- 1 -
Akademia Górniczo-Hutnicza
im. Stanisława Staszica w Krakowie
Teoria maszyn i mechanizmów precyzyjnych
Nr projektu:
5A
Kuczek Krystian
Rok II, gr. 24
Wydział IMiR
- 1 -
Akademia Górniczo-Hutnicza
im. Stanisława Staszica w Krakowie
Teoria maszyn i mechanizmów precyzyjnych
Nr projektu:
5A
Kuczek Krystian
Rok II, gr. 24
Wydział IMiR
- 2 -
Temat zadania.
5A
Zakres danych
Parametry mechanizmu
1. Struktura mechanizmu
2. Parametry kinematyczne członu
napędzającego 1
(φ
1
,ω
1
,0)
3. Masy i momenty bezwładności
członów (m
i
, J
i
)
(0,0);(m2,J
s
2);(0,0)
4. Obciążenie uogólnionymi siłami
zewnętrznymi (P
i
, M
i
)
(0,0);(P
2
,0);(0,M
3
)
5. Uogólniona moment równoważący do
wyznaczenia M
R1
M
R1
1. Schemat mechanizmu przedstawiający wymiary oraz rozmieszczenie
członów.
Dobrane wymiary:
|AB|=0,3464[m]
|AD|=0,6[m]
|BD|=0,6928[m]
|BC|=0,15[m]
Kąty ustawienia członów dla jednego położenia
φ
1
=90[°] φ
2
=150[°]
- 3 -
Zgodnie prędkość tematem przyjąłem prędkość i przyspieszenie członu napędzającego:
=
=
=
2
1
1
0
.
20
s
rad
const
s
rad
ε
ω
1.1 Określenie ruchliwości mechanizmu.
Ruchliwość mechanizmu obliczam ze wzoru:
1.2 Określenie ruchliwości grupy strukturalnej.
0
3
2
0
2
3
3
0
2
2
3
5
4
5
4
=
⋅
−
−
⋅
=
=
=
=
−
−
=
gr
w
p
p
n
p
p
n
w
Ruchliwość grupy strukturalnej jest równa 0, więc układ jest statycznie i dynamicznie
wyznaczalny.
1
4
2
0
3
3
4
0
3
2
3
5
4
5
4
=
⋅
−
−
⋅
=
=
=
=
−
−
=
w
p
p
n
p
p
n
w
- 4 -
2. Analiza kinematyczna mechanizmu
Analiza kinematyczna metodą grafoanalityczną dla przedstawionego położenia
mechanizmu.
2.1 Analiza prędkości mechanizmu metodą planów.
Przyjęto prędkość członu napędzającego: ω
1
=20[rad/s]
Prędkość V
B1
wynikająca z r. obrotowego 1 członu: V
B1
= ω
1
·|AB|=20·0,3464=6,928
s
m
Prędkość V
B2
: V
B1
= V
B2
=6,928
s
m
Wyznaczenie prędkości V
A3
:
=
=
s
m
V
s
m
V
B
B
B
464
,
3
6
3
3
2
- 5 -
=
=
=
s
m
V
V
V
B
B
S
928
,
6
2
1
2
Wyznaczenie prędkości V
C
:
=
⋅
=
⋅
=
=
=
=
s
m
CB
V
s
rad
BD
V
CB
B
75
,
0
15
,
0
5
|
|
5
6928
,
0
464
,
3
|
|
3
2
3
3
ω
ω
=
s
m
V
C
587
,
7
Całkowity plan prędkości:
Prędkość (m
2
) środka masy:
- 6 -
2.2 Analiza przyśpieszeń mechanizmu metodą planów.
Przyśpieszenie kątowe członu napędzającego 1 wynosi:
=
2
1
0
s
rad
ε
Przyśpieszenie punktu B1:
=
⋅
=
⋅
=
=
⋅
=
+
=
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
56
,
138
3464
,
0
20
|
|
0
|
|
s
m
AB
a
AB
a
a
a
a
n
B
t
B
t
B
n
B
B
ω
ε
Przyśpieszenie punktu B2:
t
B
t
B
n
B
n
B
B
B
a
a
a
a
a
a
2
1
2
1
2
1
=
⇒
=
⇒
=
Przyśpieszenie punktu B3:
=
=
=
=
=
=
=
⋅
⋅
=
=
=
=
⋅
=
⋅
=
=
2
3
3
2
2
3
2
3
2
3
2
2
3
2
3
3
2
3
2
2
2
3
3
2
2
6
,
86
6928
,
0
60
|
|
96
,
51
60
45
,
62
60
6
5
2
2
32
,
17
6928
,
0
5
|
|
56
,
138
s
m
BD
a
s
m
a
s
m
a
s
m
a
s
m
a
x
s
m
BD
a
s
m
a
B
t
B
B
t
B
t
B
cor
B
B
B
B
cor
B
B
n
B
B
n
V
a
ε
ω
ω
cor
B
B
t
B
B
n
B
t
B
n
B
B
a
a
a
a
a
a
2
3
2
3
2
3
3
3
+
+
=
+
=
- 7 -
Przyśpieszenie punktu C:
Całkowity plan przyśpieszeń:
=
=
⋅
=
=
⋅
=
⋅
=
=
⋅
=
=
⋅
=
+
+
=
2
2
3
3
2
2
2
2
3
2
2
2
2
95
,
135
99
,
12
15
,
0
6928
,
0
60
|
|
|
|
|
|
75
,
3
15
,
0
5
|
|
s
rad
a
s
rad
BC
BD
a
BC
a
s
rad
BC
a
a
a
a
a
C
B
t
t
CB
n
CB
t
CB
n
CB
n
B
C
ε
ω
- 8 -
3. Analiza kinematyczna mechanizmu metodą analityczną.
Schemat mechanizmu do analizy metodą analityczną.
φ
1
(t) określa ruch członu napędzającego
φ
3
(t), l
3
(t), są funkcjami zmiennymi w czasie
Poniższe funkcje są funkcjami stałymi i nie zależą od czasu, przyjmują zawsze stalą
wartość:
l
1
(t)=0,3464[m]
l
0
(t)=0,6 [m] φ
0
(t)=180
◦
Dla zadanego położenia mamy
φ
1
(t
0
=0)=90[°]
ω
1
(t
0
=0)=20 [1/s]
ε
1
(t
0
=0)=0 [1/s
2
]
Wyznaczenie ogólnych równań ruchu
0
0
3
1
=
+
+
l
l
l
Po przyjęciu układu współrzędnych i zrzutowaniu na osie otrzymujemy główne
równania, które po zróżniczkowaniu dadzą nam prędkości oraz przyśpieszenia.
0
sin
sin
:
0
cos
cos
:
3
3
1
1
0
3
3
1
1
=
⋅
+
⋅
=
−
⋅
+
⋅
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
l
l
OY
l
l
l
OX
- 9 -
Obliczenie nieznanych parametrów: l
3
, φ
3.
Nieznany parametr
l
3
(t):
( )
(
)
( )
( )
⋅
=
⋅
⋅
+
−
=
⋅
⋅
−
=
⋅
⋅
−
=
⋅
=
⋅
+
⋅
=
−
⋅
+
⋅
2
1
2
1
2
3
2
3
2
1
2
1
1
1
0
2
0
2
3
2
3
1
1
3
3
1
1
0
3
3
3
3
1
1
0
3
3
1
1
sin
sin
cos
cos
2
cos
sin
sin
cos
cos
0
sin
sin
0
cos
cos
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
Po dodaniu stronami:
( )
( )
[
]
(
)
( )
[
]
m
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
6928
,
0
3464
,
0
90
cos
3464
,
0
6
,
0
2
6
,
0
cos
2
sin
cos
cos
2
sin
cos
2
2
2
1
1
1
0
2
0
3
2
1
2
1
2
1
1
1
0
2
0
2
3
2
3
2
3
=
+
⋅
⋅
⋅
−
=
+
−
=
+
⋅
+
−
=
+
⋅
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
Nieznany parametr φ
3
(t) można obliczyć wykorzystując poniższy układ równań:
⋅
−
=
⋅
⋅
−
=
⋅
1
1
3
3
1
1
0
3
3
sin
sin
cos
cos
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
l
l
l
l
l
dzieląc równanie stronami przez siebie:
0
3
1
1
0
1
1
3
1
1
0
1
1
3
1
1
0
1
1
3
3
3
3
99
,
29
90
cos
3464
,
0
6
,
0
90
sin
3464
,
0
cos
sin
cos
sin
cos
sin
cos
sin
−
=
⋅
−
⋅
−
=
⋅
−
⋅
−
=
⇒
⋅
−
⋅
−
=
⇒
⋅
−
⋅
−
=
⋅
⋅
arctg
l
l
l
arctg
l
l
l
tg
l
l
l
l
l
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
Obliczenie nieznanych parametrów:
3
3
,
ω
•
l
Różniczkuję początkowe równanie po czasie w celu wyznaczenia prędkości liniowej i
kątowej.
0
cos
cos
cos
:
0
sin
cos
sin
:
3
3
3
3
3
1
1
1
3
3
3
3
3
1
1
1
=
+
⋅
+
=
−
⋅
+
−
•
•
ϕ
ω
ϕ
ϕ
ω
ϕ
ω
ϕ
ϕ
ω
l
l
l
OY
l
l
l
OX
- 10 -
Aby wyznaczyć prędkość liniową
•
3
l
obracam układ współ. o kąt φ
3
(
)
(
)
(
)
=
−
−
⋅
⋅
=
−
=
=
−
−
−
+
−
−
•
•
s
m
l
l
l
l
l
0004
,
6
))
99
,
29
(
90
sin(
3464
,
0
20
sin
0
sin
)
cos(
sin
3
1
1
1
3
3
3
3
3
3
3
3
3
1
1
1
ϕ
ϕ
ω
ϕ
ϕ
ω
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ω
Aby wyznaczyć prędkość kątową ω
3
obracam układ współ. o kąt φ
3
-90
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
=
⋅
⋅
−
=
+
−
−
=
=
−
+
−
−
=
+
−
−
+
−
+
+
−
−
•
s
l
l
l
l
l
l
l
1
5
6928
,
0
210
sin
3464
,
0
20
90
sin
0
90
sin
0
90
sin
)
90
cos(
90
sin
3
3
1
1
1
3
3
3
3
1
1
1
3
3
3
3
3
3
3
3
1
1
1
ϕ
ϕ
ω
ω
ω
ϕ
ϕ
ω
ϕ
ϕ
ω
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ω
Obliczenie nieznanych parametrów:
3
3
,
ε
•
•
l
.
Różniczkuję równanie prędkości po czasie w celu wyznaczenia przyśpieszenia liniowego i
kątowego. Wystarczy zróżniczkować 1 część OX.
(
)
[
]
0
cos
sin
sin
2
cos
cos
0
cos
sin
sin
sin
cos
cos
0
cos
sin
sin
sin
cos
cos
0
sin
sin
sin
cos
cos
:
3
3
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
1
1
2
1
3
3
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
1
1
2
1
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
1
1
2
1
|
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
1
1
2
1
=
−
−
−
⋅
+
−
=
−
−
−
−
⋅
+
−
=
+
+
−
−
⋅
+
−
=
+
−
−
⋅
+
−
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
ϕ
ω
ϕ
ε
ϕ
ω
ϕ
ϕ
ω
ϕ
ω
ϕ
ω
ϕ
ε
ϕ
ω
ϕ
ϕ
ω
ϕ
ω
ϕ
ω
ϕ
ε
ϕ
ω
ϕ
ϕ
ω
ϕ
ω
ϕ
ε
ϕ
ω
ϕ
ϕ
ω
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
OX
Aby wyznaczyć prędkość liniową
•
•
3
l
obracam układ współ. o kąt φ
3
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
=
⋅
+
⋅
⋅
=
+
−
=
=
−
+
−
−
=
−
−
−
−
−
−
−
⋅
+
−
−
=
−
−
−
⋅
+
−
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
2
2
2
3
2
3
3
1
1
2
1
3
3
2
3
3
3
1
1
2
1
3
3
3
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
1
1
2
1
3
3
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
1
1
2
1
94
,
51
6928
,
0
5
)
99
,
119
cos(
3464
,
0
20
cos
0
cos
0
cos
sin
sin
2
cos
cos
0
cos
sin
sin
2
cos
cos
s
m
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
ω
ϕ
ϕ
ω
ω
ϕ
ϕ
ω
ϕ
ϕ
ω
ϕ
ϕ
ε
ϕ
ϕ
ω
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ω
ϕ
ω
ϕ
ε
ϕ
ω
ϕ
ϕ
ω
- 11 -
Aby wyznaczyć prędkość liniową
3
ε
obracam układ współ. o kąt φ
3
-90
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
=
=
=
⋅
⋅
−
⋅
⋅
−
=
−
+
−
−
=
=
−
−
+
−
−
=
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
⋅
+
+
−
−
=
−
−
−
⋅
+
−
•
•
•
•
•
•
•
•
2
2
3
3
3
3
1
1
2
1
3
3
3
3
3
3
1
1
2
1
3
3
3
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
1
1
2
1
3
3
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
1
1
2
1
64
,
86
6928
,
0
018
,
60
6928
,
0
999
,
5
5
2
)
99
,
209
cos(
3464
,
0
20
2
90
cos
0
2
90
cos
0
90
cos
90
sin
90
sin
2
90
cos
90
cos
0
cos
sin
sin
2
cos
cos
s
rad
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
ω
ϕ
ϕ
ω
ε
ε
ω
ϕ
ϕ
ω
ϕ
ϕ
ω
ϕ
ϕ
ε
ϕ
ϕ
ω
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ω
ϕ
ω
ϕ
ε
ϕ
ω
ϕ
ϕ
ω
4. Analiza kinematyczna mechanizmu w programie SAM 4.2.
Wykorzystując zbudowany w programie model mechanizmu wyznaczam wykresy
kinematyczne poszukiwanych parametrów kinematycznych w funkcji czasu.
SAM
Met. Grafoanalityczna Met. Analityczna
v
c
7,582
7,587
-
3
ω
5,08
5
5
3
ε
83,459
86,6
86,64
•
3
l
-
6
5,999
•
•
3
l
-
51,96
-51,96
- 12 -
Wykres przedstawiający prędkość kątową
3
ω
Wykres przedstawiający prędkość kątową
3
ε
- 13 -
5. Analiza kinetostatyczna mechanizmu.
5.1 Schemat do analizy kinetostatycznej:
5.2 Określenie parametrów układu.
Wartości sił obciążających mechanizm:
M
3
=10Nm
P
2
=10N
Człon drugi mechanizmu posiada masę: m
2
= 1 kg
Moment bezwładności J
S2
(
)
[
]
2
2
2
S2
04
,
0
12
06928
1
12
J
m
kg
ml
⋅
⋅
=
=
Mechanizm znajduje się w polu grawitacyjnym:
2
s
m
81
,
9
g
=
Wyznaczenie siły bezwładności działających na mechanizm:
[ ]
N
B
a
m
B
s
m
a
a
s
n
B
s
56
,
138
56
,
138
1
56
,
138
2
2
2
2
2
2
2
=
⋅
=
⋅
−
=
=
=
- 14 -
Wyznaczenie momentu od siły bezwładności:
[
]
Nm
M
J
M
B
S
B
464
,
3
6
,
86
04
,
0
2
2
2
2
=
⋅
=
⋅
=
ε
Wyznaczenie siły grawitacji działającej na mechanizm:
[ ]
N
G
g
m
G
81
,
9
81
,
9
2
2
2
=
⋅
=
⋅
=
5.3 Odrzucenie członu napędzającego oraz uwolnienie poszczególnych członów od
więzów jak i całej grupy strukturalnej.
Rys. Rozłożenie mechanizmu na poszczególne człony po uwolnieniu od więzów.
- 15 -
Rys. Grupa strukturalna uwolniona od więzów
5.3.1 Równania wektorowe równowagi sił działających na człony.
- dla członu drugiego:
0
2
2
2
32
12
12
=
+
+
+
+
+
G
B
P
R
R
R
n
t
- dla członu trzeciego:
0
0
03
03
03
23
=
=
+
+
n
n
t
R
R
R
R
- dla grupy struktularnej:
0
0
03
2
2
2
03
12
12
=
=
+
+
+
+
+
n
t
n
t
R
G
B
P
R
R
R
5.3.2 Wyznaczenie nieznanych reakcji z równania momentów i planu sił.
Wyznaczenie nieznanej reakcji M
32
z równania momentów względem punktu B dla
członu drugiego
]
[
96
,
1
15
,
0
10
464
,
3
|
|
0
|
|
0
)
2
(
2
2
32
2
2
32
Nm
BC
P
M
M
BC
P
M
M
M
B
B
iB
=
⋅
−
=
⋅
−
=
=
⋅
+
−
⇔
=
∑
Wyznaczenie nieznanej reakcji R
t
03
z równania momentów względem punktu B dla
członu trzeciego
[ ]
N
BD
M
M
R
M
BD
R
M
M
t
t
iB
6
,
11
6928
,
0
10
96
,
1
|
|
0
|
|
0
)
3
(
3
23
03
3
03
23
−
=
−
=
−
=
=
+
⋅
+
−
⇔
=
∑
- 16 -
Plan sił:
Na podstawie planu wyznaczyłem szukaną siłę
12
R
, która wynosi
[ ]
N
R
55
,
124
12
=
5.3.3 Wyznaczenie momentu równoważącego
Z równania równowagi momentów działających na człon 1 względem punktu A
wyznaczam moment równoważący:
( )
( )
[
]
Nm
M
AB
R
M
M
AB
R
M
R
R
R
iA
258
,
5
|
|
7
sin
0
|
|
7
sin
0
1
0
21
1
1
0
21
−
=
⋅
⋅
−
=
=
−
⋅
⋅
−
⇒
=
∑
- 17 -
6. Obliczenie momentu równoważącego metodą mocy chwilowych.
Mechanizm obciążam wszystkimi obliczonymi i przyjętymi siłami i momentami, do
członu napędzającego przykładam moment równoważący. Na rysunku zaznaczam także
prędkości liniowe i kątowe w miejscach przyłożenia sił i momentów oraz wartości kątów.
6.1 Równanie mocy chwilowych:
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
(
)
1
0
2
0
3
2
0
3
3
1
2
2
2
2
0
2
0
3
2
0
3
3
0
1
1
2
2
2
2
2
3
2
3
3
1
1
27
cos
0
cos
0
cos
0
90
cos
90
cos
27
cos
0
cos
0
cos
0
cos
0
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
⋅
⋅
+
⋅
⋅
−
⋅
⋅
=
=
°
⋅
⋅
+
°
⋅
⋅
+
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
−
⋅
⋅
+
⋅
⋅
−
=
+
+
+
+
+
C
B
R
S
S
C
B
R
S
S
C
B
R
V
P
M
M
M
V
B
V
G
V
P
M
M
M
V
B
V
G
P
V
M
M
M
o
o
o
o
o
o
Moment równoważący wynosi:
]
[
014
,
5
1
Nm
M
R
=
- 18 -
7. Wyznaczenie momentu równoważącego w programie SAM.
Model mechanizmu do analizy kinetostatycznej zbudowany w programie SAM wraz
z dołożonymi siłą P
2
i momentem M
3
.
Charakterystyka momentu równoważącego M
R1
otrzymany w Sam’ie.
3.8. Porównanie wyników obliczeń momentu równoważącego różnymi
metodami.
Metoda grafoanalityczna
Metoda mocy chwilowych
SAM
-5,258[Nm]
5,014[Nm]
-5,264[Nm]