GR A

II Zasada Dynamiki – Ruch postępowy

II zasada

Ciało, na które działają stałe siły, porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym z
przyspieszeniem a, którego wartość i kierunek są określone stosunkiem siły wypadkowej F do masy
ciała m.

lub

Tempo zmiany pędu ciała jest równe sile wypadkowej działającej na to ciało.

II zasadę dynamiki Newtona można zapisać za pomocą pędu następująco

Układy o stałej masie

Układy o zmiennej
masie,np.rakieta

2) Przyspieszenie w ruchu obrotowym

1. Energia kinetyczna w ruchu postępowym

3)Energia kinetyczna w ruchu obrotowym

E=½Iω

2

4) Moment Pędu:

dt

p

d

dt

v

m

d

a

m

F

czyli

m

F

a

wyp

wyp





















)

(

a

m

dt

dm

v

dt

v

d

m

dt

dm

v

v

m

dt

d

F

const

m

gdy

a

m

dt

v

d

m

v

m

dt

d

dt

p

d

F

const

m

gdy













































)

(

)

(

2

2

1

mv

E

k



Cząstka o masie m, pędzie p w odległości r od początku układu współrzędnych 0 (rys. 4).



sin

rp

L



θ - kąt między r i p
r

– położenie cząstki wzgl. wybranego

inercjalnego układu odniesienia

z

0

θ

m

r

p

x

y

L

Rys. 4

Wektor L

-

prostopadły do płaszczyzny

utworzonej przez wektory r i p

(definicją

iloczynu wektorowego) (rys. 4).

Moment pędu i moment siły są wielkościami zdefiniowanymi w podobny sposób.

p

r

L







,



Ad. 2. Dynamika ruchu obrotowego











I

L

a

v

m

p





Moment pędu

cząstki względem pkt. 0, ozn. L i definiujemy

Moment pędu cząstki (ta sama rola jak pęd)

p

r

L











5) Prawo Powszechenj Grawitacji:

Ad.2. Prawo powszechnego ciążenia

Prawo powszechnego ciążenia (stosuje się do wszystkich sił grawitacyjnych)

(Newtona)

Dwa punkty materialne o masach M i m

oddziałują na siebie (przyciągają się)

wzajemnie siłą F:

2

r

Mm

G

F



gdzie
r -

odległość punktów materialnych

G -

stała grawitacji (wyznaczona przez Cavendisha)

r

r

Mm

G

F





3





r = |r|

M

F

F

m

Rys. 2

lub wektorowo

6)Natężenie pola elektrycznego - dla kuli ( wzór, wykres E=f(r))

Całkowity strumień przechodzący przez powierzchnię S można obliczyć jako sumę
przyczynków od elementów powierzchni







ia

powierzchn

S

E







S

S

E d



Suma ta przedstawia

całkę powierzchniową

Obliczmy teraz

strumień dla ładunku punktowego Q w odległości r od niego.

Q

r

E

W tym celu rysujemy

kulę o promieniu r

wokół ładunku Q i liczymy strumień (liczbę
linii

przechodzących przez powierzchnię).

Otrzymany strumień nie zależy od r, zatem strumień jest

jednakowy dla wszystkich r.

k

k

Q

kQ

r

r

Q

k

r

E

















4

1

4

1

,

4

)

4

(

)

4

(

0

0

0

2

2

2



























Całkowita liczba linii wychodzących od ładunku jest równa

Q/



0

i linie te biegną do nieskończoności.

7. Kontrakcja długości

l

0

=l

0

’

√

, l

0

długość poruszającego

się ciała, l

0

’ długość ciała w spoczynku

β=v/c
8.Masa Relatywistyczna:

gdzie:

m

r

– masa relatywistyczna,

p

0

– zerowa (czasowa) składowa czteropędu,

E

r

– energia relatywistyczna,

c – prędkość światła.

9.Ruch Harmoniczny Prosty:

1. Ruch harmoniczny prosty

równanie: m·d

2

x/dt

2

+kx=0,

rozwiązanie: x=Acos(ωt+δ)

10. Twierdzenie o pracy i energii:

Ad. 4. Energia kinetyczna i twierdzenie o pracy i energii

Zakł., że

wypadkowa

sił działających na przedmiot nie jest równa zeru

, tzn.

przedmiot jest przyspieszany (lub

działała jedna niezrównoważona siła).

Najprostszy przypadek -

działanie stałej wypadkowej siły F na ciało o masie m,

która nadaje jej stałe przyspieszenie a (F = const, a = const).
Zakładamy, że ciało porusza się w kierunku osi x (x - kierunek F i a), wtedy

t

v

v

x

at

t

v

x

t

v

v

a

at

v

v

2

2

,

0

2

0

0

0





















v

0

– prędkość początkowa

v

– prędkość końcowa

Zatem praca wykonana wynosi

(*)

2

1

2

1

2

max

2

0

2

0

0

mv

mv

t

v

v

t

v

v

m

x

F

W

















Energia kinetyczna E

k

-

jedną drugą iloczynu masy ciała przez kwadrat

jego prędkości.

2

2

1

mv

E

k



Z

równania (*) wynika, że

Praca wykonana przez

siłę wypadkową F działającą na ciało jest równa

zmianie energii kinetycznej tego

ciała.

k

k

k

E

E

E

W









0

Twierdzenie o pracy i energii

Z twierdzenia wynika, że

Jednostki pracy i energii są takie same.

Gdy

siła wypadkowa zmienia się co do wielkości (lecz ma stały kierunek)

wtedy praca wykonana przez

siłę wypadkową przy przesunięciu cząstki od x

0

do x wynosi









x

x

Fdx

s

d

F

W

0





z drugiej zasady dynamiki Newtona mamy, że F=ma, a przyspieszenie a
można zapisać jako

dx

dv

v

v

dx

dv

dt

dx

dx

dv

dt

dv

a









Gdy prędkość ciała jest stała (v = const), wtedy nie ma zmiany energii
kinetycznej i praca wykonana przez siłę wypadkową wynosi zero.

0

,









k

E

W

const

v

W ruchu obrotowym

Energia kinetyczna ciała obracającego się dookoła osi z prędkością kątową ω wynosi

gdy
M

– moment siły = const



-

obrót o pewien kąt,

s

– droga, wtedy

Praca jest równa zwiększeniu energii kinetycznej obracającego się ciała na
tym odcinku drogi ruchu obrotowego.

2

0

2

2

1

2

1

0

0

0

mv

mv

dv

mv

dx

dx

dv

mv

Fdx

W

v

v

x

x

x

x

















wtedy

2

2

1



I

E

k



Fs

E

M

W

k











11. Wahadło matematyczne:

Wahadło matematyczne - wyidealizowane ciało o masie punktowej m, zawieszone na cienkiej,
nierozciągliwej nici. Wytrącone z równowagi waha się w płaszczyźnie pionowej pod wpływem siły
ciężkości.-przykład ruchu harmonicznego.

mgcosα

R

l

α

mgsinα

mg

x = lα

l

m

α

Na ciało o masie m działa siła mg i siła
napinająca nić R.
Ruch wahadła powoduje siła styczna:



sin

mg

F





dla bardzo małych wychyleń sinα ~ α,
czyli
ruch harmoniczny prosty, bo

F~α

.

l

g

x

l

g

dt

x

d

l

mg

k

i

kx

x

l

mg

l

x

mg

mg

mg

F





























2

2

2

,

,

sin







g

l

mg

ml

k

m

T







2

2

2







Okres drgań w ruchu harmonicznym

Okres drgań wahadła matematycznego

nie zależy od masy, lecz od długości

ramienia wahającej się masy.

12.Prawo Gausa

8. Prawo Gaussa

Niech

zamknięta powierzchnia obejmuje dwa ładunki Q

1

i Q

2

(rys.).

Całkowita liczba linii sił przecinająca powierzchnię zamkniętą wokół
ładunków Q

1

i Q

2

jest

równa

S

Q

1

Q

2



















S

E

S

E

S

E

E

S

E

d

d

d

)

(

d

1

1

2

1

calk



gdzie
E

1

- jest wytwarzane przez Q

1

, a E

2

przez Q

2

.



całk

= (Q

1

/



0

) + (Q

2

/



0

) = (Q

1

+ Q

2

)/



0

Powołując się na wcześniejszy wynik otrzymujemy

Całkowita liczba linii sił jest równa całkowitemu ładunkowi podzielonemu przez



0

.

Podobnie

można pokazać dla dowolnej liczby n ładunków.

13. Prawo Faradaya

14.Siła Lorentza:

2.

Reguła Lenza

Prąd indukowany ma taki kierunek, że przeciwstawia się zmianie, która go

wywołała. Kierunek prądu indukowanego w pętli (rysunek) zależy od tego czy
strumień rośnie czy maleje (zbliżamy czy oddalamy magnes). Ta reguła dotyczy
prądów indukowanych.

S

N

v

I

S

N

v

I

Rys. 1:

Magnes sztabkowy porusza

się na

prawo,

zwiększając strumień przechodzący

przez

zamkniętą

pętlę

przewodu.

Indukowany

prąd I wytwarza pole B (pętla).

Pole to

przeciwdziała wzrostowi strumienia,

związanego z magnesem.

Rys. 2:

Magnes sztabkowy

(początkowo

nieruchomy) przesuwa

się na lewo, co

zmniejsza

strumień

przez

pętlę.

Powstanie indukowany

prąd I (w pętli)

przeciwdziałający zmianie, tzn. pole B
będzie starało się utrzymać początkową
wartość strumienia przechodzącego przez
pętlę.

W przypadku (1), wypadkowa

siła działająca na cewkę jest skierowana w prawo,

a w przypadku (2) w lewo.

15.Magnetyczny Moment Diplowy:

Mmagnetycznym momentem

dipolowym nazywamy pole magnetyczne działające na ramkę
z prądem momentem skracającym obracając ją.