Podstawy Konstrukcji Maszyn

Wały i osie – część I

Wały i osie – nr 2

Wały i osie

dr inż. Piotr Chwastyk

Charakterystyka osi i wałów

Osią lub wałem nazywa się element maszyny podparty w łożyskach i

podtrzymujący  osadzone  na  nim  części  maszyn.  Na  wale  mogą  być  osadzone
różne  elementy  wykonujące  ruchy  obrotowe  (np.  koła  zębate,  piasty,  tarcze
hamulcowe  itp.)  lub  ruchy  wahadłowe  (np.  koło  zębate  współpracujące  z
zębatką).

Wały i osie – nr 3

Wały i osie

dr inż. Piotr Chwastyk

Charakterystyka osi i wałów

Głównym zadaniem  wału  jest przenoszenie momentu obrotowego, zatem wał
wykonuje  zawsze  ruch  obrotowy.  W  związku  z  tym  wał  jest  narażony
jednocześnie na skręcanie oraz - pod wpływem sił poprzecznych - na zginanie.
W  niektórych  przypadkach  wał  może  być  narażony  tylko  na  skręcanie  (np.
samochodowy wał napędowy w sprzęgle Cardana).

Rys.1. Przykładowy wał maszynowy

Wały i osie – nr 4

Wały i osie

dr inż. Piotr Chwastyk

Charakterystyka osi i wałów

Oś  jest  element  mechanizmu  lub  maszyny,  służący  utrzymaniu  w  określonym
położeniu  osadzonych  na  niej  wirujących  elementów,  najczęściej  kół,  oraz  do
przenoszenia  na  podpory  sił  działających  na  te  elementy.  Oś  nie  przenosi
momentu  obrotowego  i  jest  narażona  na  zginanie.  Oś  może  być  nieruchoma,
utwierdzona  w  miejscach  podparcia,  lub  ruchoma  (wykonuje  ruch  obrotowy),
osadzona  w  łożyskach.  Oś  nieruchomą  mocuje  się  w  podporach  za  pomocą
połączeń  wpustowych,  gwintowanych  itp.  Krótką  oś  nazywa  się  czasami
sworzniem.

Zarówno osie, jak i wały mogą być dodatkowo obciążone siłą poosiową
(rozciągającą lub ściskającą), np. gdy elementami osadzonymi na nich są koła
zębate skośne lub stożkowe.

Rys. 2. Schematy: a, b) wału, c) osi nieruchomej, d) osi ruchomej

Wały i osie – nr 5

Wały i osie

dr inż. Piotr Chwastyk

Rodzaje osi i wałów

Osie i wały sztywne są ustrojami prętowymi o przekroju poprzecznym okrągłym
albo (znacznie rzadziej) sześciokątnym lub innym. Można wyróżnić osie i wały
gładkie (rys. 3a) mające prawie niezmienny przekrój poprzeczny na całej
długości oraz kształtowe - o zmiennych przekrojach, wynikających z obciążenia
i funkcji osi lub wału (rys. 3b, c, e). Osie są z reguły proste, natomiast wały
mogą być proste lub wykorbione (rys. 3d).

Rys. 3. Rodzaje wałów i osi: a) wał gładki, b, c) wały schodkowe, d) wał
wykorbiony, e) oś nieruchoma

Wały i osie – nr 6

Wały i osie

dr inż. Piotr Chwastyk

Rodzaje osi i wałów

W  niektórych  urządzeniach  (szlifierkach  ręcznych,  wiertarkach
dentystycznych itp.) stosuje się wały giętkie, służące do przenoszenia
napędu na elementy wykonujące ruchy przestrzenne względem źródła
napędu.  Zależnie  od  liczby  łożysk,  będących  podporami  wałów,
rozróżnia  się  wały  dwu-  i  wielopodporowe  oraz  bardzo  rzadko
stosowane  -  jednopodporowe.  W  zależności  od  spełnianych  funkcji
wału często stosuje się nazwy: wał główny (wrzeciono robocze - WR),
pomocniczy,  rozrządczy,  napędzający  itp.  Wały  mogą  być  pełne  lub
drążone.  Wały  drążone  stosuje  się  w  celu  zmniejszenia  ciężaru
konstrukcji  lub  gdy  otwór  umożliwia  mocowanie  i  obróbkę  długich
prętów  (np.  w  tokarkach).  Większość  wałów  maszynowych  stanowią
wały schodkowe, w których średnice zmieniają się stopniowo. Sposób
kształtowania  zależy  od  względów  wytrzymałościowych  oraz  od
przewidywanego sposobu montażu.

Wały i osie – nr 7

Wały i osie

dr inż. Piotr Chwastyk

Rodzaje osi i wałów

Stopniowanie średnic narastająco od środka wału (rys. 4a) stosuje się przeważnie
wówczas, gdy korpus maszyny (urządzenia) jest dzielony, przy czym podział
przebiega wzdłuż osi wału; stopniowanie średnic w jednym kierunku (rys. 4b)
umożliwia montaż wału w otworach niedzielonych kadłubów.

Rys. 4. Stopniowanie średnic wałów: a) do środka wału, b) w jednym kierunku

Wały i osie – nr 8

Wały i osie

dr inż. Piotr Chwastyk

Rodzaje osi i wałów

Czopami  nazywa  się odcinki  osi lub  wału,  których  powierzchnie stykają  się  ze
współpracującymi  elementami:  łożyskami,  kołami  zębatymi  itd.  Rozróżnia  się
czopy ruchowe i czopy spoczynkowe. Czopy ruchowe 1 (rys. 5) współpracują z
panewkami  łożysk  ślizgowych,  z  kołami  przesuwnymi  lub  obracającymi  się
względem  nieruchomej  osi  itp.,  natomiast  czopy  spoczynkowe  2  (rys.  5)
współpracują z elementami osadzonymi na stałe względem wału i obracającymi
się wraz z nim.

Rys. 5. Rodzaje czopów: a, b) czopy wzdłużne wał gładki, c, d, e) czopy poprzeczne

Wały i osie – nr 9

Wały i osie

dr inż. Piotr Chwastyk

Rodzaje osi i wałów

Kształty czopów ustala się w zależności od wartości i kierunku reakcji w
podporach oraz od wymagań konstrukcyjno-technologicznych.

Jeżeli czop jest umieszczany na końcu wału lub osi to nazywamy się go

czopem końcowym, a jeśli umieszczony jest w części środkowej, to wówczas
nazywa się go czopem środkowym. W zależności od kierunku przenoszonych sił
rozróżniamy czopy poprzeczne, wzdłużne i poprzeczno-wzdłużne.

Czopy wymagają dokładnej obróbki, dlatego ich średnice należy dobierać wg

wymiarów normalnych (PN-78/M-02041). Wymiary swobodne wałów (np.
średnice nie stykające się z innymi elementami) mogą być niezgodne z
wymiarami normalnymi, jeżeli wpłynie to korzystnie np. na ułatwienie montażu.

Wały i osie – nr 10

Wały i osie

dr inż. Piotr Chwastyk

Materiały stosowane na wały i osie

Dobór  materiału  na  wał  jest  ważnym  elementem  projektowania
urządzenia. Od wymiarów wału zależą wymiary łożysk, wymiary części
osadzonych  na  wale,  a  czasami  i  sprawność  urządzenia.  Wybór
materiału  jest  szczególnie  ważny  w  przypadku  wałów  kształtowych
obrabianych  cieplnie,  ponieważ  wały  pracują  przeważnie  pod
obciążeniem zmiennym. Z drugiej strony uszkodzenia lub odkształcenia
wałów wpływają bardzo istotnie na trwałość części na nich osadzonych.
Tak  na  przykład  wirniki  obracające  się  z  dużymi  prędkościami
obrotowymi  i  tworzące  z  obudową  małe  szczeliny,  mogą  przy
deformacjach  wału  zniszczyć  całe  urządzenie.  Na  dobór  materiałów
mają wpływ: wymagana wytrzymałość, sztywność, przeznaczenie osi i
wałów oraz cena produktu.

Wały i osie – nr 11

Wały i osie

dr inż. Piotr Chwastyk

Materiały stosowane na wały i osie

Osie i wały wykonuje się najczęściej ze stali:

•

konstrukcyjnej węglowej

zwykłej jakości

zwykłej jakości (najczęściej St3, St4, St5), gdy elementy są mało

obciążone w maszynach mniej ważnych, stosowane bez obróbki cieplnej i gdy bardziej
wymagana jest sztywność elementu niż jego wytrzymałość;

•

konstrukcyjnej węglowej wyższej jakości

konstrukcyjnej węglowej wyższej jakości (najczęściej 25, 35 i 45). Stale 25 i 35 stosuje się
w stanie normalizowanym i ulepszonym lub hartowanym powierzchniowo (45);

•

konstrukcyjnej stopowej do ulepszania cieplnego

konstrukcyjnej stopowej do ulepszania cieplnego, najczęściej chromoniklowej, gdy
wymagana jest mała średnica wału (w tym przypadku zalecane jest ulepszanie cieplne) oraz
gdy na wale są odkute elementy pracujące jak koła zębate lub połówki sprzęgła, wymagające
powierzchni odpornych na ścieranie;

•

konstrukcyjnej stopowej do nawęglania lub azotowania

konstrukcyjnej stopowej do nawęglania lub azotowania - jak w powyższym punkcie, ale
gdy bardziej zależy nam na twardości powierzchni niż na wytrzymałości rdzenia elementu
(zawsze nawęglone lub azotowane oraz zawsze hartowane przynajmniej na niektórych
powierzchniach);

•

konstrukcyjnej stopowej o szczególnych własnościach

konstrukcyjnej stopowej o szczególnych własnościach, gdy wymagane są szczególne
cechy, jak żaroodporność, nierdzewność, kwasoodporność itp.

W wyjątkowych przypadkach wykonuje się wały odlewane, staliwne lub żeliwne (głównie do
wykonania wałów wykorbionych). Najczęściej stosuje się żeliwo modyfikowane lub sferoidalne
(Zs 65002, Zs 70002).

Wały i osie – nr 12

Wały i osie

dr inż. Piotr Chwastyk

Obciążenia osi i wałów

W  trakcie  eksploatacji  maszyny  jej  części  mogą  ulec  uszkodzeniu  lub
zniszczeniu pod wpływem czynników zewnętrznych, np. w wyniku działania sił
zewnętrznych,  nadmiernego  nagrzania,  korozji  itd.  Zadaniem  konstruktora  jest
więc  takie  zaprojektowanie  części,  aby  prawdopodobieństwo  ich  zniszczenia
było jak najmniejsze. Podstawą do obliczeń wytrzymałościowych części maszyn
jest określenie charakteru sił zewnętrznych, czyli obciążeń mechanicznych. Przy
obciążeniach  nieustalonych  (rys.  6d)  można  je  przyrównać  do  zbliżonych
obciążeń zmiennych.

Obciążenia dzieli się ogólnie na:

• stałe (statyczne, niezmienne, trwałe), których wartość i kierunek są

niezmienne w ciągu dość długiego czasu pracy;

• zmienne, o różnym charakterze zmienności w czasie pracy.

Wały i osie – nr 13

Wały i osie

dr inż. Piotr Chwastyk

Obciążenia osi i wałów

Rys. 6. Rodzaje cykli obciążeń i naprężeń: a) stały, b) jednostronnie zmienny (1 - tętniący

odzerowo, 2 - tętniący jednostronny), c) obustronnie zmienny (3 - wahadłowy symetryczny, 4 -

dwustronny niesymetryczny), d) nieustalony

Wały i osie – nr 14

Wały i osie

dr inż. Piotr Chwastyk

Obciążenia osi i wałów

Wśród obciążeń zmiennych wyróżnia się obciążenia okresowe -
najczęściej szybkozmienne - jako typowe obciążenia pracujących części
maszyn. Należą do nich obciążenia:

• wahadłowe, przy których bezwzględne wartości F

max

i F

min

są sobie

równe (rys. 6.c) - np. obciążenie tłoczyska w pompach tłokowych
obustronnego działania, obciążenie wałów itd.;

• tętniące odzerowo, przy których w każdym cyklu pracy F

min

(lub F

max

)

= 0 (rys. 6.b) - np. obciążenie zębów w kołach zębatych itd.

Wały i osie – nr 15

Wały i osie

dr inż. Piotr Chwastyk

Obliczanie osi i wałów

Podstawą obliczania wytrzymałości osi lub wału jest wyznaczenie wszystkich
sił i momentów działających na wał (oś).
Rozróżnia się:

• obciążenia zmienne co do wartości i kierunku, wywołujące naprężenia

zmienne;

• obciążenia stałe (statyczne), wywołujące w osiach nieruchomych

naprężenia stałe, a w osiach ruchomych i wałach - naprężenia zmienne;

• obciążenia zmieniające swoje położenie (w płaszczyźnie prostopadłej do

osi wału) wraz z obrotem wału - np. siły odśrodkowe, które wywołują
naprężenia stałe.

Osie nieruchome oblicza się na wytrzymałość statyczną, a osie ruchome i wały -
na wytrzymałość zmęczeniową. Zwrot "obliczanie na wytrzymałość..." oznacza
dokonanie  (drogą  obliczeń)  takiego  wyboru  kształtu,  wymiarów  i  rodzaju
materiału  części,  aby  mogła  ona  -  z  uwzględnieniem  odpowiedniego
współczynnika  bezpieczeństwa  -  pracować  bez  obawy  uszkodzenia  w
określonych warunkach obciążeniowych.

Wały i osie – nr 16

Wały i osie

dr inż. Piotr Chwastyk

Obliczanie osi i wałów

Projektowanie osi i wałów obejmuje:

• Obliczenia wstępne, umożliwiające ustalenie kształtu i przybliżonych

wymiarów osi lub wału. Obliczenia te wykonuje się w zasadzie na
wytrzymałość statyczną, uwzględniając jednak wpływ zmienności obciążeń
przez przyjęcie odpowiednich naprężeń dopuszczalnych (np. k

, k

• Obliczenia dokładne (sprawdzające), uwzględniające czynniki decydujące o

wytrzymałości zmęczeniowej (min. działanie karbów) oraz sztywność
giętną i skrętną wału.

Wały i osie – nr 17

Wały i osie

dr inż. Piotr Chwastyk

Obliczanie osi i wałów

Ruch  obrotowy  wału  (osi  ruchomej)  jest  wywołany  siłami  działającymi  na  obwodzie
elementu  napędzającego  osadzonego  na  wale  (koła  zębatego,  pasowego  itp.)  i  jest
przekazywany  np.  na  inne  wały  za  pośrednictwem  kół  napędzanych.  Dla  ustalenia
wpływu działania siły obwodowej F na wał, w jego osi zaczepia się tzw. układ zerowy
sił, tj.  dwie  siły  F, których  suma  jest  równa  zeru  (rys. 7.a). Z otrzymanego  układu  sił
wynika,  ze  wał  jest  obciążony  momentem  skręcającym  (równym  momentowi
obrotowemu)  oraz  siłą  F,  wywołującą  zginanie  wału.  Na  rysunku  7.b,  c,  d  podano
przykłady obciążenia wałów i osi.

Rys. 7. Przykłady obciążenia wałów i osi

Wały i osie – nr 18

Wały i osie

dr inż. Piotr Chwastyk

Obliczanie osi i wałów

Przy wstępnym obliczaniu wałów uwzględnia się tylko wartość siły

obwodowej F (pomijając wpływ pozostałych obciążeń) wyznaczaną ze wzoru na
moment obrotowy.

Wartość momentu obrotowego oblicza się z zależności:

gdzie:

P - moc [W],
ω – prędkość kątowa [rad/s],
M – moment obrotowy [Nm].

Podstawiając P w kW oraz ω=2πn/60, otrzymuje się:

gdzie:
M – moment obrotowy [Nm],
n – prędkość obrotowa [obr/min].

W obliczeniach osi i wałów z reguły pomija się ciężar wału (osi) i osadzonych na nim części.

Wały i osie – nr 19

Wały i osie

dr inż. Piotr Chwastyk

Obliczanie osi i wałów

Zarówno siły wewnętrzne, jak i reakcje w łożyskach obciążają wały (osie) w różny

sposób, zależnie od kształtu piasty koła i rodzaju łożyska.

Rys. 8. Wyznaczanie reakcji w czopach wału w przypadku: a)

łożyska tocznego, b) łożyska ślizgowego, c, d) kół pasowych

Przykłady

wyznaczenia

punktu zaczepienia reakcji
oraz wyznaczenie punktów
zaczepienia

obciążenia,

przenoszonego  na  wał  przez
części  na  nim  osadzone,
podano na rys. 8.
Przy  wstępnych  obliczeniach
wału  wymiary  czopów  i
osadzonych

nich

elementów  nie  są  znane.
Przyjmuje  się  wówczas,  że
obciążenia  czopów  stanowią
siły  skupione,  zaczepione  w
środku  długości  piasty  koła
lub  w  środku  długości
łożyska.

Wały i osie – nr 20

Wały i osie

dr inż. Piotr Chwastyk

Zasady obliczania wytrzymałości osi i wałów dwupodporowych

Obliczenia wytrzymałości części maszyn wykonuje się:

a) w projektowaniu nowych konstrukcji - w celu ustalenia

optymalnych wymiarów części; jeżeli kształt i wymiary części są
ustalone

podstawie

wymagań

konstrukcyjno-

technologicznych, wówczas obliczenia te mają na celu
sprawdzenie nośności części,

b) podczas badań kontrolnych części pracujących - badania te

wykonuje się np. w razie wystąpienia zmiany obciążenia
(rodzaju lub wartości) albo przy ustalaniu przyczyn zniszczenia
części.

Wały i osie – nr 21

Wały i osie

dr inż. Piotr Chwastyk

Obliczenia wytrzymałościowe

Obliczenia wytrzymałościowe wykonuje się na podstawie warunku: naprężenia
rzeczywiste muszą być mniejsze od naprężeń dopuszczalnych lub najwyżej
im równe. Podstawowe wzory wytrzymałościowe uwzględniające ten warunek
można przedstawić w postaci uogólnionej jako

gdzie:

σ - naprężenia rzeczywiste normalne przy rozciąganiu, ściskaniu i zginaniu [Pa],
τ - naprężenia rzeczywiste styczne przy ścinaniu i skręcaniu [Pa],
p - naciski powierzchniowe [Pa],
F - obciążenia rozciągające, ściskające, ścinające lub nacisk [N],
S - pole powierzchni przekroju narażonego na zniszczenie lub pole powierzchni nacisku
[m

]

M - obciążenie momentem (przy zginaniu Mg, przy skręcaniu Ms) [Nm],
W - wskaźnik wytrzymałości przekroju (przy zginaniu W

, przy skręcaniu W

) [m

k - naprężenia (lub naciski) dopuszczalne [Pa].

Wały i osie – nr 22

Wały i osie

dr inż. Piotr Chwastyk

Obliczenia wytrzymałościowe

W celu odróżniania naprężeń odpowiadających poszczególnym rodzajom obciążeń,

przy symbolach naprężeń podaje się następujące wskaźniki (indeksy): rozciąganie - r,
ściskanie - c, ścinanie - t, zginanie - g, skręcanie - s (np. σ

, τ

, k

itd.). W przypadku

naprężeń  wywołanych  obciążeniami  zmiennymi  w  zapisie  symbolowym  umieszcza  się  drugi
wskaźnik  (indeks):  j  -  przy  obciążeniach  tętniących  (jednostronnie  zmiennych)  lub  o  -  przy
obciążeniach  wahadłowych  (obustronnie  zmiennych),  np.  k

, k

. Przy obciążeniach

rozciągająco-ściskających łączy się wskaźniki r i c (k

W przypadku występowania złożonego stanu naprężeń wyznacza się naprężenia zastępcze
według następujących wzorów:

stosowany przy naprężeniach o tym
samym kierunku (w stosunku do
przekroju pracującego

oparty na hipotezie wytrzymałościowej
Hubera - w przypadku naprężeń o różnych
kierunkach (np. przy jednoczesnym
zginaniu i skręcaniu)

We wzorze współczynnik α określa stosunek naprężeń dopuszczalnych normalnych do
stycznych, np. α = k

; α = k

itp.

Wały i osie – nr 23

Wały i osie

dr inż. Piotr Chwastyk

Obliczenia wytrzymałościowe – naprężenia dopuszczalne

Wszystkie obliczenia prowadzi się w jednostkach układu SI. Jednostką

naprężenia w tym układzie jest pascal (1Pa = N/m

). Stosuje się też jego krotności

(kPa, MPa). Dla uproszczenia obliczeń można stosować wzory liczbowe,
umożliwiające wyliczenie naprężeń od razu w żądanych jednostkach przy
odpowiednim (wygodniejszym w obliczeniu) podstawianiu wartości poszczególnych
czynników.

Naprężenia dopuszczalne przy obciążeniach stałych

. Naprężenia, które

mogą wystąpić w materiale bez obawy naruszenia warunku wytrzymałości i warunku
sztywności, nazywa się naprężeniami dopuszczalnymi.

Przyjęcie właściwych naprężeń dopuszczalnych jest jednym z ważniejszych

zagadnień  w  obliczeniach  wytrzymałościowych.  Ustalenie  niewłaściwych  naprężeń
dopuszczalnych  może  stać  się  przyczyną  zniszczenia  elementów  (np.  złamania,
trwałego  odkształcenia)  lub  marnotrawstwa  surowca  wskutek  nadmiernego
zwiększenia wymiarów (i masy) zarówno elementów, jak i konstruowanej maszyny
lub urządzenia.

Wartości naprężeń dopuszczalnych ustala się głównie w zależności od

własności materiałów i charakteru obciążenia. Ogólnie rozróżnia się materiały
plastyczne i kruche.

Wały i osie – nr 24

Wały i osie

dr inż. Piotr Chwastyk

Obliczenia wytrzymałościowe – naprężenia dopuszczalne

Dla  większości  materiałów  w  normach  (PN)  jako  podstawowe  własności
wytrzymałościowe  są podawane:  minimalna  wytrzymałość  na  rozciąganie  -  tzw.
wytrzymałość  doraźna  -  R

min

(dla materiałów kruchych i plastycznych) oraz

granica plastyczności - R

e min

(tylko dla materiałów plastycznych). Za podstawę

doboru naprężeń dopuszczalnych przy obciążeniach stałych przyjmuje się: R

- dla

materiałów plastycznych (np. stali) oraz R

- dla materiałów kruchych (np.

żeliwa). Przy poszczególnych rodzajach obciążeń jako podstawę doboru naprężeń
dopuszczalnych można przyjmować odpowiednie specyficzne własności, np.
wytrzymałość (doraźną) przy ścinaniu - R

, granicę plastyczności przy zginaniu -

itd. W celu uzyskania określonego stopnia pewności, że dana część nie ulegnie

zniszczeniu lub trwałemu odkształceniu, wprowadza się współczynniki
bezpieczeństwa, w związku z czym naprężenia dopuszczalne wyznacza się z
wzorów:

w których:
x

- współczynnik bezpieczeństwa dla materiałów plastycznych,

- współczynnik bezpieczeństwa dla materiałów kruchych.

Wały i osie – nr 25

Wały i osie

dr inż. Piotr Chwastyk

Obliczenia wytrzymałościowe – naprężenia dopuszczalne

Wartości przyjmowanych współczynników uzależnia się od przeznaczenia

konstrukcji lub urządzenia (możliwość wystąpienia nieprzewidzianego wzrostu
obciążenia części, stopień ,,odpowiedzialności" konstrukcji lub urządzenia).
Przeciętne wartości współczynników bezpieczeństwa podano w tabeli 1.

Tabela 1. Przeciętne wartości współczynników bezpieczeństwa

Materiał

Stale, staliwa, żeliwa ciągliwe

2÷2,3

3,5÷4

Żeliwa szare

3,5

Stopy miedzi

3÷4

4,5÷6

Stopy aluminium

3,5÷4

5÷7

Wały i osie – nr 26

Wały i osie

dr inż. Piotr Chwastyk

Obliczenia wytrzymałościowe – naprężenia dopuszczalne

Naprężenia dopuszczalne przy obciążeniach zmiennych.

Części maszyn

poddane  obciążeniom  zmiennym  (tętniącym,  wahadłowym  lub  o  nieustalonym
przebiegu) wykazują znacznie niższą wytrzymałość niż przy obciążeniach stałych.
Proces  zmian  występujący  w  materiale  pod  wpływem  zmiennych  obciążeń  i
wywołanych  nimi  zmiennych  naprężeń  nosi  nazwę  zmęczenia  materiału.  W
przypadku  obciążeń  okresowo  zmiennych  dla  każdego  materiału  można  ustalić
doświadczalnie  wartość  największych  naprężeń,  przy  których  badane  próbki  nie
ulegają  zniszczeniu  w  ciągu  określonej  liczby  zmian  obciążenia  (i  wywołanych
nimi  naprężeń),  określanych  jako  cykl  naprężeń  zmiennych.  Wartość  tych
naprężeń  nazywa  się  ogólnie  wytrzymałością  na  zmęczenie  i  -  w  zależności  od
rodzaju obciążenia - oznacza się następująco:

• Z

, Z

- przy obciążeniach działających w cyklu wahadłowym,

• Z

, Z

- przy obciążeniach działających w cyklu odzerowo

tętniącym,

• Z

, Z

- przy obciążeniach działających w dowolnym, jednoznacznie

określonym cyklu niesymetrycznym.

Wały i osie – nr 27

Wały i osie

dr inż. Piotr Chwastyk

Obliczenia wytrzymałościowe – naprężenia dopuszczalne

Zależności umożliwiające wyznaczenie wytrzymałości na zmęczenie w

przypadku obciążeń okresowo zmiennych (symetrycznych) są podane w tabeli 2.

Tabela 2. Wyznaczone doświadczalnie zależności umożliwiające określenie wytrzymałości
zmęczeniowej podstawowych materiałów konstrukcyjnych

Rodzaj obciążenia

Symbol

Stale, staliwa

Żeliwa szare Stopy miedzi Stopy aluminium

Rozciąganie i
ściskanie

(0,55÷0,63) R

~1,5 Z

śr. 0,50 R

śr. 0,48 R

(0,28÷0,4) R

śr. 0,7 Z

śr. 0,28 R

0,7 Z

≈0,25 R

(3,4÷4) Z

Zginanie

(0,66÷0,75) R

~1,5 Z

~1,8 Z

śr. 0,45 R

śr. 0,4 R

śr. 0,35 R

śr. 0,34 R

Skręcanie i ścinanie

(0,46÷0,5) R

~1,5 Z

~1,7 Z

(0,22÷0,25) R

~0,8 Z

~0,58 Z

~0,56 Z

Wały i osie – nr 28

Wały i osie

dr inż. Piotr Chwastyk

Obliczenia wytrzymałościowe – naprężenia dopuszczalne

Przyjmując za podstawę odpowiednią wytrzymałość zmęczeniowa, wartość

naprężeń dopuszczalnych w przypadku obciążeń okresowo zmiennych wyznacza
się z wzoru:

gdzie:

- współczynnik bezpieczeństwa przy obciążeniach zmiennych.

W tabelach 3 i 4 podano wartości liczbowe naprężeń dopuszczalnych w

przypadku obciążeń stałych i zmiennych dla wybranych materiałów przy
założeniu następujących wartości współczynników bezpieczeństwa:

• dla stali i staliwa - x

= 1,9 - 2,1; x

= 3,4 - 3,7 ,

• dla żeliwa - x

= 3,5; x

= 3.

Wały i osie – nr 29

Wały i osie

dr inż. Piotr Chwastyk

Obliczenia wytrzymałościowe – naprężenia dopuszczalne

Tabela 3. Orientacyjne własności wytrzymałościowe niektórych gatunków stali: R

i R

wg PN

oraz naprężenia dopuszczalne obliczone z zastosowaniem współczynników bezpieczeństwa
podanych w tablicach 1 i 2.

Materiał

Znak stali

Stan

obróbki

cieplnej

min.

MPa

min.

MPa

Naprężenia dopuszczalne MPa

Stal niestopowa konstrukcyjna
zwykłej jakości PN-88/H-
84020

St0S
St3S
St4S

St5
St6
St7

320
380
440
490
590
690

195
235
275
295
335
365

100
120
130
145
160
175

55
65
70
80
95

110

30
35
40
45
55
60

120
145
155
170
195
210

65
75
85
95

115
130

40
50
55
60
75
85

65
75
85
90

105
115

44
50
60
65
75
85

23
27
30
35
40
45

Stal węglowa konstrukcyjna
wyższej jakości PN-75/H-
84019

10
15
20
25
35
45
55

N
N
N
N
N
N
N

340
380
420
460
540
610
660

210
230
250
280
320
360
390

105
115
125
140
155
170
185

55
65
70
80
85
95

105

30
35
40
45
50
55
60

125
140
150
170
185
205
225

70
75
85
90

100
115
125

45
50
55
60
65
75
80

65
75
80
90

100
110
120

45
50
60
65
70
80
85

24
27
30
33
36
40
45

10
15
20
25
35
45
55

H
H
H

T
T
T
T

420
500
550
500
590
670
750

250
300
360
310
370
420
470

125
150
180
150
180
200
225

70
85
95
85
95

105
120

40
45
50
45
50
60
65

150
180
215
180
215
240
270

100
110
100
110
125
140

55
65
70
65
70
80
90

80
95

115

115
130
145

60
70
75
70
75
85
95

30
35
40
35
40
45
50

; k

≈k

; k

≈k

; k

≈k

N - normalizowana
H - nawęglane i hartowane
T - ulepszane cieplnie (hartowanie i wysokie odpuszczanie)

Wały i osie – nr 30

Wały i osie

dr inż. Piotr Chwastyk

Obliczenia wytrzymałościowe – naprężenia dopuszczalne

Materiał

Znak

stali

Stan

obróbki

cieplnej

min.

MPa

min.

MPa

Naprężenia dopuszczalne MPa

Stale stopowe konstr. do
nawęglania PN-89/H-84030

15H
20H

20HG

15HGM

H
H
H
H

690
780

1080

930

490
640
740
780

250
325
375
400

120
135
185
160

65
75

105

300
390
450
480

140
160
220
190

105
140
120

160
210
240
255

110
150
130

50
55
80
70

Stale stopowe konstrukcyjne
do ulepszania cieplnego PN-
89/H-84030

30G2
45G2

N
N

650
780

390
480

190
235

105
120

60
65

230
280

125
140

80
90

120
150

85
95

45
50

30G2
45G2

30H
40H
50H

40HM

35HGS

T
T
T
T
T
T
T

780
880
880
980

1080
1030
1620

540
690
740
780
930
880

1280

260
335
335
380
450
430
620

130
145
145
160
175
165
265

70
80
80
90

100

145

315
400
430
455
545
515
745

150
170
170
190
210
200
310

110
110
120
135
130
200

170
215
230
245
290
275
395

105
115
115
130
145
135
215

55
60
60
65
75
70
11

; k

≈k

; k

≈k

; k

≈k

N - normalizowana
H - nawęglane i hartowane
T - ulepszane cieplnie (hartowanie i wysokie odpuszczanie)

Tabela 3. (cd). Orientacyjne własności wytrzymałościowe niektórych gatunków stali: R

i R

PN oraz naprężenia dopuszczalne obliczone z zastosowaniem współczynników bezpieczeństwa
podanych w tablicach 1 i 2.

Wały i osie – nr 31

Wały i osie

dr inż. Piotr Chwastyk

Obliczenia wytrzymałościowe – naprężenia dopuszczalne

Tabela 4. Orientacyjne własności wytrzymałościowe niektórych gatunków staliw i żeliw: R

, R

- wg PN, naprężenia dopuszczalne - na podstawie tablic 1 i 2

Materiał

Znak

min.

MPa

min.

MPa

gsr

MPa

Naprężenia dopuszczalne MPa

Staliwa
węglowe
konstrukcyjne
PN-86/H-
83152

L400
L450
L500
L600
L650

400
450
500
600
650

250
260
320
360
380

125
130
150
170
180

65
75
80
95

105

38
42
45
55
60

150
155
185
205
215

80
90
95

115
125

50
58
61
75
80

80
83
95

110
115

55
62
65
80
85

29
32
34
40
45

Żeliwa szare
PN-86/H-
83101

Zl 150
Zl 200
Zl 250
Zl 300
Zl 350

150
200
250
300
350

300
360
420
480
540

45
55
70
85

100

20
30
35
45
50

15
20
25
30
35

70
85

115
130
145

30
40
50
60
70

20
25
35
40
45

55
70
90

105
115

25
30
40
50
55

15
20
25
30
35

145
195
245
290
340

70
95

120
145
165

Osie oblicza się na zginanie, a wały - na skręcanie z równoczesnym

zginaniem lub (w nielicznych przypadkach) - tylko na skręcanie.

Wały i osie – nr 32

Wały i osie

dr inż. Piotr Chwastyk

Projektowanie osi i wałów

Projektowanie osi i wałów polega na:

• wyznaczeniu metodami statyki wszystkich sił czynnych (obciążeń) i

biernych (reakcji podpór lub utwierdzeń) działających na oś lub wał;

• obliczeniu wartości momentów zginających (dla osi i wałów) oraz

skręcających i zastępczych (dla wałów) co najmniej dla punktów
przyłożenia sił zewnętrznych i dla punktów podparcia (łożysk);

• obliczeniu średnic wału w podstawowych przekrojach i ustaleniu kształtu

wału (osi);

• wykonaniu (w razie potrzeby) obliczeń sprawdzających (np. z

uwzględnieniem osłabienia wału lub osi karbami) i uzupełniających,
polegających na obliczeniu sztywności wału itp.

Wały i osie – nr 33

Wały i osie

dr inż. Piotr Chwastyk

Projektowanie osi dwupodporowych

Obliczanie osi dwupodporowych na zginanie. Oś oblicza się jako belkę podpartą na dwóch
podporach (łożyskach) i obciążoną siłami skupionymi. Reakcje w podporach wyznacza się
na podstawie warunków równowagi. W przypadku osi tylko obciążonej tylko jedną siłą
poprzeczną F (rysunek) reakcje oblicza się z zależności:

Maksymalny moment zginający wynosi

Wały i osie – nr 34

Wały i osie

dr inż. Piotr Chwastyk

Projektowanie osi dwupodporowych

Na podstawie warunku wytrzymałościowego na zginanie oblicza się minimalną
średnicę osi

stąd

Osie nieruchome często wykonuje się jako gładkie (rysunek), o średnicy
odpowiadającej obliczonej średnicy maksymalnej.

Wały i osie – nr 35

Wały i osie

dr inż. Piotr Chwastyk

Projektowanie osi dwupodporowych

Podczas projektowania osi drążonych (o przekroju pierścieniowym) wstępnie
zakłada się stosunek średnicy otworu do zewnętrznej średnicy osi: β=d

/d;

najczęściej przyjmuje się β=0,4÷0,6, jeżeli średnica otworu nie jest uzależniona
od wymagań związanych z przeznaczeniem osi. Dla osi drążonej wskaźnik
wytrzymałości przekroju wynosi:

Średnicę osi oblicza się wg wzoru:

Wały i osie – nr 36

Wały i osie

dr inż. Piotr Chwastyk

Projektowanie osi dwupodporowych

Z wykresu momentów zginających (rys. 9c) wynika, że w przypadku stosowania osi gładkiej
(o stałym przekroju poprzecznym - rys. 9d) własności materiału są w pełni wykorzystane tylko
w

przekroju

niebezpiecznym,

natomiast

przekrojach,

których

< M

g max

, materiał osi jest niedociążony.

Rys. 9. Obliczanie osi na zginanie: a) schemat osi, b) schemat obciążenia, c) wykres
momentów zginających, d) oś gładka, e) teoretyczny kształt osi o równej wytrzymałości,
f) rzeczywisty kształt osi schodkowej (wg d1 na rys. e)

Wały i osie – nr 37

Wały i osie

dr inż. Piotr Chwastyk

Projektowanie osi dwupodporowych

W celu właściwego wykorzystania materiału ustala się teoretyczny kształt osi (wału),

odpowiadający belce o równomiernej wytrzymałości na zginanie (rys. 9e); wartości średnic w
poszczególnych przekrojach oblicza się wg odpowiednich wartości momentów zginających.
Na podstawie teoretycznego kształtu ustala się rzeczywiste kształty osi lub wału. Najczęściej
wykonuje się osie i wały schodkowe, projektowane w taki sposób, aby kształt rzeczywisty był
opisany na kształcie teoretycznym (rys. 9f). Naprężenia rzeczywiste w każdym przekroju
poprzecznym będą wówczas mniejsze od naprężeń dopuszczalnych.

Rys. 9. Obliczanie osi na
zginanie: a) schemat osi, b)
schemat

obciążenia,

wykres

momentów

zginających,  d)  oś  gładka,  e)
teoretyczny  kształt  osi  o
równej  wytrzymałości,  f)
rzeczywisty

kształt

osi

schodkowej (wg d

na rys. e)

Wały i osie – nr 38

Wały i osie

dr inż. Piotr Chwastyk

Obliczanie wałów na skręcanie

Wały oblicza się tylko na skręcanie w następujących przypadkach:

1. Gdy moment skręcający jest znacznie większy od momentów zginających

wał. Przypadek ten ma miejsce dla wałów krótkich występujących np. w
reduktorach, w których elementy odbierające napęd (sprzęgła, koła pasowe
itd.) znajdują się tuz przy łożysku reduktora, a średnice kół osadzonych na
tym wale są dość duże. W takich przypadkach można pominąć wpływ
momentów zginających, ewentualnie zwiększając nieco obliczoną średnicę
wału.

2. Gdy wał jest obciążony tylko momentem skręcającym. Przykład takiego

obciążenia stanowią drążki skrętne, stosowane w niektórych pojazdach, na
stanowiskach badawczych, itp.

3. Gdy wielkość projektowanego urządzenia zależy m.in. od wymiarów wału,

a  jego  wymiary  długościowe  nie  są  ustalone.  W  takich  przypadkach  po
wstępnym  obliczeniu  wału  na  skręcanie  ustala  się  wymiary  wału  i
projektowanego  urządzenia,  a  następnie  oblicza  się  dokładnie  wał  (co
najmniej w przekrojach niebezpiecznych),  wprowadzając w razie potrzeby
odpowiednie zmiany.

Wały i osie – nr 39

Wały i osie

dr inż. Piotr Chwastyk

Obliczanie wałów na skręcanie

stąd

W podanych przypadkach średnicę wału oblicza się w warunku

wytrzymałościowego na skręcanie

Wały drążone oblicza się podobnie jak osie drążone

oraz d

=β

Wały i osie – nr 40

Wały i osie

dr inż. Piotr Chwastyk

Obliczanie wałów na skręcanie

Podstawiając do wzoru wartość momentu skręcającego podaną w zależności:

można obliczyć średnicę wału na podstawie mocy P przenoszonej przez wał i
jego prędkości obrotowej oraz założonego materiału:

w którym:

P - moc [kW],
n – prędkość obrotowa [obr/min],
k

– dopuszczalne naprężenia na skręcanie [MPa]

d – średnica wału [m].

Wały i osie – nr 41

Wały i osie

dr inż. Piotr Chwastyk

Obliczanie wałów na skręcanie

W zależności od rodzaju obciążenia wartości naprężeń dopuszczalnych na

skręcanie przyjmuje się następująco:

• k

- przy prawie ciągłej pracy wału (bardzo rzadkie zmiany prędkości

obrotowej itd.);

• k

- przy częstych zmianach prędkości obrotowej i mocy odbieranej (np. w

obrabiarkach skrawających) oraz przy częstym uruchamianiu i
zatrzymywaniu urządzenia; naprężenia dopuszczalne tętniące (ksj) są
najczęściej przyjmowane w praktyce;

• k

- jw. przy równie częstych zmianach kierunku ruchu obrotowego.

Wartości liczbowe wymienionych naprężeń są podane w tabeli 3.

Wały i osie – nr 42

Wały i osie

dr inż. Piotr Chwastyk

Obliczanie wałów dwupodporowych na równoczesne zginanie i skręcanie

Obciążenie wałów wywołuje w nich naprężenia normalne (zginające) i

styczne (skręcające), zatem wały oblicza się ze wzoru na naprężenia zastępcze
(σ

) opartego na hipotezie wytrzymałościowej Hubera:

Podstawiając zależności: σ

, τ

oraz W

=2W

, otrzymuje się

po przekształceniach wzór:

w którym moment zastępczy (zredukowany):

Wały i osie – nr 43

Wały i osie

dr inż. Piotr Chwastyk

Obliczanie wałów dwupodporowych na równoczesne zginanie i skręcanie

Współczynnik redukcyjny α określa, w jakim stopniu uwzględnia się w

obliczeniach naprężenia styczne. Jego wartość oblicza się z zależności: α=k

lub α=k

. Podstawiając do wzoru wskaźnik wytrzymałości przekroju

≈0,1d

, otrzymuje się wzór:

lub dla wału drążonego:

Wały i osie – nr 44

Wały i osie

dr inż. Piotr Chwastyk

Obliczanie wałów dwupodporowych na równoczesne zginanie i skręcanie

W podanych wzorach pominięto wpływ obciążeń wzdłużnych na wytrzymałość
wału, ponieważ są one z reguły nieznaczne. Gdy zachodzi potrzeba ich
uwzględnienia, sprawdza się wartość naprężeń zastępczych w poszczególnych
przekrojach wg wzoru:

Podstawą do obliczenia średnic wału z warunków wytrzymałościowych jest
prawidłowe obliczenie momentów zastępczych w poszczególnych przekrojach.
Obliczenia te wykonuje się metoda rachunkowa lub metoda półwykreślną.

Document Outline

Slide 1
Slide 2
Slide 3
Slide 4
Slide 5
Slide 6
Slide 7
Slide 8
Slide 9
Slide 10
Slide 11
Slide 12
Slide 13
Slide 14
Slide 15
Slide 16
Slide 17
Slide 18
Slide 19
Slide 20
Slide 21
Slide 22
Slide 23
Slide 24
Slide 25
Slide 26
Slide 27
Slide 28
Slide 29
Slide 30
Slide 31
Slide 32
Slide 33
Slide 34
Slide 35
Slide 36
Slide 37
Slide 38
Slide 39
Slide 40
Slide 41
Slide 42
Slide 43
Slide 44