Algebra z teorią liczb

Przykłady zadań testowych

Prawidłowe odpowiedzi należy zaznaczyć w odpowiednich okienkach znakiem

T.

Nieprawidłowe odpowiedzi należy zaznaczyć w odpowiednich okienkach znakiem N.
Za bezbłędne rozwiązanie całego trzypytaniowego zestawu otrzymuje się

5

punktów.

Za każdą trafną odpowiedź w trzypytaniowym zestawie otrzymuje się 1 punkt.
W każym trzypytaniowym zestawie możliwa jest dowolna kombinacja odpowiedzi ”tak”, ”nie”.

1. Reszta z dzielenia liczby 3

2010

przez 7 wynosi

4.

2.

1.

2. Wektory [−4, 0, 2], [1, 2, 0], [1, 0, 0]

tworzą bazę przestrzeni R

3

.

tworzą bazę przestrzeni R

2

.

są liniowo zależne.

3. Niech A, B będą dowolnymi macierzami kwadratowymi tego samego stopnia, o

wyrazach rzeczywistych.

Macierz B powstała w wyniku przekształceń elemen-

tarnych na wierszach macierzy A. Wówczas

det A = 0 ⇔ det B = 0.

det A = det B.

det A = λ det B,

dla pewnego λ ∈ R.

4. Niech będzie dany zbiór G = 5Z i działanie ∗ określone wzorem

a ∗ b = a + b − 5,

a, b ∈ G.

(Działania występujące po prawej stronie wzoru są zwykłym dodawaniem i odej-
mowaniem w zbiorze liczb całkowitych.)

Działanie ∗ posiada element neutralny e = 5.

Elementem przeciwnym do elementu a ∈ G jest element b = 6.

Zbiór G wraz z działaniem ∗ stanowi grupę.

1

5. Niech będą dane permutacje

σ =



1

2

3

4

5

6

7

6

3

7

1

2

5

4



oraz

τ =



1

2

3

4

5

6

7

3

6

7

1

2

4

5



.

τ ◦ σ = σ ◦ τ.

τ

−1

=



1

2

3

4

5

6

7

4

5

1

6

2

2

3



.

τ ◦ σ

2

=



1

2

3

4

5

6

7

2

5

1

4

7

6

3



.

6. Dana jest macierz A =





4 2 5
0 0 4
1 2 8





.

Wyznacznik macierzy A jest równy −24.

Kolumny macierzy A są liniowo niezależne.

Rząd macierzy A jest równy 2.

7. Równanie 321x + 843y = λ posiada w liczbach całkowitych rozwiązanie

dla każdej liczby całkowitej λ?

dla λ całkowitych podzielnych przez 3?

tylko dla λ całkowitych ujemnych.

8. Niech T : R

2

→ R

3

i L : R

3

→ R

2

będą przekształceniami liniowymi danymi

wzorami

L (x, y, z) = (x + y + z, x − y) ,

T (x, y) = (x − y, 2x + y, x + y) .

Przekształcenie L ◦ T

odwzorowuje przestrzeń R

3

na siebie.

odwzorowuje przestrzeń R

2

na siebie.

w bazie kanonicznej odpowiedniej przestrzeni ma macierz



4

1

−1 −2



.

2

9.

Dla których z poniższych macierzy A zachodzą równości AB = BA = B, gdzie

B jest dowolną macierzą kwadratową stopnia 3.

A =





1 0 0
0 1 0
0 0 1





,

A =





0 0 1
0 1 0
1 0 0





,

A =





1 1 1
1 1 1
1 1 1





.

10. Układ równań

x + p

2

y +

z = −p

x +

y − pz =

p

2

y +

z =

1

posiada dokładnie jedno rozwiązanie dla p 6= −1.

posiada nieskończenie wiele rozwiązań dla p = 2.

nie posiada rozwiązań dla p = 1.

11. W przestrzeni R

3

dane sa proste l

1

i l

2

l

1

:







x =

1 +

t

y = −1 + 3t
z =

5t

.

l

2

:







x =

t

y = −2 + 2t
z = −3 + 3t

,

t ∈ R.

Prosta l

1

jest równoległa do płaszczyzny o równaniu 2x + 3y − 5z − 4 = 0.

Prosta l

2

jest prostopadła do płaszczyzny o równaniu 2x + 4y + 6z + 5 = 0.

proste l

1

i l

2

się przecinają.

12. Iloczyn skalarny w przestrzeni R

3

jest odwzorowaniem przyjmującym wartości w

przestrzeni R

3

.

w zbiorze liczb rzeczywistych.

jedynie w zbiorze liczb rzeczywistych dodatnich.

Przykłady zagadnień teoretycznych

1. (5 pkt ) Podać definicję przestrzeni wektorowej (liniowej).

2. (5 pkt ) Zdefiniować funkcję Eulera oraz podać wzór na obliczanie

wartości tej funkcji.

3. (5 pkt ) Sformułować twierdzenie Kroneckera-Capellego.

4. (5 pkt ) Podać dwa twierdzenia w sformułowaniu których pojawia się

pojęcie liczby pierwszej.

5. (5 pkt ) Pokazać, że relacja przystawanie modulo m dla liczb całkowi-

tych jest przechodnia.

3