobie´nstwami. W takich przypadkach powinni´smy obliczy´c wed÷
ug regu÷
kwantowych warto´sci oczekiwane operatorora reprezentuj ¾
acego interesuj ¾
ac ¾
a nas
obserwabl ¾
e w ka·
zdym ze stanów kwantowych mieszaniny, a nast ¾
epnie obliczy´c
ich warto´s´c wa·
zon ¾
a przez prawdopodobie´nstwa stanów kwantowych w mieszaninie.
Do opisu warto´sci oczekiwanych obserwabli …zycznych systemów, które s ¾
a mieszan-
in ¾
a stanów kwantowych s÷
u·
zy operator g ¾
esto´sci
xlv
xlvi
OPERATOR G ¾
ESTO´SCI
0.2.22
Operator g ¾
esto´sci dla stanu czystego
Rozwa·
zmy uk÷
ad, który jest
w unormowanym stanie j i : Stan ten mo·
zna
rozwin ¾
a´c w pewnej ortonormalnej bazie fju
i
ig
j i =
n
X
i=1
c
i
ju
i
i
(209)
gdzie prawdopodobie´nstwo, ·
ze uk÷
ad jest w stanie ju
i
i wynosi jc
i
j
2
. Je´sli uk÷
ad
jest w stanie (209) to mówimy, ·
ze jest on w stanie czystym. Warto´s´c oczekiwana
operatora b
A w stanie (209) zgodnie z wzorem (47) wynosi
hAi = h j b
A j i =
X
i;j
c
i
c
j
hu
i
j b
A ju
j
i
(210)
Poniewa·
z
c
i
c
j
= hu
j
j ih ju
i
i
(211)
zatem
hAi = h j b
A j i =
X
i;j
hu
j
j ih ju
i
i hu
i
j b
A ju
j
i
(212)
Je´sli zde…niujemy operator
= j i h j
(213)
który odt ¾
ad nazywa´c b ¾
edziemy operatorem g ¾
esto´sci dla stanu czystego j i to
korzystaj ¾
ac z relacji zupe÷
no´sci I =
P
n
i=1
ju
i
i hu
i
j warto´s´c oczekiwan ¾
a operatora
b
A mo·
zna wyrazi´c wzorem
hAi =
X
i;j
hu
j
j ju
i
i hu
i
j b
A ju
j
i =
X
;j
hu
j
j b
A ju
j
i = T r( b
A)
(214)
×atwo si ¾
e przekona´c, ·
ze w szczególno´sci
T r( ) =
X
;j
hu
j
j ju
j
i =
X
;j
hu
j
j ih ju
j
i =
X
j
c
j
c
j
=
X
j
jc
j
j
2
= 1
(215)
czyli tak jak powinno by´c, bo suma prawdopodobie´nstw zaobserwowania stanu
j i w stanach bazowych ju
i
i musi by´c zawsze równa jedno´sci.
0.2.23
Ewolucja w czasie operatora g ¾
esto´sci
Równanie opisuj ¾
ace ewolucj ¾
e w czasie operatora g ¾
esto´sci mo·
zna wyprowadzi´c
bezpo´srednio po÷
uguj ¾
ac si ¾
e równaniem Schrödingera
i~
d
dt
j i = H j i
(216)
Poniewa·
z H = H
y
, s÷
uszne jest równie·
z równanie
i}
d
dt
h j = h j H
(217)
xlvii
Korzystaj ¾
ac z de…nicji (??) operatora g ¾
esto´sci otrzymujemy, ·
ze
d
dt
=
d
dt
(j i h j) = (
d
dt
j i) h j + j i (
d
dt
h j)
(218)
Posi÷
kuj ¾
ac si ¾
e teraz wzorami (216) oraz (217) z powy·
zszego wzoru dostajemy
d
dt
=
(
H
i}
j i) h j + j i (h j
H
i}
) =
(219)
=
H
i}
H
i}
=
1
i}
[H; ]
(220)
lub
i}
d
dt
= [H; ]
(221)
Dla uk÷
adu zamkni ¾
etego ewolucj ¾
e w czasie operatora g ¾
esto´sci mo·
zna równie·
z
opisa´c przy pomocy unitarnego operatora U . Je´sli (t) jest operatorem g ¾
esto´sci
w chwili t, a (t
0
) reprezentuje ten sam operator w chwili t
0
< t to
(t) = U (t
0
)U
y
(222)
gdzie
U = exp( iHt=})
(223)
Latwo wywnioskowa´c, ·
ze operator g ¾
esto´sci jest jest operatorem hermitowskim
bowiem z de…nicji (??)
y
= (j i h j)
y
= j i h j =
(224)
W przypadku stanów czystych
2
= (j i h j)(j i h j) = j i ( j i) h j =
(225)
Zatem je´sli stan j i jest stanem czystym to
T r(
2
) = 1
(226)
Wzór ten w wielu przypadkach stanowi dogodny test na sprawdzenie czy dany
stan jest stanem czystym.
0.2.24
Operator g ¾
esto´sci dla stanów mieszanych
W ogólno´sci uk÷
ad mo·
ze znajdowa´c si ¾
e w jednym z unormowanych do jedno´sci
stanów j
i
i (i = 1; 2; :::; n). Dla stanu j
i
i operator g ¾
esto´sci zgodnie z wzorem
(209)
i
= j
i
i h ij. Je´sli prawdopodobie´nstwo, ·
ze uk÷
ad znajduje si ¾
e w stanie
j
i
i wynosi p
i
to operator g ¾
esto´sci dla ca÷
ego uk÷
adu
=
n
X
i=1
p
i i
=
n
X
i=1
p
i
j
i
i h
i
j
(227)
xlviii
OPERATOR G ¾
ESTO´SCI
Maj ¾
ac na uwadze w÷
asno´sci ´sladu operatorów (wzory (116) - (120)) otrzymu-
jemy, ·
ze
T r( ) = T r(
n
X
i=1
p
i
j
i
i h
i
j) =
n
X
i=1
p
i
T r(j
i
i h
i
j) =
n
X
i=1
p
i
h
i
j
i
i =
n
X
i=1
p
i
= 1
(228)
Wyka·
zemy teraz, ·
ze operator g ¾
esto´sci jest operatorem dodotnio okre´slonym.
Mówimy, ·
ze operator A jest operatorem dodatnio okre´slonym gdy hu jAj ui
0
dla dowolnego stanu jui. We´zmy zatem dowolny stan j i i rozwa·
zmy wyra·
zenie
h j j i. Stosuj ¾
ac równanie (227) dostajemy
h j j i =
n
X
i=1
p
i
h j
i
i h
i
j i =
n
X
i=1
p
i
jh j
i
ij
2
(229)
Poniewa·
z
0
p
i
1 (i = 1; 2; :::; n) oraz dla iloczynu skalarnego dwóch
dowolnych wektorow
jh j
i
ij
2
0,
przeto h j j i
0.
Wykazali´smy
wi ¾
ec, ·
ze operator g ¾
esto´sci jest operatorem dodatnio okre´slonym. Z tej w÷
asno´sci
automatycznie wynika, ·
ze operator g ¾
esto´sci jest operatorem hermitowskim, a
wobec tego jego warto´sci w÷
asne
i
0: Mo·
zna zatem u·
zyc rozk÷
adu spektral-
nego do wyra·
zenia operatora g ¾
esto´sci w reprezentacji diagonalnej
=
X
i
i
ju
i
i hu
i
j
(230)
gdzie ju
i
i, i = 1:2::::; n s ¾
a wektorami w÷
asnymi operatora :
Zatem podsumowuj ¾
ac, podstawowe w÷
asno´sci, które musi spe÷
nia´c operator
g ¾
esto´sci s ¾
a nast ¾
epuj ¾
ace
1. operator g ¾
esto´sci jest operatorem hermitowskim, to znaczy
=
y
,
2. T r( ) = 1,
3.
jest operatorem dodatnio okre´slonym, co oznacza ·
ze hu j j ui
0 dla
dowolnego stanu jui.
W rozdziale ........ pokazali´smy, ·
ze w okre´slonej bazie dany operator mo·
zna
przedstawi´c w formie macierzy (tj. poda´c jego reprezentacj ¾
e macierzow ¾
a). Mo·
zna
si ¾
e przekona´c, ·
z ¾
e wa·
znym wska´znikiem ´swiadcz ¾
acym o tym czy dany stan jest
stanem czystym czy te·
z mieszanin ¾
a stanów jest obecno´s´c elementów pozadiag-
onalnych w macierzy g ¾
esto´sci.
Ich obecno´s´c wskazuje na to, ·
ze stan mo·
ze
by´c stanem czystym, a ich brak wyklucza tak ¾
a sytuacj ¾
e - stan jest statysty-
czn ¾
a mieszanin ¾
a stanów.
Wynika to z faktu, ·
ze ró·
zne cz÷
ony funkcji falowej
mog ¾
a ze sob ¾
a interferowa´c. Tak ¾
a interferencj ¾
e obserwuje si ¾
e w przypadku stanów
czystych (mówimy wtedy o koherencji stanów). Natomiast w przypadku statysty-
cznej mieszaniny stanów nie ma koherencji, a wi ¾
ec elementy pozadiagonalne
macierzy g ¾
esto´sci s ¾
a równe zero.Jednak·
ze reprezentacja macierzowa operatora
w jednej bazie ró·
zni si ¾
e od jego reprezentacji w innej bazie . W szczególno´sci
mo·
zna wybra´c tak ¾
a baz ¾
e, w której operator g ¾
esto´sci przyjmuje form ¾
e macierzy
diagonalnej. Dlatego konieczne jest mocniejsze kryterium, które by przes ¾
adza÷
o
czy operator g ¾
esto´sci reprezentuje stan czysty czy raczej stan mieszany.
xlix
Wiemy, ·
ze operator g ¾
esto´sci stanu czystego jest operatorem rzutowym, tj. =
2
. Dlatego w tym przypadku T r( ) = T r(
2
) = 1.
Taka sytuacja nie ma
miejsca w przypadku macierzy g ¾
e´sto´sci dla stanów mieszanych (operator g ¾
esto´sci
nie jest operatorem rzutowym). Dla stanów mieszanych T r(
2
) < 1:Zatem
warto´s´c ´sladu macierzy rozstrzyga czy dany stan jest stanem czystym, czy te·
z
stanem mieszanym.
l
OPERATOR G ¾
ESTO´SCI
OBWODY KWANTOWE
0.2.25
Kubit
Klasyczny "bit" to uk÷
ad, który mo·
ze znajdowa´c si ¾
e w dwóch stanach s÷
u·
z ¾
acych
do reprezentowania 0 i 1 - pojedynczych cyfr uk÷
adu dwójkowego (binarnego).
Jedynymi operacjami na takim uk÷
adzie to operacja identyczno´sci ( 0 =) 0;
1 =) 1) i operacja NOT ( 0 =) 1, 1 =) 0).
Kwantowy bit czyli "kubit" (od angielskiej nazwy quantum bit) jest uk÷
adem
kwantowym o dwóch stanach opisanych w dwuwymiarowej przestrzeni Hilberta.
W tej przestrzeni mo·
zna wybra´c dwa unormowane i wzajemnie ortogonalne
stany kwantowe
,
j0i =
1
0
, j1i =
0
1
,
(231)
które reprezentuj ¾
a warto´sci 0 i 1 klasycznego bitu. Stany (231) tworz ¾
a tak
zwan ¾
a obliczeniow ¾
a baz ¾
e. Zgodnie z zasad ¾
a superpozycji dowolny stan kubitu
mo·
zna zapisa´c
j i = j0i + j1i
(232)
gdzie
;
2 C i spe÷niaj ¾
a warunek normalizacji
j j
2
+ j j
2
= 1
(233)
Poniewa·
z ka·
zdy wektor stanu (?? ) spe÷
nia warunek normalizacji (??) oraz
wystarczy go okre´sli´c z dok÷
adno´sci ¾
a do czynnika fazowego (fazy globalnej).
Zatem mo·
zna przyj ¾
a´c, ·
ze czynnik
we wzorze (232) jest liczb ¾
a rzeczywist ¾
a, a
czynnik
liczb ¾
a zespolon ¾
a. Ogólnie stan kubitu mo·
zna zapisa´c nast ¾
epuj ¾
aco
j i = cos
#
2
j0i + e
i'
sin
#
2
j1i =
cos
#
2
e
i'
sin
#
2
gdzie 0
#
a 0
'
2
(234)
Dlatego w odró·
znieniu od klasycznego bitu, który mo·
ze przyjmowa´c warto´sci
0 lub 1; kwantowy bit czyli kubit jest wektorem o wspó÷
rz ¾
ednych sparametry-
zowanych przez przez ci ¾
ag÷
e zmienne
,
(232) lub #, ' ( 234), czyli stany
li
lii
OBWODY KWANTOWE
kubitowe tworz ¾
a zbiór kontinuum. W odró·
znieniu w od klasycznego bitu kwan-
towy bit mo·
ze znajdowa´c si ¾
e w nieprzeliczlnej ilo´sci stanów.Na tym poziomie
wiedzy mo·
zemy powiedzie´c, ·
ze w odró·
znieniu od klasycznego bitu, kubit mo·
ze
by´c u·
zyty do gromadzenia informacji na niesko´nczon ¾
a ilo´s´c sposobów
( w
rozumieniu, ·
ze dowolna para wspó÷
czynników
;
(lub #; ) jest no´snikiem
okre´slonej informacji).
Uk÷
ad o dwóch stanach kwantowych mo·
ze w praktyce by´c wykorzystany jako
kubit je´sli potra…my wykonywa´c na nim nat ¾
epuj ¾
ace operacje:
1. przygotowa´c qubit w dobrze okre´slonym stanie, np. w stanie [0i,
2. dowolny stan kubitu przetransformowa´c na inny stan kubitowy (takie
transformacje, jak si ¾
e przekonamy s ¾
a transformacjami unitarnymi),
3. zmierzy´c stan kubitu w bazie obliczeniowej fj0i i j1i g.
Uwaga!.
W dos÷
ownym znaczeniu, stanu uk÷
adu kwantowego nie potra…my
zmierzy´c. Natomiast potra…my zmierzy´c prawdopodobie´nstwo, ·
ze dany obiekt
znajduje si ¾
e w okre´slonym stanie. Zatem odt ¾
ad pod has÷
em "pomiar stanu ku-
bitu" b ¾
edziemy rozumie´c pomiar prawdopodobie´nstwa, ·
ze kubit jest w okre´slonym
stanie.
Zmierzy´c
stan kubitu w bazie obliczeniowej fj0i i j1i goznacza , ·
ze mo·
zemy zmierzy´c po-
laryzacj ¾
e qubitu wzd÷
u·
z osi z.( prawdopodobie´nstwo, ·
ze jest w stanie j0i lub w
stanie j1i) Hermitowskim operatorem zwi ¾
azanym z tym pomiarem jest operator
Pauliego
z
, którego wektorami
w÷
asnymi
s ¾
a stany [0i i j1i. Je´sli stan ku-
bitu jest opisany równaniem (234) to zgodnie z drugim postulatem mechaniki
kwantowej w wyniku pomiaru otrzymujemy warto´sci w÷
asne +1 lub
1 z praw-
dopodobie´nstwem
p
0
= jh0j ij
2
= cos
2
#
2
lub p
1
= jh1j ij
2
= sin
2
#
2
(235)
0.2.26
Sfera Blocha
Geometrycznym obrazem kubitu jest jego przedstawienie na sferze Blocha. Poniewa·
z
stan kubitu jest unormowany do jedynki to mo·
ze on by´c przedstawiony jako
punkt na sferze o promieniu r = 1; zwanej sfer ¾
a Blocha, którego wspó÷
rz ¾
edne
w uk÷
adzie kartezja´nskim wynosz ¾
a
x = sin # cos ', y = sin # sin ', z = cos #
(236)
Zatem zgodnie z wzorami (234) i (236)
j i =
2
4
q
1+z
2
x+iy
p
2(1+z)
3
5
(237)
Mo·
zna powiedzie´c, ·
ze wektor Blocha
(237) jest wektorem wyznaczaj ¾
acym
punkt na sferze Blocha o wspó÷
rz ¾
ednych x, y, z (x
2
+ y
2
+ z
2
= 1). Jednym
z zastosowa´n reprezentacji (234) i reprezentacji (237) stanu j i w bazie {j0i ,
j1ig jest macierzowe przedstawienie operatora rzutowego
liii
P = j i h j =
cos
2 #
2
e
i'
sin
#
2
cos
#
2
e
i'
sin
#
2
cos
#
2
sin
2 #
2
=
1
2
1 + z
x
iy
x + iy
1
z
(238)
gdzie P
ij
= hij P jji , (i; j = 0; 1 ).
0.2.27
Pomiar stanu kubitu
Stan kubitu (234) mo·
zna w zasadzie zmierzy´c pod warunkiem, ·
ze dysponu-
jemy du·
z ¾
a liczb ¾
a identycznie przygotowanych takich kubitów. Do zrozumienia
tego zagadnienia po·
zyteczna jest reprezentacja Blocha gdy·
z wspó÷
rz ¾
edne x, y,
z
kubitu na sferze Blocha mog ¾
a by´c mierzone. Je´sli przedstawimy operatory
Pauliego w bazie obliczeniowej f j0i , j1i g to znaczy gdy
x
=
0
1
1
0
,
y
=
0
i
i
0
,
z
=
1
0
0
1
(239)
to dla stanu (234) mamy
x
j i = e
i'
sin
#
2
j0i + cos
#
2
j1i
(240)
y
j i = e
i'
sin
#
2
j0i + i cos
#
2
j1i
(241)
z
j i = cos
#
2
j0i
e
i'
sin
#
2
j1i
(242)
a warto´sci oczekiwane tych operatorów w stanie j i wynosz ¾
a
h j
x
j i = sin # cos ' = x
(243)
h j
y
j i = sin # sin ' = y
(244)
h j
z
j i = cos # = z
(245)
Wspó÷
rz ¾
edne (x; y; z) mo·
zna wyznaczy´c z dowoln ¾
a dok÷
adno´sci ¾
a przy pomocy
rzutowania stanu j i na stany bazy obliczeniowej (lub innymi s÷owy mierz ¾
ac
warto´s´c oczekiwan ¾
a operatora
z
w stanie j i ). Rzeczywi´s´cie, z wzorów (235)
i (245)
p
0
p
1
= jh0j ij
2
jh1j ij
2
= cos
2
#
2
sin
2
#
2
= cos # = z
(246)
Je´sli dysponujemy du·
z ¾
a liczb ¾
a N identycznie przygotowanych qubitów w stanie
j i to z =
N
0
N
N
1
N
, gdzie N
0
to liczba wyników pomiaru qubitu w stanie j0i , a
liv
OBWODY KWANTOWE
N
1
to liczna wyników pomiaru qubitu w stanie j1i. Zatem sk÷adow ¾
a z kubitu w
stanie j i mo·
zna wyznaczy´c na podstawie wyników otrzymanych z du·
zej liczby
pomiarów na identycznych stanach j i. Wspó÷rz ¾
edne x, y mo·
zna otrzyma´c w
wyniku odpowiedniej transformacji unitarnej stanu j i , a nast ¾
epnie wyrzu-
towania tak otrzymanego stanu na stan j0i lub stan j1i czyli wyrzutowania na
o´s z. Je´sli transformacj ¾
e unitarn ¾
a opisuje macierz
U
1
=
1
p
2
1
1
1
1
(247)
to U
1
j i = j
1
i , a w wyniku rzutowania stanu j
1
i na o´s z otrzymujemy
p
0
= jh0j
1
ij
2
i
p
1
= jh1j
1
ij
2
(248)
i wobec tego
p
0
p
1
= cos ' sin # = x
(249)
Je´sli zastosujemy transformacj ¾
e
U
2
=
1
p
2
1
i
i
1
(250)
to otrzymamy stan j
2
i = U
2
j i , a nast ¾
epnie
p
0
p
1
= sin ' sin # = y
(251)
gdzie podobnie jak wy·
zej
p
0
= jh0j
2
ij
2
i
p
1
= jh1j
2
ij
2
s ¾
a
praw-
dopodobie´nstwami otrzymania stanu j0i oraz stanu j1i z pomiaru rzutowania
kubitu j
2
i wzd÷u·
z osi z .
0.2.28
Obwodowy model oblicze´
n kwantowych
Dla przypomnienia klasyczny komputer, najogólniej mówi ¾
ac, mo·
zna przedstawi´c
jako sko´nczony rejestr n bitów. Elementarne operacje takie jak NOT, END,....
mo·
zna wykonywa´c na pojedy´nczych bitach lub parach bitów. Operacje te s ¾
a
wykonywane w uporz ¾
adkowany sposób tak by sekwencja operacji dawa÷
a jak ¾
a´s
z÷
o·
zon ¾
a, logiczn ¾
a funkcj ¾
e.
Ten model mo·
zna przenie´s´c na obliczenia kwantowe. Kwantowy komputer
mo·
zna sobie wyobrazi´c jako zbiór n kubitów czyli kwantowy rejestr rozmiaru n.
Stan n-bitowego rejestru w notacji binarnej jest opisany przez liczb ¾
e ca÷
kowit ¾
a
i 2 0; 2
n 1
, tj.
i = i
n 1
2
n 1
+ ::: + i
1
2 + i
0
gdzie i
0
; i
1
; :::; i
n 1
2 [0; 1]
(252)
Stan n-kubitowego komputera
j i =
2
n
1
X
i=0
c
i
jii =
1
X
i
n
1
=0
:::
1
X
i
1
=0
1
X
i
0
=0
c
i
n
1;:::;
i
1
i
0
ji
n 1
i
:::
ji
1
i
ji
0
i (253)
lv
gdzie c
i
to liczby zespolone ograniczone warunkiem normalizacji
h j i = 1; tj.
2
n
1
X
i=0
jc
i
j
2
= 1
(254)
Zatem stanem kwantowego komputera o n kubitowym rejestrze jest funkcja
falowa j i w 2
n
- wymiarowej przestrzeni Hilberta, powsta÷¾
a jako produkt ten-
sorowy n dwuwymiarowych przestrzeni Hilberta. Uwzgl ¾
edniaj ¾
ac warunek nor-
malizacji oraz fakt, ·
ze stan dowolnego uk÷
adu kwantowego mo·
ze by´c okre´slony z
dok÷
adno´sci ¾
a do globalnej fazy, stan kwantowego komputera jest okre´slony przez
2(2
n
1) niezale·
znych parametrów.
Jako przyk÷
ad rozpatrzmy przypadek komputera o n = 2 kubitach. Dowolny
stan dwukubitowego komputera mo·
zna zapisa´c
j i = c
0
j0i + c
1
j1i + c
2
j2i + c
3
j3i =
(255)
=
c
00
j0i
j0i + c
01
j0i
j1i + c
10
j1i
j0i + c
11
j1i
j1i
(256)
=
c
00
j00i + c
01
j01i + c
10
j10i + c
11
j11i gdzie jiji = jii
jji(257)
Uogólniaj ¾
ac powy·
zsz ¾
a notacj ¾
e stan (253) mo·
zna zapisa´c
j i =
1
X
i
n
1
;:::;i
1;
i
0=0
c
i
n
1;:::;
i
1
i
0
j i
n 1
; :::; i
1;
i
0
i
(258)
Konsekwencje wynikaj ¾
ace z zasady superpozycji stanów wyra´znie wida´c na
przyk÷
adzie równania (258). Klasyczny n bitowy rejestr mo·
ze zapisa´c jedn ¾
a
liczb ¾
e ca÷
kowit ¾
a. Kwantowy n kubitowy rejestr jest superpozycj ¾
a 2
n
stanów
bazowych i liczba ta ro´snie wyk÷
adniczo ze wzrostem liczby kubitów.
Daje
to nowe mo·
zliwo´sci oblicze´n. Na klasycznym komputerze dla ka·
zdego zestawu
danych wej´sciowych trzeba wykona´c niezale·
zne obliczenia, tzn. dla ka·
zdego
zestawu danych wymagany jest odr ¾
ebny cykl obliczeniowy. Natomiast na kom-
puterze kwantowym w jednym cyklu obliczeniowym mo·
zna wykona´c obliczenia
dla 2
n
niezale·
znych danych wej´sciowych.
·
Zeby wykona´c obliczenia na kwantowym komputerze nale·
zy:
1) przygotowa´c kwantowy komputer w stanie pocz ¾
atkowym j
i
i np. w stanie
j00:::0i ;
2) dokona´c operacji unitarnej U , która przeprowadza stan pocz ¾
atkowy j
i
i
w stan …nalny j
f
i = U j
i
i,
3)wykona´c algorytm co odpowiada standardowemu pomiarowi (w obliczeniowej
bazie fj0i ; j1ig) stanu polaryzacji
z
ka·
zdego qubitu.
Poniewa·
z kwantowy komputer jest n
kubitowym uk÷
adem, którego ewolucj ¾
e
w czasie opisuje równanie Schrödingera to ewolucj ¾
e w czasie funkcji falowej tego
uk÷
adu opisuje operator unitarny, którego struktur ¾
e okre´sla Hamiltonian uk÷
adu
n kubitów. Nale·
zy zwróci´c uwag ¾
e, ·
ze chocia·
z ewolucja n kubitowej funkcji
falowej jest opisana przez unitarn ¾
a macierz o wymiarze 2
n
2
n
to mo·
ze ona
by´c roz÷
o·
zona na iloczyn tensorowy unitarnych operacji dzia÷
aj ¾
acych na jeden
lvi
OBWODY KWANTOWE
lub dwa kubity.
Operacje te s ¾
a realizowane przez kwantowe bramki. Mo·
zna
wykaza´c, ·
ze dowolny, z÷
o·
zony pomiar stanu wielokubitowego rejestru mo·
zna
zawsze wykona´c w bazie obliczeniowej je´sli jest on poprzedzony odpowiedni ¾
a
transformacj ¾
a unitarn ¾
a wej´sciowego stanu rejestru .
Przyk÷
adem tej proce-
dury jest znany pomiar na jednym kubicie.
Wspó÷
rz ¾
ene x; y pojedy´nczego
kubitu na sferze Blocha mo·
zna wyznaczy´c je´sli dokonamy unitarnej transforma-
cji poprzedzaj ¾
acej rzutowanie kubitu na stany bazy obliczeniowej.
0.2.29
Bramki dzia÷
aj ¾
ace na pojedy´
nczy kubit
Operacje na kubicie musz ¾
a zachowywa´c warunek normalizacji stanu kubitu.
Je´sli stan j i zostanie przekszta÷cony w stan
0
E
to je´sli h j i = 1 równie·
z
h
0
0
E
= 1:Wiemy, ·
ze norm ¾
e wektora zachowuj ¾
a operacje unitarne, zatem
operacje na pojedy´nczym kubicie opisuj ¾
a unitarne macierze o wymiarze 2
2. Dalej poka·
zemy, ·
ze bramki Hadamarda i
przesuni ¾
ecia fazowego
wystarczaj ¾
a do wykonania dowolnej unitarnej operacji na pojedy´
nczym
kubicie.
Bramk¾
e Hadamarda de…niuje nast ¾
epuj ¾
aca macierz
H =
1
p
2
1
1
1
1
(259)
Przy pomocy bramk (259) baza obliczeniowa f j0i ; j1i g zostaje przetrans-
formowana w now ¾
a ortonormaln ¾
a baz ¾
e dwuwymiarow ¾
a f j+i ; j i g czyli
H j0i =
1
p
2
(j0i + j1i); H j1i =
1
p
2
(j0i
j1i)
(260)
Poniewa·
z H
2
= I
to H
1
= H, rownie·
z H = H
y
poniewa·
z (H
T
) = H .
Bramk¾
e przesuni ¾
ecia fazowego okre´sla macierz
R
z
( ) =
1
0
0
e
i
(261)
Od razu wida´c, ·
ze R
z
( ) j0i = j0i oraz R
z
( ) j1i = e
i
j1i. Dzia÷anie bramki
(261) na dowolny stan (234) jest nast ¾
epuj ¾
ace.
R
z
( ) j i =
1
0
0
e
i
cos
#
2
e
i'
sin
#
2
=
cos
#
2
e
i('+ )
sin
#
2
(262)
=
cos
#
2
j0i + e
i('+ )
sin
#
2
j1i
(263)
Z równania (262) wida´c, ·
ze bramka przesuni ¾
ecia fazowego generuje na sferze
Blocha obrót o k ¾
at
wokó÷osi z zgodny z ruchem wskazówek zegara. Natomiast
dowolna unitarna transformacja przeprowadza stan kubitu z jednego punktu
na sferze Blocha do innego punktu na sferze Blocha. W szczególno´sci stan
lvii
j i = cos
#
2
j0i + e
i'
sin
#
2
j1i mo·
zna osi ¾
agn ¾
a´c dzia÷
aj ¾
a´c na stan j0i w sposób
nast ¾
epuj ¾
acy
R
z
(
2
+ ')HR
z
(#)H j0i = e
i
#
2
(cos
#
2
j0i + e
i'
sin
#
2
j1i)
(264)
Otrzymany stan ro·
zni si ¾
e od stanu j i faz ¾
a globaln ¾
a co nie poci ¾
aga ·
zadnych
praktycznych konsekwencji. Przyk÷
ad ten pokazuje, ·
ze dowolna unitarna oper-
acja na pojedy´nczym kubicie jest wynikiem dzia÷
ania odpowiedniej sekwencji
bramek Hadamarda i bramek przesuni ¾
ecia fazowego.
0.2.30
Obroty sfery Blocha
Obroty sfery Blocha wokó÷dowolnie zorientowanej osi nale·
z ¾
a do klasy transfor-
macji unitarnych.
Na pocz ¾
atku rozwa·
zmy operator O taki, ·
ze O
2
= I , wówczas O
k
= I gdy
k parzyste, O
k
= O gdy k nieparzyste. Zatem rozwijaj ¾
a´c na szereg Taylora
wyra·
zenie e
i O
otrzymamy
e
i O
= (1
2
2!
+ :::)I
i(
3
3!
+ :::) = cos( )I
i sin( )O
(265)
Poniewa·
z operatory (macierze) Pauliego spe÷
niaj ¾
a warunek
2
x
=
2
y
=
2
z
= I mo·
zna wi ¾
ec zastosowa´c wzór (265) do tych operatorów, w szczególno´sci
do operatora
z
. Otrzymujemy
e
i
2
z
= cos(
2
)I
i sin(
2
)
z
= e
i
2
1
0
0
e
i
= R
z
( )
(266)
Zauwa·
zmy, ·
ze wyra·
zenie (266) ró·
zni si ¾
e od de…nicji (261) tylko globaln ¾
a faz ¾
a
e
i
2
, ale jak wiemy faza ta nie ·
zadnego …zycznego znaczenia.
Je´sli x; y;
z
s ¾
a kartezja´nskimi wspó÷
rz ¾
ednymi wektora stanu kubitu j i, a x
;
; y
;
; z
;
wspó÷
rz ¾
enymi wektora R
z
( ) j i (tj. wektora obróconego o k ¾
at
dooko÷
a osi z
) to wspó÷
rz ¾
edne transformuj ¾
a si ¾
e nast ¾
epuj ¾
aco
x
;
= x cos
y sin ; y
;
= x sin + y cos ; z
;
= z
(267)
Zatem operator R
z
( ) odpowiada rotacji sfery Bloch a o k ¾
at
dooko÷
a osi z
zgodnie z ruchem wskazówek zegara.
Analogicznie mo·
zna otrzyma´c unitarne
macierze/operatory odpowiadaj ¾
ace obrotowi sfery Blocha (zgodnie z ruchem
wskazówek zegara) wokó÷osi x
e
i
2
x
=
cos(
2
)
i sin(
2
)
i sin(
2
)
cos(
2
)
= R
x
( )
(268)
i wokó÷osi y
e
i
2
y
=
cos(
2
)
sin(
2
)
sin(
2
)
cos(
2
)
= R
y
( )
(269)
lviii
OBWODY KWANTOWE
Obrót dooko÷
a dowolnie zorientowanej osi mo·
zna otrzyma´c korzystaj ¾
ac z w÷
as-
no´sci sk÷
adania obrotów in…nitezymalnych tj. obrotów o bardzo ma÷
y k ¾
at
(transformacj ¾
e nazywamy in…nitezymalna gdy w rozwini ¾
eciu funkcji zale·
znej od
parametru
na szereg Taylora wystarczy uwgl ¾
edni´c tylko pierwsze dwa cz÷
ony)
. Mianowicie obrót o k ¾
at
wokó÷wektora jednostkowego !
n = (n
x
; n
y
; n
z
) jest
generowany przez operator
R
!
n
( )
R
x
(n
x
)R
x
(n
y
)R
z
(n
z
) gdy
1
(270)
Poniewa·
z rozwini ¾
ecie Taylora (265) dla
1 daje
R
i
(n
i
)
I
i
2
n
i
i
;
i = 1; 2; 3 ( lub i = x; y; z)
(271)
zatem
R
!
n
( )
I
i
2
(n
x
x
+ n
y
y
+ n
z
z
)
(272)
Obrót o sko´nczony k ¾
at
dooko÷
a wektora !
n = (n
x
; n
y
; n
z
) mo·
zna otrzyma´c w
wyniku z÷
o·
zenia k in…nitezymalnych rotacji o k ¾
at
=
k
, tj.
R
!
n
( ) = lim
k
!1
(I
i
2k
(n
x
x
+n
y
y
+n
z
z
))
k
= exp( i
2
(n
x
x
+n
y
y
+n
z
z
))
k
(273)
Poniewa·
z
(n
x
x
+ n
y
y
+ n
z
z
)
2
= n
2
x
2
x
+ n
2
y
2
y
+ n
2
z
2
z
= (n
2
x
+ n
2
y
+ n
2
z
)I = I (274)
stosuj ¾
ac do równania (274) rozwini ¾
ecie (265) otrzymujemy
R
!
n
( ) = cos(
2
)I
i sin(
2
)(n
x
x
+ n
y
y
+ n
z
z
)
(275)
Z równania (275) wynika, ·
ze bramka Hadamarda (259)
jest równowa·
zna
rotacji wektora na sferze Blocha o k ¾
at
dooko÷
a osi !
n = (
1
p
2
; 0;
1
p
2
). Rzeczy-
wi´scie, z równania (275) mamy
H =
1
p
2
(
x
+
z
)
(276)
z dok÷
adno´sci ¾
a do globalnego czynnika fazowego
i = exp( i
2
):W wyniku tej
transformacji o´s x przechodzi w o´s z, a o´s z w o´s x.
0.2.31
Bramki kontrolne i generowanie stanów spl ¾
atanych
Spl ¾
atanie stanów, intryguj ¾
aca w÷
asno´s´c mechaniki kwantowej, pojawia si ¾
e ju·
z w
przypadku dwóch kubitów. Ogólny dwukubitowy stan mo·
zna w bazie obliczeniowej
fj0i ; j1igzapisa´c
lix
j i = j00i + j01i + j10i + j11i
(277)
gdzie
; ; ;
2 C j j
2
+ j j
2
+ j j
2
+ j j
2
= 1: Poniewa·
z faza globalna stanu
(277) mo·
ze by´c dowolna i spe÷
niony jest warunek normalizacyjny j j
2
+ j j
2
+
j j
2
+ j j
2
= 1, stan ten jest okre´slony przez 6 rzeczywistych paramertrów. Nie
mo·
zna go wi ¾
e´c przedstawi´c w formie produktu tensorowego dwóch stanów jed-
nokubitowych j
1
i i j
2
i poniewa·
z stan j i = j
1
i
j
2
i jest okre´slony przez
4 parametry (do okre´slenia ka·
zdego ze stanów j
1
i i j
2
i wystarcz ¾
a dwa para-
metry).. Sytuacja staje si ¾
e coraz bardziej z÷
o·
zona wraz ze wzrostem liczby ku-
bitów tworz ¾
acych dany stan spl ¾
atany, z÷
o·
zono´s´c ro´snie wyk÷
adniczo ze wzrostem
liczby kubitów. Do opisania najbardziej z÷
o·
zonego n-kubitowego stanu spl ¾
a-
tanego potrzeba 2(2
n
1) niezale·
znych parametrów.
Oczywiste jest, ·
ze jednokubitowe bramki nie mog ¾
a generowa´c w uk÷
adach n-
kubitowych stanów spl ¾
atanych. Je´sli np. podzia÷
amy na stan j i = j
n 1
i
j
n 2
i
:::
j
0
i bramkami jednokubitowymi to otrzymamy stan j
0
i =
0
n 1
0
n 2
:::
j
0
o
i gdy·
z dowolny stan j
i
i (i = n
1; n
2; :::; 0)
w wyniku dzia÷
ania bramki zostanie przetransformowany na sferze Blocha w
stan j
0
i
i, który w dalszym ci ¾
agu b ¾
edzie superpozycj ¾
a stanów j0i i j1i, czyli w
dalszym ci ¾
agu b ¾
edzie stanem niespl ¾
atanym.
Aby wygenerowa´c stan spl ¾
atany konieczne jest oddzia÷
ywanie mi ¾
edzy ku-
bitami, co mo·
zna zrealizowa´c przy pomocy bramki dwukubitowej. Prototypem
takiej bramki jest bramka CNOT czyli bramka kontrolowanej negacji. Jej dzi-
a÷
anie na stany bazy obliczeniowej f ji
1
i
0
i = j00i ; j01i ; j10i ; j11i g jest nast ¾
epu-
j ¾
ace
CN OT (jxi jyi) = jxi jx
yi
(278)
gdzie x; y przyjmuj ¾
a warto´sci 0; 1 a znak
oznacza dodawanie modulo 2. Pier-
wszy kubit dzia÷
a jako kubit kontrolny, a drugi jako kubit bazowy lub podsta-
wowy. Bramka CNOT zmienia stan kubitu podstawowego je´sli kubit kontrolny
jest w stanie j1i (tzn. zmienia stan j0i w stan j1i lub stan j1i w stan j0i je´sli
kubit kontrolny jest w stanie j1i), gdy natomiast kubit kontrolny jest w stanie
j0i to nie zmienia on stanu kubitu podstawowego. Je´sli wektory bazy przestrzeni
dwuqubitowej zapiszemy
joi
j0i
j0i
j00i =
2
6
6
4
1
0
0
0
3
7
7
5 , j1i
j0i
j1i
j01i =
2
6
6
4
0
1
0
0
3
7
7
5 (279)
j2i
j1i
j0i
j10i =
2
6
6
4
0
0
1
0
3
7
7
5 ; j3i
j1i
j1i
j11i =
2
6
6
4
0
0
0
1
3
7
7
5 (280)
lx
OBWODY KWANTOWE
to w reprezentacji macierzowej bramk¾
e CNOT jako
CN OT =
2
6
6
4
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
3
7
7
5
(281)
gdzie element
(CN OT )
ij
= hij CNOT jji , i; j = 0; 1; 2; 3.
Na przyk÷
ad
h2j CNOT j3i = h10j CNOT j11i = 1 bo CNOT j11i = j1i j1
1i = j1i j0i =
j10i. Z wzoru (281) od razu wida´c, ·
ze operator CNOT jest samoodwracalny, bo
(CN OT )
2
= I . CNOT mo·
ze generowa´c stany spl ¾
atane co pokazuje poni·
zszy
przyk÷
ad
CN OT ( j0i + j1i) j0i = j00i + j11i
(282)
Stan (282) jest oczywi´scie spl ¾
atany gdy
6= 0 i
6= 0.
De…nicj ¾
e bramki CNOT mo·
zna uogólni´c. Zale·
znie od tego, który z kubitów
jest kubitem kontrolnym, a który kubitem podstawowym mamy cztery mo·
zli-
woci. Pierwsz ¾
a z nich opisuje macierz (281).
Trzy pozosta÷
e mo·
zliwo´sci s ¾
a
reprezentowane przez nast ¾
epuj ¾
ace operatory
B =
2
6
6
4
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
3
7
7
5 ; C =
2
6
6
4
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
3
7
7
5 ; D =
2
6
6
4
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
3
7
7
5
(283)
gdzie: B - bramka, która zmienia stan drugiego kubitu gdy pierwsz jest w stanie
j0i ; C - bramka, która zmienia stan pierwszego kubitu gdy drugi jest w stanie
j1i, D - bramka, która zmienia stan piewszego kubitu gdy drugi jest w stanie
j0i. Schemat uogólnionych bramek CNOT jest na rysunku
Rysunek
(
) oznacz, ·
ze kubit podstawowy ulega zmianie gdy kubit kontrolny
jest w stanie j1i (j0i )
Okazuje si ¾
e, ·
ze wszystkie uogólnione bramki CNOT mo·
zna skonstruowa´c
przy pomocy standardowej bramki CNOT (281) i bramek jednokubitowych.
Na przyk÷
ad uogólnion ¾
a bramk¾
e CNOT, której dzia÷
anie opisuje macierz C (??)
mo·
zna otrzyma´c w wyniku dzia÷
ania na stan dwukubitowy operatorem (H
H)C(H
H) co przedstawione jest na rysunku...
Rysunek
lxi
W szczefó÷
no´sci bramk¾
e SWAP mo·
zna zrealizowa´c przy pomocy obwodu
......... z÷
o·
zonego z bramek CN OT C CN OT
Rysunek
Dwukubitow ¾
a bramk¾
e, która zmienia faz ¾
e podstawowego kubitu gdy kon-
trolny kubit jest w stanie j1i, zwan ¾
a CP HASE( ) w postaci macierzowej de…ni-
ujemy
CP HASE( ) =
2
6
6
4
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
e
i
3
7
7
5
(284)
Na przyk÷
ad:
CP HASE( ) j11i =
2
6
6
4
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
e
i
3
7
7
5
2
6
6
4
0
0
0
1
3
7
7
5 =
2
6
6
4
0
0
0
1e
i
3
7
7
5 = e
i
j11i.
Bramk¾
e CP HASE( ) mo·
zna zast ¾
api´c uk÷
adem ·
z÷
o·
zonym z bramek CN OT
i jednokubitowych bramek przesuni ¾
ecia fazowego wed÷
ug schematu...
Rysunek
De…niuje si ¾
e te·
z bramk¾
e CM IN U S, która jest jest równowa·
zna bramce
CP HASE( ).
Zwi ¾
azki mi ¾
edzy bramkami CM IN U S i CN OT
podane s ¾
a
na schemacie.......
Rysunek
Maj ¾
ac dany kubit w stanie j i =
j0i + j1i b÷¾
ad amplitudy
okre´sla
transformacja
j i =) j
a
i = j0i + j1i
(285)
a b÷¾
ad fazy
okre´sla transformacja
j i =) j
p
i = j0i
j1i
(286)
lxii
OBWODY KWANTOWE
0.2.32
Baza Bella
Wiemy ju·
z, ·
ze bramka CN OT
mo·
ze generowa´c stany spl ¾
atane.
Tak zwana
baza Bella de…niuje baz ¾
e stanów spl ¾
atanych przy pomocy stanów bazy obliczeniowej
fj0i ; j1ig w sposob nast ¾
epuj ¾
acy
+
=
1
p
2
(j00i + j11i)
(287)
=
1
p
2
(j00i
j11i)
(288)
+
=
1
p
2
(j01i + j10i)
(289)
=
1
p
2
(j01i
j10i)
(290)
Stany bazy Bella mo·
zna otrzyma´c ze stanów bazy obliczeniowej fj00i ; j01i ; j10i ; j11ig
przy pomocy nat ¾
epuj ¾
acego uk÷
adu
Rysunek
Ob-
wód ....... dokonuje nast ¾
epuj ¾
acej transformacji: j00i =)
+
, j10i =)
;
j01i =)
+
, j11i =)
. Ta transformacja mo·
ze by´c odwrócona powodu-
j ¾
ac dzia÷
anie obwodu........w odwrotnym kierunku gdy·
z bramki CN OT i H s ¾
a
samoodwracalne. W wyniku takiego dzia÷
ania stany bazy Bella s ¾
a transfor-
mowane na stany bazy obliczeniowej.
0.2.33
Uniwersalne bramki kwantowe
W opisie oblicze´n na komputerze klasycznym model obwodowy pozwala przed-
stawi´c dowolnie z÷
o·
zone obliczenia przy pomocy sekwencji elementarnych oper-
acji jak na przyk÷
ad AN D; N AN D; COP Y;.... Dalej poka·
zemy, ·
ze równie·
z w
przypadku oblicze´n kwantowych (na komputerze kwantowym) dowoln ¾
a unitarn ¾
a
operacj ¾
e w przestrzeni Hilberta rozpinanej przez n kubitów mo·
zna roz÷
o·
zy´c na
sekwencj ¾
e bramek jednokubitowych i dwukubitowych bramek CN OT . Dowód
tego wa·
znego faktu rozpoczniemy od de…nicji U -kontrolowanej operacji. Oper-
acja U -kontrolowana oznacza, ·
ze unitarna operacja U dzia÷
a na bazowy (pod-
stawowy) kubit ji
0
i gdy kontrolny kubit ji
1
i jest w stanie j1i, to znaczy
ji
1
i ji
0
i =) ji
1
i U
i
1
ji
0
i
(291)
Poka·
zemy, ·
ze U -kontrolowana bramka mo·
ze by´c zrealizowana przy pomocy tylko
bramek jednokubitowych i bramki CN OT .
Macierz unitarn ¾
a U
o wymiarze (2
2) mo·
zna w ogólnej postaci zapisa´c
nast ¾
epuj ¾
aco
lxiii
U =
exp i(
2
2
) cos
#
2
exp i(
2
+
2
) sin
#
2
exp i( +
2
2
) sin
#
2
exp i( +
2
+
2
) cos
#
2
(292)
gdzie
; ;
i # s ¾
a rzeczywistymi parametrami. Zatem macierz (292) mo·
zna
roz÷
o·
zy´c na iloczyn macierzy
U =
( )R
z
( )R
y
(#)R
z
( )
(293)
gdzie
( ) =
exp(i )
0
0
exp(i )
(294)
a R
y
i R
z
s ¾
a macierzami obrotów wokó÷osi y i osi z, które okre´slone s ¾
a nast ¾
epu-
j ¾
acymi wzorami
R
y
(#) = exp( i
#
2
y
) =
cos(
#
2
)
sin(
#
2
)
sin(
#
2
)
cos(
#
2
)
(295)
R
z
( ) = exp( i
2
z
) = exp( i
2
)
1
0
0
exp(i )
(296)
Rzeczywi´scie, dla dowolnej macierzy (292) istniej ¾
a unitarne macierze A; B i C
A = R
z
( )R
y
(
#
2
); B = R
y
(
#
2
)R
z
(
2
); C = R
z
(
2
)
(297)
takie, ·
ze
ABC = I
(298)
oraz
( )A
x
B
x
C = U
(299)
Równanie (298) jest trywialne, natomiast równanie (299) mo·
zna ÷
atwo sprawdzi´c
pami ¾
etaj ¾
ac, ·
ze
2
x
= I,
x
R
y
( )
x
= R
y
(
) i
x
R
z
( )
x
= R
z
(
) .
Dzia÷
anie bramki U -kontrolowana mo·
zna przedstawi´c na schemacie.....
Rysunek
Je´sli
zatem kontrolny kubit jest w stanie j0i to na kubit bazowy dzia÷a operator
ABC = I : Gdy natomiast kontrolny kubit jest w stanie j1i to na bazowy kubit
dzia÷
a operator A
x
B
x
C =
(
)U , w którym dwukrotne dzia÷
anie macierzy
Pauliego
x
odzwierciedla efekt dzia÷
ania bramek CN OT na kubit bazowy. Op-
erator ten ró·
zni si ¾
e od operatora U tylko czynnikiem fazowym
(
) = e
i
I .
Ostatnia bramka na schemacie......... usuwa nieporz ¾
adany czynnik fazowy. Jej
reprezentacja macierzowa jest nast ¾
epuj ¾
aca
lxiv
OBWODY KWANTOWE
R
z
( )
I =
1
0
0
e
i
I =
2
6
6
4
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
e
i
0
0
0
0
e
i
3
7
7
5
(300)
Na tym ko´nczy si ¾
e dowód, ·
ze obwód....
stanowi implementacj ¾
e bramki U -
kontrolowana.
Rozwa·
zmy teraz bramk¾
e C
k
U , która dokonuje unitarnej transformacji
U na bazowym kubicie gdy wszystkie k kontrolne kubity s ¾
a w staniej1i. Bramka
C
k
U mo·
ze by´c zrealizowana przy pomocy bramek jednokubitowych i bramek
CN OT :Szczególnym przypadkiem jest bramka C
2
N OT , zwana te·
z bramk ¾
a
To¤oli’ego, która powoduje dzia÷
anie operacji N OT na bazowy kubit gdy ka·
zdy
z dwóch kontrolnych kubitów jest w stanie j1i . Schemat bramki C
2
N OT
jest na rysunku........
Rysunek
Operacja
V =
1
0
0
i
(301)
oraz jej hermitowskie sprz ¾
e·
z ¾
enie V
y
s ¾
a operacjami unitarnymi. Przy pomocy
sekwencji bramek V , V
y
i bramki CN OT
mo·
zna zrealizowa´c bramk¾
e Tof-
foli’ego, s ¾
a wi ¾
ec one jakby sk÷
adowymi bramki To¤oli’ego. Jest to wa·
zne z
nast ¾
epuj ¾
acych powodów: 1) bramka To¤oli’ego jest uniwersaln ¾
a bramk ¾
a dla
oblicze´n klasycznych, kwantowe obwody sk÷
adaj ¾
ace si ¾
e jednokubitowych i bramek
CN OT
obejmuj ¾
a tak·
ze klasyczne obliczenia, 2) w przeciwie´nstwie do kwan-
towych oblicze´n, w klasycznych obliczeniach jedno- i dwubitowe bramki odwracalne
nie s ¾
a bramkami uniwersalnymi. Dla dowolnej unitarnej macierzy U bramka
C
2
U mo·
ze by´c zrealizowana przez obwód jak na rysunku... .
gdzie V jest
macierz ¾
a tak ¾
a, ·
ze V
2
= U
Rysunek
Bramka To¤oli’ego jest szczególnie u·
zyteczna przy konstrukcji bramki C
k
U . Przyk÷
ad takiej bramki w przypadku k = 4 jest na rysunku.......
lxv
Rysunek
Bramka C
k
U posiada k
1 pomocniczych kubitów pocz ¾
atkowo ustaw-
ionych w stanie j0i : Pierwsze k 1 bramki To¤oli’ego zmieniaj ¾
a stan ostatniego
pomocniczego kubitu do stanu jji , gdzie j = i
k
1
i
k
2
:::i
1
i
0
, który jest równy
j1i wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie kontrolne kubity na pocz ¾
atku s ¾
a w stanie
j1i . Wówczas kontrolowana U-operacja, dla której ostatni pomocniczy kubit
spe÷
nia rol ¾
e kubitu kontrolnego, realizuje C
k
U
bramk¾
e. Po tej operacji
wszystkie k
1 bramki To¤oli’ego przywracaja pomocnicze kubity do ich stanu
pocz ¾
atkowego j0i.
Powy·
zsze rozwa·
zania dowodz ¾
a, ·
ze jednokubitowe bramki i dwukubitowa
bramka CN OT s ¾
a uniwersalnymi bramkami w obliczeniach kwantowych. Dla
podsumowania; g÷
ówne kroki w dowodzie tej tezy s ¾
a nast ¾
epuj ¾
ace: 1) w przy-
padku dowolnej rotacju U pojedy´nczego kubitu U -kontrolowana bramka mo·
ze
by´c zast ¾
apiona sekwencj ¾
a bramek jednokubitowych i bramek CN OT , 2) bramka
To¤oli’ego (C
2
N OT ) mo·
ze by´c zrealizowana przy pomocy sekwencji bramek
CN OT , U
CON T ROL i bramek Hadamarda, 3) dowolna C
k
U bramka
(k > 2) mo·
ze by´c roz÷
o·
zona na bramki To¤oli’ego i bramki U
CON T ROL,
4) dowolny unitarny operator U
(n)
dzia÷
aj ¾
acy na stany n-kubitowej przestrzeni
Hilberta mo·
ze by´c roz÷
o·
zony przy pomocy sekwencji bramek C
k
U:
Przedstawione wy·
zej sposoby rozk÷
adu z÷
o·
zonych operacji na operacje uni-
wersalne s ¾
a z regu÷
y ma÷
o efektywne, tj. wymagaj ¾
a wykonania operacji elemen-
tarnych, których liczba ro´snie eksponencjalnie do liczby kubitów. Na przyk÷
ad,
w przypadku dowolnej unitarnej transformacji U na n kubitach potrzebujemy
elementarnych bramek w liczbie proporcjonalnej do exp(n) gdy·
z macierz U jest
okre´slona przez O(4
n
) rzeczywistych parametrów.
Wci ¾
a·
z otwartym, o fundamentalnym znaczeniu, problemem oblicze´n kwan-
towych jest pytanie - jak znale´z´c klas ¾
e unitarnych transformacji, które na kom-
puterze kwantowym by÷
yby wykonywane przy pomocy elementarnych bramek
w liczbie okre´slonej wielomianem W (n). Interesuj ¾
ac ¾
a metod ¾
e rozk÷
adu dowolnej
unitarnej macierzy o wymiarze 2
n
2
n
na sekwencj ¾
e elementarnych operacji po-
da÷Tucci (1999r). W metodzie tej stosuje si ¾
e rozk÷
ad CS (rozk÷
ad na kosinusy
i sinusy). Dowolna unitarna macierz U o wymiarze N
N (gdzie N liczna
parzysta) mo·
ze by´c przedstawiona w formie
U =
L
0
0
0
L
1
D
R
0
0
0
R
1
(302)
gdzie L
0
; L
1
; R
0
; R
1
s ¾
a unitarnymi macierzami o wymiarze
N
2
N
2
, a
D =
D
c
D
s
D
s
D
c
(303)
gdzie D
c
i D
s
s ¾
a diagonalnymi macierzami; D
c
= diag(cos
1
; cos
2
; :::; cos
N
2
)
, D
s
= diag(sin
1
; sin
2
; :::; sin
N
2
);
i
- odpowiedni k ¾
at. Zgodnie z rownaniem
(302)
lxvi
OBWODY KWANTOWE
U =
L
0
D
c
R
0
L
0
D
s
R
1
L
1
D
s
R
0
L
1
D
c
R
1
(304)
Bior ¾
ac N = 2
n
(n - liczba kubitów), w wyniku iteracji mo·
zna dan ¾
a macierz
roz÷
o·
zy´c na macierze coraz to mniejszych rozmiarów. Zatem mo·
zna operacj ¾
e
(macierz) U zredukowa´c do sekwencji elementarnych operacji. Jednak·
ze rozk÷
ad
ten nie jest w ogólno´sci wydajny poniewa·
z generuje on O(2
n
) kontrolnych macierzy
o wymiarze 2
2. Jako przyk÷
ad rozpatrzmy rozk÷
ad unitarnej macierzy U o
wymiarze 4
4: Obwód, który wykonuje to zadanie (zgodnie z wzorem 302 )
jest na rysunku........
Rysunek
Natomiast uk÷
ad , który dokonuje rozk÷
adu macierzy D o wymiarze 4
4
(wed÷
ug wzoru 303 ) na elementarne bramki jest na rysunku........ Ko´ncz ¾
ac ten
rozdzia÷warto zwróci´c uwag ¾
e, ·
ze w przeciwie´nstwie do klasycznych oblicze´n,
obliczenia kwantowe zale·
z ¾
a od ci ¾
ag÷
ych parametrów poniewa·
z obwody kwan-
towe sk÷
adaj ¾
a si ¾
e z sekwencji bramek kwantowych Hadamarda, bramek CN OT
i bramek przesuni ¾
ecia fazowego, które zale·
z ¾
a od ci ¾
ag÷
ych parametrów (k ¾
atów).