GR A
II Zasada Dynamiki – Ruch postępowy
II zasada
Ciało, na które działają stałe siły, porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym z
przyspieszeniem a, którego wartość i kierunek są określone stosunkiem siły wypadkowej F do masy
ciała m.
lub
Tempo zmiany pędu ciała jest równe sile wypadkowej działającej na to ciało.
II zasadę dynamiki Newtona można zapisać za pomocą pędu następująco
Układy o stałej masie
Układy o zmiennej
masie,np.rakieta
2) Przyspieszenie w ruchu obrotowym
1. Energia kinetyczna w ruchu postępowym
3)Energia kinetyczna w ruchu obrotowym
E=½Iω
2
4) Moment Pędu:
dt
p
d
dt
v
m
d
a
m
F
czyli
m
F
a
wyp
wyp
)
(
a
m
dt
dm
v
dt
v
d
m
dt
dm
v
v
m
dt
d
F
const
m
gdy
a
m
dt
v
d
m
v
m
dt
d
dt
p
d
F
const
m
gdy
)
(
)
(
2
2
1
mv
E
k
Cząstka o masie m, pędzie p w odległości r od początku układu współrzędnych 0 (rys. 4).
sin
rp
L
θ - kąt między r i p
r
– położenie cząstki wzgl. wybranego
inercjalnego układu odniesienia
z
0
θ
m
r
p
x
y
L
Rys. 4
Wektor L
-
prostopadły do płaszczyzny
utworzonej przez wektory r i p
(definicją
iloczynu wektorowego) (rys. 4).
Moment pędu i moment siły są wielkościami zdefiniowanymi w podobny sposób.
p
r
L
,
Ad. 2. Dynamika ruchu obrotowego
I
L
a
v
m
p
Moment pędu
cząstki względem pkt. 0, ozn. L i definiujemy
Moment pędu cząstki (ta sama rola jak pęd)
p
r
L
5) Prawo Powszechenj Grawitacji:
Ad.2. Prawo powszechnego ciążenia
Prawo powszechnego ciążenia (stosuje się do wszystkich sił grawitacyjnych)
(Newtona)
Dwa punkty materialne o masach M i m
oddziałują na siebie (przyciągają się)
wzajemnie siłą F:
2
r
Mm
G
F
gdzie
r -
odległość punktów materialnych
G -
stała grawitacji (wyznaczona przez Cavendisha)
r
r
Mm
G
F
3
r = |r|
M
F
F
m
Rys. 2
lub wektorowo
6)Natężenie pola elektrycznego - dla kuli ( wzór, wykres E=f(r))
Całkowity strumień przechodzący przez powierzchnię S można obliczyć jako sumę
przyczynków od elementów powierzchni
ia
powierzchn
S
E
S
S
E d
Suma ta przedstawia
całkę powierzchniową
Obliczmy teraz
strumień dla ładunku punktowego Q w odległości r od niego.
Q
r
E
W tym celu rysujemy
kulę o promieniu r
wokół ładunku Q i liczymy strumień (liczbę
linii
przechodzących przez powierzchnię).
Otrzymany strumień nie zależy od r, zatem strumień jest
jednakowy dla wszystkich r.
k
k
Q
kQ
r
r
Q
k
r
E
4
1
4
1
,
4
)
4
(
)
4
(
0
0
0
2
2
2
Całkowita liczba linii wychodzących od ładunku jest równa
Q/
0
i linie te biegną do nieskończoności.
7. Kontrakcja długości
l
0
=l
0
’
√
, l
0
długość poruszającego
się ciała, l
0
’ długość ciała w spoczynku
β=v/c
8.Masa Relatywistyczna:
gdzie:
m
r
– masa relatywistyczna,
p
0
– zerowa (czasowa) składowa czteropędu,
E
r
– energia relatywistyczna,
c – prędkość światła.
9.Ruch Harmoniczny Prosty:
1. Ruch harmoniczny prosty
równanie: m·d
2
x/dt
2
+kx=0,
rozwiązanie: x=Acos(ωt+δ)
10. Twierdzenie o pracy i energii:
Ad. 4. Energia kinetyczna i twierdzenie o pracy i energii
Zakł., że
wypadkowa
sił działających na przedmiot nie jest równa zeru
, tzn.
przedmiot jest przyspieszany (lub
działała jedna niezrównoważona siła).
Najprostszy przypadek -
działanie stałej wypadkowej siły F na ciało o masie m,
która nadaje jej stałe przyspieszenie a (F = const, a = const).
Zakładamy, że ciało porusza się w kierunku osi x (x - kierunek F i a), wtedy
t
v
v
x
at
t
v
x
t
v
v
a
at
v
v
2
2
,
0
2
0
0
0
v
0
– prędkość początkowa
v
– prędkość końcowa
Zatem praca wykonana wynosi
(*)
2
1
2
1
2
max
2
0
2
0
0
mv
mv
t
v
v
t
v
v
m
x
F
W
Energia kinetyczna E
k
-
jedną drugą iloczynu masy ciała przez kwadrat
jego prędkości.
2
2
1
mv
E
k
Z
równania (*) wynika, że
Praca wykonana przez
siłę wypadkową F działającą na ciało jest równa
zmianie energii kinetycznej tego
ciała.
k
k
k
E
E
E
W
0
Twierdzenie o pracy i energii
Z twierdzenia wynika, że
Jednostki pracy i energii są takie same.
Gdy
siła wypadkowa zmienia się co do wielkości (lecz ma stały kierunek)
wtedy praca wykonana przez
siłę wypadkową przy przesunięciu cząstki od x
0
do x wynosi
x
x
Fdx
s
d
F
W
0
z drugiej zasady dynamiki Newtona mamy, że F=ma, a przyspieszenie a
można zapisać jako
dx
dv
v
v
dx
dv
dt
dx
dx
dv
dt
dv
a
Gdy prędkość ciała jest stała (v = const), wtedy nie ma zmiany energii
kinetycznej i praca wykonana przez siłę wypadkową wynosi zero.
0
,
k
E
W
const
v
W ruchu obrotowym
Energia kinetyczna ciała obracającego się dookoła osi z prędkością kątową ω wynosi
gdy
M
– moment siły = const
-
obrót o pewien kąt,
s
– droga, wtedy
Praca jest równa zwiększeniu energii kinetycznej obracającego się ciała na
tym odcinku drogi ruchu obrotowego.
2
0
2
2
1
2
1
0
0
0
mv
mv
dv
mv
dx
dx
dv
mv
Fdx
W
v
v
x
x
x
x
wtedy
2
2
1
I
E
k
Fs
E
M
W
k
11. Wahadło matematyczne:
Wahadło matematyczne - wyidealizowane ciało o masie punktowej m, zawieszone na cienkiej,
nierozciągliwej nici. Wytrącone z równowagi waha się w płaszczyźnie pionowej pod wpływem siły
ciężkości.-przykład ruchu harmonicznego.
mgcosα
R
l
α
mgsinα
mg
x = lα
l
m
α
Na ciało o masie m działa siła mg i siła
napinająca nić R.
Ruch wahadła powoduje siła styczna:
sin
mg
F
dla bardzo małych wychyleń sinα ~ α,
czyli
ruch harmoniczny prosty, bo
F~α
.
l
g
x
l
g
dt
x
d
l
mg
k
i
kx
x
l
mg
l
x
mg
mg
mg
F
2
2
2
,
,
sin
g
l
mg
ml
k
m
T
2
2
2
Okres drgań w ruchu harmonicznym
Okres drgań wahadła matematycznego
nie zależy od masy, lecz od długości
ramienia wahającej się masy.
12.Prawo Gausa
8. Prawo Gaussa
Niech
zamknięta powierzchnia obejmuje dwa ładunki Q
1
i Q
2
(rys.).
Całkowita liczba linii sił przecinająca powierzchnię zamkniętą wokół
ładunków Q
1
i Q
2
jest
równa
S
Q
1
Q
2
S
E
S
E
S
E
E
S
E
d
d
d
)
(
d
1
1
2
1
calk
gdzie
E
1
- jest wytwarzane przez Q
1
, a E
2
przez Q
2
.
całk
= (Q
1
/
0
) + (Q
2
/
0
) = (Q
1
+ Q
2
)/
0
Powołując się na wcześniejszy wynik otrzymujemy
Całkowita liczba linii sił jest równa całkowitemu ładunkowi podzielonemu przez
0
.
Podobnie
można pokazać dla dowolnej liczby n ładunków.
13. Prawo Faradaya
14.Siła Lorentza:
2.
Reguła Lenza
Prąd indukowany ma taki kierunek, że przeciwstawia się zmianie, która go
wywołała. Kierunek prądu indukowanego w pętli (rysunek) zależy od tego czy
strumień rośnie czy maleje (zbliżamy czy oddalamy magnes). Ta reguła dotyczy
prądów indukowanych.
S
N
v
I
S
N
v
I
Rys. 1:
Magnes sztabkowy porusza
się na
prawo,
zwiększając strumień przechodzący
przez
zamkniętą
pętlę
przewodu.
Indukowany
prąd I wytwarza pole B (pętla).
Pole to
przeciwdziała wzrostowi strumienia,
związanego z magnesem.
Rys. 2:
Magnes sztabkowy
(początkowo
nieruchomy) przesuwa
się na lewo, co
zmniejsza
strumień
przez
pętlę.
Powstanie indukowany
prąd I (w pętli)
przeciwdziałający zmianie, tzn. pole B
będzie starało się utrzymać początkową
wartość strumienia przechodzącego przez
pętlę.
W przypadku (1), wypadkowa
siła działająca na cewkę jest skierowana w prawo,
a w przypadku (2) w lewo.
15.Magnetyczny Moment Diplowy:
Mmagnetycznym momentem
dipolowym nazywamy pole magnetyczne działające na ramkę
z prądem momentem skracającym obracając ją.